i
Pro gradu -tutkielma Toukokuu 2017
Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto
Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen tukeminen alkuopetuksessa
monilukutaitoa edistävillä työtavoilla
Janika Kinnunen
ii
Janika Kinnunen Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen tukeminen alkuopetuksessa monilukutaitoa edistävillä työtavoilla, 79 sivua
Itä-Suomen yliopisto
Matematiikan aineenopettajan ja luokanopettajan koulutusohjelma
Matematiikan aineenopettajakoulutus
Työn ohjaajat Yliopistonlehtori Antti Viholainen Apulaisprofessori Sari Havu-Nuutinen
iii
Tiivistelmä
Tämä tutkimus keskittyy monilukutaitoa edistävän opetuksen tutkimiseen. Tutkimus tarkkailee, kuinka monilukutaitoa edistävä opetus tukee matemaattisen monilukutaidon, matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehittymistä. Monilukutaidon kehittymisen tukemista tarkkaillaan opetuksen sisältämän matematiikan kielen osa- alueiden tukemisen näkökulmasta. Matemaattiseen ajatteluun ja matemaattisiin taitoihin keskitytään tarkemmin matemaattisen käsitteenmuodostusprosessin tukemisen sekä laskustrategioiden tukemisen tarkkailun avulla.
Tutkimus on toteutettu kvantitatiivisena opetusinterventiotutkimuksena, jossa monilukutaitoa edistävä opetusinterventiojakso tapahtui eräässä 2. luokassa.
Tutkimuskohteena olivat käytetyt opetusmenetelmät, tehdyt harjoitteet sekä opettajan antama ohjaus ja tuki. Aineisto kerättiin videoaineistona ja sen sisällönanalyysi toteutettiin teoriaohjaavan analyysin avulla.
Keskeisimmät tulokset osoittavat, että monilukutaidollisesti rikas opetus tuki monilukutaidon, matemaattisen ajattelun sekä matemaattisten taitojen kehitystä.
Opetuksessa ei kuitenkaan tuettu lainkaan käsitteenmuodostusprosessin viimeistä vaihetta eli lujittamisen vaihetta. Opetus ei myöskään edistänyt erityisen tehokkaasti liikkeeseen pohjautuvaa matematiikan kielen osa-aluetta eli taktiilisen toiminnan kieltä, mutta osoitti symbolikielen osa-alueen olevan hyvin vallitsevana osana opetusta.
Tämä tutkimus antaa vahvaa näyttöä jatkotutkimusten tarpeellisuudesta. Tutkimusten tulisi kohdistua sekä tutkimuksellisista että opetuksellisista näkökulmista monilukutaitoa edistävään opetukseen, sen merkityksellisyyteen sekä sen mahdollisuuksiin.
iv
Abstract
This research focuses to study teaching that promotes multiliteracy. The research observes how teaching, that emphasizes multiliteracy, supports the development of mathematical multiliteracy, mathematical thinking and mathematical skills. The research of the multiliteracy is concentrating on how teaching supports the subcategories of mathematics languages. Another part of the study, which is researching the mathematical thinking and mathematical skills focus on that how teaching supports mathematical conceptualization process and calculation strategies.
The study is a quantitative intervention study. Intervention were made to children of 8 years old. The research was directed to teaching methods, exercises, teacher guidance and support that teacher gave to students. The teaching was recorded with video cameras. The frame of reference gave directions to analysis.
The most important results show that teaching supported the development of multiliteracy, mathematical thinking and mathematical skills. However, the teaching did not support the last part of conceptualization process. In addition, the teaching did not particularly promote the mathematical language that is based on action. Instead symbolic language was prevalent part of teaching.
This study provides a strong indication for the need of further studies in the matter.
Studies should focus from the researching and educational aspects on how teaching promotes multiliteracy.
v
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Pienten lasten matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehityksen
tukeminen 4
2.1 Matemaattisen tiedon luonne ja lapsen matemaattisen tietoisuuden edistäminen 4
2.2 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys koulun alkaessa 8
2.3 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys sekä niiden tukeminen
ensimmäisen ja toisen luokan aikana 11
3 Monilukutaidon edistäminen matematiikassa 16
3.1 Matemaattinen lukutaito osana monilukutaidon tukemista 17
3.1.1 Matematiikan kieli 17
3.1.2 Kielentäminen 19
3.2 Monilukutaito tarinallistavan matematiikan näkökulmasta 20
3.2.1 Tarinallistava matematiikka 21
3.2.2 Matemaattisen monilukutaidon edistäminen matikkatarinoiden avulla 23
4 Tutkimuksen toteutus 25
4.1 Tutkimustehtävä ja –kysymykset 25
4.2 Tutkimuksen toteutus 26
4.3 Aineiston analyysimenetelmät 28
4.3.1 Matemaattisten käsitteiden opettamisen analysointi 28
vi
4.3.2 Matemaattisten laskustrategioiden opettamisen analysointi 34
4.3.3 Matemaattisen monilukutaidon analysointi 39
5 Tulokset 41
5.1 Matemaattisten käsitteiden oppimisen tukeminen 42
5.2 Laskustrategioiden oppimisen tukeminen 44
5.3 Monilukutaidon kehityksen tukeminen 48
6 Pohdinta 52
6.1 Tulosten tarkastelu 53
6.2 Johtopäätökset ja jatkotutkimusaiheet 59
6.3 Tutkimuksen luotettavuus 67
Viitteet 70
Liitteet
1
Luku I 1 Johdanto
Matematiikka on puhumisen, lukemisen ja kirjoittamisen ohella ensimmäisiä taitoja, joiden oppimiseen lasta kannustetaan ja jonka oppimista lapsi itsekin tavoittelee.
Matematiikan oppiminen alkaa omaehtoisena tai vanhempien tukemana toimintana varhaislapsuudesta ja oppimista tuetaan päiväkodissa ja esikoulussa. (Aunio, Hannula &
Räsänen, 2004) Viimeistään koulumaailmaan astuessaan lapsi alkaa opetella matematiikan tieteenalaa aktiivisesti. Opiskelu jatkuu ja syventyy seuraavan yhdeksän vuoden aikana, kun lapsi suorittaa peruskoulua ja oppivelvollisuuttaan. Harvoin matematiikan harjoittaminen jää tähän, sillä jatkokoulutuksessa ammattialasta riippumatta matematiikka kulkee tiiviisti rinnalla. Matematiikkaa on kaikkialla ja yksilö tarvitsee laajoja matemaattisia taitoja yhteiskunnassamme elämiseen.
Usein matematiikan oppiminen koetaan kuitenkin haastavaksi (Tikkanen, 2008).
Matematiikan erityisopetuksen määrä ja lasten vaikeudet oppia matematiikkaa kasvavat (Aunio, 2008). Matematiikan tiedon luonne on hyvin abstraktia eikä se ole konkreettisesti läsnä nähtävissä tai kosketettavissa meidän ympäristössämme, kuten esimerkiksi monet biologiaan liittyvät ilmiöt ovat. Tämä tekee oppimisesta haasteellista ennen kaikkea pienelle lapselle, joka tarvitsee ympärilleen konkretiaa oppiakseen (Tikkanen, 2008). Abstraktit asiat, joita lapsen on haasteellista ymmärtää, saattavat viedä helposti myös innon oppimiseen (Aunio, 2008). Kuitenkin pieni lapsi on hyvin
2
motivoitunut opiskelemaan ja hänellä on luontainen tarve oppia uutta (Aunio, Hannula
& Räsänen, 2004). Näiden tekijöiden vuoksi matematiikan oppimisen tukemiseen tulisi kiinnittää huomiota juuri koulun aloitusvaiheessa, jolloin lapsi puhkuu intoa oppia uutta.
Matematiikan opetuksessa olisi tärkeä huomioida oppijan ikä- ja kehitystaso ja antaa oppijalle mahdollisuuksia käsitellä uusia asioita omaa kehitystasoaan vastaavalla tasolla (Opetushallitus, 2014b). Alkuopetuksessa tämä tarkoittaa tutkimista, kokeilua, toiminnallisuutta, tekemisen kautta oppimista, konkreettisuutta, havainnollistavia esimerkkejä ja esineitä, liikettä, leikkiä ja mielikuvitusta hyödyntävää toimintaa, jotka mahdollistavat lapselle ilon ja onnistumisen kokemusten sävyttämää oppimista (Tikkanen, 2008).
Vaikka matematiikka on hyvin abstraktia, voidaan matematiikkaa ja matemaattisia ilmiöitä tarkastella kuitenkin monella tavalla. Matematiikasta voidaan puhua ja siitä voidaan kirjoittaa. Piirtäminen on yksi keino ilmaista matematiikkaa ja sitä voidaan kuvata vain yksistään sille kehitetyn ja ainutlaatuisen symbolisen merkkijärjestelmän avulla. Matematiikka muodostaa oman kielensä, jota voidaan ilmaista usealla eri tavalla.
Matemaattinen monilukutaito on taitoa ymmärtää, lukea, ilmaista, tuottaa ja viestittää matematiikkaa eri keinoin ja eri aistein kautta kerätyn tiedon avulla. Matemaattisen monilukutaidon harjoittamisen kautta alkukasvatuksen matematiikan opetuksessa päästään mahdollisesti lähemmäksi syvällisen, monipuolisen, laajan ja tiiviisti sidoksissa olevan matemaattisen tiedon ja matemaattisten käsitteiden verkon rakentumista, mikä olisi erityisen arvokas pohja lapsen matemaattiselle kehitykselle tulevaisuudessa. (Joutsenlahti & Kulju, 2010; Schiro, 2004; Tikkanen, 2008.)
Tutkimuksessani halusin selvittää, millä tavoin alkukasvatuksen toisen luokan matemaattista monilukutaitoa korostava opetus huomioi matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kokonaisvaltaisen ja syvällisen kehittämisen mahdollisuudet.
3
Perehdyin opetukseen, jolla tavoiteltiin matemaattisen monilukutaiton harjoittamista ja kehittämistä. Tutkin, sisälsikö opetus todella matemaattista monilukutaitoa kehittäviä osatekijöitä ja millaisin sisällöllisin keinoin monilukutaidon kehittämiseen pyrittiin.
Tarkkailin opetuksen sisältöä myös matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen tukemisen näkökulmasta. Tutkin, että kuinka opetuksessa huomioitiin matemaattisten käsitteiden ja matemaattisten laskustrategioiden kehittymisen tukeminen.
Tämä tutkimus on osa laajempaa monilukutaitoa edistävän opetuksen kehittämisprojektia, jota toteutetaan itäsuomalaisessa koululuokassa lukuvuoden 2016- 2017 aikana. Oppilaat ovat harjoitelleet erilasia monilukutaitoa edistäviä taitoja koko lukuvuoden ajan eri oppiaineiden yhteydessä. Tutkimukseni tarkastelee yhtä osaprojektia, jossa monilukutaitoja ja sen kehittymistä edistettiin matematiikan opiskelussa.
4
Luku II 2 Pienten lasten matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehityksen tukeminen
Tarkastelen tässä luvussa alkukasvatusikäisten lasten matemaattista osaamista ja sen kehittymisen tukemista. Lähden liikkeelle matemaattisen tiedon luonteesta ja sen käsitteellisestä rakentumisesta. Esittelen lapsen matemaattisen tiedon kehittymistä ja sen tukemista sekä matemaattisia taitoja, joita lapsen tulisi hallita koulun alkaessa.
Tarkemmin keskityn koulua aloittavan lapsen ja alkukasvatusikäisen oppilaan matemaattiseen kehitykseen ja sen tukemiseen erilaisia taitojen kehittymisen malleja mukaillen. Alkukasvatusikäisten lasten matemaattisessa ajattelussa ja matemaattisten taitojen kehittymisessä etenen tutkimusryhmäni opetusintervention sisältöihin eli kertotauluihin saakka.
2.1 Matemaattisen tiedon luonne ja lapsen matemaattisen tietoisuuden edistäminen
Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys alkaa jo varhaislapsuudessa.
Matemaattiset taidot kehittyvät hiljalleen ja tasaisesti lapsen kehityksen myötä.
Oppiminen etenee loogisesti ja aiemmin opitut matemaattiset taidot ovat edellytys seuraavan tason taitojen oppimiselle. (Hannula & Lepola, 2006; Paukkeri, Pakarinen,
5
Lerkkanen & Poikkeus, 2015.) Aikuisella, vanhemmilla ja opettajalla on suuri rooli ja merkitys taitojen kehittymisen tukijoina ja oppimisen edistäjinä (Aunio, 2008).
Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen opettamisen ja oppimisen taustalla on useita matemaattisen tiedon luonteeseen liittyviä käsitteitä, joita avaan seuraavaksi.
Jo vuosikymmenien ajan uuden tiedon on nähty yhdistyvän vanhoihin käsityksiin, skeemoihin ja tietorakenteisiin. Oppimisprosessissa lapsi nähdään konstruoivan eli rakentavan, korjaavan ja muokkaavan tietoa yhteneväksi kokonaisuudeksi aiempien tietorakenteidensa avulla. Tähän konstruointi- ja assimilointiprosessiin vaikuttaa aina lasta ympäröivä fyysinen, sosiaalinen ja kulttuurillinen toimintaympäristö. Tämän vuoksi lapselle tulisi tarjota varhaislapsuudesta lähtien mahdollisimman monipuolisia, vaihtelevia, opetuksellisia ja tutkimaan houkuttelevia ympäristöjä, joissa toimintaa, kiinnostusta ja oppimista olisi mahdollista syntyä (Hyvönen & Juujärvi, 2005). Uuden jäsentyneen tiedon ja ympäristön tekijöiden vuorovaikutuksessa tapahtuu akkommodaatiota. Toisin sanoen, kun lapsi peilaa vanhan tiedon avulla jäsentynyttä uutta tietoa ympäristöönsä, muuttaa ja rakentaa sekin prosessi hänen tiedollisia skeemoja ja tiedon kognitiivisia rakenteita. Lapsi siis muodostaa jatkuvasti kaikissa ympäristöissä ja kaikkien tekijöiden vaikutuksen alaisena omaa kognitiivista kokonaisuuttaan. Tässä kokonaisuudessa käsitteet täydentyvät ja rakentuvat uudelleen uusien tietojen ja kognitiivisten prosessien seurauksena. Lapselle kehittyy jatkuvasti laajeneva yhtenäinen kognitiivinen kartta häntä ympäröivästä todellisuudesta.
(Haapasalo, 2012; Leino, 2004.) Näin ollen opettajan tehtävänä on tarjota oppilaille monipuolisia ja jatkuvasti laajentuvia oppimisympäristöjä, jotka antavat lapsille elämyksiä, kokemuksia, uutta syventävää tietoa sekä oppimisen ja onnistumisen hetkiä.
Hyvässä oppimisympäristössä toteutuvat toiminnallisuus, kehollisuus, yhteisöllisyys, vuorovaikutteisuus, luovuus, oivaltavuus ja narratiivisuus. Oppimisympäristö siis tarjoaa toiminnallisessa ja yhteisöllisessä toiminnassa mahdollisuuksia lasten aloitteellisuudelle, ihmettelylle, havainnoille, johtopäätöksille ja uuden keksimiselle.
(Hyvönen & Juujärvi, 2005.)
6
Matematiikan tehokkaan ja syvällisen opettamisen sekä opetuksen suunnittelun ja toteutuksen kannalta on erityisen tärkeää, että opettaja ymmärtää matematiikan opettamiseen vaadittavaa tietoa. Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) - opettajantiedon malli erittelee opettajantietoa yksityiskohtaisemmin. Matemaattinen opettajatieto sisältää matemaattista sisältötietoa, joka on aineenhallinnallista tietoa.
Matemaattista sisältötietoa opettaja tarvitsee matematiikkaa opettaakseen. Se koostuu yleisestä matemaattisesta tiedosta, matematiikan rakenteellisesta tiedosta sekä matemaattisesta eritystiedosta. Yleinen matemaattinen tieto on teoreettista matemaattista tietotaitoa, jota opettajan tulee hallita. Opettajan tulee osata matematiikkaa, matemaattisia aiheita, matematiikan laskemista, määritelmiä, käsitteitä ja tuloksia. Hänen tulee tunnistaa ja korjata virheelliset ratkaisut sekä tuottaa oikeat ratkaisut. Matematiikan rakenteellinen tieto on ymmärrystä matemaattisten rakenteiden ja käsitteiden toisiinsa linkittymisestä sekä kokonaisuuksien rakentumisesta.
Matemaattinen erityistieto on taas ymmärrystä siitä, että millaista matemaattista tietoa lapsi tarvitsee oppiakseen uutta. Opettajan tulee ymmärtää mitä matemaattisia operaatioita lasten kanssa voidaan käydä, mitä aiempaa tietoa operaatiot edellyttävät ja kuinka ne kannattaa esittää. (Koponen, Asikainen, Viholainen, Hirvonen, 2014.)
Matemaattinen opettajatieto käsittää matemaattisen sisältötiedon lisäksi myös pedagogisen sisältötiedon. Se on oppimiseen liittyvää tietoa, joka on ehdotonta optimaalisen, täsmällisen ja tehokkaan opettamisen kannalta. Pedagoginen sisältötieto rakentuu oppimista koskevasta tiedosta, opettamista koskevasta tiedosta sekä opetussuunnitelmia ja -materiaaleja koskevasta tiedosta. Oppimista koskeva tieto on opettajan hallitsemaa oppimisteoreettista tietoa. Se käsittää oppilaiden oppimiseen ja oppimisvaikeuksiin, motivointiin sekä oppilaiden matemaattisen ajattelun kulkuun liittyvää tietoa. Opettajan on osattava opettaa matematiikkaa oppilailleen ymmärrettävällä tasolla. Opettamista koskeva tieto käsittää opetukselliset ratkaisut, joita opettaja opettaessaan tekee. Näitä ovat esimerkiksi toimintojen toteuttaminen pedagogisesti tehokkaasti, työskentelymenetelmien oikea valinta, oppilaiden ja
7
opettajan roolien valinta sekä pedagogisesti viisaiden valintojen toteuttaminen suunnitelmien muuttuessa. Opettajan on siis kokonaisvaltaisesti ymmärrettävä matemaattista sisältötietoa ja pedagogista tietoa sekä osattava käyttää tietoaan monipuolisesti ja sulavasti käytäntöön linkittäen sekä opetusta edistäen, jotta hänen on opetuksellaan mahdollista tarjota oppilaille optimaaliset oppimismahdollisuudet.
(Koponen, Asikainen, Viholainen, Hirvonen, 2014.)
Monipuolisen matemaattisen opettajatiedon omaava opettaja ymmärtää opettaa matemaattisia käsitteitä loogisesti, kronologisesti sekä oikea-aikaisesti. Matemaattiset käsitteet rakentuvat asteittaisesti. Käsitteenmuodostusprosessi voidaan jakaa viiteen eri vaiheeseen, joista käsitteeseen orientoitumisen vaihe on ensimmäinen ja sitä seuraa käsitteen määrittelemisen vaihe. Tässä tutkimuksessa merkityksellisiä olivat kolme viimeistä vaihetta eli käsitteen tunnistaminen, tuottaminen ja lujittaminen, sillä oppilaat olivat jo käyneet läpi kertotaulun käsitteen osalta kaksi ensimmäistä vaihetta.
Tunnistamisvaiheessa lapsi ei ole vielä omaksunut käsitettä, vaan sitä harjoitellaan tunnistamaan eri esitysmuodoissa. Lisäksi kyseisessä vaiheessa pyritään tunnistamaan ja yhdistämään samaa käsitettä kuvaavat, mutta toisistaan eroavat esitysmuodot, kuten kuvallinen ja verbaalinen. Nämä harjoitteet keskittyvät tiiviisti yksistään vain käsitteen tunnistamiseen. Tunnistamisvaiheessa on tärkeää, että opettaja tarjoaa oppilaille monipuolisesti eri tavoin esitettyä ja havainnollistettua tietoa kyseisestä käsitteestä.
Käsitteen tuottamisen vaiheessa oppilas kykenee jo tuottamaan käsitteestä tietyn esitysmuodon pohjalta toisen esitysmuodon, jolloin runsaat esitysmuotojen tuottamista harjoittavat tehtävät ovat korostuneen tärkeitä. Käsitteen lujittamisen vaiheessa tapahtuvat sitten loput käsitteen kehittymiseen liittyvät tapahtumat, kuten käsitteen avulla operoiminen, niiden keskinäinen suuruusvertailu, sen soveltaminen rutiinitehtävissä sekä erilaisissa ongelmanratkaisutilanteissa. (Haapasalo, 2012.) Kertotaulun käsitteen osalta lujittamisen vaiheeseen liittyvät siis esimerkiksi kertolaskutoimitusten ja niiden tulojen vertailu toisiinsa, kertolaskun hyödyntäminen
8
laskutoimituksissa sekä kertolaskun käyttäminen ratkaisumenetelmänä ongelmanratkaisussa.
Lapsi tarvitsee tukea oppimista edistävään itsenäiseen tutkimiseen ja oivaltamiseen.
Oppimisen johdattelu, suuntaaminen ja ohjaaminen lapsen yksilöllisen kehitystason mukaisesti kehittää lapsen matemaattisen ajattelun kehittymistä. (Haapasalo, 2012;
Leino, 2004.) Päiväkodissa ja esikoulussa korostetaan lapsen matemaattisten taitojen edistymisen ohjaamista, sillä ennen kouluikää tapahtuva varhainen puuttuminen matemaattisten taitojen kehityksen hidastumiin on erityisen oleellista, jotta lapset saavuttaisivat tarpeelliset taidot ja matemaattiset sisällöt, jotka vaaditaan koulumatematiikan pohjalle. (Aunio, 2008; Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent, Numtee, 2007; Mononen, Aunio, Hotulainen & Ketonen, 2013.) Varhaisen tuen ja varhaisen puuttumisen tärkeyttä vahvistaa tutkimustulokset, joiden mukaan lapsen varhainen matemaattisten taitojen osaaminen on vahvasti yhteyksissä tulevaan matemaattiseen kehittymiseen ja koulumatematiikan osaamiseen (Aunola, Leskinen, Lerkkanen, Nurmi, 2004).
2.2 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys koulun alkaessa
Opettajalle on erityisen tärkeää tietää, kuinka lasten matemaattinen ajattelu ja matemaattiset taidot kehittyvät. Opetuksen kannalta hyvin oleellista on, tiedostaa taitojen kehittymisen järjestys ja kronologisuus, kehityksen kulku, kehittyvät taidot ja taitoalueet sekä taitojen kehittymisen ikäkaudet. Tieto tärkeää taitavan ja onnistuneen opettamisen vuoksi, mutta myös matemaattisesti heikkojen oppilaiden oppimisen tukemisen ja kehityksen viivästymien minimoinnin vuoksi. (Aunio, 2008; Koponen ja muut, 2014.) Tämän vuoksi esittelen seuraavaksi matemaattisten taitojen rakentumista ja kehittymistä.
9
Matemaattiset taidot voidaan jakaa erillisiin osa-alueisiin ja tiettyjen osa-alueiden hallinta on edellytyksenä toisten osa-alueiden kehittymiselle. Matemaattiset taidot kietoutuvat vahvasti toisiinsa ja näin ollen taidot kehittyvät myös limittäin ja samanaikaisesti. Tämän vuoksi matemaattisten taitojen selkeä jaottelu on hankalaa ja taitojen kehittymistä havainnoivia malleja on tehty useita. Alun perin Aunion (2008; kts myös Kuva 1) kehittelemä ja esittelemä malli esi- ja alkuopetusikäisten lasten keskeisistä matemaattisista taitoalueista on selkeä ja havainnollistava, vaikka sekin sisältää osittaisia päällekkäisyyksiä sekä limittäin kehittyvien taitojen erottelua erillisiin osa-alueisiin. Aunion (2008) mukaan matemaattisten taitojen kehitysten osa-alueet voidaan kuitenkin jaotella neljään pääosa-alueeseen, jotka ovat lukumääräisyyden taju, laskemisen taidot, aritmeettiset perustaidot sekä matemaattisten suhteiden ymmärtäminen. Matemaattisten taitojen kehittyminen alkaa varhaislapsuudessa lukumääräisyyden tajun eli lukumäärien luonnollisen ymmärryksen ja tajun kehittymisestä. Lukumääräisyydentaju on kaikkien muiden matemaattisten taitojen perusta. (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio, 2012.) Mattinen (2006) havaitsi tutkimuksessaan, että kolmevuotiailla lapsilla on eroja heidän lukumääräisyyden tajun kehittymisessään. Oleellista on tukea lasten huomion kiinnittämistä ympäristössä oleviin lukumääriin, sillä samainen tutkimus osoitti, että päiväkotien toimintatavoilla on yhteys lasten spontaaniin lukumäärien havaitsemiseen (Mattinen, 2006). Lukumäärien spontaanilla havaitsemisen ja huomiointiin kannustamisella on taas tutkimuksissa mahdollisesti huomattu olevan oleellisia yhteyksiä lasten tuleviin matemaattisiin taitoihin (Hannula & Lepola, 2006).
10
Kuva 1. Esi- ja alkuopetusikäisten lasten keskeiset matemaattiset taitoalueet (Aunio, 2008; Aunio & Räsänen, 2015; www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen- kehitys).
Lukumääräisyyden tajun pohjalle alkavat kehittyä laskemisen taidot. Alun perin Aunio (2008) jaottelee laskemisen taidot lukujonon luettelemisen taitoihin, lukumäärän laskutaitoihin sekä numerosymbolien hallintaan, jotka muotoutuvat osittain rinnakkain.
Kehitys lähtee liikkeelle lukujonon luettelemisesta. Ensiksi luettelu on sattumanvaraisten numeroiden toistamista, josta se hiljalleen muotoutuu oikeassa numerojärjestyksessä olevaksi matemaattisesti tarkoituksettomaksi numeroloruksi.
Hiljalleen numeroloruun liittyy mukaan laskemista muistuttava toiminta ja objektien sattumanvarainen osoittelu, mikä kehittyy edelleen lukujonon luettelemiseen ja objektien lukumäärän määrittämiseen pienellä lukualueella. Tällöin lapsi siis ymmärtää laskevansa objektijoukon lukumäärää. Lapsi alkaa ymmärtää myös lukusanojen,
11
lukuisuuden ja objektin yksi yhteen-vastaavuuden. (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio, 2012.) Sanallisen ja symbolisen esitysmuodon yksi-yhteen vastaavuuden ymmärtämisen on havaittu olevan keskeinen tekijä koko numerojärjestelmän ymmärtämiselle (Van de Weffhorst & Mijs, 2010).
Matemaattisten suhteiden ymmärtämisen osa-alue on laaja ja kehittyy rinnakkain muiden taitojen kanssa. Tältä osa-alueelta lapselle ensimmäisenä kehittyy ymmärrys matemaattis-loogisista periaatteista, jotka ovatkin edellytys kehittyneempien lukujonotaitojen saavuttamiselle. Matemaattis-loogiset periaatteet käsittävät lukujen yksi-yhteen vastaavuuden lisäksi vertailun, luokittelun ja sarjoittamisen (kardinaali- eli perusluku- ja ordinaali- eli järjestyslukuominaisuudet). Nämä matemaattis-loogisten periaatteiden taidot kehittyvät pääosin ennen kouluikää. (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio, 2012; Mononen ja muut, 2013.)
2.3 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys sekä niiden tukeminen ensimmäisen ja toisen luokan aikana
Esiopetuksen opetussuunnitelma velvoittaa esikoulussa opettamaan niitä matemaattisia taitoja, joita edellytetään koulua aloittaessa (Opetushallitus, 2014a). Koulutulokkaiden tulisi hallita lukujonon luettelemisen taidot, lukumäärän laskutaidot, numerosymbolit sekä matemaattis-loogiset periaatteet sekä varhaiset aritmeettiset perustaidot (Mononen, Aunio, Hotulainen & Ketonen, 2013). Monosen ja muiden (2013) koulunsa aloittavien lasten matemaattisiin taitoihin keskittyvässä tutkimuksessa todettiin, että suurin osa lapsista osaa kouluun tullessaan jo niitä matemaattisia taitoja, joita ensimmäisen luokan aikana on tarkoitus oppia. Tutkimus osoitti, että useat koulutulokkaat osaavat jo lukujonon luettelun taidot lukualueella 1-20 sekä näitä lukuja vastaavat numerosymbolit. Useat hallitsivat myös numerosymboleilla operoimisen sekä lukumäärien vertailun jopa lukualueella 1-90. Näin suurella lukualueella toimiminen
12
edellyttää myös jonkin tasoista matemaattisten suhteiden ymmärtämistä sekä käsitystä kymmen- ja paikkajärjestelmästä. Kuitenkin osalla oli puutteita yhden luvun välein etenevän lukujonon täydentämisessä numerosymbolein. Suurien matemaattisen osaamisen erojen vuoksi alkukasvatuksessa opetuksessa korostuu monipuolinen lukujonotaitojen harjoittelu, kuten hyppäyksittäin etenevä, tietystä luvusta liikkeelle lähtevä ja etu- tai takaperin kulkeva lukujonon luettelu (Aunio, 2008). Alkuopetuksen aikaisen lukujonotaitojen opettamisen ja vahvistamisen merkitystä lisää se, että niiden on havaittu olevan vahvasti yhteyksissä myöhempään matemaattisen kehityksen nopeuteen, laskemisen taitojen ja aritmeettisten taitojen kehitykseen sekä sanallisten tehtävien oppimiseen. (Aunio & Niemivirta, 2010; Mononen ja muut, 2013, Aunola ja muut, 2004; Hannula & Lepola, 2006; Paukkeri ja muut, 2015).
Aunion (2008) keskeisten matemaattisten taitoalueiden mallissa (Kuva 1) neljäs taitoalue on aritmeettiset perustaidot. Alkuopetuksessa näiden taitojen aktiivinen opetus aloitetaan, kun kehityksen jatkumista edellyttävät lukujonotaidot ovat oppilailla pääpiirteittäin hallinnassa. Aritmeettisten taitojen opettelun ohessa lapsille opetetaan matemaattisia symboleja ja kartutetaan matemaattisten taitoalueiden viimeistä taitorypästä (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio, 2012; Mononen ja muut, 2013). Mononen ja muut (2013) osoittivat tutkimuksessaan, että sanalliset yhteen- ja vähennyslaskut lukualueella 1-10 onnistuivat suurella osalla koulun aloittavista oppilaista. Kuitenkin sanalliset vertailua ja osa-kokonaisuuksien ymmärtämistä vaatineet sanalliset tehtävät olivat vielä yhteen- ja vähennyslaskuja haasteellisempia. Alkuopetuksessa sanallisten tehtävien tuleekin sisältää yhteen- ja vähennyslaskujen lisäksi monipuolisia tehtävämuotoja, kuten vertailua ja osa-kokonaisuusasetelmia, sillä aritmeettisten taitojen kokonaisvaltainen kehittyminen ja vahvistuminen on erityisen tärkeää matemaattisten taitojen hierarkkisen kehittymisen vuoksi (Mononen ja muut, 2013; Baroody, 2004).
Aritmeettisten taitojen on havaittu olevan myös melko pysyviä (Paukkeri ja muut, 2013;
Lerkkanen, Rausku-Puttonen, Aunola & Nurmi, 2005). Koska matemaattiset taidot
13
kehittyvät hierarkkisesti, niin heikosti aritmeettisissa taidoissa pärjäävä oppilas on hyvin todennäköisesti heikosti pärjäävä myös myöhemmin. Hyvät aritmeettiset taidot siten taas ennustavat vahvoja tulevaisuuden aritmeettisia taitoja. Nämä seikat korostavat matematiikan opetuksen eriyttämisen ja yksilöllisyyden merkitystä alkukasvatuksessa.
Heikosti alkukasvatuksen aritmeettisissa taidoissa suoriutuvaa oppilasta tulee taitojen pysyvyyden vuoksi tukea ja ohjata tehokkaasti omassa oppimisessaan. (Aunio, 2008;
Aunola, Leskinen, Nurmi, 2006; Lerkkanen, Rausku-Puttonen, Aunola & Nurmi, 2005;
Paukkeri ja muut, 2013;)
Aritmeettisten taitojen kehityksessä ja opetuksessa toistuvat kronologisessa järjestyksessä tietyt laskemista avustavat strategiat. Opettaja voi opetuksessa käytettyjen ja lapsen itsensä käyttämien laskustrategioiden avulla havainnoida lapsen matemaattista kehitystasoa, matemaattista ajattelua ja hänen edistymistään sekä ohjata hänen kehitystään eteenpäin. Uusia taitojen ja strategioiden myötä edelliset apukeinot jäävät taka-alalle ja uusia taitoja lähestytään eri strategioiden avulla. (Butterworth, 2005). Alun perin useampaa tutkijaa mukaillen rakennettu kaavio (Kuva 2) havainnollistaa, yksinkertaistaa ja selkeyttää näitä laskustrategioita sekä niiden kehittymistä.
14
Kuva 2. Aritmeettisten perustaitojen ja laskustrategioiden kehittyminen (mukaillen Baroody, 1984; Fennema, Carpenter, Jacobs, Franke & Levi, 1998; Fuson, 1984; Geary, Bow-Thomas, Liu & Siegler, 1996; Ostad, 1999; Siegler & Shrager, 1984; Siegler, 1987; Steinberg, 1985; http://www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen- kehitys/aritmeettiset-perustaidot/yksinumeroisilla-luvuilla-laskeminen).
Aritmeettisten taitojen aktiivinen opettaminen alkaa pääasiallisesti ensimmäisellä luokalla yhteen- ja vähennyslaskujen harjoittelulla rinnakkain lukujonotaitojen vahvistamisen kanssa. Ensimmäisiä kehitysaskelia ovat pienellä lukualueella laskutoimitusten esittäminen konkreettisten esineiden avulla. Objektien laskemisen strategiaa kehitetään yhteenlaskussa kaiken objektien laskemisesta ensimmäisen yhteenlaskettavan lukumäärää edustavasta luvusta aloittamiseen. Tämän jälkeen opetetaan vaihdannaisuuden hyödyntämistä laskemisen apuna ja edetään laskemisen
15
strategiassa suuremmasta luvusta aloittamiseen. Toistojen myötä laskemisesta jää pois konkreettisten esineiden laskeminen ja vastausten tuottaminen tapahtuu päässälaskuna lukujonon luettelua hyödyntäen. (Butterworth, 2005; Lusetti & Aunio, 2012; Rusanen &
Räsänen, 2012.)
Useiden toistojen myötä laskutoimitusten vastaukset alkavat tallentua myös muistiin (Rusanen & Räsänen, 2012). Tutkimusten mukaan työmuistin heikkous on ollut yhteydessä matemaattisiin oppimisvaikeuksiin (Geary, Hoard, Nugent & Bailey, 2012;
Kyttälä, 2008). Työmuisti on merkittävässä osassa matemaattisten taitojen oppimista, kehittymistä ja niissä suoriutumista (Kanerva & Kyttälä, 2013; Raghubar, Barnes &
Hecht, 2010). Muistiin tallentuneet aritmeettiset faktat nopeuttavat laskemista ja ne ovat tärkeässä roolissa laskutoimitusten suorittamisessa, laskemisen automatisoitumisessa sekä laskustrategioiden synnyssä (Rusanen & Räsänen, 2012). Näin ollen opettajan on huomioitava myös työmuistin kehittäminen lapsen matemaattista kehitystä tukiessa (Geary ja muut, 2012; Kyttälä, 2008).
Toisen luokan oppisisällöissä on kertolaskut, joiden opettamista aiemmin opetetut, sujuvat ja vaivattomat yhteenlasku- ja lukujonotaidot helpottavat huomattavasti (Opetushallitus, 2014b). Lukujonon avulla opettaminen auttaa kertolaskujen muodostumista ymmärtämistä sekä niiden muodostaman kokonaisuuden hahmottamista.
Hyppäyksittäin tietyn välein tapahtuva lukujonon luettelua on opetettu jo ensimmäisen luokan sisällöistä (Opetushallitus, 2014b). Yhteen- ja vähennyslaskustrategioita kuvaava laskustrategioiden malli (Kuva 2) toistuu myös kertolaskujen opettamisessa.
Konkreettisin välinein laskemisesta ja opetus siirtyy mielessä tapahtuvaan laskemiseen.
Vaikka kertolaskujen opetuksessa korostuu aritmeettisen tiedon muistiin painaminen ja sen mielestä palauttaminen, niin erilaiset strategiat ovat myös tärkeitä ja nopeuttavat laskemista. Kertolaskuissa yhteenlaskun tai toisen kertolaskun kautta johtaminen sekä kertolaskun pilkkominen osiin ja kokoaminen takaisin yhteen ovat opetuksessa erittäin käytettyjä strategioita. (Butterworth, 2005.)
16
Luku III 3 Monilukutaidon edistäminen matematiikassa
Termi lukutaito on alun perin mielletty peruslukutaidoksi, joka tarkoittaa kirjainten, tavujen, sanojen ja lauseiden lukemisen kykyä sekä luetun ymmärtämistä. Termin merkitys on kuitenkin kehittynyt muuttuvan maailman mukana ja pitkään se on käsittänyt myös yksilön kyvyn poimia informaatiota kirjoitetusta tekstistä sekä käyttää sitä monipuolisesti hyväkseen. Nykypäivänä sana ei tarkoita enää vain kirjoitetun kielen lukemisen ja tuottamisen taitoa, vaan se on saanut yhä kattavampia merkityksiä. Se tarkoittaa kykyä tulkita ja ymmärtää sekä käyttää hyväksi sitä informaatiota, jonka ympäristöstämme saamme. Ympäristö tarjoaa meille informaatiota muun muassa kulttuurin, teknologian, verkon, kuvien, taiteen, käyttäytymisen, pukeutumisen ja musiikin kautta. Näitä ympäristön antaman informaation eri osa-alueita voidaan lukea.
Nämä osa-alueet ja niiden lukemisen taito muodostavat omia käsitteitään, kuten informaatiolukutaito, medialukutaito, tietokonelukutaito, visuaalinen lukutaito, kuvalukutaito, kulttuurin lukutaito, terveyslukutaito ja matemaattinen lukutaito. Kaikille näille käsitteille sekä niiden tulkitsemisen, ymmärtämisen ja niistä saadun informaation hyödyntämisen taidolle on muodostettu uusi yhteinen yläkäsite, monilukutaito.
(Räsänen, 2015; Kaartinen, 2015.)
Valtakunnalliset perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet edellyttävät monilukutaidon opetusta kaikissa oppiaineissa (Opetushallitus, 2014b; Räsänen, 2015).
17
Jokainen oppiaine sisältää omanlaisen kielen, käsitteistön ja symbolijärjestelmän.
Tämän vuoksi kaikki opettajat ovat omien opetettavien oppiaineidensa osalta vastuussa monilukutaidon harjaannuttamisesta. He tutustuttavat oppilaat kyseisen tieteenalan kieleen, teksteihin ja niiden tulkintaan, käsittelemiseen sekä tuottamiseen. (Räsänen, 2015.) Luokanopettajalla on erinomainen mahdollisuus eheyttää opetusta yhtenäisiksi kokonaisuuksiksi ja tukea näissä konteksteissa monilukutaidon kehittymistä.
Ensimmäisellä ja toisella vuosiluokalla oppilaille tarjotaan kaikkia eri aisteja aktivoivaa informaatiota. Oppilaita tulee ohjata havaitsemaan ympäristöä ja saatavissa olevaa informaatiota sanallisin, kuvallisin, auditiivisin, numeerisin sekä kinesteettisin keinoin.
Oppilaille tarjotaan myös tietoa, joka edellyttää samanaikaisesti useampien aistien käyttöä ja niiden avulla kerätyn tiedon hyödyntämistä. (Opetushallitus, 2014b.) Monilukutaitoa edistävä opetus mahdollistaa monipuolisen, konkretiaan pohjautuvan ja toiminnallisen oppimisen, jossa hyödynnetään kattavasti kaikkia eri aistikanavia.
3.1 Matemaattinen lukutaito osana monilukutaidon tukemista
Matemaattinen lukutaito on taitoa ymmärtää, käsitellä ja tuottaa monipuolisesti matemaattista kieltä. Matematiikan kieli eroaa selkeästi niin sanotuista luonnollisista kielistä. Se on huomattavasti suppeampaa, se on kehitetty omaan ainutlaatuiseen käyttötarkoitukseen sekä sen käyttö edellyttää tarkkoja ja yleisesti sovittuja ilmaisukeinoja. Matematiikan kielellä ei voi ilmaista esimerkiksi arkipäivän asioita, ajatuksia tai tunteita, joita me luonnollisilla kielillä käsittelemme. (Niiniluoto, 1997;
Karsson, 2009.)
3.1.1 Matematiikan kieli
Matematiikan kielen kenttä voidaan jakaa neljään osaan, matematiikan symbolikieleen, luonnolliseen kieleen, kuviokieleen ja taktiiliseen toiminnan kieleen. Matematiikan
18
symbolikieli on luvuin ja symbolein ilmaistua matemaattista tietoa, luonnollisen kielen kautta ilmaistaan matematiikan asioita selkokielellä arkisin käsittein ja ilmauksin ja kuviokieli kertoo matemaattista tietoa kuvin ja kuvioin. Taktiilinen toiminnan kieli on puolestaan matematiikan tiedon esittämistä toiminnallisemmasta näkökulmasta. Se siis käsittää kaiken sen tiedon esittämisen, joka toteutetaan toimintavälineiden tai liikkeen avulla. (Joutsenlahti & Kulju, 2010; Joutsenlahti & Rättyä, 2015.) Tikkanen (2008) tutki sekä vertaili unkarilaista ja suomalaista matematiikan opetusta ja oppimista.
Tutkimuksessaan hän havaitsi, että toiminnallinen ja toimintamateriaalien avulla toteutunut oppiminen tuki oppimista sekä motivoi ja auttoi oppilaita keskittymään opiskeluun. Toimintavälineet edistivät symbolien ja abstraktioiden ymmärtämistä ja helpottivat matemaattisten ratkaisujen ja vastausten saavuttamista. Toimintavälineiden havaittiin myös tukevan oppimista.
Matematiikan oppiaine antaa omassa matematiikan kontekstissaan erinomaisen pohjan matemaattisen lukutaidon kehittämiselle. Toisiaan tukevia matematiikan kielen eri kenttiä, symbolikieltä, luonnollista kieltä, kuviokieltä ja taktiilista toiminnan kieltä, opetuksessa rinnakkain käytettäessä lapsille kehittyy hiljalleen monimuotoinen ja kattava kokonaiskuva matemaattisista käsitteistä ja rakenteista sekä niiden merkityksistä. (Joutsenlahti & Kulju, 2010.) Matemaattisen lukutaidon kehittymistä tavoitellaan monipuolisen ja kattavan matematiikan kielen osa-alueiden käytön, toiminnallisuuden sekä matemaattisten tekstien ymmärryksen, tulkinnan ja tuottamisen harjoittamisen avulla. Tiedon muokkaaminen matematiikan kielen esitysmuodosta toiseen sekä esitysmuotojen rinnakkainen käyttö ovat myös oleellisia osia matemaattisen lukutaidon opetuksessa. Schleppegrell (2010) korostaa, että matematiikan kielen kenttien käytön harjoittelussa sekä lapsille vieraaseen matematiikan symbolikieleen tutustuttaessa lähtökohtaisesti lähdetään liikkeelle kuvaamalla matemaattisia ilmiöitä luonnollisen, kuvio- tai taktiilisen toiminnan kielen avulla. Opetus ei siis suoraan lähde matematiikan symbolikielestä, vaan se nostetaan muiden kielimuotojen rinnalle. Kun symbolikieli on lapsille tuttu, voidaan myös se ottaa
19
lähtökohdaksi ja ensimmäiseksi ilmiön esittämisen kieleksi. Symbolikieli on nimittäin erittäin abstraktia ja sen ymmärtäminen, käyttäminen ja tuottaminen ovat lapselle mahdottomia toimintoja, ellei hän ole saanut symbolikielen rinnalle havainnollistuksia, mallinnuksia ja mielikuvia (Tikkanen, 2008).
3.1.2 Kielentäminen
Matematiikan kielen osa-alueiden monipuolinen hyödyntäminen ja sisällön muuntaminen osa-alueesta toiseen vaatii ajattelun taitoja. Lapsen on pohdittava, ymmärrettävä ja sisäistettävä ilmiöiden taustalla olevat matemaattiset prosessit.
Matemaattisen kielen esitysmuotojen opettaminen tarjoaa oppilaille monipuolisia välineitä heidän matemaattisen ajattelunsa ymmärtämiseen, jäsentämiseen sekä ilmaisemiseen. Tähän oman matemaattisen ajattelun kuvailuun liittyy vahvasti Joutsenlahden (2003) luoma termi, kielentäminen. Kielentäminen on oman matemaattisen ajattelun ilmaisemista kielen avulla. Se on uuden käsitteen konstruointia, sen tyypillisten piirteiden pohtimista, käsitteen reflektointia omaan aiempaan tietoon sekä oman matemaattisen ajattelun jäsentämistä itselleen. Toisin sanoen se on prosessi, jossa oppilas muuttaa omaa matemaattista ajatteluaan näkyvään muotoon sekä samalla ilmaisun ohessa myös sisäistää uutta tietoa ja edistää omaa ymmärrystä asiasta tai ilmiöstä. (Joutsenlahti, Ilmavirta, Sieppi, Riikonen, Laine, Ahtiainen, Tuomi, Okkonen, Jerkku, Ukkola, Holttinen, Horila, Syvänen, Överlund & Forsblom, 2003; Rättyä, 2013.)
Opettaja voi sisällyttää kielentämistä opetukseensa helposti esimerkiksi lisäämällä vuorovaikutuksellisia opetusmenetelmiä. Kielentämistä tuetaan tehokkaasti matematiikan ympäristössä oppilaiden välisessä vuorovaikutuksessa. Tällöin oppilaat ilmaisevat toisilleen omaa matemaattista ajatteluaan ja ajatteluprosessejaan esimerkiksi puhumalla tai piirtämällä sekä keskustelemalla näkemystensä yhtäläisyyksistä ja eroista.
Vuorovaikutusta korostavat opetusmenetelmät edellyttävät oppilailta heidän oman matemaattisen ajattelun käsittelyä, jäsentämistä ja arviointia ja sen selkeää ilmaisemista
20
muille, mikä tukee kielentämisen taitoja entisestään. Kielentämisestä hyötyvät myös muut oppilaat, sillä kielentämistä tuottavan oppilaan lisäksi myös vertaisoppijat oppivat prosessin aikana kuunnellessaan matemaattisen ajatteluketjun kulkua. Opettaja hyötyy kielentämisestä erityisen paljon. Oppilaan oman matemaattisen ajattelun ilmaiseminen antaa opettajalle arvokasta tietoa oppilaan oppimisen tasosta, auttaa opettajaa ymmärtämään oppilasta sekä mahdollistaa oppilaan matemaattisen ajattelun onnistuneen tukemisen, ohjaamisen ja kehittämisen. Kielentämiseen ohjaava työskentelymenetelmä on erityisen tehokas oppimisen keino matematiikan tasosta ja oppijan iästä riippumatta. Kielentämisen hyödyntämistä oppimisen välineenä tulee kuitenkin opetella, jotta siitä saadaan mahdollisimman paljon irti. Tämän vuoksi kielentämistä kannattaa harjoittaa heti alkuopetuksesta lähtien, jotta se muodostuisi vakiintuneeksi oppimismenetelmäksi. (Berg, Mäkelä, Ruuska, Stenberg, Loukomies &
Palmqvist, 2013; Joutsenlahti ja muut, 2003.) Matematiikan kielentämistä voidaan vahvistaa esimerkiksi kuvakirjojen tai matematiikkatarinoiden avulla (McGrath, 2014).
3.2 Monilukutaito tarinallistavan matematiikan näkökulmasta
Tarinoita ja kerrontaa hyödyntävät opetusmenetelmät ovat hyvin vanhoja ja paljon käytettyjä. Kirjallisuuden ja lukutaidon yleistyminen on kuitenkin ajan myötä vähentänyt tarinoiden käyttöä, mutta ennen kaikkea sen käyttöä on karsinut audiovisuaalinen media ja sen yleistyminen. Tarinoiden painoarvoa ei tulisi kuitenkaan unohtaa ja hukata, sillä niillä on monia korvaamattomia pedagogisia merkityksiä.
Tarinointi auttaa oppilaita muun muassa kuuntelemaan, olemaan tarkkaavaisia ja rauhoittumaan, mitkä ovat tärkeitä sekä oppimisen ja opettamisen arvoisia taitoja hektisessä yhteiskunnassamme. Tarinoiden käyttö opetuksessa edistää lasten kielellisiä taitoja kuten uusien sanojen, käsitteiden, ilmaisujen, sanontojen ja kielikuvien oppimista. Lisäksi ne edistävät positiivisen asenteen syntymistä kirjallisuutta ja
21
lukemista kohtaan. (Luumi, 2006.) Ennen kaikkea tarinoiden avulla voidaan tarjota lapsille opetuksellisia teemoja, arvoja, asenteita ja yhteiskunnan normeja (Schiro, 2004).
Tarinoilla on suuri merkitys mielikuvituksen kehittäjinä. Kuvattomat tarinat ja kertomukset jättävät tilaa lapsen omille ajatuksille ja mielikuville. Nyky-yhteiskunnassa kuvien kasvava asema hidastaa mielikuvituksen kehittymistä, jonka vuoksi tarinoilla ja kerronnalla sekä niiden tarjoamilla elämyksillä on erityisen tärkeä tehtävä. Toisaalta tarinoita opetuksen välineenä käytettäessä tarinaa ja mielikuvien syntymistä on hyvä tukea joidenkin kuvien avulla. Alkukasvatusikäisten lasten mielikuvitus voi olla vielä sen verran suppea, että he tarvitsevat tukea ja apua mielikuvien luomiseen, etenkin tapauksissa, kun tarinalla ja mielikuvilla tähdätään tiettyyn opetukselliseen päämäärään.
Tällöin opettajan tulee valikoida kuvat erityisen tarkasti, jotta niiden avulla saadaan ohjattua mielikuvia oikeaan suuntaan. (Luumi, 2006.)
3.2.1 Tarinallistava matematiikka
Tarinoilla on oma paikkansa myös matematiikan opetuksessa. Tarinallistava matematiikka on työskentelymenetelmä, joka hyödyntää tarinoita opetuksen osana.
Tarinallistavassa matematiikassa käytettävät tarinat ovat sisällöltään matemaattisia ja niiden kerronnan avulla on mahdollista oppia matemaattisia asioita ja ilmiöitä. Hyvä matematiikkatarina luotu siten että se mahdollistaa lapselle mielenkiinnon ja uteliaisuuden heräämisen sekä eläytymisen tarinan matemaattisia ongelmia ratkaiseviin henkilöhahmoihin. Eläytyessään tarinan hahmoihin lapsen käsittelevät tapahtumat ja matemaattiset ilmiöt hahmojen kautta, jolloin tarinan on mahdollista vaikuttaa lapsiin ja heidän ajatuksiin, tunteisiin. Tarinat ovat alkukasvatusikäisen kehitystasolle erinomaisia opetusvälineitä. Alkukasvatusikäinen lapsi elää alun perin Piaget’n luoman teorian mukaan konkreettisten operaatioiden vaihetta, jolloin hän tarvitsee oppimiseensa konkreettisia toimintoja, ilmiöitä, esineitä tai asioita (Rauste-von Wright, von Wright &
Soini, 2003). Vaikka ympäristö onkin mielikuviin luotua eikä se ole käsin kosketeltavaa todellista konkretiaa, tarjoaa opettaja fantasiamaailman kautta kuitenkin lapselle
22
erityisen vahvan kokemuksen, tunteen ja kontekstin konkreettisesta ympäristöstä, johon matemaattiset ilmiöt on mahdollista linkittää. Tarinallistamisen avulla voidaan siis tarjota matemaattisten ongelmien havainnollistamista ja ratkaisemista lapselle konkreettisessa ympäristössä. (Schiro, 2004)
Eräänä opettajan tärkeimmistä tehtävistä on motivoida oppilasta oppimaan. Tarinoiden ja matematiikan yhdistäminen innostaa ja motivoi lapsia matematiikan oppimiseen. Sen on todettu antavan lapsille merkityksellisyyttä matematiikan oppimiseen, parantavan heidän asenteita matematiikkaa kohtaan sekä tarjoavan näkemyksiä matematiikan tieteenalan luonteesta. (Schiro, 1997, 2004) Nämä vaikutukset ovat melko pysyviä ja pidempiaikaisia ja siten ollen mahdollisesti ruokkivat lapsen matemaattista kiinnostusta, innostusta ja halua oppia myös vanhemmalla iällä.
Tarinallistavan matematiikan opetusmenetelmällä on havaittu olevan vaikutuksia myös oppimiseen vaikuttaviin tekijöihin. Matematiikkatarinat ovat auttaneet lapsia hyödyntämään matematiikkaa omassa arkielämässään ja muissa oppiaineissa. Sen on todettu edistävän lasten matemaattisten käsitysten ja taitojen kehittymistä, matematiikan kielen ja kielentämisen käyttöä, ongelmanratkaisutaitoja sekä matemaattisia päättely- ja ajattelutaitoja. (Schiro, 1997.) Nämä taidot ovat matematiikan oppimisen kannalta tärkeitä ja erityisesti matemaattista ajattelua ja matemaattisten taitojen syvällistä kehittymistä tukevia.
Opettajan luomat lasten elämys- ja kokemusmaailmaan liittyvät ja lapsille läheisiä ja merkityksellisiä asioita käsittelevät tarinat auttavat opettajaa lisäämään oppilaiden kiinnostusta, mielekkyyttä ja tehokkuutta oppimiseen. Luokkansa tunteva opettaja voi luoda tarinoita, joissa lasten yksilöllisyyden ja mielenkiinnon kohteet huomioon ottava sekä lasten maailmaan linkittyvä kertomus houkuttelee lapset eläytymään syvällisesti tarinaan. Tarinan sisällön lisäksi opettajan tavalla ja taidolla kertoa tarinaa on oma merkityksensä. Hyvät kerronnalliset taidot lisäävät kuuntelemisen mielekkyyttä ja
23
kuuntelijan kiinnostuksen tasoa. Kun tarina jaetaan osiin ja jatketaan sitä matematiikan tunnista toiselle, sitouttaa se oppilaita paremmin tarinallistavaan työtapaan.
Mieleenpainuva ja jatkumona etenevä tarina on elämyksellisempi lyhyihin tarinoihin verrattuna, ja siten matemaattisten ilmiöiden esittämiseen ja ratkaisemiseen käytetty lapsia innostava konteksti auttaa heitä oppimaan ja muistamaan matemaattiset ilmiöt paremmin. Lapset odottavat innoissaan tarinan jatkumista ja pohtivat sitä vapaa-ajallaan matematiikan oppituntien välissä. Parhaimmillaan hyvä ja elämyksellinen sekä taitavasti kerrottu matematiikkatarina jää elämään lasten ajatuksiin. Koulun jälkeen kotimatkallaan ja kotona leikeissään ja mielikuvissaan he palaavat tarinaan ja sen tapahtumiin. He mahdollisesti palaavat sen esille nostamiin matemaattisiin ongelmiin, käsittelevät ja konstruoivat niitä uudestaan. (Schiro, 2004.)
3.2.2 Matemaattisen monilukutaidon edistäminen matikkatarinoiden avulla Tarinallistavan matematiikan työtapa on monilukutaidon näkökulmasta rikas ja monipuolinen opetuksen väline. Tarinan pohjalle rakennettu opetus tarjoaa erinomaisen mahdollisuuden monilukutaidon kehittämiselle. Itse tarinalla opettaja tarjoaa monilukutaidon auditiivisen osa-alueen herkistämistä. Verbaalisia taitoja opettaja kehittää, kun hän luetuttaa tarinoita oppilailla itsellään tai pienryhmissä sekä kannustaa heitä tuottamaan omia tarinoitaan. Hyvin suunniteltu tarina sisältää paljon käsitteitä, laskuja, laskutoimituksia sekä ongelmanratkaisua, joiden käsittely tukee lasten matematiikan symbolikielen taitoja. Matematiikkatarinat tukevat myös visuaalisten taitojen kehittymistä. Tarinat tukevat visuaalisia taitoja, kun oppilaat luovat mielikuvia, katselemalla tarinaan liittyviä kuvia sekä piirtämällä ja tulkitsemalla omia tai muiden vertaisten tarinan pohjalta tuotettuja kuvia. Tarinan sisältämiä matemaattisia ilmiöitä havainnollistaessa konkreettisten esineiden avulla visuaalisten taitojen lisäksi kehittyvät myös kinesteettiset taidot. Tarinaan pohjautuvia matemaattisia taitoja voi havainnollistaa kinesteettisellä osa-alueella myös liikkeiden ja liikkumisen avulla.
24
(Schiro, 2004.) Liikkeen ja liikkumisen on havaittu edistävän lasten akateemisten taitojen oppimista ja näitä tuloksia on havaittu erityisesti juuri matemaattisessa oppimisessa. Liike ja fyysinen toiminta saa aikaan useita fysiologisia muutoksia, jotka edistävät oppimista (Scardamalia & Bereiter, 2006). Liikkumisen ja aktiivisuuden on havaittu kehittävän muun muassa lasten muistia, tarkkaavaisuutta, keskittymistä, tiedonkäsittelytaitoja sekä ongelmanratkaisutaitoja. (Kantomaa, Syväoja & Tammelin, 2013; Syväoja, Kantomaa, Laine, Jaakkola, Pyhältö & Tammelin, 2012). Lisäksi liikkeen ja toiminnallisten työtapojen kautta saavutetaan uusia kokemuksia, lisätään sosiaalisia tilanteita ja vuorovaikutuksellisuutta sekä kouluviihtyvyyttä ja itsetuntoa, jotka edelleen parantavat lasten oppimistuloksia. (Kantomaa, Syväoja & Tammelin, 2013; Kristjansson, Sigfusdottir & Allegrante, 2010; Kristjansson, Sigfusdottir, Allegrante & Helgason, 2009; Syväoja, Kantomaa, Laine, Jaakkola, Pyhältö &
Tammelin, 2012)
Monilukutaidollisesti rikas tarinallistavan matematiikan työtapa ottaa erityisen hyvin huomioon erilaiset oppijat, kuten verbaaliset, auditiiviset, visuaaliset, kinesteettiset oppijat. Erilaisilla oppimistyyleillä oppiville oppilaille tarinallistamisen opetusmenetelmä antaa mahdollisuuden oppia itselleen parhaimmalla ja tehokkaimmalla oppimistyylillä. Useiden eri oppimistyylien käyttö tukee toisiaan ja mahdollistaa monipuolisen ja laaja-alaisen oppimisen. Vertaisoppimisen mahdollisuus saadaan aikaan ilmiöistä keskustellessa ja eri oppimistyyleillä oppivien oppilaiden kielentäessä ajatuksiaan toisilleen. (Schiro, 2004.) Kaiken kaikkiaan tarinallistava työtapa tukee monilukutaidon kehittymistä erittäin monipuolisesti ja laaja-alaisesti.
25
Luku IV 4 Tutkimuksen toteutus
Tutkimuksessani tutkin matematiikan opetuksen ja oppituntien sisältöä. Halusin selvittää, kuinka ja millä tavoin matematiikan tunneilla voidaan edistää matemaattisen ajattelun ja matemaattisen monilukutaidon kehittymistä. Keskityin tiukasti vain opettajan, opetusmenetelmien ja tehtyjen harjoitteiden tarjoamaan opetukseen sekä oppimisen ja kehityksen tukemiseen. Rajasin oppilaiden oman toiminnan ja oppimisen tutkimisen kokonaan pois ja tutkin aihetta vain opettajan ja opettamisen näkökulmasta.
4.1 Tutkimustehtävä ja –kysymykset
Tutkin matematiikan opetusta laadullisin menetelmin. Tapaustutkimuksena toteutetun opetusinterventiotutkimuksen aikaisen opetuksen sisältö suunniteltiin tukemaan matemaattisen monilukutaidon kehitystä. Opetuksen suunnittelusta ja toteutuksesta vastasi väitöskirjaa tekevä luokanopettaja. Sisällöt luotiin matematiikan kieltä monipuolisesti hyödyntäväksi. Toiminnallisilla työtavoilla ja opetuksella pyrittiin tarjoamaan oppilaille runsaasti mahdollisuuksia kielen eri muotoihin tutustumiseen, niiden harjoitteluun ja tuottamiseen. Tutkimuskysymykset keskittyivät matemaattisen ajattelun, matemaattisten taitojen ja matemaattisen monilukutaidon opettamiseen.
Tutkimuskysymykset muotoutuivat seuraavasti:
26
1) Millä tavoin monilukutaitoa edistävä matematiikan opetus ja tunneilla käytetyt opetusmenetelmät tukevat matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitystä?
a) Kuinka matemaattisten käsitteiden kehittymistä tuetaan opetuksessa?
b) Kuinka laskustrategioiden kehittymistä tuetaan opetuksessa?
2) Kuinka opetus ja käytetyt opetusmenetelmät tukevat matemaattista monilukutaitoa?
Opetuksessa korostettiin vahvasti matematiikan tarinallistamista, ja matikkatarinat olivatkin hyvin keskeisessä osassa opetuksen sisältöjä. Matikkatarinoiden pohjalta luotiin matemaattisista ilmiöistä matemaattisia esitysmuotoja eli piirroksia, havainnollistuksia esineiden avulla, verbaalisesti ja symbolisesti tuotettuja laskulausekkeita sekä laskuja kuvaavia liikkeitä. Myös omia matikkatarinoita luotiin muiden matematiikan kielen esitysmuotojen pohjalta. Intervention aikana tavoitteena oli oppia käyttämään eri matematiikan kielen esitysmuotoja sulavasti ja luontevasti sekä muuttamaan niitä esitysmuodosta toiseen. Matemaattisena sisältökontekstina olivat kolmen ja neljän kertotaulut. Kahden, viiden ja kymmenen kertotaulut oli opetettu ennen opetusintervention alkua.
4.2 Tutkimuksen toteutus
Toteutin matematiikan oppimisen tukemista ja matemaattista monilukutaitoa käsittelevän tutkimukseni osana suurempaa tutkimuskokonaisuutta, jossa luokanopettaja teki väitöskirjaa alkuopetusikäisten lasten monilukutaitoon liittyen samaa kohderyhmää tutkien. Minun tutkimukseni keskittyi matematiikan oppiaineen kontekstiin, mutta
27
suurempi tutkimuskokonaisuus keskittyi syvällisemmin monilukutaitoon ja sen kehittymiseen useampien oppiaineiden näkökulmasta.
Tutkimus toteutettiin pohjois-karjalalaisessa alakoulussa. Kohdejoukko koostui koulun kaikista toisen luokan oppilaista, joita oli 14 oppilasta, 9 tyttöä ja 5 poikaa sekä heidän luokanopettajastaan. Tutkimukseni aineistonkeruujakso koostui neljän viikon mittaisesta matematiikan opetuksen ja oppimisen interventiojaksosta, jonka aikana monilukutaitoa edistävän opetuksen kehittämisprojektissa väitöskirjaa tekevä luokan oma opettaja opetti kohdeluokalle matematiikkaa monilukutaitoa edistävin ja siihen ohjaavin opetusmenetelmin. Keräsin jakson aikana kvalitatiivista videoaineistoa kahden 45 minuutin pituisen matematiikan oppitunnin ajalta joka viikko neljän viikon ajan.
Interventiojakson aikana oppilailla oli viikossa viisi tuntia matematiikkaa, joista vähintään kahdella oppitunnilla korostettiin työmenetelmiä, jotka kehittivät matemaattista monilukutaitoa. Näiltä kahdelta monilukutaitoa kehittävältä matematiikan tunnilta keräsin tutkimusaineistoani. Kyseiset kaksi oppituntia pidettiin peräkkäin, mikä mahdollisti paremmin monilukutaitoon keskittyvien toiminnallisten harjoitteiden toteuttamisen. Minä olin paikan päällä näillä oppitunneilla, joilta keräsin tutkimusaineistoa. Aineiston keräsin kahden videokameran avulla, jotka kummatkin kuvasivat opetusta koko ajan eri kuvakulmista.
Interventio koostui siis neljästä kahden oppitunnin mittaisesta opetuskerrasta ja jokaisella viikolla pidettiin yksi opetuskerta. Aineisoa kerättiin siis yhteensä kahdeksalta matematiikan oppitunnilta neljän viikon aikana. Kaikki nämä tunnit keskittyivät matematiikan monilukutaidon kehittämiseen. Oppitunteja suunnitellessa pyrittiin korostamaan monipuolisesti ja kattavasti kaikkia monilukutaidon osa-alueita.
Työskentelyssä korostui toiminnallisuus, jotta oppimiseen saatiin visuaalisen, verbaalisen, numeraalisen ja auditiivisen osa-alueen lisäksi myös runsaasti taktiilista oppimista. Jokaisen opetuskerran tiedot, ajankohdat, opetuskerran tavoitteet sekä sisällöt on koottu taulukoihin, jotka löytyvät liitteistä (Liite A).
28
4.3 Aineiston analyysimenetelmät
Tutkimuksessani tutkin opetusintervention aikana kerätyn videomateriaalin avulla opetuskertojen sisältämiä opetusmenetelmiä, tehtäviä ja toimintoja sekä opettajan antamaa oppimisen ohjausta. Rajasin aineiston käsittelyn ja analyysin vain ainoastaan opetuksellisiin näkökulmiin enkä huomioinut analyysissäni oppilaiden toimintaa ja oppimista. Aineiston sisällönanalyysin toteutin teoriaohjaavan analyysin avulla (Tuomi
& Sarajärvi, 2009). Lähdin analysoimaan aineistoa teoriataustan ohjaamana ja tutkimuskysymys kerrallaan. Aloitin ensimmäisestä tutkimuskysymyksestä eli lapsen matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen oppimisen tukemisesta ja analysoin sitä matemaattisten käsitteiden kehittymisen ja matemaattisten laskustrategioiden kehittymisen tukemisen avulla. Tämän jälkeen siirryin toisen tutkimuskysymykseni analysointiin, jolloin analysoin intervention aikaista opetusta monilukutaidon edistämisen osalta.
4.3.1 Matemaattisten käsitteiden opettamisen analysointi
Aloitin analysoimalla tutkimusintervention ensimmäisen opetuskerran videot ja etenin näin opetuskerrasta toiseen. Katsoin läpi jokaiselta opetuskerralta molempien kameroiden videot ja keskityin sisältöön puhtaasti vain ensimmäisen tutkimuskysymykseni ensimmäisen osakysymyksen osalta. Tarkkailin siis matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehittymisen tukemista matemaattisten käsitteiden kehittymisen näkökulmasta. Tutkin, että millaisia matemaattisten käsitteiden oppimista tukevia elementtejä opetuskerroilla käytetyissä opetusmenetelmissä ja materiaaleissa sekä opettajan antamassa oppimisen ohjauksessa esiintyi.
Matemaattisten käsitteiden kehittymisen tukemista tarkastelin Haapasalon (2012) käsitteen kehittymisen teoriaa mukaillen. Jaottelin kehityksen kolmeen vaiheeseen, tunnistamiseen, tuottamiseen ja lujittamiseen ja nämä edelleen pienempiin osiin.
29
Analysoin videota tehtävä kerrallaan ja tarkkailin jokaisen tehtävän osalta, mitä matemaattisen käsitteen muodostumisen vaihetta se edustaa. Lisäksi analysoin näistä tehtävistä vielä yksityiskohtaisemmin, että kuinka tehtävä kehittää kyseistä vaihetta ja mitä kyseiselle vaiheelle ominaisia piirteitä tehtävä edellyttää oppilaalta. Taulukoin näitä tekijöitä jokaiselta opetuskerralta tehtäväkohtaisesti omiin taulukkoihinsa.
Seuraavaksi esittelen analyysini yksitellen käsitteen muodostumisen vaihe kerrallaan.
Käsitteen tunnistaminen on alkuopetuksen toisen luokan kertolaskujen oppimisen vaiheessa prosessi, jossa lapsi osaa linkittää ja yhdistää toisiinsa kaksi samaa kertolaskua kuvaavat eri esitysmuodossa olevat ilmaukset. Hän tunnistaa kummatkin ilmaukset kertolaskua kuvaaviksi käsitteiksi ja ymmärtää kuinka ne muodostuvat. Hän osaa myös vertailla esitysmuotoja toisiinsa ja yhdistää kaksi samaa kertolaskua kuvaavaa esitysmuotoa. (Haapasalo, 2012.) Tunnistamisen vaiheen tukemista analysoin tarkastelemalla opettajan opetusta ja ohjausta sekä tunneilla tehdyissä tehtävissä tai harjoitteissa käytettyjä opetusmenetelmiä. Analysoin, että millaisiin tunnistamisen taitoihin opetus ohjaa. Havainnoin jokaisen tehtävän yksitellen ja tarkastelin Haapasalon (2012) mallin pohjalta millaisten esitysmuotojen tunnistamista ja toisiinsa linkittämistä ne sisälsivät. Tutkin esitysmuotojen tunnistamista kaikkien eri esitysmuotojen mahdollisuuksien välillä. Näihin eri mahdollisuuksiin, verbaaliseen, visuaaliseen ja symboliseen, lisäsin Haapasalon (2012) näkemysten lisäksi taktiilisen esitysmuodon. Näin ollen käsitteen muodostumisen tunnistamisvaiheen havainnoitaviksi osatekijöiksi muodostui 10 erilaista kokonaisuutta, jotka on esitetty alla olevassa taulukossa (Taulukko 1).
30
Taulukko 1. Havainnollistus aineiston redusoinnista ja klusteroinnista sekä tunnistamisvaiheen yksityiskohtaisemmasta analysoinnista (ks. Tuomi & Sarajärvi, 2011).
Pelkistetty ilmaus Yläluokka
Verbaalinen & verbaalinen
Matemaattisen käsitteen kehittymisen tunnistamisvaihe
Verbaalinen & visuaalinen Verbaalinen & symbolinen Verbaalinen & taktiilinen Visuaalinen & visuaalinen Visuaalinen & symbolinen Visuaalinen & taktiilinen Symbolinen & symbolinen Symbolinen & taktiilinen Taktiilinen & taktiilinen
Verbaaliseksi esitysmuodoksi tulkitsin kaikki erilaiset sanallisesti ääneen sanotut tai kirjallisesti kirjoitetut erilaiset esitysmuodot. Näitä ovat esimerkiksi tarinan muodossa esitetyt ilmaukset sekä sanonnat ”kuusi kertaa kolme”, ”kuudesti kolme” tai ”kuusi kolmen ryhmää”. Visuaalisen esitysmuodon näin kaikki piirrettynä kuvana, konkreettisilla esineillä kuvattuna tai tilannetta havainnollistavana piirroksena olevan esityksen. Symbolinen esitysmuoto oli tulkinnassani yksistään vain numeroin ja matemaattisin merkein kirjoitetut laskulausekkeet, kuten 6∙3 tai 3+3+3+3+3+3.
Taktiiliseksi esitysmuodoksi taas ajattelin kaikki liikkeen avulla tuotetut laskulauseketta kuvaavat muodot. Tästä edellä mainitusta laskulausekkeesta taktiilinen muoto voisi esimerkiksi olla kolme taputusta päähän, kolme olkapäihin, kolme vatsaan, kolme peppuun ja kolme polviin eli kuusi kolmen ryhmää. Analysoin videoista tehtäväkohtaisesti, että mitä yllä esitettyjä tunnistamisvaiheen eri osa-alueita ja esitysmuotojen linkittämistä tehtävä edellytti oppilaalta (Taulukko 2).
31
Taulukko 2. Ensimmäisen opetuskerran tehtävien ja opetusmenetelmien sekä opettajan antaman oppimisen tuen analyysia tunnistamisen vaiheessa.
Opetuskerta 1 Tunnistamisen vaihe
Teht. 1 Teht. 2 Teht. 3 Teht. 4 Teht. 5 Teht. 6 Teht. 7
verbaalinen & verbaalinen x x x
verbaalinen & visuaalinen x x x
verbaalinen & symbolinen x x x x x
verbaalinen & taktiilinen x x
visuaalinen & visuaalinen
visuaalinen & symbolinen x x x x
visuaalinen & tatkiilinen x x
symbolinen & symbolinen x x
symbolinen & taktiilinen x x
taktiilinen & taktiilinen
Tuottamisen vaiheessa lapsi osaa esitysmuotojen tunnistamisen ja toisiinsa liittämisen lisäksi luoda ja tuottaa jonkin esitysmuodon perusteella muita esitysmuotoja. Hän esimerkiksi osaa luoda kertolaskua kuvaavasta kuvasta symbolisen muodon ja sanoa sen verbaalisessa muodossa. (Haapasalo, 2012.) Tuottamisen vaihetta analysoin tulkitsemalla opettajan toiminnasta ja tehdyistä tehtävistä esitysmuotojen välillä suoritettavia muunnoksia, joita tehtävän toteuttaminen edellytti lapselta. Näitä erilaisia muunnoksia on 16, sillä jokaisesta neljästä esitysmuodosta, verbaalisesta, visuaalisesta, symbolisesta ja taktiilisesta, voi tuottaa nämä kyseiset 4 eri esitysmuotoa (Taulukko 3).
32
Taulukko 3. Havainnollistava taulukko tunnistamisvaiheen yksityiskohtaisemman analysoinnin kulusta sekä aineiston redusoinnista ja klusteroinnista.
Pelkistetty ilmaus Yläluokka
verbaalinen → verbaalinen
Matemaattisen käsitteen kehittymisen tuottamisvaihe
verbaalinen → visuaalinen verbaalinen → symbolinen verbaalinen → taktiilinen visuaalinen → verbaalinen visuaalinen → visuaalinen visuaalinen → symbolinen visuaalinen → taktiilinen symbolinen → verbaalinen symbolinen → visuaalinen symbolinen → symbolinen symbolinen → taktiilinen taktiilinen → verbaalinen taktiilinen → visuaalinen taktiilinen → symbolinen taktiilinen → taktiilinen
Katsoin videoaineiston uudelleen tarkkaillen ja analysoiden jokaisesta tehdystä tehtävästä yksistään tuottamisen vaiheen prosesseja. Tarkkailin, että millaisia esitysmuotojen muunnoksia kukin tehtävä edellytti oppilaalta. Kokosin jokaisesta neljästä opetuskerrasta oman taulukon ja kirjasin siihen ylös kaikkien sen opetuskerran tehtävien edellyttämät tuottamisvaiheen prosessit. Alla on esimerkki tuottamisen vaiheen analysoinnista ensimmäiseltä opetuskerralta (Taulukko 4).
33
Taulukko 4. Ensimmäisen opetuskerran tehtävien ja opetusmenetelmien sekä opettajan antaman oppimisen tuen analyysia tuottamisen vaiheessa.
Opetuskerta 1 Tuottamisen vaihe
Teht. 1 Teht. 2 Teht. 3 Teht. 4 Teht. 5 Teht. 6 Teht. 7
verbaalinen -> verbaalinen x x
verbaalinen -> visuaalinen x x
verbaalinen -> symbolinen x x
verbaalinen -> taktiilinen x x
visuaalinen -> verbaalinen x
visuaalinen -> visuaalinen
visuaalinen -> symbolinen x x x
visuaalinen -> taktiilinen
symbolinen -> verbaalinen x
symbolinen -> visuaalinen x
symbolinen -> symbolinen x
symbolinen -> taktiilinen taktiilinen -> verbaalinen taktiilinen -> visuaalinen taktiilinen -> symbolinen taktiilinen -> taktiilinen
Lujittamisen vaiheessa lapsi osaa soveltaa kyseistä käsitettä rutiinitehtävissä ja ongelmanratkaisutilanteissa. Usein ilman syvempää tarkastelua ongelmanratkaisutilanteet koetaan sanallisiksi ja todelliseen elämään linkittyviksi matemaattisiksi ongelmiksi. Alkuopetuksessa tällainen voisi olla esimerkiksi: Kuinka monta koiraa Milla, Mallan ja Sallan tulee ulkoiluttaa, kun jokaisella heistä on ulkoilutettavana kolme koiraa? Kun tarkastellaan tehtävän rakennetta, niin huomataan, että tehtävässä tulkitaan sanallinen ongelma eli kertolaskun verbaalinen muoto ja muutetaan se matematiikan symbolikielelle ja ratkaistaan. Tällöin prosessi edustaa vain tuottamisen vaihetta. (Haapasalo, 2012.) Lujittamisen vaiheeseen tulkitsen kuuluvaksi matemaattisen ajattelun tasolla haasteellisemmat kertolaskujen avulla operoinnit, kuten jakolaskun, jonka ratkaisemisessa hyödynnetään kertolaskua. Lujittamisen vaihetta en pilkkonut pienempiin osiin, niin kuin pilkoin tunnistamisen ja tuottamisen vaiheet.
