I T T E E E S
SÄ
TA
PAHT UU
49
Matematiikan aineenopettajakoulutuksesta ja didaktisesta matematiikasta
Timo Tossavainen
Tragikoomisinta tutkimustuloksissa on, että niiden opettajien oppilailla (N=36), joilla ma- tematiikka oli korkeakoulututkinnossa sivuai- neena, oppimistulokset olivat selvästi surke- ammat kuin niiden luokanopettajien oppilailla (N=557), joilla matematiikka oli erikoistumisai- ne (Niemi 2001, 89-91). Onneksi ensin mainittu oppilasryhmä on sen verran pieni, ettei sen pe- rusteella voi vielä tehdä kovin sitovia tilastolli- sia johtopäätöksiä. Silti tämän tutkimuksen va- lossa näyttää siltä, etteivät matematiikan oppi- mistulokset välttämättä ainakaan huononisi, jos matematiikan laitoksilta kiellettäisiin kokonaan osallistuminen opettajankoulutukseen perus- koulun osalta.
Matematiikan ja sen perinteisen didaktiikan opetuksen puutteista
Artikkelissamme totesimme, että sanaparia di- daktinen matematiikka on ryhdytty käyttämään useammankin yliopiston matematiikan kurssi- en tai opintokokonaisuuksien ja jopa tutkimuk- sen kehittämisalueiden nimissä [4]. Siitä puhu- minen tuntuu kuitenkin herättävän myös vas- tustusta, kuten esimerkiksi Olli Martion kirjoi- tuksesta kävi ilmi. Tällainen kritiikki pitää kui- tenkin kohdistaa kaikkiin niihin, jotka ovat tuo- neet tämän käsitteen yleiseen kielenkäyttöön, eikä erityisesti niihin, jotka pohdiskelevat, mitä sillä mahdollisesti tarkoitetaan.
Kaiken edellä sanotun perusteella lienee il- meistä, että matematiikan aineenopettaja- koulutukseen tarvitaan uusia näkökulmia.
Artikkelimme pyrki etsimään niitä pohtimal- la, löytyisikö käsitteelle didaktinen matema- tiikka mielekäs sisältö suunnasta, joka lähen- täisi varsinaisen matematiikan ja oppimisen ja opettamisen asiantuntijoita toisiinsa. Tämä voi- si mielestämme luontevimmin tapahtua siten, että matematiikkaa tarkasteltaisiin sen kielias- pektia korostaen.
Matematiikka on kieli, jonka kehittyneen käytön erityispiirteenä on symbolien ja erikois- Professori Olli Martio kirjoitti varsin provosoi-
vasti didaktisesta matematiikasta Tieteessä ta- pahtuu -lehdessä 2/2004. Didaktisen matematii- kan käyttöönotolle löytyy kuitenkin paljon pe- rusteita. Artikkeliamme (Tossavainen – Sorva- li, Tieteessä tapahtuu 1/2004) ei ollut missään nimessä laadittu laskutaidon opettamisen vas- tustamiseksi!
Matematiikan aineenopettajakoulutuksesta pu- huttaessa on syytä muistaa, että kyse on itse asi- assa sekä peruskoulun että lukion ja muiden keskiasteen oppilaitosten matematiikanopetta- jien kouluttamisesta. Usein matematiikan ai- neenopettajakoulutusta tarkastellaan silti pel- kästään lukion tarpeiden ja ongelmien näkökul- masta. Opetustuntien määrällä mitattuna perus- koulussa annettavasta matematiikan opetuksesta muodostuu kuitenkin suurin osan lähes jokaisen kansalaisen matemaattisesta sivistyksestä.
Miten sitten opettajankoulutus on onnistu- nut peruskoulun matematiikan tarpeiden kan- nalta? Ainakaan koululaisten oppimistulosten valossa tulokset eivät näytä tyydyttävän edes opettajankoulutukseen osallistuvien matema- tiikan laitosten edustajiakaan (ks. viitteet 1-3).
Asia paljastuu ainelaitosten kannalta vielä kiu- sallisemmaksi, kun tarkastellaan, kuinka opet- tajien koulutustaso on yhteydessä oppilaiden menestymisen kanssa.
Opetushallitus arvioi vuoden 2000 maalis- kuun lopussa kuudennen vuosiluokan mate- matiikan oppimistuloksia ja oppilaiden asentei- ta matematiikkaa kohtaan. Arviointiin valittiin 289 koulua ja yli 4000 oppilasta. Tutkimuksessa pyrittiin ottamaan huomioon kaikki mahdolliset tekijät kielestä (suomi/ruotsi) koulujen kokoon.
Parhaat oppimistulokset matematiikassa oli niil- lä oppilailla, joiden opettajana toimi seminaaris- ta valmistunut kansakoulunopettaja. Tämä oppi- lasryhmä menestyi kiistattomasti ja merkittäväs- ti paremmin kuin esim. ne oppilaat, joiden opet- tajana toimi yliopistossa matematiikkaan vähin- tään approbaturin verran erikoistunut luokan- opettaja tai matematiikan aineenopettaja.
T I ET EE
S S
ÄTA
P H A U T U
50
merkkien runsaus. Matematiikan tuloksellisen oppimisen edellytyksenä on, että opetuksessa käytetään matemaattista kieltä virheettömästi.
Tätä kieltä voidaan, kuten muitakin kieliä, käyt- tää monella eri tavalla ja tasolla. Erityisesti pe- ruskoulun matematiikanopettajien koulutuk- sessa matematiikan kieliaspektia tulisi pitää jat- kuvasti esillä, sillä peruskoulussa annettavaan opetukseen osallistutaan kielen- ja ajattelunke- hittymisen kannalta kriittisessä iässä.
Didaktisesta matematiikasta puhumista näyttäisi puolustavan se, että perinteisessä ma- tematiikan ja sen didaktiikan opetuksessa ma- tematiikan kieliaspektiin ei ole kiinnitetty tar- peeksi huomiota. Didaktiikassa matematiik- kaa tarkastellaan nimittäin useimmiten staatti- sena, valmiiksi annettuna objektina, johon kie- len avulla vain viitataan. Toisaalta monilla ma- tematiikan laitoksilla on edelleen nähty tarkoi- tuksenmukaiseksi pakottaa myös opettajalin- jan opiskelijat esim. differentiaaliyhtälöiden ja monen muuttujan analyysin teorian kursseille, vaikka varsin suurella osalla opiskelijoista ana- lyysin peruskäsitteiden hallinta on sentasoista, että esimerkiksi funktiota f: Z!R, f(x)=x2, saa- tetaan väittää ei-jatkuvaksi mutta silti derivoi- tuvaksi [5]. On toki olemassa ymmärrettäviäkin syitä toimia näin, mutta kieliaspektista tarkas- teltuna tällainen toiminta on mainitun opiske- lijajoukon kannalta lähinnä piinaamista ja ope- tuksen järjestäjän kannalta itsepetosta.
Toinen peruste didaktisen matematiikan käyttöönotolle on se, että suomalaisessa didak- tisessa tutkimuksessa on tähän mennessä käsi- telty hyvin vähän varsinaisen matematiikan op- pimisen ja opettamisen ongelmia. Perinteisessä matematiikan didaktiikassa on toisin sanoen keskitytty lähinnä koulumatematiikan opetuk- sen problematiikkaan (Malinen & Kupari 2003).
Matematiikka yliopistollisena oppiaineena ja koulun oppiaineena ovat varsin eri asioita [6].
Toisaalta varsinaisen matematiikan tieteellises- sä tutkimuksessa matematiikan oppimisen ky- symyksiin on luonnollisista syistä kiinnitetty hyvin vähän jos yhtään huomiota. Näin ollen matematiikan ja didaktiikan välimaastoon on jäänyt toistaiseksi vähän tutkittu alue.
Millaista toimintaa voisi sitten kuulua di- daktisen matematiikan tutkimuksen piiriin?
Artikkelissamme tätä asiaa jo hahmoteltiin ylei- sellä tasolla. Didaktisessa matematiikassa ko- rostuu siis, jopa mekaanisen laskutaidon kus- tannuksella, käsitteellinen ja kielellinen mate- matiikan osaaminen. Sen tutkimuksen ensim- mäisiin tehtäviin kuuluu nämä näkökulmat
huomioonottavien matemaattisen osaamisen mittausvälineiden kehittäminen. Tällaisen ke- hittämisen lähtökohtana on selvittää, missä eri muodoissa varsinaista matematiikkaa ja mate- maattista ajattelua ylipäätänsä voidaan esittää.
Edelleen on tutkittava, millä eri tavoilla ope- tettavasta matematiikasta ja oppijoiden mate- maattisista tietorakenteista voidaan laatia mah- dollisimman täydellisiä ja yhteensopivia malle- ja, joiden avulla voidaan suorittaa todellisen ja pitkäkestoisen oppimisen määrällisiä ja laadul- lisia mittauksia. Tähän liittyy läheisesti mm. äi- dinkielen, taito- ja taideaineiden oppimisen ke- hittymisen tutkimuksen seuraaminen.
Tämän jälkeen – ja kenties rinnalla – didak- tisessa matematiikassa voidaan kriittisesti tar- kastella koulumatematiikan sisältöjä eri luok- ka-asteilla sekä laskinten ja muiden apuvälinei- den roolia ja merkitystä matematiikan opetuk- sessa. Lienee itsestään selvää, että kaiken kaik- kiaan tällainen toiminta edellyttää aidosti aina- kin sekä varsinaisen matematiikan että kasva- tustieteen asiantuntemusta.
Todellinen laskutaito ja kouluopetus
Martio toteaa kirjoituksessaan, että Suomessa käydään vähän kriittistä keskustelua kouluis- sa opetettavasta matematiikasta, oppimääris- tä ja oppikirjoista. On ilahduttavaa nähdä, että matematiikan osaamiseen ja opettamiseen liitty- vät asiat kuitenkin kiinnostavat myös muita kuin ammatikseen matematiikan opettamisen kanssa työskenteleviä [7].
Todellinen laskutaito ja numeroiden luku- taito ovat edelleen tarpeellisia kansalaistaitoja.
Tällainen laskutaito on sellaista ajattelua ja tie- toista toimintaa, joka oleellisesti eroaa sellaises- ta mekaanisesta laskemisesta, jossa laskut suo- ritetaan orjallisen uskollisesti annetussa järjes- tyksessä annettuja laskualgoritmeja käyttäen.
Siihen ilman muuta kuuluu kyky tarkastella suoritettavien laskujen järjestyksen optimaali- suutta ja tarvittaessa muokata esimerkiksi las- kettavia lukuja niin, että laskut voidaan suo- rittaa tehokkaasti laskinta käyttäen tai käsin.
Lisäksi todellisesti laskutaitoinen ihminen ky- kenee esimerkiksi arvioimaan jo ennen varsi- naisten laskujen suorittamista niiden lopputu- loksen suuruusluokan.
Tällainen laskeminen edellyttää toki jonkin- laista – mutta ei välttämättä erityisen tehok- kaaksi hiottua – kykyä suorittaa yksinkertaisia yhteen- ja kertolaskuja päässä. Miten todellinen
I T T E E E S
SÄ
TA
PAHT UU
51
laskutaito saavutetaan, on kaikille matematii- kanopettajille edelleen ainakin osittain mysteeri siinä mielessä, ettei sitä millään koulutustasolla ole toistaiseksi kyetty juurruttamaan välttämät- tä edes suurimpaan osaan opetettavista.
Artikkeliamme ei missään nimessä laadittu todellisen laskutaidon opettamisen vastustami- seksi. Päinvastoin matematiikan aineenopetta- jakoulutuksessa on mielestämme ponnisteltava lujasti sen eteen, että todellisuus kouluissa oli- si sellainen, että matematiikan tunneilla edistet- täisiin todellisen laskutaidon kehittymistä mo- nipuolisesti. Laajan TIMMS-selvityksen perus- teella suomalaiset peruskoululaiset pärjäsivät kohtuullisesti lähinnä mekaanista laskemis- ta edellyttävissä tehtävissä, mutta esimerkik- si heidän ns. käsitteellinen osaamisensa algeb- rassa oli OECD -maiden keskitason alapuolella [8]. Muun muassa tämän perusteella vaikuttaa siltä, että kouluopetuksessa käytetään vieläkin mekaanisen laskemisen harjoitteluun suhteelli- sesti liian paljon resursseja.
VIITTEET
[1] Näätänen, Marjatta (2001): ”Mitä TIMSS-tutkimus kertookaan suomalaisten koululaisten matematii- kan taidoista ja matematiikan opetuksesta?” Sol- mu 6 (1), 12-17.
[2] Martio, Olli – Lindqvist, Peter (2001): ”Osataanko matematiikkaa?” Solmu 6 (3), 28-30.
[3] Huovinen, Alli (2004): ”Opiskelijoiden matematii- kan taso laskenut”. Haastattelu sanomalehti Ka- levassa 19.1.2004.
[4] http://www.jyu.fi /mtdk/Matleh01.html ja http:/
/www.jyu.fi /mtdk/Matass94.html
[5] Virtanen, A. (1994): Matematiikan opetusharjoittelijoi- den taidot lukion differentiaalilaskennassa. Pro gra- du –tutkielma, Helsingin yliopisto. Matematii- kan laitos.
[6] Tieteellistä matematiikkaa voidaan melko hyvin luonnehtia sanoilla aksiomaattinen, loogis-deduk- tiivinen ja abstrakti; ja koulumatematiikkaa sa- noilla kokeellis-havainnollinen, reaalinen ja hyö- dyllinen. Jo esimerkki paljastaa, kuinka nämä ma- tematiikat eroavat toisistaan. Funktion jatkuvuus määritellään varsinaisessa matematiikassa funkti-
on lähtö- ja maaliavaruuksien avoimien joukkojen avulla, koulumatematiikassa jatkuvuuden määri- telmä nojautuu siihen havainnolliseen seikkaan, että jatkuva funktio kuvaa lukusuoran yhtenäisen joukon lukusuoran yhtenäiseksi joukoksi. Koulu- matematiikassa käytetty havainnollinen määritel- mä on mielekäs vain varsin rajoitetun funktiojou- kon yhteydessä, ja se antaa jopa väärän käsityk- sen jatkuvuudesta sellaisten funktioiden tapauk- sessa, jossa funktion määrittelyjoukkona on epä- yhtenäinen joukko.
[7] Seppälä, Matti (2004): ”Laskutaito ja numeroiden lukutaito edelleen tarpeen.” Tieteessä tapahtuu 1/
2004, 54-55.
[8] Kupari, Pekka & Reinikainen, Pasi (2001): ”Mate- matiikan osaaminen TIMSS-tutkimuksen perus- teella.” Dimensio 65 (3), 5-8.
KIRJALLISUUTTA
Kupari, Pekka – Reinikainen, Pasi – Nevanpää, Tiina – Törnroos, Jukka (2001): Miten matematiikkaa ja luon- nontieteitä osataan suomalaisessa peruskoulussa? Kol- mas kansainvälinen matematiikka- ja luonnontiedetut- kimus TIMMS 1999 Suomessa. Jyväskylän yliopisto.
Koulutuksen tutkimuslaitos.
Malinen, Paavo – Kupari, Pekka (2003): Miten kognitiivi- sista prosesseista kehiteltiin kontruktivismia - Katsaus Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimusseuran toimintaan 1983-2003. Koulutuksen tut-
kimuslaitos. Jyväskylä.
Martio, Olli (2004): ”Didaktista matematiikkaa?” Tie- teessä tapahtuu 2/2004, 42-45.
Niemi, Eero. K. (2001): Perusopetuksen matematiikan op- pimistulosten kansallinen arviointi 6. vuosiluokalla vuonna 2000. Opetushallitus. Helsinki.
Tossavainen, Timo – Sorvali, Tuomas (2003): ”Koulu- matematiikka, matematiikka ja didaktinen mate- matiikka”. Tieteessä tapahtuu 8/2003, 30-34.
Kirjoittaja on fi losofi an tohtori ja toimii matematiikan lehtorina Joensuun yliopiston Savonlinnan opettajan- koulutuslaitoksessa.
