Kompleksisten polynomien nollakohdista

Kompleksisten polynomien nollakohdista

Pro-gradu tutkielma Samu Pulkkinen 249681

Itä-Suomen yliopisto 17. huhtikuuta 2019

Sisältö

Abstract 1

1 Tiivistelmä 2

2 Yleisiä tuloksia 3

2.1 Määritelmiä ja aikaisempia tuloksia . . . 3

2.2 Geometrisista kuvauksista . . . 4

3 Polynomin kertoimien ja nollakohtien välinen yhteys 7 4 Nollakohtien geometrinen jakautuminen 13 4.1 Boutrox-Cartanin lause . . . 13

4.2 Kertoimista saatavia rajoja nollakohdille . . . 16

4.3 Gauss-Lucasin lause . . . 21

4.4 Laguerren lause . . . 28

4.5 Apolaariset polynomit ja Gracen lause . . . 32

5 Numeerinen iterointi 40 5.1 Kiintopisteet . . . 40

5.2 Laskun metodi . . . 43

Lähteet 48

Abstract

In this Msc thesis we cover some results regarding the zeros of complex polynomials. Finding the zeros of a polynomial has always been central in mathematics since the invention of polynomials, and it is a well known fact that nding the zeros of a polynomial allows one to nd the location of all other values. Also, by Weierstrass's approximation theorem we can always approximate any continuous real- or complex valued function by real- or complex polynomials, thus connecting the case for polynomials to a more general case.

In this thesis we deal with the zeros of polynomials mainly analytically by using well known results from any basic course in complex analysis. The reader is assumed to have studied some basic complex analysis, although the most central results will be recalled in the thesis as needed.

In Section 2 we cover some basic denitions and results that are of use in nding zeros of polynomials as well as proving later theorems. We also cover basic geometric mappings of the complex plane as well as some facts regarding Möbius transformations, mainly for applications in Section 4.

Section 3 covers the fundamental theorem of algebra and some results about the relation of the terms of polynomials to it's zeros.

In Section 4 we cover results related to geometry of the zeros of polynomials.

These results include the Boutroux-Cartan Lemma, Cauchys approximation for polynomials, Eneström-Kakeya theorem, Gauss-Lucas theorem, Theorem of Laguerre and Grace's theorem.

In Section 5 we cover two methods of forming iteration sequences, which converge on the zeros of a given polynomial.

This thesis covers many of the most known results about zeros of polyno- mials, and they are proven using results that are commonly covered in any basic course of complex analysis.

1 Tiivistelmä

Tässä tutkielmassa käsitellään kompleksisten polynomien nollakohtia. Poly- nomien nollakohtien selvittäminen on ollut keskeisessä roolissa polynomien alusta alkaen ja polynomin kaikki arvot voidaankin selvittää nollakohtien rat- kaisemiseksi keksittyjen keinojen avulla. Weierstrassin arviointilauseen no- jalla mielivaltaista jatkuvaa funktiota pystytään arvioimaan tarkasti polyno- meilla, jolloin polynomin nollakohtien selvittäminen auttaa myöskin yleisem- min jatkuvien funktioiden tapauksessa.

Tässä tutkielmassa käsittelemme polynomeja ja niiden nollakohtia lähin- nä analyyttisesti käyttäen hyväksi kompleksianalyysin perustuloksia ja sovel- tamalla niitä analyyttisten polynomien nollakohtien selvittämiseen. Lukijan oletetaankin tuntevan kompleksianalyysin peruskurssilla käydyt asiat. Kui- tenkin keskeisimmät tulokset kerrataan tarvittaessa.

Kappaleessa2käymme läpi määritelmiä, argumentin periaatteen ja Rouchén lauseen. Lisäksi kappaleessa käsitellään kompleksitason geometrisiä kuvauk- sia sekä hieman Möbius kuvauksia myöhempien kappaleiden sovelluksia var- ten.Kappaleessa 3käymme läpi algebran peruslauseen sekä selvennämme siitä seuraavaa polynomin nollakohtien ja kerrointen välistä yhteyttä.

Kappale 4 keskittyy erilaisiin geometrisiin tapoihin rajoittaa polynomin nollakohtia. Näistä tunnetuimpia ovat Boutroux-Cartanin lemma, Cauchyn arvio polynomeille, Eneström-Kakeya Lause, Gauss-Lucasin Lause, Laguer- ren lause sekä Gracen Lause.

Kappaleessa 5 käydään läpi kaksi erilaista tapaa muodostaa polynomille iterointijono, joka suppenee kyseisen polynomin nollakohtiin.

Tutkielman tarkoitus on tarjota laaja katsaus yleisiin tuloksiin polynomien nollakohtiin liittyen käyttäen pohjana yksinkertaisia tuloksia, jotka käsitel- lään yleensä kompleksianalyysin peruskurssilla.

2 Yleisiä tuloksia

Tässä kappaleessa käydään läpi yleisiä tuloksia, joita käytetään todistamaan myöhempiä tuloksia. Erityisesti Rouchén lausetta, Määritelmän 2.5 kuvauk- sia sekä Lausetta 2.7 hyödynnetään paljon tutkielmassa, eli lukijan kannattaa kiinnittää näihin erityistä huomiota.

2.1 Määritelmiä ja aikaisempia tuloksia

Määritelmä 2.1. Polynomi on funktio, joka on muotoa P(z) =

n

∑︂

k=0

akz^k, k, n∈N.

Tämän summan yksittäistä osaa a_kz^k kutsutaan polynomin termiksi, ja tätä vastaavaa vakiota a_k on tämän termin kertoimeksi. Polynomin aste on suu- rin arvo k jolle a_k ̸= 0, merkintänä käytetään Deg(P(z)) = n. Polynomia kutsutaan reaaliseksi, jos a_k ∈ R kaikilla k ∈ {0,1, .., n}, ja kompleksiseksi, jos a_k ∈C kaikilla k ∈ {0,1, .., n}.

Koska reaaliluvut ovat kompleksilukujen osajoukko, reaaliset polynomit ovat kompleksisten polynomien osajoukko. Tämän tutkielman puitteissa po- lynomia pidetään kompleksisena, ellei toisin mainita.

Joissakin tilanteissa saatamme yksinkertaistamisen vuoksi merkitä kuvaus- ta pelkästään sitä vastaavalla kirjaimella merkkaamatta muuttujaa. Esimerk- ki: Olkoon P(z) = a_nzⁿ +an−1zⁿ⁻¹ +...+ a₁z + a₀ Tällöin P:n aste on Deg(P) = n.

Seuraavat tulokset sekä moninkertaisen nollakohdan käsite oletetaan tun- netuiksi kompleksianalyysi b kurssilta. Todistukset löytyvät myöskin esim. [3, s. 158-160,166]

Lause 2.2. (Argumentin periaate) Olkoonf on analyyttinen ja nollasta eroa- va yksinkertaisella, suljetulla ja positiivisesti suunnistetulla käyrällä C sekä analyyttinen C:n rajoittamassa alueessa. Tällöin

1 2πi

∫︂

C

f^′(z)

f(z)dz =N₀(f, C)

missä N₀(f, C) on f:n nollakohtien lukumäärä käyrän C sisällä nollien mo- nikerrat huomioiden.

Lause 2.3. (Rouchén lause) Olkoon f ja h analyyttisiä yksinkertaisella sul- jetulla käyrällä C sekä sen sisäpuolella. Jos aito epäyhtälö |h(z)| < |f(z)|

pätee jokaisessa ääriviivan C pisteessä, niin funktioilla f ja f +h on yhtä monta nollakohtaa monikerrat huomioiden ääriviivan C sisäpuolella.

Rouchén lauseesta on olemassa vahvempia versioita, joissa funktioiden nor- mien ehtoa voidaan heikentää esimerkiksi muotoon |f−h|<|f|+|h|, katso esimerkiksi [3, s. 166].

Seuraava esimerkki näyttää , miten Rouchén lausetta voidaan käyttää po- lynomin nollakohtien sijainnin määrittämisessä:

Esimerkki 2.4. Tarkastellaan polynomia P(z) = z⁸ + ₁₆³z⁴ − ₆₄¹. Jos nyt määritämmef(z) = z⁸ jah(z) = ₁₆³ z⁴−₆₄¹, saammeP(z) = f(z) +h(z). Nyt

|f(z)|=|z|⁸, ja

|h(z)|=| 3

16z⁴− 1

64| ≤ | 3

16z⁴|+| 1 64|= 3

16|z|⁴+ 1 64. Tällöin Rouchén lauseen ehdot toteutuvat, kun

|h(z)| ≤ 3

16|z|⁴ + 1

64 <|f(z)|=|z|⁸, joka toteutuu kun

|z|⁸− 3

16|z|⁴− 1 64 >0, josta saadaan ratkaisuksi

|z|> 1

√2.

Koska z⁸:lla on 8-kertainen nollakohta pisteessä z = 0, saamme Rouchén lauseesta, ettäP(z):lla on kahdeksan nollakohtaa suljetussa kiekossaD(0,^√1

2). Laskemalla esim. sijoituksen avulla saamme, että P:n nollakohdat ovat ±¹₂ , ±₂ⁱ ja ±¹₂ ± ₂ⁱ. Nyt | ± ¹₂ ± ₂ⁱ| = ^√1

2, eli tässä tapauksessa Rouchén lause antaa meille tarkan tuloksen.

2.2 Geometrisista kuvauksista

Käydään seuraavaksi läpi muutamia yksinkertaisia geometrisia kuvauksia kompleksitasossa sekä laajennetussa kompleksitasossa, mukaillen [4, p. 299- 304] mukaista esitystä. Kuvauksia hyödynnetään paljon tarkasteltaessa po- lynomien nollakohtien geometrista jakautumista. Palautetaan mieleen, että laajennettu kompleksitaso Cˆ määritellään yhdisteenä C∪ {∞}.

Määritelmä 2.5. Olkoon z ∈ C, a ∈ C, a ̸= 0, b = e^iθ, θ ∈ R ja c∈ R, c >

0. Kuvausta z +a kutsutaan siirroksi, kuvausta bz kierroksi, kuvausta cz skaalaukseksi ja kuvausta ¹_z käännöksi.

Nämä kuvaukset muuttavat geometrisesti kompleksitasoa seuraavilla ta- voilla: Siirto liikuttaa koko kompleksitasoa |a|:n verranArg(a):n suuntaan ja kierto pyörittää kompleksitasoa origon ympäri Arg(b) = θ:n verran. Yleen- sä kierrettäessä vakio annetaankin muodossa e^iθ, missä θ on halutun kään- nön kulma radiaaneina väliltä [0,2π]. Skaalatessa kaikkien pisteiden normi muuttuu c-kertaisesti isommaksi tai pienemmäksi. Käännössä kompleksita- so peilataan yksikköympyrän kehän suhteen, eli yksikköympyrän sisäpuoli kuvautuu ulkopuolelle ja päinvastoin sekä imaginääri akseli kääntyy ympäri (︁₁

i = _iⁱ2 =−i)︁

Kuvauksien käänteiskuvauksien löytäminen on helppoa: Siirrossa tehdään. vain siirto −a:n suuntaisesti, kierrossa käännytään kulma −θ, skaalauksessa skaalataan uudestaa ¹_c:llä (huomaa, ettäc̸= 0) ja kääntö on oma käänteisku- vauksensa. Ei ole vaikeaa huomata, että siirto, kierto ja skaalaus ovat bijek- tioita C:ssä, joten myöskin niiden käänteiskuvaukset ovat bijektioita. Myös- kin Cˆ:ssä kääntö on bijektio, kun määrittelemme, että se kuvaa 0:n ∞:ään ja päinvastoin.

Bijektiivisyyden nojalla näitä kuvauksia voidaan voidaan käyttää muut- tamaan jonkin ongelman määrittelyjoukkoa helpommin ratkaistavaan muo- toon. Koska kuvaus sekä käänteiskuvaus ovat bijektioita, voidaan kyseinen ongelma ratkaista tässä helpommassa joukossa ja tämän jälkeen käänteisku- vauksella muuttaa tilanne takaisin alkuperäiseen tilaan.

Kuvaukset voidaan kaikki yhdistää yhdeksi kuvaukseksi, joka on muotoa az+b

cz+d

joillakin a, b, c, d ∈ C, bc−ad ̸= 0. Ehto bc−ad ̸= 0 takaa ettei kuvaus ole vakiofunktio. Tämän näkee seuraavasta

az+b

cz+d = acz+bc

c²z+cd+ ad−ad c²z+cd

= acz+bc+ad−ad c²(z+^d_c)

= ac(z+^d_c)

c²(z+^d_c) + bc−ad c²(z+^d_c)

= bc−ad c²

1 z+ ^d_c +a

c.

Vaihtoehtoisesti tämän voi nähdä kuvauksen derivaatasta d

dz

az+b

cz+d = (az+b)c−a(cz+d)

(cz+d)² = bc−ad (cz+d)².

Mikäli bc−ad = 0, derivaatta on aina 0 ja tällöin alkuperäinen kuvaus on vakiofunktio.

Muotoa ^az+b_cz+d olevia kuvauksia kutsutaan Möbius-kuvauksiksi, ja niillä on monia hyödyllisiä ominaisuuksia. Tässä kirjoitelmassa tarvitsemme lähinnä seuraavia kahta. Ensimmäisen todistus on mukaelma todistuksesta [4, s. 304].

Lemma 2.6. Möbius-kuvaukset ovat bijektioita Cˆ →Cˆ.

Todistus. Oletetaan että c̸= 0. Käytetään tällöin kuvauksen muotoa az+b

cz+d = bc−ad c²

1 z+ ^d_c +a

c.

Koska a, b, c ja d ovat vakioita, voimme ilmaista tämän myöskin muodossa

A 1

z+B +C, A= bc−ad

c² , B = d

c, C = a c

Tästä muodosta näemme, että tätä muotoa olevat kuvaukset voidaan muo- dostaa yhdistelmänä peräkkäistä siirtoa, skaalausta, kiertoa, kääntöä ja siir- toa. Koska jokainen näistä kuvauksista on bijektio, saamme väitteen tässä tapauksessa.

Jos taas c= 0, saamme

az+b

d = a

dz+ b d

jolloin kuvaus saadaan yhdistelmänä siirtoa, skaalausta ja kiertoa. Koska

nämä kuvaukset ovat bijektioita väite seuraa.

Lause 2.7. Möbius-kuvaukset kuvaavat ympyrät ja suorat ympyröiksi ja suo- riksi.

Todistus sivuutetaan, katso [3, s. 188]. Vaihtoehtoinen Riemannin palloon perustuva todistus löytyy [4, s. 309-310].

Yleensä laajennetun kompleksitason tapauksessa suoria ja ympyröitä kut- sutaan yleistetyiksi ympyröiksi juuri tämän Möbius-kuvausten ominaisuuden takia. Kannattaa huomata, että kappaleen alussa määritellyt geometriset ku- vaukset ovat kaikki Möbius-kuvauksia, jolloin saamme, että myös nämä ku- vaukset kuvaavat yleistetyt ympyrät yleistetyiksi ympyröiksi.

3 Polynomin kertoimien ja nollakohtien väli- nen yhteys

Polynomeille P, jonka asteelle pätee 1≤Deg(P)≤4, voidaan selvittää nol- lakohdat sijoittamalla polynomin kertoimet a0, a1, ... ratkaisukaavaan, joka antaa ratkaisuna ne z:n arvot, joillaP(z) = 0. Tarkat kaavat löytyy esim. [1, s. 4].

Norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel todisti 1800-luvulla, että yleis- tä kaavaa ei ole olemassa viidennen- tai korkeamman asteen yhtälöille. Abelin todistus ei tarkoita, että viidennen ja suuremman asteen polynomiyhtälöitä ei voitaisi ollenkaan ratkaista, vaan että ratkaisujen selvittämiseksi ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa. Näille polynomiyhtälöille ratkaisujen etsi- minen vaatii siis yleisessä tapauksessa numeerista arviointia tai yksittäisessä tapauksessa polynomista riippuvaa ratkaisumetodia.

Seuraavaksi todistamme Algebran peruslauseen, joka on keskeinen polyno- mien nollakohdista puhuttaessa. Tätä varten tarvitsemme seuraavaa lemmaa, jonka voi löytää [5, s. 11].

Lemma 3.1. Olkoon P(z) = a_nzⁿ+...+a₀ polynomi, jolle Deg(P) = n, ja olkoon ε >0. Tällöin on olemassa R_ε ∈R, siten, että

(1−ε)|a_n||z|ⁿ <|P(z)|<(1 +ε)|a_n||z|ⁿ, Kun |z|> R_ε.

Todistus. Huomataan aluksi, että

|P(z)|=|a_n||z|ⁿ|1 + an−1

a_n z⁻¹+an−2

a_n z⁻²+...+ a₀ a_nz⁻ⁿ|.

Merkitään an−1

an

z⁻¹+an−2

an

z⁻²+...+ a₀ an

z⁻ⁿ=Q(z) jolloin |P(z)|=|1 +Q(z)||a_n||z|ⁿ. Selvästi voidaan nähdä, että

lim

|z|→∞|Q(z)| →0.

Tästä seuraa että kaikille ε >0 on olemassa R_ε siten, että

|Q(z)|< ε,|z|> R_ε. Nyt kolmioepäyhtälöstä saadaan

|P(z)|=|1 +Q(z)||a_n||z|ⁿ≤(|1|+|Q(z)|)|a_n||z|ⁿ<(1 +ε)|a_n||z|ⁿ, kun|z|> R_ε. Vastaavasti käänteisestä kolmioepäyhtälöstä|a−b| ≥ ||a| − |b||

saadaan

|P(z)|=|(−1)−Q(z)||a_n||z|ⁿ ≥ || −1| − |Q(z)|| |a_n||z|ⁿ>(1−ε)|a_n||z|ⁿ, missä viimeinen epäyhtälö toteutuu, kun 1> ε >0 ja|z|> R_ε. Tapauksessa

ε >1 alaraja pätee triviaalisti.

Lemma 3.1 merkitsee, että tarkasteltaessa tarpeeksi suurilla normeilla, voimme arvioida polynomia pelkästään asteen määrittävän termin avulla.

Nyt voimme esittää ja todistaa algebran peruslauseen. Todistuksen ensim- mäinen osa on edellistä lemmaa hyödyntävä muunnelma standardista Rouchén lausetta käyttävästä todistuksesta, katso esimerkiksi [8, s. 2]. Loppuosa seu- raa [3, s. 87] mukaista päättelyä.

Lause 3.2. (Algebran peruslause) Olkoon P(z) = a_nzⁿ+...+a₁z+a₀ po- lynomi, jonka aste Deg(P) = n, n ∈ N. Tällöin P:llä on täsmälleen n nol- lakohtaa C:ssä nollien monikerrat huomioiden. Lisäksi jos z1, z2, ..., zn−1, zn

ovat P:n nollakohdat, niin

P(z) =c(z−z1)(z−z2)· · ·(z−zn−1)(z−zn), c∈C\ {0}.

Todistus. Todistus jakautuu kolmeen osaan. Ensin osoitetaan, että jokaisella n-asteisella polynomilla on täsmälleen n nollakohtaa. Tämän jälkeen osoite- taan, että tämä polynomi voidaan esittää muodossa P(z) = (z−z_m)P₁(z), missä z_m on yksi P(z):n nollakohdista ja P₁(z) on polynomi, jolle pätee Deg(P₁) = Deg(P)− 1. Tämän jälkeen väite seuraa soveltamalla päätte- lyä P₁(z):een, ja jatkamalla rekursiivisesti kunnes kaikki nollakohdat on eri- telty tuloon.

1) Lemman 3.1 nojalla on olemassa ε >0 ja R_ε >0 siten, että

|a_n−1zⁿ⁻¹+...+a₁z+a₀|<(1 +ε)|a_n−1||zⁿ⁻¹|, kun |z| ≥Rε.Toisaalta, voidaan löytää R0 >0 siten, että

(1 +ε)|an−1||zⁿ⁻¹| ≤ |a_n||zⁿ|

kun |z| ≥R₀. Valitaan nyt R := max(R_ε, R₀). Nyt kun|z| ≥R, niin

|a_n−1zⁿ⁻¹+...+a₁z+a₀|<|a_n||zⁿ|

Käyttämällä Rouchén lausetta alueeseen D(0, r₀), missä r₀ > R, saadaan, että P(z):lla ja a_nzⁿ:llä on yhtä monta nollakohtaa tämän ympyrän sisällä.

Koska a_nzⁿ:lla on n-kertainen nollakohta origossa, saamme, että P(z):lla on oltava täsmälleen n nollakohtaa D(0, r₀):n sisäpuolella. Antamalla r₀ → ∞, saamme, että P(z):lla ei ole enempää nollakohtia.

2) Olkoon nytz₁jokinP(z):n nollakohdista. Muodostetaan polynomiP₁(z) = bn−1zⁿ⁻¹+bn−2zⁿ⁻² +...+b₀, siten, että

P(z) = (z−z₁)P₁(z) = zP₁(z)−z₁P(z) =bn−1zⁿ+(bn−2−z₁bn−1)zⁿ⁻¹+...−z₁b₀ jolloin merkitsemällä termien kertoimet yhtäsuuriksi, voimme ratkaistaP₁:sen yksikäsitteisesti. Nyt koskaP(z) = (z−z₁)P₁(z), saamme ettäP₁:llä on yksin- kertaista nollakohtaa z₁:ssä lukuunottamatta samat nollakohdat kuin P:llä, sillä näissä pisteissä (z−z₁) ̸= 0. Toisaalta mikäli P:llä on n-kertainen nol- lakohta z₁:sessä, yhtäsuuruuden nojalla on P₁:sellä oltava n −1-kertainen nollakohta tässä pisteessä. Nyt P₁ on etsimämme polynomi.

3)Mikäli Deg(P₁) ≥ 2, toistamalla vaiheet 1) ja 2) polynomiin P₁(z) pää- semme lopulta polynomiin P_n−1, jolle Deg(P_n−1) = 1. Tämä viimeinen po- lynomi on muotoa Pn−1(z) = b₁z +b₀ = b₁(z + ^b_b⁰

1), missä ^b_b⁰₁ on selkeästi Pn−1:sen nollakohta. Nyt merkitsemällä b₁ =csaamme väitteen.

Selkeästi voidaan nähdä, että jokainen tulo, joka on muotoa c(z−z₁)(z− z₂)· · ·(z−zn−1)(z−z_n), muodostaa n:nen asteen polynomin jonka nollakoh- tina on pisteet z₁, z₂, ..., z_n, kunhan c ̸= 0. Näin ollen lauseen jälkimmäinen väite pätee molempiin suuntiin.

Keskeisin osuus algebran peruslauseesta on osoittaa, että jokaisella polyno- milla, joka ei ole vakiofunktio, on ainakin yksi nollakohtaC:ssa, loput lausees- ta seuraa tästä helposti todistuksen vaiheiden (2) ja (3) avulla. Algebran peruslauseen nojalla voimme ilmaista jokaisen polynomin sen nollakohtien avulla tai vaihtoehtoisesti voimme muodostaa polynomin, jolla on juuri ha- luamamme nollakohdat. On syytä huomata, että algebran peruslause ei yleis- ty rajatapaukseen n → ∞. Tämän voi huomata esimerkiksi e^z:n Maclaurin- sarjasta 1 + _1!^z +^z_2!² + ^z_3!³ +..., joka on selvästi ääretön polynomi, mutta jolla ei ole yhtään nollakohtaa. On myös hyvä huomata, että nollakohtien avulla ilmoitettunan asteisen polynomin yksikäsitteiseen määrittämiseen tarvitaan n+ 1 arvoa, kuten perinteisessä ilmaisutavassakin.

Algebran peruslauseesta saamme helposti myöskin selville kuinka monesti polynomi saa mielivaltaisen arvon c. Määritellään ensin monikertainen c-

piste: Sanomme P:llä olevan n-kertainen c-piste pisteessä z₀, mikäliP(z)− c:llä on n-kertainen nollakohta z₀:ssa.

Seuraus 3.3. Polynomi P jolle Deg(P) =n saavuttaa jokaisen arvon c∈C täsmälleen n kertaa monikerrat huomioiden.

Todistus. Tarkastellaan polynomia R :=P −c. Selvästi kaikissa R:n nolla- kohdissa P = c. Nyt selvästi R on n:nen asteen polynomi, joten sillä on n nollakohtaa algebran peruslauseen mukaan, jolloin P saavuttaac:nnkertaa.

Todistuksesta saamme myöskin tavan liittää polynomin P c-pisteiden si- jainnit P:n nollakohtiin. c-pisteiden täytyy olla samat kuin P −c:n nolla- kohdat, jolloin selvittämällä tämän yhdessä kertoimessa eroavan polynomin nollakohdat, saamme P:nc-pisteet.

Tarkastellaan nyt tarkemmin nollakohtien ja polynomin kertoimien välistä yhteyttä:

Esimerkki 3.4. (Vietan kaavat) Algebran peruslauseesta voidaan johtaa kertoimien ja nollakohtien välillä olevat kaavat. Nämä saadaan muodostet- tua laskemalla auki nollakohtien tulo ja merkitsemällä, että muodostuneen polynomin termien kertoimien on oltava samat.

Olkoon a_i:t polynomin kertoimia, z_i:t polynomin nollakohtia ja calgebran peruslauseessa esiintyvä vakio. Ensimmäiseksi voidaan huomata, ettäa_n=c, sillä tämän termin on muodostuttava kaikkienz:jen tulosta, jolloin muita va- kioita kertoimeen ei jää vaihtoehdoksi. Vastaavalla tavalla voidaan huomata, ettäa₀ = (−1)ⁿcz₁z₂...z_n, sillä tämä termi ei riipuz:sta, jolloin se muodostuu vakioiden tulosta.

Muiden termien kohdalla voidaan päätellä samankaltaisesti: Ilmaistaan ter- min aste muodossa n−m, m∈ {0,1, ..., n}. Nyt tämä termi voi saada asteen- sa vain mikäli se muodostuu n−m:n z:an ja m:n vakion tulosta c:n kanssa.

Tällöin saadaan an−m =c

(︄

∑︂

k1,k2,...,km

(−1)^mz_k1z_k2...z_km )︄

, k_i ∈ {1,2, ..., n}, k_i ̸=k_j, eli n−m-asteisen termin kerroin an−m muodostuu siis kaikista m:n eri nol- lakohdan lineaarikombinaation summasta. Esimerkkinä sijoittamalla tähän kaavaan m = n saadaan jo huomattu fakta, että a₀ = cz₁z₂...z_n. Samoin sijoittamalla m = 1 huomataan, että an−1 = c(z₁ +z₂ +...+z_n), an−2 = c(z₁z₂+z₁z₃+...z₁z_n+z₂z₃+...zn−1z_n), ja niin edelleen.

Vietan kaavoista voi päätellä seuraavat asiat: Polynomin asteen määrit- tävän termi ei sisällä muuta informaatiota nollakohdista kuin niiden luku- määrän. Tämä seuraa siitä, että kyseisen termin kerroin tulee suoraan tu- lon vakiokertoimesta c. Samalla huomataan, että koko polynomin kertomi- nen jollain nollasta poikkeavalla vakiolla ei myöskään vaikuta nollakohtiin, vaan ainoastaan muiden arvojen jakautumiseen. Kolmas asia, mikä voidaan huomata, on että polynomin kertoimien ja nollakohtien välillä on selkeä las- kennallinen yhteys, tosin nollakohtien päättely suoraan kertoimista on hyvin haastavaa.

Seuraava tulos, joka löytyy [4, p. 281-282], osoittaa, että polynomin nolla- kohtien muutos kertoimien funktiona on jatkuva.

Lause 3.5. Olkoon

P(z) = zⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹...a₁z+a₀

polynomi, jonka erilliset nollakohdat on z₁, z₂, ...z_k. Olkoon m_i z_i:n nolla- kohdan kertaluku ja olkoon ρ := mini̸=j|zi −zj|, i, j ∈ {1,2, ..., k}. Tällöin jokaiselle ε jolle pätee 0 < ε < ρ on olemassa δ > 0 siten että jokaisella polynomilla

Q(z) = zⁿ+bn−1zⁿ⁻¹+...+b1z+b0

jonka kertoimille pätee |b_i−a_i| < δ, i ∈ {1,2, ..., n−1}, on täsmälleen m_j nollakohtaa kiekossa |z−zj|< ε, j ∈ {1,2, ..., k}

Todistus. Olkoon 0< ε < ρja δ < min

j∈{1,2,...,n}

ε^mj(ρ−ε)^n−mj

[(|z_j|+ε)ⁿ+...+ (|z_j|+ε) + 1]

ja olkoon Q polynomi, joka toteuttaa mainitut ehdot tälläδ:n arvolla. Mää- ritellään Di := {z ∈ C : |z −zi| = ε, i ∈ {1,2, ..., k}}. Käytetään Rouchén lausetta apufunktioihin f =P ja g =Q−P D_i:n rajaamassa alueessa. Nyt kun z ∈D_i ja i̸=j, saamme

|z−z_j| ≥ |z| − |z_j| ≥(|z_i| −ε)−(|z_i| −ρ) =ρ−ε.

Nyt P:n algebran peruslauseesta saadun tuloesityksen ja edellisen päättelyn nojalla nojalla

|f(z)|=|P(z)|=|(z−z_i)^miP₁(z)| ≥ε^mi(ρ−ε)^n−mi, kun z ∈Di. Toisaalta

|g(z)|=|Q−P|=|(bn−1−an−1)zⁿ⁻¹+...+ (b₁−a₁)z+a₀−b₀|

< δ|zⁿ⁻¹+...+z+ 1|< δ[(|z_i|+ε)ⁿ+...+ (|z_i|+ε) + 1]

kaikilla z ∈ C. Näin ollen Rouchén lauseen ehdot täyttyvät D_i:n rajoitta- massa kiekossa, mikäli|g|<|f|toteutuuD_i:ssä. Nyt aikaisemman päättelyn nojalla voimme arvioida |g|:tä ja |f|:ää, jolloin saamme

|g(z)|< δ[(|z_i|+ε)ⁿ+...+ (|z_i|+ε) + 1]< ε^mi(ρ−ε)^n−mi <|f(z)|

josta saamme lopulta δ:lle rajan

δ < ε^mi(ρ−ε)^n−mi

[(|z_i|+ε)ⁿ+...+ (|z_i|+ε) + 1].

Mikäli tämä ehto täyttyy, niin funktioillaf =P jaf+g =P+(Q−P) =Q on sama määrä nollakohtia D_i:n sisäpuolella Rouchén lauseen nojalla. Koska alussa valittu δ toteuttaa tämän ehdon kaikilla i ∈ {1, ..., n−1}, saamme

väitteen.

Kannattaa huomioida, että tulos ei toimi molempiin suuntiin, eli vaikka pieni muutos nollakohdissa aiheuttaa pienen muutoksen kertoimissa, pieni muutos kertoimissa ei aina johda pieniin muutoksiin nollakohdissa. Tästä esimerkkinä voidaan tarkastella polynomiaz¹⁰, jonka kaikki nollakohdat ovat z = 0. Verrataan tätä polynomiinz¹⁰−₁₀₀¹ , jonka eräs nollakohta on ¹⁰√︂

1 100 ≈ 0.630957, eli nollakohta siirtyi noin 63-kertaisesti kertoimen muutokseen.

Seuraava esimerkki, joka yleisesti tunnetaan Wilkinsonin polynomina, ha- vainnollistaa tätä ilmiötä vielä paremmin:

Esimerkki 3.6. Tarkastellaan polynomiaP(z) = (z−1)(z−2)...(z−20), jon- ka nollakohdat selvästi sijaitsevat pisteissä z₁ = 1, z₂ = 2, ..., z₂₀ = 20. Wil- kinson osoitti, että polynomilla P(z)−2⁻²³z¹⁹ on nollakohtia, joiden ima- ginääriosien modulit vaihtelevat 0.64350:sta 2.81262:een, katso [10]. Tässä tilanteessa jonkin nollakohdan imaginääriosa on muuttunut noin 23 600 000- kertaisesti termin muutoksen verran.

4 Nollakohtien geometrinen jakautuminen

Tässä kappaleessa käydään läpi tuloksia, joilla voidaan rajata polynomin nollakohten jakautumista C:ssä. Tulokset eivät kerro tarkalleen nollakohtien sijaintia, vaan antavat jonkin geometrisesti määritellyn alueen, jonka sisällä polynomin nollakohdat sijaitsevat.

4.1 Boutrox-Cartanin lause

Käydään ensimmäisenä läpi Boutroux-Cartanin lause, jota voidaan käyttää eristämään polynomin nollakohdat halutun kokoisilla ympyröillä.

Lause 4.1. Olkoon z1, z2, ...zn joukko pisteitäC:ssä jah >0. Tällöin joukko {z∈C | (z−z₁)(z−z₂). . .(z−z_n)≤

⃓

⃓

⃓

⃓ h e

⃓

⃓

⃓

⃓

n

}

voidaan peittää kiekoilla, joita on enintään n kappaletta ja joiden säteiden summa on korkeintaan 2h

Todistus. Todistuksen malli on lähtöisin [11, p. 58-60]. Todistus muodostuu neljästä alaväitteestä, jotka peräkkäin todistamalla saamme halutun tulok- sen.

(1) Osoitetaan ensin, että on olemassa luonnollinen lukuλ₁, joka on suurin kokonaisluku, jolla on olemassa avoinh^λ_n¹-säteinen kiekko, joka sisältää täsmälleen λ₁ kappaletta pisteistä z_i. Ensimmäisenä huomataan, että ylärajaλ₁:lle onn, sillä se on pisteiden määrä. Mikälihⁿ_n-säteinen kiek- ko löytyy, jatketaan seuraavaan vaiheeseen. Jos sitä ei löydy,λ₁ ≤n−1. Joshⁿ⁻¹_n -säteinen kiekko löytyy, jatketaan seuraavaan vaiheeseen, ja jos se ei löydy, tarkastellaan taas yhtä pienempää lukua. Jatkamalla tätä korkeintaan n kertaa, saamme jonkin arvon λ₁:selle, tai sitten ehto ei toteudu millään kiekolla. Nyt kiekossa |z−z₁|< h_n¹ pitää siis olla vä- hintäänk₁ pistettä(2≤k₁ < n), sillä tapaus, missä pistez₁ ei peittyisi tällä kiekolla ei ole mahdollinen, ja muuten se toteuttaisi haluamamme väitteen. Tällöin kiekossa|z−z₁|< h^k_n¹ pitää olla vähintäänk₂ pistettä (k₁ < k₂ < n), sillä muuten tämä kiekko antaisi λ₁:n. Toistamalla tätä toimenpidettä ja olettaen, että mikään kiekoista ei toteuta λ₁:n ehtoa, päädymme lopulta kiekkoon|z−z₁|< h^kn−1_n , jossa on k_n pistettä. Nyt k_i:den määritelmästä saamme

1< k1 < k2 < ... < kn−1 < kn < n,

mikä on ristiriita, sillä kaikki k_j:t ovat kokonaislukuja, jollon niitä ei voi olla n kappaletta välillä [1, n]. Näin ollen saamme, että λ₁ ∈ [1, n]

on olemassa.

(2) Osoitetaan seuraavaksi, että voimme peittää kaikki pisteet tällaisilla kiekoilla ja kiekkoja on enintään n-kappaletta. Merkitään ensin sitä h^λ_n¹-säteistä kiekkoa, jonka sisällä onλ1 pistettäc1:llä, ja kutsutaan tä- män kiekon sisällä olevia pisteitä λ₁-asteisiksi pisteiksi. Mikäli λ₁ =n, jatkamme seuraavaan vaiheeseen. Mikäliλ₁ < n, meillä onn−λ₁pistet- tä, jotka eivät sisälly kiekkoon c1. Muodostetaan näiden pisteiden mu- kaan λ₂, joka on suurin kokonaisluku, jolla on olemassa, h^λ_n²-säteinen kiekko, joka sisältää tasan λ₂-pistettä joiden aste ei oleλ₁. Toistamalla kohdan (1) päättely saamme, että tälläinen luku on olemassa. Merki- tään nyt vastaavasti sitäh^λ_n²-säteistä kiekkoa, jonka sisällä onλ₂pistet- tä, c₂:llä, ja kutsutaan tämän kiekon sisällä olevia pisteitäλ₂-asteisiksi pisteiksi. Toistetaan tätä menettelyä kunnes kaikki pisteistä zi kuu- luu johonkin tällaiseen kiekkoon λ_j. Merkitään nyt kiekkojen määrää m:llä. Selvästi 1 ≤ m ≤ n, sillä kiekkoon sisältyvien pisteiden määrä on väliltä [1, n]. Lisäksi voidaan huomata, että

λ1+λ2...+λm =n, λ1 ≥λ2 ≥...≥λm, ja että kiekkojen cj säteiden summaksi saadaan

hλ₁

n +hλ₂

n +..+hλ_m n =h

(︃λ₁+λ₂ +...+λ_m n

)︃

=h

(3) Olkoon nyt λ jokin kokonaisluku väliltä [1, n]. Osoitetaan, että jos jo- kinh^λ_n-säteinen kiekko sisältää vähintäänλ pistettäz_i:stä, niin ainakin yksi näistä pisteistä on vähintään astetta λ. AT: Oletetaan, että näin ei ole. Otetaan jokin kiekko, jonka sisällä λ^′ pistettä (λ^′ ≥ λ), joiden jokaisen aste on pienempi kuin λ. Muodostetaan seuraavaksi samakes- kinen kiekko, jonka säde on h^λ_n^′. Nyt tässä ympyrässä on λ^′′ pistettä.

Mikäliλ^′′=λ^′, meillä on kaksi vaihtoehtoa: Jos kaikkien pisteiden aste on pienempi kuin λ^′, tämän kiekon pitäisi olla yksi kiekoista c_j, jolloin kaikkien pisteiden aste pitäisi olla vähintäänλ^′ tai sitten jokin pisteistä kuuluu kiekkoon, jossa sen asteen pitäisi olla suurempi kuinλ^′. Molem- mat tapaukset muodostavat ristiriidan antiteesin kanssa, joten tarkas- tellaan tilannetta jossa λ^′′ > λ^′. Tällöin ottamalla taas samakeskinen kiekko, jonka säde onh^λ_n^′′, saamme taas joko edellisen päättelyn mukai- sen ristiriidan tai sitten tässä kiekossa onλ^′′′ > λ^′′ pistettä. Toistamal- la tätä menettelyä korkeintaan n-kertaa, pääsemme lopulta johonkin

samakeskiseen λ^∗-säteiseen kiekkoon, jossa on λ^∗ pistettä, sillä pistei- den määrä on rajoitettu ja valitsemme aina säteen, joka on sama kuin pisteiden lukumäärä. Nyt olemme kuitenkin taas ajautuneet samaan ristiriitaan kuin edellä, ja näin ollen antiteesi ei päde, jolloin olemme saaneet tämän kohdan väitteen.

(4) Osoitetaan nyt todeksi lauseen väite. Otetaan ensin c_j:den kanssa sa- makeskiset, mutta säteeltään kaksinkertaiset suljetut kiekot Cj, jol- loin kohdan (2) nojalla saammem-kappaletta kiekkoja, joiden säteiden summa on 2h. Osoitetaan seuraavaksi, että näiden ympyröiden ulko- puolella

(z−z₁)(z−z₂). . .(z−z_n)>

⃓

⃓

⃓

⃓ h e

⃓

⃓

⃓

⃓

n

.

Olkoon z₀ ∈ ∪/ ^m_j=1C_j, ja λ₀ jokin kokonaisluku väliltä [1, n].Tällöin z₀- keskinenh^λ_n⁰-säteinen avoin ympyrä ei kosketa kiekkoac_j, kunλ₀ ≤λ_j, sillä z0:n etäisyys cj:n keskipisteestä on vähintään 2h^λ_n^j. Näin ollen tämänz₀-keskisen kiekon sisällä olevien pisteiden aste on pienempi kuin λ₀, ja näin ollen kohdan(3)nojalla niitä on enintään λ₀−1kappaletta.

Nyt numeroimalla pisteetziuudestaan siten, että numerointi aloitetaan z₀:aa lähimpänä olevasta pisteestä, saamme

|z₁−z₀| ≤ |z₂ −z₀| ≤...≤ |z_m−z₀|.

Nyt saamme, että|z_j−z₀|> h_n^j, silläj:nneksi lähimmän pisteen pitää olla h^j+1_n säteisessä ympyrässä, silläh_n^j-säteisessä ympyrässä on j−1 pistettä. Tästä seuraa, että

|(z−z₁)(z−z₂). . .(z−z_n)|>

⃓

⃓

⃓

⃓ h1

nh2

n . . . hn n

⃓

⃓

⃓

⃓

=

⃓

⃓

⃓

⃓ hⁿn!

nⁿ

⃓

⃓

⃓

⃓

≥

⃓

⃓

⃓

⃓ h e

⃓

⃓

⃓

⃓

n

.

Viimeinen epäyhtälö saadaan vasemmanpuoleisesta päätepistesäännös-

tä n−1

∑︂

j=0

1 nlog

(︃

1− j n

)︃

≥

∫︂ 1

0

log(1−t)dt =−1, koska log(︁

1−_n^j)︁

on laskeva välillä (0,1). Nyt kertomalla puolittain n:llä ja käyttämällä tulon logaritmia saadaan

log (︄_n−1

∏︂

j=0

(1− k n)

)︄

≥ −n,

josta puolestaan ottamalla eksponenttifunktiot puolittain saadaan

n−1

∏︂

j=0

j n = n!

nⁿ ≥e⁻ⁿ.

Boutroux-Cartanin lause antaa keinon rajoittaa polynomin modulia halu- tun säteisillä ympyröillä, tai vaihtoehtoisesti määrittämään alue, jonka ulko- puolella polynomin modulilla on haluttu alaraja. Tuloksen nojalla voimme aina peittää polynomin nollakohdat mielivaltaisen pienillä ympyröillä anta- malla h:n lähestyä nollaa.

4.2 Kertoimista saatavia rajoja nollakohdille

Algebran peruslauseesta ja Vietan kaavoista tiedämme jo, että kertoimien ja nollakohtien välillä on yhteys. Tässä kappaleessa käymme läpi joitakin tuloksia, joilla voimme rajoittaa nollakohtien sijaintia polynomin kertoimien avulla. Seuraava klassinen tulos tunnetaan Cauchyn rajana, ja se antaa tavan laskea yleinen yläraja nollakohtien normille ja rajaa näin kaikki nollakohdat origokeskiseen ympyrään. Todistus on löytyy [6].

Lause 4.2. Olkoon P(z) = zⁿ +...+a1z +a0 polynomi ja z1, z2, ...zn sen nollakohdat. Tällöin

max

k∈{1,2,...,n}{|z_k|} ≤1 + max

j∈{0,1,...,n−1}{|a_j|}

Todistus. Oletetaan, että |z1| ≥ |zj|, j ∈ 2, .., n. Mikäli näin ei ole, voidaan nollakohdat numeroida uudestaan siten, että tämä pätee. Nyt, jos |z₁| ≤ 1, väite pätee triviaalisti.

Olkoon nyt |z1|>1. Määritellään M := maxj∈{0,1,...,n−1}|aj|. Nyt P(z₁) = z₁ⁿ+an−1z₁ⁿ⁻¹+...+a₁z₁+a₀ = 0

mistä saadaan

z₁ⁿ =−a_n−1z₁ⁿ⁻¹−...−a₁z₁−a₀ Nyt kolmioepäyhtälöstä saadaan

|z₁ⁿ|=|z₁|ⁿ=| −an−1zⁿ⁻¹₁ −...−a₁z₁−a₀| ≤ |an−1||z₁|ⁿ⁻¹+...+|a₁||z₁|+|a₀| Nyt, koska M = maxj∈{0,1,...,n−1}|a_j| ja |z₁|>1, saamme

|z₁ⁿ| ≤M(1 +|z1|+...+|z1|ⁿ⁻¹) = M1− |z₁|ⁿ

1− |z₁| =M−1(|z₁|ⁿ−1)

−1(|z₁| −1) ,

jolloin vaihtamalla jakaja ja yhtälön vasen puoli keskenään saadaan

|z1| −1≤M|z₁|ⁿ−1

|z₁|ⁿ =M(1− 1

|z₁|ⁿ).

Nyt, koska0<1−_|z¹

1|ⁿ <1, voimme arvioida oikeaa puolta ylöspäinM:ään, jolloin saamme lisäämällä ykkösen puolittain

|z1| ≤1 +M,

jolloin saadaan väite.

Seuraus 4.3. Olkoon P(z) = a_nzⁿ+...+a₁z+a₀ polynomi ja z₁, z₂, ...z_n sen nollakohdat. Tällöin

k∈{1,2,...,n}max {|z_k|} ≤1 + max

j∈{0,1,...,n−1}

{︃|a_j|

|a_n| }︃

Todistus. Tarkastellaan polynomia Q(z) := P(z)

a_n =zⁿ+an−1

a_n zⁿ+...+ a₁

a_nz+ a₀ a_n.

Selvästi Q:lla ja P:llä on samat nollakohdat. Nyt Q toteuttaa Lauseen 4.2 ehdot, jolloin sen nollakohdille, ja tätä kautta P:n nollakohdille, pätee

max

k∈{1,2,...,n}{|z_k|} ≤1 + max

j∈{0,1,...,n−1}

{︃|a_j|

|an| }︃

.

Cauchyn rajan hyödyllisyys on siinä, että se ei aseta minkäänlaisia rajoi- tuksia polynomin kertoimille ja se on helposti laskettavissa. Cauchyn arvion raja voi kuitenkin olla epätarkka. Jos tarkastelemme Esimerkin 2.4 polyno- mia, Cauchyn raja antaa, että kaikki nollakohdat ovat kiekon |z| ≤1 +₁₆³ si- säpuolella, mikä on huonompi raja kuin Rouchén lauseesta saamamme tarkka raja |z| ≤ ^√1

2.

Tarkasteltaessa reaalisia polynomeja saamme helposti seuraavan tuloksen:

Lemma 4.4. Olkoon P jokin reaalinen polynomi, ja olkoonz0 =a+bi, b̸= 0 jokin sen nollakohta. Tällöin myös z₀ =a−bi on P:n nollakohta.

Todistus. Koska P on reaaliarvoinen, niin

P(z) =a_Nzⁿ+...+a₁z+a₀ =a_nzⁿ+...+a₁z+a_o =a_nzⁿ+...+a₁z+a₀ =P(z),

jolloin selvästi P(z₀) = P(z₀) = 0 = 0 Lemmasta 4.4 on olemassa analoginen versio analyyttisille funktioille, joi- den Taylorin sarjan kaikki kertoimet ovat reaalisia. Todistus on samankaltai- nen kuin Lemmassa. Lemmasta 4.4 saadaan, että kaikki reaaliarvoisten po- lynomien ei-reaaliset nollakohdat esiintyvät konjugaattipareina. Tästä puo- lestaan seuraa helposti seuraava tulos:

Seuraus 4.5. Jokaisella reaalisella polynomilla P, jonka aste on pariton on ainakin yksi reaalinen nollakohta.

Todistus. Merkitään P:n astetta n:llä. Antiteesi: Oletetaan, että P:llä ei ole reaalista nollakohtaa. Koska ei-reaaliset nollakohdat esiintyvät pareittain, saamme niitä 2k kappaletta. Tällöin, koska n on pariton, saamme n ̸= 2k, mikä on ristiriita algebran peruslauseen kanssa.

Käydään vielä läpi Eneström-Kakeya -lause, joka antaa tarkemman rajan reaalisen polynomin nollakohdille kuin Cauchyn raja. Seuraamme [1, s. 12-13]

mukaista esitystä.

Lause 4.6. OlkoonP(z) =anzⁿ+...+a1z+a0 reaalinen polynomi siten, että a₀ ≥a₁ ≥...≥a_n>0. Tällöin kaikilla P:n nollakohdilla z_i pätee |z_i| ≥1. Todistus. Tarkastellaan ensin polynomia

(1−z)P(z) = a₀+ (a₁−a₀)z+ (a₂−a₁)z²+...+ (a_n−an−1)zⁿ−a_nzⁿ⁺¹. Nyt kolmioepäyhtälöistä saadaan

|(1−z)P(z)|=|a₀+ (a₁−a₀)z+...+ (a_n−an−1)zⁿ−a_nzⁿ⁺¹|

=|a₀−[(a₀−a₁)z+...+ (an−1+a_n)zⁿ+a_nzⁿ⁺¹|

≥ |a₀| − |(a₀−a₁)z+...+ (a_n−1+a_n)zⁿ+a_nzⁿ⁺¹|

≥ |a₀| −[︁

|a₀−a₁||z|+...+|an−1−a_n||z|ⁿ+a_n|z|ⁿ⁺¹]︁

. Koska a_k −a_k+1 ≥ 0, yhtälön oikea puoli vähenee |z|:n kasvaessa, jolloin saamme arvoilla |z|<1, että

|(1−z)P(z)|> a0−[(a0−a1) + (a1−a2) +...+an−1−an) +an] = 0

jolloin P(z)̸= 0 kun |z|<1.

Seuraus 4.7. Olkoon P(z) = a_nzⁿ +...a₁z +a₀ reaaliarvoinen polynomi siten, että 0< a₀ ≤a₁ ≤...≤a_n. Tällöin kaikilla P:n nollakohdilla z_i pätee

|z_i| ≤1.

Todistus. Olkoon

r := min

k∈1,2,...,n−1

a_k ak+1

,

ja a_i jokin kerroin siten, että _a^a_i+1ⁱ =r. Koska a₀ >0, yksikään nollakohta ei olez = 0. Näin ollen voimme tarkastella tilannetta, kun|z|>0ja muodostaa polynomin

zⁿP(r

z) =zⁿ[︁

a_nrⁿz⁻ⁿ+an−1rⁿ⁻¹zⁿ⁻¹+...+a₁rz+a₀]︁

= a₀zⁿ+a₁rzⁿ⁻¹+...+a_n−1rⁿ⁻¹z+a_nrⁿ

Nyt yhtäsuuruudesta r = _a^ai

i+1, saamme a_i

a_i+1 ≤ a_j−1 a_j , jolloin kertomalla puolittain aj:llä saadaan, että

a_j a_i

a_i+1 ≤aj−1,

jolloin kertomalla puolittain rⁿ⁻¹:llä ja käyttämällä kaavaa _a^a_i+1ⁱ =r saadaan ajrⁿ ≤aj−1rⁿ⁻¹,∀j ∈ {1, ..., n}

elizⁿP(_z^r)toteuttaa Lauseen 4.6 ehdon. Tällöin saamme, että kaikilleP(_z^r):n nollakohdille pätee ⃓

⃓^r_z

⃓

⃓ ≥ 1, eli P:n nollakohdilla |z| ≤ r. Toisaalta, nyt ehdosta a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an saadaan aj+1 ≥ aj jolloin _a^a_j+1^j = r ≤ 1, mikä pätee kaikilla j ∈ {1,2, ..., n−1}. Tällöin r≤1, jolloin saadaan väite.

Edellisestä todistuksesta voidaan päätellä, että vaikka saatu tulos on ylei- nen, saatu raja modulille ei ole tarkin mahdollinen yksittäisessä tapaukses- sa, sillä arvioimme r:ää ylöspäin. Seuraava tulos, jonka todistus on hyvin samankaltainen edellisen kanssa, antaa nollakohtien modulille sekä ylä- että alarajan polynomien kertoimen mukaan.

Seuraus 4.8. Olkoon P(z) = a_nzⁿ +...a₁z +a₀ reaaliarvoinen polynomi siten, että a_k > 0 kaikilla k ∈ 1,2, ..., n. Sitten kaikki P:n nollakohdat ovat annuluksessa A(0, r₁, r₂) :={z ∈C:r₁ ≤ |z| ≤r₂}, missä

r₁ := min

k∈0,1,...,n−1

{︃ a_k a_k+1

}︃

, r₂ := max

k∈0,1,...,n−1

{︃ a_k a_k+1

}︃

Todistus. Huomataan aluksi, että koska a₀ ̸= 0, niin yksikään nollakohta ei ole origossa. Näin ollen voimme tarkastella tilannetta |z| >0. Tarkastellaan ensin polynomia

zⁿP (︂r₁ z

)︂

=zⁿ[︁

a_nrⁿ₁z⁻ⁿ+a_n−1rⁿ⁻¹₁ z⁻ⁿ⁺¹+...+a₁r₁z⁻¹+a₀]︁

=a₀zⁿ+a₁r₁zⁿ⁻¹+...+an−1r₁ⁿ⁻¹z+a_n. Olkoon nyt a_i siten, että r₁ = _a^ai

i+1. Tästä seuraa a_k

ak+1

≥ a_i ai+1

,

josta kertomalla puolittain a_k+1:sellä saadaan, että a_k ≥a_k+1 a_i

a_i+1.

Tästä taas kertomalla puolittain (︂

ai

ai+1

)︂k

:lla saadaan, että

a_k (︃ a_i

a_i+1 )︃k

≥a_k+1 (︃ a_i

a_i+1 )︃k+1

.

Tämä tarkoittaa, ettäzⁿP (︁_r1

z

)︁toteuttaa Seurauksen 4.7 ehdot, jolloin saam- me, että P (︁_r1

z

)︁:n nollakohdille pätee _|z|^r1 ≤ 1. Tästä saadaan, että r₁ ≤ |z|, josta saamme väitteen alarajan.

Ylärajan tapaus todistetaan vastaavalla tavalla:

Tarkastellaan polynomia zⁿP

(︂r2

z )︂

=zⁿ[︁

a_nrⁿ₂z⁻ⁿ+an−1rⁿ⁻¹₂ z⁻ⁿ⁺¹+...+a₁r₂z⁻¹+a₀]︁

=a₀zⁿ+a₁r₂zⁿ⁻¹+...+an−1r₂ⁿ⁻¹z+a_n.

Olkoon nyt aj siten, että aj/aj+1 =r2. Nyt saamme aj:n määritelmästä a_k

a_k+1 ≤ a_j a_j+1,

jolloin kertomalla puolittain a_k+1:sellä ja (︂ _a

j

aj+1

)︂k

:lla saamme

a_k (︃ aj

a_j+1 )︃k

≤a_k+1 (︃ aj

a_j+1 )︃k+1

.

Nyt saamme, että zⁿP(r₂/z)toteuttaa Lauseen 4.6 ehdot, eli tämän polyno- min nollakohdat ovat kaikki yksikkökiekon ulkopuolella. Tästä seuraa, että

P:n nollakohdille pätee _|z^r2_i| ≥1, mistä seuraa että r₂ ≥ |z_i|, jolloin väite on

todistettu ylärajan tapauksessa.

Edellisistä tuloksista voidaan päätellä, että reaalisten polynomien kertoi- mien painottuessa asteeltaan suuriin termeihin, nollakohdat lähestyvät ori- goa. Jos taas kertoimet painottuvat asteeltaan pieniin termeihin, nollakoh- dat hajaantuvat origosta poispäin. Samoin, mitä pienempi kertoimien väli- nen vaihtelu on, sitä pienempään alueeseen nollakohdat voidaan rajata. Täs- tä äärimmäisenä esimerkkinä voidaan huomata, että mikäli a_j/a_j+1 on vakio, saamme, että nollakohdat sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on tämä vakio.

Tarkastellaan vielä kahta vastaesimerkkiä, jotka osoittavat, että rajoitus positiivisiin reaalilukuihin Lauseessa 4.6 ja Seurauksessa 4.7 on pakollinen:

Ensimmäisenä esimerkkinä on klassinen polynomiz²−z−1, jonka nollakoh- dat ovat

z₁ = 1 +√ 5

2 ≈1.618034, z₂ = 1−√ 5

2 ≈ −0.618034,

jolloin |z₁| > 1 ja |z₂| < 2. Vastaavasti polynomin z² +iz + 1 nollakohdat ovat

z₁ = 1 +√ 5

2 i≈1.618034i, z₂ = 1−√ 5

2 i≈ −0.618034i.

4.3 Gauss-Lucasin lause

Gauss-Lucasin lause on eräs tunnetuimpia polynomin ja sen derivaatan nol- lakohdat yhdistävistä tuloksista. Tulos liittää polynomin derivaatan nolla- kohdat alkuperäisen polynomin nollakohtien konveksiin verhoon.

Määritelmä 4.9. Joukko U ⊂ C on konveksi, mikäli kaikki joukon pis- teet voidaan yhdistää toiseensa janalla siten, että tämä jana sisältyy täysin joukkoon A. Joukon A∈ Ckonveksi verho on kaikkien joukon A sisältävien suljettujen konveksien joukkojen leikkaus.

On helppo huomata, että konveksien joukkojen leikkaus ja tämän myötä konveksi verho, on myöskin konveksi: Jos kaksi pistettä kuuluu konveksien joukkojen leikkaukseen, on niitä yhdistävä, janan kuuluttava myöskin jokai- seen konveksiin joukkoon, ja siten myös niiden leikkaukseen, ja näin ollen leikkaus on konveksi.

Gauss-Lucasin lauseen todistamiseksi tarvitaan vielä seuraavat lemmat.

Lemma 4.10. Olkoon A⊂C jokin joukko, U tämän joukon konveksi verho ja H kaikkien A:n sisältävien suljettujen puolitasojen leikkaus. Tällöin U = H

Kuva 1: Esimerkkejä konveksista verhosta. Konveksit verhot on muodostettu pisteiden värin mukaan.

Todistus. Osoitetaan ensin, että U ⊆ H. Olkoon z ∈ U mielivaltainen jou- kon U piste. Koska jokainen puolitaso on konveksi, on z:n kuuluttava myös- kin jokaiseen A:n sisältävään puolitasoon, ja täten sen on kuuluttava näiden leikkaukseen.

Osoitetaan seuraavaksi, ettäH ⊆U. Olkoonz /∈U. Osoitetaan, että tällöin z /∈H löytämällä suljettu puolitaso, joka sisältääU:n, mutta ei z:taa. Koska tämä puolitaso sisältää U:n, se sisältää myös A:n, jolloin se kuuluu H:n muodostaviin puolitasoihin.

Koska z /∈ U, voidaan löytää r ∈ R siten, että D(z, r)∩ U = ∅, sillä C\U on avoin. Olkoon nyt R := sup_r∈R{D(z, r)∩U = ∅}. Nyt saamme, että D(z, R)∩ U ̸= ∅, sillä muuten voitaisiin löytää isompi R. Itseasiassa voidaan nähdä, että tämä leikkaus on tasan yksi piste: Mikäli leikkaukses- sa olisi vähintään kaksi pistettä, saamme U:n konveksisuuden nojalla, että näiden kahden pisteen välillä olevien pisteiden olisi kuuluttava U:hun, jolloin ympyrän sisäpisteitä kuuluisi U:hun, mikä olisi ristiriita.

Olkoon nyt t := D(z, R)∩U. Piirretään tämän pisteen kautta tangentti- suora T ympyrälleD(z, R). Nytz /∈T, ja voidaan osoittaa, että z:n puolella T:tä ei ole yhtään U:n pistettä. Antiteesi: Oletetaan, että zo ∈U siten, että z₀ on samalla puolellaT:tä kuinz ja z₀ ∈/ T. Tällöin t:tä jaz₀:aa yhdistävän janan pitää kuulua U:hun. Koskaz₀ ∈/T, tämä jana ei voi olla tangentti, jol- loin tämän janan leikattava ympyräD(z, R)myös jossakin muussa pisteessä kuin t. Tällöin kuitenkin ympyrän D(z, R) sisäpisteitä kuuluisi U:hun, mi- kä on ristiriita. Näin ollen U:n pisteet on eripuolella T:tä kuin z tai T:ssä, jolloin saamme T:n rajaamasta U:n sisältävästä suljetusta puolitasosta ha- luamamme puolitason.

Tästä saamme, että jos z /∈U niinz /∈H. Näin ollen ei ole olemassa z ∈C siten, että z ∈ H, z /∈ U. Näin ollen jos jokin piste z kuuluu H:hon, se kuuluu myös U:hun, jolloinH ⊆U.

Koska U ⊆H ja H⊆U, seuraa että H =U.

Kuva 2: Esimerkki Lemman 4.10 todistuksen tilanteesta.

Lemma 4.11. Olkoon P polynomi, jonka nollakohdat ovat z₁, z₂, ..., z_n. Täl- löin

P^′(z) P(z) =

n

∑︂

j=0

1 z−z_j Todistus. Algebran peruslauseesta saamme, että

P(z) = c(z−z₁)(z−z₂)· · ·(z−z_n).

Merkitään p_i := (z−z_i). Nyt derivaataksi saadaan

P^′ = (cp₁p₂· · ·p_n)^′ =cp^′₁(p₂p₃· · ·p_n) +cp^′₂(p₁p₃p₄· · ·p_n) +...+cp^′_n(p₁p₂· · ·pn−2pn−1) Mutta p^′_i = 1 kaikillai∈ {1,2, ..., n}, jolloin saamme

P^′(z)

P(z) = cp^′₁(p₂p₃· · ·p_n) +cp^′₂(p₁p₃p₄· · ·p_n) +...+cp^′_n(p₁p₂· · ·pn−2pn−1) cp₁p₂· · ·p_n

= (p₂p₃· · ·p_n)

p₁p₂· · ·p_n + (p₁p₃p₄· · ·p_n)

p₁p₂· · ·p_n +...+ (p₁p₂· · ·pn−2pn−1) p₁p₂· · ·p_n

= 1 p₁ + 1

p₂ +...+ 1 p_n =

n

∑︂

j=0

1 z−z_j.

Vaihtoehtoinen todistus lemmalle saadaan suoraan logaritmisesta derivaa- tasta ja logaritmin tulosta. Käyttämällä taas merkintää pi := (z−zi) :

P^′

P = (log(cp₁p₂· · ·p_n))^′ = (log(c))^′+ (log(p₁))^′+ (log(p₂))^′+...+ (log(p_n))^′

=

n

∑︂

j=1

1 z−z_j.

Nyt voimme esittää ja todistaa Gauss-Lucasin lauseen.

Lause 4.12. Olkoon P jokin n:nen asteen polynomi, jonka nollakohdat ovat z₁, z₂, ..., z_n.TällöinP^′:n nollakohdat ovat kaikkiP:n nollakohtien konveksissa verhossa..

Todistus. Todistamme väitteen [4, s. 463-464] mallin mukaan. Osoitetaan ensin, että jokainen puolitaso, joka sisältää kaikki P:n nollakohdat, sisältää myöskin P^′:n nollakohdat.

Olkoon H jokin puolitaso, joka sisältää kaikki P:n nollakohdat. Jokaista puolitasoaH kohti on olemassa kompleksilukuc,|c|= 1 ja reaalilukursiten, että jokaiselle pisteelle z ∈H pätee:

Re(cz)≥r.

Tässäcon kompleksitason kierto siten, että puolitasoa rajaava suora on koh- tisuorassa reaaliakselin kanssa siten, että puolitasoon sisältyvä positiivinen reaaliakselin osa on rajoittamaton, jaron tämän suoran ja reaaliakselin leik- kauspiste. Näin ollen jokaiselle nollakohdalle pätee

Re(cz_m)≥r, m∈ {1,2, ..., n}

Olkoon nyt z /∈ H. Tällöin Re(cz) < r, koska muuten z kuuluisi H:hon.

Tästä ja siitä, että nollakohdat kuuluvat H:hon, seuraa

Re(c(z−z_m)) = Re(cz)−Re(cz_m)<0, m∈ {1,2, ..., n}.

Tästä saamme Re(c(z−z_m)) =Re

(︃

c|z−z_m|² z−z_m

)︃

=Re (︄

c|z−z_m|² z−z_m

)︄

=Re (︃

c|z−z_m|² z−z_m

)︃

, koska |z −z_m| ≥ 0. Koska kompleksikonjugointi tai kääntö eivät muuta reaaliosan merkkiä ja |z−z_m|on positiivinen reaaliluku, saamme

Re

(︃ c

z−zm

)︃

<0, m∈ {1,2, ..., n}