Laguerren lause

Käydään seuraavaksi läpi Laguerren lause seuraten [4, s. 465-468] mukais-ta päättelyä. Tulos on hyvin yksinkermukais-tainen mukais-tapa muodosmukais-taa ympyrä, jonka sisällä on polynomin nollakohta. Tätä tulosta varten meidän pitää ensin kui-tenkin laajentaa polynomin asteen määritelmää, jotta tulos pätisi kaikissa tapauksissa.

Määritelmä 4.19. Sanomme että polynomin P = a_nzⁿ +...+ a₁z +a₀ laajennettu aste on n, mikäli a_n= 0, jaa_j ̸= 0 jollakin j ∈ {0,1, ..., n−1}.

Mikäli polynomin laajennettu aste on n ja normaali aste on m, sanomme, että polynomilla on astettan−moleva nollakohta ∞:ssä. Normaalistin:nen asteen polynomilla on n asteinen napa äärettömyydessä [katso esimerkiksi [3, s. 139-140]], jolloin tämä ∞:ssä sijaitseva nollakohta kumoaa osan ∞:ssä sijaitsevista navoista. Tällä määritelmällä myöskin vakiofunktio voidaan tul-kita n:nen laajennetun asteen polynomiksi, jolla on n asteinen nollakohta

∞:ssä. Tällöin voimme ajatella, että funktio saa vakioarvon myöskin ääret-tömässä. Mikäli kuvaus on f ≡ 0, emme laske kuvausta enää polynomiksi, vaan sitä kutsutaan nolla-kuvaukseksi.

Tästä eteenpäin puhuttaessa ympyröistä tarkoitamme yleistettyjä ympy-röitä, kuten ne määriteltiin Lauseen 2.7 jälkeen. Olkoon nyt P n:nen laajen-netun asteen polynomi ja C jokin alue, jonka reuna on ympyrä (puolitaso tai ympyrän ulkopuoli, jos ∞ on nollakohta), siten, että C sisältää kaikki P:n nollakohdatz₁, ..., z_n. Olkoonc∈Bd(C). Kuvaust(z) := _z−c¹ :=s on Möbius kuvaus, ja t(c) =∞, jolloint(C)on puolitaso Lauseen 2.7 nojalla, sillät ku-vaa C:n reunan suoraksi. Merkitään t(C) := H. t(z):n käänteiskuvaukseksi saadaan t⁻¹(s) :=c+¹_s =z.

Muodostetaan nytr :=P◦t⁻¹ =P(c+¹_s).r on funktio, jonka nollakohdat ovat pisteissä t(z_i) := s_i, jotka kaikki sisältyvät puolitasoon H (myös mah-dollisesti piste∞, mikäli jokinP:n nollakohta onc).r(0)on napa, jonka aste on korkeintaann. Muodostetaan seuraavaksi funktioP₁(s) =sⁿr(s). Selvästi P₁ on n:nen laajennetun asteen polynomi, jonka nollakohdat ovat myöskin pisteissä s_i ∈ H, sillä r:n napa kumoaa origossa olevan nollakohdan. Nyt Gauss-Lucasin lauseen nojalla P₁^′:n nollakohdat ovat myöskin puolitasossa H. Näin ollen funktion r₁ := P₁^′ ◦t:n nollakohdat ovat C:ssä. r₁:sellä on pisteessä c napa, jonka aste on korkeintaan n −1, sillä polynomin P₁^′ aste on korkeintaan n −1, sillä P:n laajennettu aste on n. Tämän perusteella P₂(z) := (z−c)ⁿ⁻¹r₁(z) on polynomi, jonka laajennettu aste onn−1, jolla ei ole napoja ja jolla on samat nollakohdat kuin r₁:sellä, lisäksi mahdollises-ti joitakin nollakohmahdollises-tia pisteessä c. Näin ollen kaikki P₂:sen nollakohdat ovat C:ssä.

Nyt esittämällä nämä funktiot P:n avulla saamme P₁(s) = sⁿP(c+ 1

s), P₁^′(s) = sⁿ⁻¹ [︃

nP(c+1 s)−1

sP^′(c+ 1 s)

]︃

r₁(z) = (z−c)ⁿ⁻¹[nP(z)−(z−c)P^′(z)], P₂ =nP(z)−(z−c)P^′(z) Tästä saamme seuraavan määritelmän:

Määritelmä 4.20. Olkoon P n:nen laajennetun asteen polynomi. funktiota D_cP :=P₂ =nP(z)−(z−c)P^′(z)

kutsutaan polynomin P derivaataksi pisteen c suhteen. Mikäli c= ∞, mää-rittelemme D∞P =P^′(z).

Huomaa, että D_cP riippuu polynomille määritetystä asteesta. Määritelmä on mielekäs kaikillac:n arvoilla, ei pelkästäänP:n nollakohdat sisältävän ym-pyrän avulla määriteltynä. Edellä käyty päättely kuvaakin paremmin D_cP:n ominaisuuksia. Seuraava lause selittää näitä ominaisuuksia selkeämmin.

Lause 4.21. Olkoon P jokin polynomi, jolle pätee Deg(P)≥1 ja olkoon C jonkin ympyrän rajoittama suljettu kiekko tai puolitaso, joka sisältääP:n nol-lakohdat. Olkoonc∈C\C, eli jokoC:n reunalla tai sen ulkopuolella. Tällöin joko D_cP ≡ 0, tai D_cP:n nollakohdat ovat kaikki C:ssä. Tapaus D_cP ≡ 0 toteutuu vain, jos c∈Bd(C) ja P:n kaikki nollakohdat ovat pisteessä c. Todistus. Olkoon aluksi c ̸= ∞. Ensimmäinen väite: Aikaisemman päätte-lyn perusteella, mikäli conC:n reunalla, niinD_cP:n nollakohdat ovatC:ssä.

Toisaalta, mikäli c /∈C niin johtamalla funktiot t, t⁻¹, r, P₁, r₁ ja P₂ samalla tavalla kuin aiemmin, saamme, että tällä tavalla myöskinP₁:sen nollakohdat ovat t(C) := C₁:ssä. Nyt, koska c /∈ C on t:n ainoa napa, C₁ on rajoitet-tu kiekko, sillä t:n ainut napa on c /∈ C. Koska tämä ympyrä on konveksi, Gauss-Lucasin lauseen nojalla P₁^′:n nollakohdat ovat myöskin C₁:ssä. Nyt taas seuraamalla edeltävää päättelyä, saamme, että P₂:sen nollakohdat si-jaitsevat myöskin C:ssä.

Jälkimmäinen väite: MikäliP(z) = k(z−c)ⁿ, saadaan, ettäP^′(z) =kn(z− c)ⁿ⁻¹, jolloin D_cP =kn(z−c)ⁿ−kn(z−c)(z−c)ⁿ⁻¹ ≡0, jolloin väite pätee.

Olkoon nyt D_cP ≡ 0. Tällöin, koska D_CP = P₂ = (z−c)ⁿ⁻¹r₁(z), saamme ettär₁ =P₁^′◦t ≡0, josta puolestaan seuraa, ettäP₁^′ ≡0. Näin ollen saamme, että P₁ = sⁿr(s) ≡ k, jollekin k ∈ C. Tällöin r = ks⁻ⁿ = P(c+ ¹_s), mikä toteutuu vain jos P(c+ ¹_s) =k(c+ ¹_s −c)ⁿ =ks⁻ⁿ⇒P(z) =k(z−c)ⁿ.

Nyt mikäli c = ∞, ensimmäinen väite seuraa Gauss-Lucasin lauseesta ja toinen väite puolestaan on yhtenevä sen kanssa, että P ≡ k jollakin k ∈ C\ {0}, jolloin kaikki P:n nollakohdat ovat ∞.P ≡0ei ole vaihtoehto, sillä määritelmämme mukaan tämä funktio ei ole polynomi.

Seuraava esimerkki havainnollistaa laajennetun asteen merkitystä Lausees-sa 4.21:

Esimerkki 4.22. Tarkastellaan polynomiaP(z) = zⁿ+1. Nyt esim. Lauseen 4.8 perusteella näemme, että kaikkiP:n nollakohdat sijaitsevat yksikkökiekon reunalla. Nyt

D_cP =n(zⁿ+ 1)−(z−c)nzⁿ⁻¹ =cnzⁿ⁻¹+n.

Selvästi kaikki P:n nollakohdat sijaitsevat rajoittamattomassa kiekossa|z| ≥ 1. Nyt valitsemalla c= 0 saamme että D0P = n, jonka nollakohdat laajen-netun asteen n−1 mukaan ovat kaikki äärettömässä, joka kuuluu selvästi kiekkoon |z| ≥1

Nyt Lauseesta 4.21 seuraa helposti vastakkainen tulos:

Seuraus 4.23. Olkoon P polynomi, C jonkin ympyrän rajoittama suljettu alue, ja c∈Bd(C) siten, että D_cP ̸≡0ja D_cP:llä on yksi nollakohta C:ssä.

Tällöin P:llä on ainakin yksi nollakohta C:ssä.

Todistus. Antiteesi: Olkoon ensin C jokin kiekko. Oletetaan, että yksikään P:n nollakohdista ei ole C := D(a, r):ssä. Tällöin on olemassa ε > 0 siten, että yksikään P:n nollakohta ei ole myöskään kiekossaC_ε =D(a, r+ε):issa.

Tällöin muodostamalla joukko C₁ :=C\C_ε saadaan, että kaikki P:n nolla-kohdat ovat C₁:ssä, ja C∩C₁ =∅. KoskaD_cP ̸≡0ja c /∈C₁ pitäisi kaikkien D_CP:n nollakohtien olla C₁:ssä lauseen 4.21 nojalla. Tämä on kuitenkin ris-tiriita, sillä C∩C₁ =∅, ja D_cP:llä on ainakin yksi nollakohta C:ssä.

Tapaus jossa C on kiekon komplementti saadaan vastaavalla päättelyllä tarkastelemalla kiekonC_ε :=D(a, r−ε)komplementtia, ja seuraamalla muu-ten ensimmäisen osan päättelyä. Tapaus missäC on puolitaso saadaan muo-dostamalla vastaavalla tavalla puolitasoC_ε joka sisältää puolitasonC muttei P:n nollakohtia, ja toistamalla todistuksen alun päättely. Puolitason C_ε ole-massolo seuraa siitä, että C on suljettu jolloin sen komplementti on avoin.

Edellisen tuloksen nojalla polynomin jokin nollakohta voidaan löytääDCP:n avulla, mikäli D_cP:n nollakohdat on helposti laskettavissa.

Nyt voimme esittää ja todistaa Laguerren lauseen:

Lause 4.24. Olkoon P polynomi siten, että Deg(P) =n, ja olkoon z₀ piste siten, että P^′(z₀)̸= 0. Tällöin jokainen alue, jonka reuna on pisteiden z₀ ja z₀ −n_P^P′^(z(z⁰0⁾) kautta kulkeva ympyrä, sisältää yhden P:n nollakohdan.

Todistus. Etsitään jokin pistec:=c(z₀)siten, ettäD_cP(z₀) = 0. Huomataan ensin että

DcP(z0) =nP(z0)−(z0−c)P^′(z0) = 0, mistä saadaan

nP(z₀)−z₀P^′(z₀) +cP^′(z₀) = 0 josta ratkaisemalla csaadaan

c=z₀−nP(z₀) P^′(z0).

Valitsemalla tämä c ja muodostamalla sen avulla D_cP, z₀ on D_cP:n nol-lakohta. Näin ollen, jos jokin ympyrä kulkee näiden pisteiden kautta, jokin D_cP:n nollakohta on tämän ympyrän rajoittaman alueen sisäpuolella, jolloin Seurauksen 4.23 nojalla P:llä on ainakin yksi nollakohta tässä alueessa.

Käydään läpi muutama yksinkertaisen huomion näistä ympyröistä. En-sinnäkin pienin tällainen ympyrä on se, jonka halkaisija on pisteet z₀ ja z₀ −n_P^P′^(z(z⁰0⁾) yhdistävä jana. Lisäksi jokaisen näiden pisteiden kautta kulke-van ympyrän keskipiste sijaitsee näiden pisteiden välisen janan kohtisuoralla puolittajalla.

Esimerkki 4.25. Tarkastellaan polynomia P(z) = z⁷ + 28z⁵ −17. Tällöin Deq(P) = 7, jaP^′(z) = 7z⁶+ 140z⁴. NytP^′(1) = 147, P(1) = 12, jolloin

z₀−nP(z₀)

P^′(z₀) = 1−7 12 147 = 3

7

Tällöin Lauseen 4.24 mukaan P:llä on nollakohta pisteiden 1 ja ³₇ kautta kulkevien ympyröiden sisällä. Numeeristen metodien avulla voidaan selvittää, että tällä polynomilla on nollakohta pisteessä z ≈ 0.899874 [kts. esimerkki 5.4], joka sisältyy jokaiseen tämän pisteen kautta kulkevaan ympyrään. Pienin näistä ympyröistä on D(⁵₇,²₇).

Laguerren lause muotoillaan usein myös seuraavalla tavalla: Jokainen pis-teiden z₀ ja z₀ −n_P^P′^(z(z⁰0⁾) kulkeva ympyrä joko jakaa kaikki P:n nollakohdat tai sitten se kulkee niiden kaikkien kautta.

Laguerren lauseen voi todistaa myöskin toisella tavalla tarkastelemalla po-lynomin massakeskipistettä. Myöskin D_cP:n ominaisuudet liittyy tähän ai-heeseen keskeisesti. D_cP on P:n mukaan määritelty polynomi, jonka massa-keskipiste on pisteessä c. Tämä selittää osaltaan myöskin miksi D∞P mää-ritellään tavallisena derivaattana. Aiheesta löytyy lisää [7, s. 53-62].