2017
Kielentäminen matemaattisen ajattelun ja
ongelmanratkaisutaidon itsearvioinnissa
alakouluympäristössä
PRO-GRADU TUTKIELMA
MERI-KRISTIINA SAARAINEN
Itä-Suomen Yliopisto Matematiikan ja fysiikan laitos Matematiikan aineenopettajan ja luokanopettajan koulutusohjelma Matematiikka 6/2017
[Si joita lähde tä hän.]
1 Sisällys
1. Tiivistelmä...2
1.2. Abstract ...4
2. Johdanto ...5
3. Teor eettinen viitekehys ...8
3.1. Matemaattinen ajattelu ...8
3.2. Matemaattinen asenne ... 11
3.3. Matemaattinen luovuus ... 13
3.4. Ongelmanratkaisu oppimisen ja matemaattisen ajattelun välineenä ... 15
3.5. Polyan ongelmanratkaisuprosessi ... 18
3.6. Matematiikan kieli ... 19
3.7. Kielentäminen ... 21
3.7.1. Sosiaalinen vuorovaikutus oppimisessa ... 23
3.7.2. Kielentäminen matemaattisen ajattelun välineenä ... 24
3.8. Kielentäminen opetuksessa ... 26
3.8.1. Kielentäminen oppimisen tukena ja arvioinnissa ... 27
3.8.2. Kielentäminen eriyttämisen välineenä ... 29
3.8.3. Kielentäminen oppiaineiden integraation tukena ... 30
3.8.4. Kielentäminen opetussuunnitelmassa... 31
3.9. Oppimisen arvioinnista ja itsearvioinnista ... 31
3.10. Tutkimushistoriaa ... 32
4. Tutkimuskysymykset ... 33
5. Metodit ... 35
5.1. Aineisto ... 35
5.2. Osallistujat ... 36
5.3. Toteutus ... 38
5.4. Esimerkkejä aineiston analyysistä ... 40
6. Tulokset... 46
6.1. Kielentäminen matemaattisen ajattelun itsearvioinnissa ja oppilasarvioinnissa ... 46
6.2. Oppilaiden kokemukset kielentämisestä osana itsearviointia ja opiskelua ... 49
6.3. Pohdinta ... 51
7. Relevanttius ja validius... 58
7.1. Relevanttius ... 58
7.2. Validius ... 59
8. Yhteenveto ja johtopäätökset ... 61
9. Lähteet ... 64
10. Liitteet ... 67
2
1. Tiivistelmä
Kielentäminen on oppilaalle väline jäsentää ja reflektoida ajatuksiaan. Kielentämisen käsitetään myös olevan väline uusien käsitteiden määrittelyssä sosiokonstruktivismin periaatteita hyödyntäessä. Tässä tutkimuksessa painotetaan kielentämisen merkitystä osana ongelmanratkaisuprosesseja ja sitä kautta oppilaan käsityksiä itsestään matemaattisena ajattelijana ja ongelmanratkaisijana. Tarkoituksena on tarkastella kielentämistä itsearvioinnin ja oppilasarvioinnin näkökulmasta osana jatkuvaa arviointia matematiikan oppitunneilla.
Kielentämisen käsitteeseen perehdytään tarkemmin matemaattisen ajattelun, asenteen ja luovuuden näkökulmasta sekä pohditaan, mitä kielentäminen merkitsee osana ongelmanratkaisuprosessia.
Tutkimukseen osallistui kaksi kolmen hengen ryhmää kolmannelta luokalta. Nämä ryhmät valittiin luokan opettajan toimesta tarkoituksellisesti tutkimusta varten, ja heistä pyrittiin saamaan mahdollisimman kattava otos kokonaista luokkahuonetta ajatellen. Aineistoa analysoidaan laadullisena tutkimusaineistona ja empiirisen tutkimuksen näkökulmasta.
Tärkeimpinä lähteinä tutkimukselle ovat varsinkin M. Isodan teos matemaattisesta ajattelusta ja kuinka sitä voidaan kehittää luokkahuoneympäristössä sekä J. Joutsenlahden artikkelit kielentämisestä osana matematiikan oppituntia ja osana sosiokonstruktivistista käsitteen määrittelyprosessia. Uusi opetussuunnitelma on osittain perusteena tutkimuksen toteuttamiselle sekä antaa painoarvoa tutkimuksen relevanttiudelle nykyisessä koulukulttuurissa.
Tutkimuksen tuloksena oppilaat kokivat kielentämisen työskentelytapana tervetulleeksi vaihteluksi.
He pystyivät työskentelyn perusteella antamaan realistisen arvion itsestään ongelmanratkaisijana ja matemaattisena ajattelijana. Kielentäminen auttoi ongelmaratkaisuprosessin jäsentämisessä ja se antoi hyvät edellytykset oppilaille kehittää matemaattisen argumentoinnin taitoja dialogien kautta. Työskentelyä ja itsearviointia seuraamalla myös opettajalla tai ryhmän ohjaajalla on erinomainen mahdollisuus arvioida oppilaan matemaattisen ajattelun sekä ymmärryksen tasoa opetettavasta aihealueesta. Mikäli opettajalla on tarkoitus tietyssä kokonaisuudessa osana matematiikan oppitunteja arvioida oppilaiden ymmärrystä opiskeltua teemaa kohtaan ja matemaattista ajattelua, kielentäminen toimii erinomaisena välineenä myös opettajan tekemän arvioinnin pohjana.
3 Suosittelenkin tutkielmaan perehtymistä varsinkin luokanopettajille ja matematiikan opettajille, jotka opettavat tai tulevat opettamaan alakoulussa matematiikkaa. Tutkimuksen avulla teoreettinen pohja kielentämiselle ja sen merkitykselle oppilaan arvioinnissa ja itsearvioinnissa selkeytyy opettajaksi aikoville tai jo opettajana toimiville, jotka haluavat laajentaa näkemystään matemaattisesta ajattelusta, ongelmanratkaisusta ja niiden kehittämisestä alakoul uympäristössä itsearvioinnin kautta. Tutkimuksen perusteella voidaan todeta, että kielentämistä tulisi harjoittaa enemmän luokkahuoneympäristössä ja metodina se auttaisi myös opettajaa oppilasarvioinnissa.
Myös oppilaat kokevat kielentämisen omalla äidinkielellään luonnolliseksi tavaksi harjoittaa matemaattista ajattelua. Samalla heidän käsitykset itsestään matemaattisena ajattelijana ja ongelmanratkaisijana olivat realistisia.
66 sivua, 8 liitesivua.
4
1.2. Abstract
Languaging is a tool to organize thinking processes and it is considered traditionally as a way to define new terms by sosioconstructivist learning theory. In this study, we highlight the meaning of languaging in problem solving processes. We study how languaging can be a part of students’ self- evaluation and how it effects on students views of themselves as problem solvers and mathematical thinkers. Mathematical thinking, attitude and creativity are the key-terms when studying languaging as a term. We study, what languaging is as a part of problem solving processes and method.
Two groups participated to the research and in each group, there were three students. These students were selected by the teacher of the class to represent the hole class. The collected data is analyzed as a qualitative research data and the study is mainly empirical.
The most important sources to this study are the book Mathematical thinking – how to develop it in the classroom by M. Isoda and the articles by J. Joutsenlahti about languaging as a part of mathematic lessons and sosioconstuctivistic concept defining processes. The new curriculum of Finland by Finnish National Agency for Education acts as a reason to execute this study. The study’s relevance also comes from the curriculum as it has highlighted the necessity of mathematical and critical thinking in education.
As the results of this study student found the new way of approaching mathematics by problem solving and languaging as a way to solve problems very welcomed change to the normal math lessons. By languaging they could evaluate themselves as problem solvers and mathematical thinkers very realistically. Languaging guided the structuring of students’ problem-solving processes. Method also gave the students a chance to develop their mathematical argumentation skills by means of dialog. By observing these languaging processes and the dialogs that appear teacher can assess participants mathematical thinking and their understanding of the subject and themes.
This paper is recommended to everyone teaching mathematics and everyone willing to teach mathematics. Based on the study can be stated that languaging should be practiced more in the classroom. It can help teachers to evaluate students learning, understanding and also student them selves to self-evaluate their skills and knowledge. When languaging is used based on pupils’ native language it is natural and the easiest method to increase students understanding and self-evaluation skills in mathematics.
5
2. Johdanto
Kiinnostukseni matemaattiseen ajatteluun ja sen kehittämiseen pohjautuu omista kouluajoistani.
Minulle matematiikka kouluaikana tarkoitti suorittamista ja korkeiden arvosanojen tavoittelua kovalla mekaanisella harjoittelulla. Tultuani yliopistoon ymmärsin, että matematiikan jo alakoulussa tulisi olla matemaattisen ajattelun kehittämistä ja rikastamista erilaisin keinoin, jossa mekaaninen laskeminen on väline matemaattisen kielen avulla itsensä ilmaisuun. Koska valmistun opettajaksi, halusin perehtyä tarkemmin mahdollisuuksiin ja tapoihin kehittää matemaattista ajattelua koulussa.
Sitä kautta löysin kielentämisen käsitteen.
Kielentämisestä puhutaan yleensä uusien käsitteiden muodostamisen yhteydessä. Kielentäminen matematiikassa liittyy oppilaan oman ajatteluprosessin sanallistamiseen esimerkiksi uutta käsitettä konstruoidessaan. Oppilas selittää käsitteen sisältöä muille ja samalla keskittyy sen keskeisimpiin piirteisiin sekä oman matemaattisen ajattelunsa jäsentämiseen. Aikaisemmin toteuttamassani esitutkimuksessani totesin, että kielentäminen voidaan tulkita yhtä lailla myös ongelmanratkaisun välineeksi, jota oppilaat voivat hyödyntää aktiivisesti ja jatkuvasti omaa ajatteluaan kriittisesti tarkkaillen. Pro-gradu-tutkimuksessa perehdytään tarkemmin oppilaiden aktiiviseen itsensä arvioimiseen ja tutkitaan sitä, voiko kielentämällä arvioida niin itseään kuin muita ongelmanratkaisijoina ja matemaattisina ajattelijoina.
Toteutin loppusyksystä 2016 esitutkimuksen pro-gradu aiheeseeni liittyen aiheena ”kielentäminen ongelmanratkaisun välineenä”. Esitutkimuksessa tarkoituksena oli luoda pohjaa varsinaiselle pro- gradu tutkimukselle ja tutkia sitä, koetaanko kielentäminen osana ongelmanratkaisua. Tämän tutkimuksen tuloksena totesin, että aikuisryhmässä kielentäminen loi hyvän pohjan ongelmanratkaisulle ja se helpotti ryhmässä oppimista. Kirjallisesti kielentäneet kokivat tehtävän hankalaksi, mutta heidän mielestään oli rakentavaa kirjata aatteitaan ylös paperille. Suullisesti ryhmässä kielentäneet kokivat oppivansa muiden ongelmanratkaisusta ja perusteluista. Pro- gradussa viitattaessa edelliseen tutkimukseen, viittaan tutkimuksesta tehtyyn raporttiin.
Esitutkimuksessa perustana oli kaksi matemaattista ongelmaa, jotka esitettiin osallistujille pulmatehtävinä. Heidän tehtävään oli ensin omana aikanaan ratkaista tehtävät ja kirjoittaa ratkaisuun johtanut prosessi paperille. Tämän jälkeen suuremmassa ryhmässä käytiin ratkaisut läpi ja yksinkertaistettiin ratkaisuja. Kielentäminen oli tässä väline tuoda ajatteluaan ongelmanratkaisun alla esille ja siten kertoa ajatuksistaan liittyen tehtävään omalla äidinkielellään. Kielentäminen
6 tapahtui aluksi kirjallisesti ja lopuksi dialogien kautta suullisesti. Varsinaisessa pro-gradu tutkimuksessa keskitytään luonnollisella kielellä suullisesti tapahtuneeseen kielentämiseen.
Tässä varsinaisessa tutkimuksessa keskitytään oppilaiden kokemuksiin kielentämisestä ja heidän ajatuksiinsa siitä, auttaako kielentämällä työskentely heitä arvioimaan itseään realistisesti matemaattisina ongelmanratkaisijoina ja ajattelijoina. Perehdytään kielentämisen käsitteeseen sekä kielentämisen taidon kehittämiseen ja merkitykseen kouluympäristössä. Tutkitaan, miten kielentämistä voidaan hyödyntää matematiikan opiskelussa ja opetuksessa. Tutkitaan myös, voiko opettaja seuraamalla kielentämistä perustaa arviointinsa tällaiselle työskentelylle. Matematiikan kieli sekä matemaattinen argumentointi ovat osana tutkimuksen teoriaa. Matemaattinen ajattelu, asenne ja luovuus ovat pohjana kielentämisen tutkimiselle ja eräänlaiselle mittaamiselle.
Teoreettinen viitekehys perustuu sosiaaliseen konstruktivismiin. Korostetaan tiedon sosiaalista ja kulttuurillista alkuperää yhteisöllisen toiminnan ja oman kulttuurin kielen kautta. Oppija nähdään oman tietonsa rakentajana ja opettaja toimii ohjaavana voimana oppilaan oman ajattelun tukena ja suunnannäyttäjänä. Kieli nähdään keskeisessä asemassa, koska kielentäminen tapahtuu lähinnä oman äidinkielen saattelemana, jonka jälkeen se on mahdollista kääntää matematiikan symbolikieltä hyödyntäen universaalisti ymmärrettäväksi matematiikan kieleksi. Oppilas nähdään aktiivisena oppijana, joka pyrkii aktiivisesti kehittämään ja kriittisesti arvioimaan itseään ja omaa toimintaansa rakentavasti.
Uusimmassa opetussuunnitelmassa (2014) on vaadittu matemaattisen ajattelun korostamista sekä itsenäisen työskentelyn merkitystä. Myös itsearviointi sekä vertaisarviointia on korostettu osana oppilaan arviointia opettajan tekemän oppilasarvioinnin lisänä. Kielentäminen tuo opettajille vuorovaikutuksellisen metodin tutkia oppilaiden kanssa joko valmiita tai yhdessä muodostettuja matemaattisia ongelmia. Kielentämisen taito ulottuu myös muihin oppiaineisiin, joten taidon oppiminen hyödyntää myös muissa oppiaineissa kuin matematiikassa. Kielentäessä niin määritelmiä kuin prosessejakin, nämä tiedot ja taidot selkiytyvät oppilaalle tavalla, joka kehittää matemaattisen ajattelun kehittymistä. Kielentäminen on siis eräs monia oppiaineita yhdistävä ja integroiva metataito, jonka hallitsemalla oppilas pystyy parantamaan oppimistaan.
Tutkielmassa perehdytään aluksi matemaattiseen ajatteluun, luovuuteen ja asenteeseen.
Ongelmanratkaisu menetelmänä on tärkeä osa matemaattisen ajattelun kehittymistä ja Polyan ongelmanratkaisuprosessit tuovat selkeän teoreettisen mallin ongelmanratkaisuprosessien
7 tarkastelemiseen. Käsitellään matematiikan kieltä omana kielenään äidinkielen rinnalla ja pohditaan kielen vaikutusta ongelmanratkaisuun ja sitä kautta kielentämiseen. Kielentäminen avataan suurena teemana niin opetuksen, opiskelun kuin opetussuunnitelman ja muiden oppiaineiden integraation kautta. Itsearvioinnin muihin menetelmiin ei tässä tutkimuksessa paneuduta. Varsinainen tutkimus ja tutkimuskysymykset käsitellään teoreettisen viitekehyksen jälkeen. Tulosten pohdinta ja analyysi, sekä relevanttiuden ja validiuden tarkastelu tapahtuvat tutkielman loppupuolella.
8
3. Teoreettinen viitekehys
3.1. Matemaattinen ajattelu
Matematiikan oppiminen edellyttää matemaattisen ajattelun kehittymistä. Matemaattisen ajattelun kehittämisen tavoitteena on oppia ratkaisemaan matemaattisia ongelmia. Mikäli oppilas omaa hyvät matemaattisen ajattelun taidot, hän pyrkii löytämään oppimilleen matemaattisille teorioille käytännön sovelluksia ympäröivästä maailmasta (Isoda, 2012). Matemaattinen ajattelu ohjaa etsimään säännönmukaisuuksia, tekemään johtopäätöksiä ja luokittelemaan asioita. Se myös ohjaa keksimään ja kokeilemaan erilaisia ratkaisumalleja ongelmia ratkaistessa (Ilmavirta &
Pehkonen, 1995). Ajattelun kehittäminen sujuvoittaa tehtävien varsinaisen merkityksen ymmärtämistä ja ratkaisun löytämistä. Tämä on tavoitteena myös uudessa opetussuunnitelmassa, kun ajattelun ja oppilaiden oman tiedonrakentamisen merkitystä korostetaan.
Matematiikan koulussa ei tulisi olla vain laskemista, vaan päämäärä opetuksessa tulisi olla ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelun kehittäminen (Pehkonen, 2012). Tärkein taito, joka oppilaan tulisi kouluaikanaan oppia, ei ole taito suorittaa tai ratkaista tehtäviä nopeasti, vaan taito ymmärtää, mitä heidän tulisi tehdä tai mitä heidän tulisi vaatia itseltään saavuttaakseen tavoitteensa. Taitoa tulisi harjoitella portaittain ja systemaattisia metodeja hyödyntäen.
Matemaattisen ajattelun kuvataan muodostuvan systemaattisten kykyjen tasoista, jotka Isoda esitteli teoksessaan nimellä ”the levels of scholastic abilities”. Näistä tasoista heikoin on kyky muistaa laskutoimitusmetodeja ja laskea mekaanisia laskutoimituksia. Seuraavana tasona on ymmärrys laskusäännöistä ja niiden formaalis ta käytöstä laskutoimituksessa ja kolmantena kyky ymmärtää jokaisen laskutoimitusoperaation tarkoituksen ja osaa sen perusteella päättää kuhunkin ongelmaan siihen sopivat laskutoimitusoperaatiot. Nämä ovat niitä mekaanisia laskutaitoja, jotka ovat olennaisia myös matematiikan kielen ymmärtämisen kannalta. Kuitenkin mikäli pyrkimys on matemaattisen ajattelun kehittämisessä, seuraavana tasona on kyky harkita laskutoimitusten tarpeellisuutta ja löytää parempia ratkaisuvaihtoehtoja ratkaisemiinsa ongelmiin. Toiseksi ylimpänä kykynä on taito muodostaa ongelmia edellisten perusteella vaihtamalla ehtoja tai tilanteita. Näin hän voi pyrkiä muodostamaan yleistyksiä ratkaisuihin. Ylimpänä tasona on kyky luovasti muodostaa ongelmia ja ratkaista niitä. Mitä ylemmälle tasolle päästään, sitä itsenäisempää ajattelun tason tulee olla. (Isoda, 2012)
9 Kuva 1. Matemaattisen ajattelun systemaattiset kyvyt M. Isodan mukaan.
Matemaattinen ajattelu on se liikkeellepaneva voima, joka mahdollistaa tiedon ja taidon kehityksen siihen suuntaan, johon yksilö kokee niitä tarvitsevansa. Esimerkiksi hän voi kehittää tietojaan ja taitojaan niin, että hän kykenee ratkaisemaan tietynlaisia matemaattisia ongelmia (Isoda, 2012).
Päästäkseen hyvälle matemaattisen ajattelun tasolle, oppilaan tulisi omata taito kehittää ideoita itsenäisesti ja myös toteuttaa niitä saavuttaakseen tavoitteensa. Tavoitteiden asettelu on myös itsenäistä ja omia tarpeitaan vastaavaa. Oppilailla tulisi olla tarve yksinkertaistaa ratkaisujaan ja metodejaan ongelmia ratkaistessa. Ratkaisun tulisi olla yksikäsitteinen ja ratkaisijan pyrittävä tekemään yleistyksiä ratkaisunsa pohjalta. Matemaattinen ajattelu siis mahdollistaa sen, että oppilas voi itse harjoittaa taitojaan opiskella itse itseään varten sekä sen, että oppilas ymmärtää tiedon ja taidon tärkeyden opiskelussa (Isoda, 2012).
Kuten Haapasalo mainitsee teoksessaan Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu, ongelmanratkaisu edellyttää matemaattista ajattelua. Ongelmanratkaisussa keskitytään nyt matemaattisiin ongelmiin,
Sy ste m aa ttis et ky vy t
Luova ongelmien muodostaminen ja ratkaiseminen
Ongelmien muodostaminen edellisten ongelmien perusteella
Laskutoimitusten tarpeellisuuden tarkastelu, parempien ratkaisuvaihtoehtojen löytäminen
Ongelmaan sopivan
laskutoimitusoperaation valitseminen ja operaatioiden tarkoituksen
ymmärtäminen
Laskusääntöjen ymmärtäminen
Laskutoimitusmetodien muistaminen ja mekaanisten laskutoimitusten
suorittaminen
A J A T T E L U N I T S E N Ä I S T Y M I N E N
10 mutta samaan tapaan ongelmia voi esiintyä muissakin oppiaineissa, joissa matemaattisen ajattelun kehittäminen hyödyntää oppilasta. Matemaattisen ajattelun kehittyminen auttaa oppilasta kehittämään ajatteluaan myös muiden oppiaineiden saralla, kun halu kehittää itseään itsenäisesti ja itseään varten on syntynyt. Matemaattiseen ajatteluun kuuluu myös luovuuden ulottuvuus, joka vaikuttaa pitkälti monissa muissakin oppiaineissa kuin vain matematiikassa. Luovuuden merkitys liittyy juurikin ongelmanratkaisuun ja kyseisen taidon kehittämiseen. Myös loogisen päättelykyvyn kehittyminen on osa matemaattisen ajattelun kehittymistä. Looginen päättelykyky mahdollistaa matemaattisen kielen ja strategioiden hyödyntämisen tehtävässä tai ongelmassa mielekkäällä tavalla.
Kuten M. Isoda kertoo teoksessaan, monesti opettajilla käsitys matematiikan oppimisesta on se, että mikäli oppilas omaksuu tarpeeksi hyvät aritmeettiset taidot, opettaja on onnistunut tehtävässään. Yleensä opetus tapahtuu ilman matemaattisen ajattelun tason kehittämistä. Toisin sanoen, opettajat eivät ymmärrä matemaattisen ajattelun tärkeyttä itse matematiikassa ja myöhemmässä oppilaan opintien kehityksessä (Isoda, 2012). Toisaalta opettajat eivät välttämättä ymmärrä, mitä matemaattinen ajattelu on tai kuinka sitä tulisi kehittää. Jos oppilasta kerrotaan hyödyntämään jotakin tiettyä tietoa tai taitoa ongelman ratkaisemiseen, he tietenkin käyttävät juuri sitä tietoa tai taitoa kyseiseen ongelmaan. Kuitenkaan tässä oppilas ei opi tai ymmärrä sitä, miksi juuri kyseistä tietoa tai taitoa käytetään juuri tällaisissa ongelmissa (Isoda, 2012). Tällöin hän ei myöskään ymmärrä sitä, miksi uusi opeteltu taito on hyödyllinen. Opettajan oikea rooli matemaattisen ajattelun kehittämisessä on se, että hän osaa tuoda esille sopivan tasoisia ongelmia ja osaa ohjata lapsia ratkaisuun ilman valmiita ohjeita ja askelia. Sama pätee monissa muissa oppiaineissa; esimerkiksi käsitöissä joskus valmiin kaavan ja toimintamallin antamisen sijaan opettaja voisi antaa oppilaille mahdollisuuden pyrkiä päättelemään seuraava askel ja minkä jokin vaihe käsityön toteuttamisessa täytyy toteuttaa ennen jotakin toista. Tämä antaisi oppilaille valmiuksia myös arvioida omaa päättelykykyään ja tarvettaan kehittää sitä edelleen.
Matemaattinen ajattelu antaa oppilaalle halun ja tahdon kehittää taitoaan opiskella ja oppia itse.
Näin he myös ymmärtävät oppimiensa teorioiden, teemojen, tiedon ja taidon tärkeyden.
Matemaattinen ajattelu antaa myös valmiudet tietoisesti päätellä, minkälaisia kykyjä tai taitoja tarvitaan kohdatessa tietynlaisia ongelmia (Isoda, 2012). Mikäli matemaattista ajattelua ei tapahdu, oppilas turvautuu tiettyyn taitoon kohdatessaan ongelman ja mikäli ongelma ei ratkea, hän ei ymmärrä, mitä pitäisi tehdä seuraavaksi.
11 Matemaattisessa ongelmanratkaisussa vaikuttaa aina kolme ulottuvuutta; ongelma eli tilanne, jossa matemaattista ajattelua hyödynnetään, ihminen joka ongelmaa ratkaisee ja strategia, jolla ongelmaa lähdetään ratkaisemaan (Isoda, 2012). Tämän takia opettajan tulisi antaa oppilaille keinot kehittää omaa ajatteluaan, koska hän ei jokaisessa ongelmatilanteessa pysty katsomaan samaa ongelmaa jokaisen ihmisen ajattelumaailmasta käsin jokaisella strategialla jota saatetaan käyttää.
Kun oppilaat pääsevät keskustelemaan ja vertailemaan omia kielennettyjä prosessejaan, he oppivat uusia näkökulmia ja ratkaisuvaihtoehtoja samoihin ongelmiin ja näin laajentavat ajatteluaan.
3.2. Matemaattinen asenne
Tässä yhteydessä asennetta matematiikkaa kohtaan ei tule sekoittaa matemaattiseen asenteeseen.
Asenne oppiainetta matematiikka kohtaan voi vaikuttaa oppilaan käsitykseen omasta pystyvyydestään ja taidoistaan matemaattisten teemojen suhteen, mutta se ei vaikuta matemaattisen ajattelun tasoon ja kehitykseen. Jos asenne matematiikkaa kohtaan on negatiivinen, kehitys matematiikan (esimerkiksi laskuopin) saralla saattaa pysähtyä, mutta tällainen negatiivinen asenne ei välttämättä vaikuta matemaattisen ajattelun ja asenteen kehitykseen.
Matemaattinen asenne mahdollistaa matemaattisen ajattelun syvällisemmän ja tärkeimpien osien kehittämisen. Mikäli oppilas omaa hyvin kehittyneen matemaattisen asenteen, hänellä on tapana kehittää omaa matemaattisen ajattelun tasoaan itsenäisesti ja rakentavasti. Kun oppilaalle esitetään matemaattinen ongelma, hän saattaa alkuun kyseenalaistaa annettuja ehtoja tehtävän ratkaisua varten ja pohtii niiden tarpeellisuutta oma-aloitteisesti. Hän osaa myös pohtia ehtojen riittävyyttä, jotta vastaus olisi yksikäsitteinen. Oppilaalla on myös halu ratkaista ongelmia itsenäisesti omien kykyjensä mukaisesti. Samalla hän pyrkii kehittämään näitä valmiita taitojaan ongelman ratkaisemiseksi. Hän pyrkii löytämään erilaisia ratkaisumetodeja samalle ongelmalle ja pyrkii selkeyttämään sekä ongelmaa että vastausta mahdollisimman yksinkertaiseksi. Oppilaan omat hypoteesit ratkaisuprosessin ja vastauksen suhteen ovat mahdollisimman selkeitä ja yksinkertaisia.
Kuitenkin nämä taidot eivät tarkoita sitä, että vastaus olisi oikein, mutta oppilas on kuitenkin osoittanut taitoaan lähteä jäsentämään ja ratkaisemaan tehtävää käyttäen ongelmanratkaisutaitojaan. Oppilas pyrkii myös kehittämään uusia ongelmia täsmentääkseen ilmiötä ja sen ratkaisuun johtavia vaiheita.
12 Matemaattista asennetta ei kuvasta oppilaan kyky suorittaa valmiiksi annettuja askeleita ratkaisun löytämiseksi. Vaikka oppilas osaa ratkaista tehtävän mekaanisesti, hänelle ei välttämättä ole kehittynyt ymmärrystä siitä, mikä tehtävän ratkaisussa oli oleellista ja miksi vastaus on se minkä hän laskemalla on eteensä saanut. Mikäli oppilaalle on kehittynyt matemaattinen asenne, hän osaa arvioida vastauksen oikeellisuutta, hän ymmärtää prosessin vastauksen takana ja osaa sanallistaa omaa ajatteluaan tehtävää ratkaistessaan.
Esitellään esimerkki teoksesta M. Isoda; Mathematical Thinking – How to Develop it in the Classroom. Tässä oppilaalle on esitetty desilitran mitta. Hänen tehtävänään on kahdesta erikokoisesta astiasta selvittää mitan avulla, kuinka paljon toisessa astiassa on enemmän vettä kuin toisessa. Mitatessaan vesimäärää, hän saa tulokseksi esimerkiksi 3dl, mutta astiassa on silti vielä alle desilitran verran vettä. Mikäli oppilas ei omaa matemaattista asennetta, hän ei välttämättä välitä asiasta ja toteaa, että astiassa on 3dl ja vähän päälle vettä. Kuitenkin, jos oppilas on kehittänyt matemaattisen asenteen, hänellä on halu antaa mitta tarkasti ja tällöin hän joko kehittää uuden mittayksikön käytettäväkseen (esimerkiksi 3dl ja kaksi korkillista) tai lähtee jakamaan desilitran mittaa pienempiin osiin (esimerkiksi, 3dl ja kolmasosa desilitrasta tai 3,3dl ).
Ongelman ratkaisuun johtaneet askeleet, niiden sanallistaminen ja yhdessä läpikäyminen ovat tärkeitä vaiheita matemaattisen ajattelun kehittymisen kannalta. Varsinkin, jos tehtävään on useita erilaisia ratkaisuja tai ratkaisumetodeja, mahdollisimman monien erilaisten ratkaisujen ja metodien läpikäyminen yhdessä on tärkeää. Tällaisen ajattelun kehittymiselle ideaalisia tehtäviä ovatkin siksi avoimet tehtävät, joihin ei ole yhtä ainoaa oikeaa ratkaisua. Kuitenkin tehtävien tulisi olla oppilaiden osaamistasoa vastaavia, joten opettajan on oltava aktiivinen tehtäviä valitessaan tai muodostaessaan. Esimerkiksi opetussuunnitelmaan vetoaminen ja sen mukaan eteneminen ovat ongelmien valitsemisen perusteena hyviä.
Kun oppilaat esittävät ratkaisujaan, on opettajan pohjustettava seuraavaksi opetettava asia oppilaiden vastauksien perusteella. Hänen tulee aktiivisesti käyttää oppilaiden omia päättelyjä hyväkseen, jotta oppilas pystyy ankkuroimaan uuden tiedon vanhaan omaan päättelyynsä. Tällöin oppilaat pystyvät myös kokoamaan oppimansa asiat yhteen tunnin loputtua, kun omat päättelyt ja opetettu asia punoutuvat yhteen. Useiden erilaisten ratkaisujen esittäminen on olennaista oppilaan matemaattisen ajattelun kehittymiselle ja sille, että annettujen tehtävien piilotavoitteet täyttyvät (Isoda, 2012). Oppilaiden ideoiden ja ratkaisujen esittelyssä taulutyöskentely on hyödyllistä ja rakentavaa. Esitellessään ratkaisujaan oppilaat myös tiedostavat ajatteluprosessit, jotka johtiva t
13 tämän kaltaiseen ratkaisuun. Tiedostaminen johtaa myös kriittiseen ajatteluun siitä, onko ratkaisijalla omasta mielestään tarpeeksi hyvät matemaattiset taidot ja tieto ratkaista kyseisiä ongelmanratkaisutehtäviä. Itsearvioinnin pohjana voidaan pitää matemaattisen ajattelun, asenteen ja argumentoinnin taitojen arvioimista. Oppilaan tulisi arvioida itseään myös ongelmanratkaisijana.
Yksi matemaattisen asenteen osa-alue on ongelmien ratkaisuun liittyvän ajatteluprosessin kielentäminen. Mitä tarkemmin, yksinkertaisesti ja selkeästi oppilas osaa kielentää omaa matemaattista ajatteluaan, sitä korkeampi matemaattisen asenteen taso hänellä on. Kielentäminen sopii hyvin avoimien tehtävien ratkaisuprosessien läpikäymiseen ja sen kautta oppimiseen. Oppilas kirjaa tai kuvaa muistiin ajattelunsa vaiheet, lähtee yksinkertaistamaan ja selkeyttämään tätä prosessia ja esittää sen sitten muille. Tällöin hän voi sekä omasta että muiden ajattelusta oppia uusia menetelmiä matemaattiselle ajattelulle ja samalla kehittää matemaattista asennettaan.
Matemaattinen asenne taas on tärkeä oppilaan oman tietorakenteen kehittämisessä; hän osaa itsenäisesti kehittää ajatteluaan ja on aktiivisesti kehittämässä matemaattisia valmiuksiaan siihen suuntaan, mihin hän kokee sitä tarvitsevansa. Tällainen suunnan löytäminen tulisi viimeistään lukiossa olla oppilaille selkeää. Kun oppilaalla on tarve selittää ratkaisujaan ja niihin johtaneita päätelmiään, oppilas omaa kasvavan matemaattisen asenteen.
3.3. Matemaattinen luovuus
Matematiikkaa ja luovuutta ei yleensä ymmärretä kuuluvan yhteen omiin koulukokemuksiin nojaten. Koulukokemuksiin liittyy yleensä se, että matematiikka on lähinnä laskemista. Viholainen mainitsi artikkelissaan, että matematiikassa oppilailla on taipumus jäljitellä valmiita malleja uusien ideoiden keksimisen sijaan (Viholainen, 2010). Myös opetus vahvistaa tätä taipumusta, jossa oppilaiden luovuutta lähes rajoitetaan ja valmiiden metodien ja strategioiden käyttämiseen kannustetaan. Luovuuden kehittäminen on kuitenkin osa kaikkia oppiaineita myös opetussuunnitelmaan nojaten.
Matemaattisen ajattelun katsotaan jaottuvan kahteen erilaiseen ajattelutapaan; intuitiivista eli luovaa ajattelua ja sekä analyyttistä eli loogista ajattelua. Loogiseen ajatteluun kuuluu väitteen paikkansapitävyyden toteaminen joko todeksi tai epätodeksi käyttäen matemaattisia menetelmiä, kuten suoraa todistusta, epäsuoraa todistusta tai induktiota. Tässä ei siis juuri luovuutta tarvita, mutta matemaattista ajattelua siinä määrin, että osataan päätellä, minkälaisilla keinoilla tietty
14 ongelman ratkaisu voidaan todeta todeksi tai epätodeksi. Luovuus taas on oleellinen osa matemaattista ongelmanratkaisua. Menestyksekäs ongelmanratkaisija tarvitsee joustavaa ajattelua, joka taas on yksi luovuuden komponenteista Torrancen (1974) mukaan. Lähtiessään ratkaisemaan ongelmaa, ratkaisija kokeilee erilaisia vaihtoehtoja ongelman ratkaisemiseksi ja muodostaa näiden kokeilujen avulla hypoteesin ratkaisusta. Tämä hypoteesi taas yritetään todistaa joko todeksi tai epätodeksi logiikan keinoin. (Pehkonen, 2012)
Luova työ voidaan määritellä niin, että työn tuloksena tulee olla ”sellainen ennestään tunnettujen asioiden yhdistelmä, joka on tekijälleen uusi” (Pehkonen, 2012). Luovan työn tuloksena impulssit muutetaan erilaisia tekniikoita ja symboleita käyttäen kommunikoitaviksi tuotteiksi. Esimerkiksi ratkaistessa matematiikan ongelmia, tarvitaan sekä äidinkieltä eli luonnollista kieltä että matematiikan kieltä. Voidaan myös puhua luovasta ongelmanratkaisusta, jos sa luovuus yhdistetään osaksi ongelmanratkaisuprosessia. Periaatteena on se, että ratkaisuun ei päädytä aina samoja keinoja käyttäen, vaan ratkaisija aktiivisesti kehittää uusia metodeja ja työkaluja vastaamaan kyseessä olevaa ongelmaa ratkaistessaan sitä. Tässä suurena osana on myös kielentäminen ja varsinkin dialogien kautta kielentäminen, koska osana luovaa ongelmanratkaisua on hyvin usein osallisena esimerkiksi aivoriihi tai ns. tuumatalkoot (Pehkonen, 2012). Koska matematiikan oppiminen on vahvasti tilannesidonnaista, toiminta ja konteksti, jossa oppiminen tapahtuu, tulisi pitää yhdessä opiskelutilanteessa (Pehkonen, 2012). Ympäristö ongelmanratkaisussa on tärkeä, sillä oppilaiden tulisi ymmärtää, että ongelmanratkaisua tapahtuu muuallakin, kuin luokkahuoneympäristössä. Kuten Pehkonen asian ilmaisi, ”aktiivinen työskentely asettaa oppilaat todelliseen ongelmanratkaisuympäristöön ja voi täten yhdistää todellisen elämän ja luokkahuoneilmiöt keskenään” (Pehkonen, 2012). Luovuuden kehittämisen kannalta avoimet ongelmanratkaisutehtävät ovat erittäin rakentavia.
Pehkonen (2012) esitteli artikkelissaan ongelmanasettelun osana matemaattista ongelmanratkaisua ja luovuuden kehittämistä. Ongelmanasettelu on siis yksi tapa kehittää luovuutta. Jos ongelma on avoin siten, että sen ratkaisemiseksi vaaditaan toisten ongelmien muotoilemista, kyseisessä ongelmassa tarvitaan ongelmanasettelua. Ongelmanasettelu on melko vapaata työskentelyä, jossa uusia ongelmia ei rajoita juuri muu kuin alkuperäinen ongelma. Yleensä ongelmanratkaisutyyppisissä tehtävissä ongelmanasettelulla saadaan aikaan uusia, mielenkiintoisia ongelmia, joita pohtimalla voidaan alkuperäistä ongelmaa selkeyttää ja ratkaisuja yleistää.
15 Alkuperäistä ongelmaa voidaan kehittää esimerkiksi muuttamalla siinä annettua tietoa, kysyttyä tietoa tai ongelman rajoituksia. (Pehkonen, 2012)
3.4. Ongelmanratkaisu oppimisen ja matemaattisen ajattelun välineenä
Ongelmanratkaisu oppimisen välineenä on oleellinen matemaattisen ajattelun, asenteen ja luovuuden kehittymiselle. Ongelmanratkaisumenetelmässä oppilasta rohkaistaan tuottamaan ja kehittämään matematiikkaa itse ja itseään varten. Kuten Pehkonen (2004) artikkelissaan asian esittelee, tehtävä on ongelma, mikäli ratkaisija joutuu yhdistelemään opittuja as ioita hänelle uudella tavalla ongelman ratkaisemiseksi (Pehkonen, 2012). Ongelmaksi määritellään siis sellainen tehtävä, jonka ratkaisemiseen oppilaalla ei ole valmista ratkaisumallia (Ilmavirta & Pehkonen, 1995).
Ongelmanratkaisumenetelmässä ratkaisijoiden tulisi ohjauksen kautta luoda uusia työkaluja ongelmanratkaisun välineiksi ja kehittää matematiikkaa heille tarpeelliseen suuntaan. Opettajan tehtäväksi muodostuu oikean tasoisten ongelmien esittäminen ja motivoiminen niiden ratkaisemiseen (ks. Joutsenlahti). Vaikka opettaja esittääkin oppilaalle tehtävän, oppilas itse muodostaa ne ongelmat ja kysymykset, joihin hän loppujen lopuksi tarvitsee vastauksen. Kun ongelmatilanteissa käsitellään monen tasoisia tehtäviä, jokaisella oppilaalla on mahdollisuus onnistua omien kykyjensä mukaisesti (Ilmavirta & Pehkonen, 1995).
Ongelmanratkaisu oppimismetodina harjoittaa oppilaita kehittämään matemaattisia taitoja kuten prosessointitaitoja, ajattelua, päättelyä ja arviointia. Se myös kehittää pitkäjänteisyyttä ja sinnikkyyttä (Ilmavirta & Pehkonen, 1995), koska yleensä ongelmanratkaisutyyppiset tehtävät eivät ratkea heti ja vaativat useiden oppituntien mittaisia päättely- ja pohdintajaksoja. Ongelmanratkaisu- lähtöisessä opetuksessa opettaja tuo oppilaille esiin ongelman, jossa on piilotettuna varsinainen tehtävän tarkoitus. Opettajan rooli on johdattaa oppilaita kohti varsinaista ongelmaa; mikä meille muodostuu uudeksi ongelmaksi tätä alkuperäistä ratkaistaessa. Opettajan tulee myös kannustaa oppilaita itsenäiseen työhön. Mahdollisimman vähillä ohjeilla opettaja antaa oppilaille mahdollisuuksia toimia ennakko-oletustensa mukaisesti ja näin ratkaista tehtävä itsenäisesti omia oivalluksiaan hyödyntäen. Näin mahdollistetaan kokeellinen toiminta ja tarjotaan puitteet ajatte lun taitojen monipuoliselle kehittymiselle (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Mikäli yksittäinen oppilas ei pysty ongelmaa ratkaisemaan tai esittämään, hän pystyy kuitenkin oppimaan ystäviltään keskustelun ja pohdinnan kautta (Isoda, 2012). Opettajan tulisi myös johdatella tätä pohdintaa ja keskustelua varsinkin, jos ajatteluprosessi tuntuu pysähtelevän uhkaavasti ja ratkaisumetodit
16 toistavat itseään. Myös vastausten ja ajatteluprosessin reflektointi on tärkeää, joten opettajan on oltava valmis ohjaamaan reflektointia.
Ongelmanratkaisumetodissa, mikäli ongelmalla on enemmän kuin yksi oikea vastaus ja metodeja vastauksen saamiseen, ongelma asetetaan oppilaalle niin, että hän joutuu etsimään yhteyksiä jo opitun ja vielä tiedostamattomien asioiden välillä. Tässä tiedostamaton viittaa aspekteihin, joita ei ole vielä opittu, eikä niinkään vastaukseen itseensä. Esimerkiksi, mikäli yritetään selvittää monikulmion pinta-alaa ja oppilaat osaavat jo laskea neliön ja kolmion alat, miten saadaan monikulmion pinta-alan laskettua. Tämä on suunniteltua problematiikkaa oppilaille opettajan taholta. Suunniteltu problematiikka sisältää spesifimmän ongelman ja opettajan varsinainen opetuksen tavoite tulee esiin suunniteltua problematiikkaa ratkaistaessa. (Isoda, 2012)
Matemaattisissa tehtävissä syvin ajatus on se, että tehtävän ratkaistuaan oppilaan tulisi itsenäisesti huomata jotakin uutta näissä ratkaisuissa kysymällä esimerkiksi: ”voiko tätä ratkaisua tai siihen johtanutta päättelyä käyttää jossakin muualla?”. Tällöin puhutaan (Devlin, 1994) matematiikan yleistämisestä kuvioiden tieteenä. Kuvioina tässä tarkoitetaan erilaisia toimintamenetelmiä, kaavoja ja yhtäläisyyksiä tehtävien ratkaisujen ja metodien välillä. Tällaisten kaavojen yleispätevyyttä voidaan sitten tutkia ja yrittää yleistää niitä toimimaan erilaisissa tilanteissa. Jos tällaisia yleistyksiä voidaan tehdä, on näkymätön matematiikka tehtävän taustalla tehty näkyväksi. Jos oppilaat osaavat tällaisen ajattelun kautta tehdä olettamuksia siitä, millaisia askelia heidän tulisi tehdä ja millaiseen lopputulokseen luultavasti päästään vastaavanlaisissa uusissa tehtävissä, he ovat kehittäneet matemaattista ajatteluaan oppimisprosessien kautta. Tällaisia olettamus -askelia oppilaille tulisikin antaa mahdollisuus tehdä. Tällöin he osoittavat korkeamman asteen matemaattista ajattelua.
Kun oppilaat ratkaisevat tehtäviä, heille tulee antaa mahdollisuus toimia ennakko-oletustensa mukaisesti. Tämä kehittää matemaattista ajattelua. Oppilasta tulisi rohkaista yhdistelemään aikaisempia hankkimiaan tietoja uudella tavalla ja samalla kokeilemaan erilaisia ratkaisumalleja (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Kun oppilas tuntee, että on saanut sekä ratkaisun, että siihen johtaneet askeleet selville, hänen tulee sanallistaa ne itselleen. Tällöin hän voi esittää ratkaisunsa ja siihen johtaneet askeleet muulle ryhmälle. Erilaisten ratkaisujen esittäminen on tärkeää, koska erilaisten näkökulmien tarkastelu ja pyrkimys niiden ymmärtämiseen on välttämättömyys haluttujen tavoitteiden toteutumiselle. (Isoda, 2012) Tässä haluttuja tavoitteita ovat siis opettajan asettamien tiedostamattomien ongelmien löytäminen ja ratkaiseminen. On tärkeää pohtia löydettyjä ratkaisuja yhteisesti ja opettajan tehtävänä on rohkaista oppilaita kertomaan erilaisista
17 ratkaisuistaan (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Tällöin oppilaat ymmärtävät tai havainnoivat erilaisten ratkaisumahdollisuuksien kirjon.
Voidaan pohtia, voiko ongelmanratkaisua opettaa koulussa. Kuten Haapasalo ilmaisee asian kirjassaan Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu (2000), ”ongelmanratkaisun opettaminen tarkoittaa kaikkia sellaisia toimenpiteitä, joilla tuetaan oppilaan ongelmanratkaisun kehittymistä.”
Täten ongelmanratkaisun opettaminen ja sen oppiminen vaativat sellaisia keinoja, joilla oppilas voi aktiivisesti itse lähteä kehittämään omaa matemaattista ajatteluaan ja siten myös ongelmanratkaisutaitojaan. Ongelmanratkaisu on varsin kaoottinen menetelmä, jossa oppilaan ajattelu saattaa lennähdellä uusien ajatusten mukana kaikkialle. Kuitenkin voidaan tämän tutkimuksen pohjalta lopulta todeta, että tällainen kielentäminen osana ongelmanratkaisua voi omalta osaltaan selkeyttää oppilaan ajattelua ja sitä kautta lieventää turhautumista. Oppilas voi palata niihin aikaisempiin ajatuksiinsa, jotka johtivat häntä harhaan ja tämän perusteella miettiä uusia lähestymistapoja tutkia ongelmaa. Puhutaan ns. metakognitiivisista taidoista (katso esim.
Haapasalo (2000)).
Ongelmanratkaisuprosessissa myös luovuus voi tulla selkeästi esille. Kirjallisuudessa puhutaan yleisesti luovasta ongelmanratkaisusta, jossa nimenomaan painotetaan ongelmanratkaisua luovana prosessina (Pehkonen, 2012). Koska looginen ajattelu ja luovuus ovat lähinnä toistensa vastakohtia, loogisen ajattelun kehittäminen lähinnä estää luovaa ajattelua kehittymästä. Mikäli siis loogista ajattelua painotetaan liian paljon, luovuus ei pääse oikeuksiinsa ongelmanratkaisussa. Luovuutta kehitettäessä on luovuttava ylimääräisestä paineesta ja kontrollista, kuten aikarajasta.
Toiminnanvapaus on pakollinen tarve luovuuden kehittämiselle. (Pehkonen, 2012) Tällöin esimerkiksi avoimet ongelmat ja sen kaltaisten työskentelytapojen harjoittaminen on oiva ympäristö luovan ongelmanratkaisun kehittämiselle. Luova ongelmanratkaisu ei kuitenkaan ole mahdollista ilman hyviä matemaattisia perustaitoja.
Pehkonen totesi artikkelissaan, että sääntöjen ja algoritmien jatkuva painotus saattaa estää luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen kehittymisen (Pehkonen, 2012). Hän myös painotti avoimien tehtävien merkitystä ymmärtämisen nostamisessa ja luovuuden edistämisessä. Tehtävän sanotaan olevan avoin, jos sen sekä alku- että lopputilanne ei ole tarkkaan määritelty. Avoimilla tehtävillä on yleensä useita eri ratkaisuvaihtoehtoja, ja tehtävien tarkoituksena onkin löytää mahdollisimman monta erilaista ratkaisuvaihtoehtoa, ei niinkään ratkaisua itsessään. Avoimissa tehtävissä keskitytään siis luovuuden kehittämiseen matematiikanopetuksen puitteissa (Pehkonen,
18 2012). Tutkimustehtävästä taas puhutaan, mikäli tehtävä sisältää ongelmanratkaisua ja sen painopiste on nimenomaan luovassa ajattelussa. Tämän tyylisillä tehtävillä on yleensä myös useita erilaisia ratkaisuja, mutta voi myös olla, ettei ratkaisua ole ollenkaan. Tutkimustehtävätkin ovat siis luonteeltaan avoimia. (Ilmavirta & Pehkonen, 1995) Pulmatehtävistä puhutaan silloin, jos tehtävä ratketakseen vaatii ratketakseen ns. yhden oivalluksen. Ne ovat pääasiassa nopeasti ratkaistavissa ja yksinkertaisia. Näiden pulmatehtävien tasolle opetuksen ei kuitenkaan tulisi jäädä, vaan suositellaan monitasoisia tehtäviä, joissa kaikilla oppilailla on mahdollisuus osallistua omien kykyjensä mukaan ja lahjakkaimmatkin saavat osakseen haasteita. (Ilmavirta & Pehkonen, 1995) Ongelmanratkaisu edellyttää, että ratkaisija on tietoinen siitä, mitä matemaattisia menetelmiä hän hallitsee ja millaiseen käyttöön ne soveltuvat (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Oppijalla on siis suuri vastuu oman oppimisensa kriittisestä ja jatkuvasta arvioinnista sekä omien taitojensa aktiivisesta tiedostamisesta. Ongelmanratkaisu ja siinä sovellettava kielentäminen toimivat si is erittäin hyvä itsearvioinnin pohjana, koska omat taidot tulee tiedostaa, jotta ratkaisuprosessissa päästään haluttuun tavoitteeseen. Edellä mainittujen edellytysten lisäksi ratkaisijalla tulee olla mielenkiintoa ja pitkäjänteisyyttä ratkaista ongelmia, joita hänelle esitetään tai hän itse esittää.
3.5. Polyan ongelmanratkaisuprosessi
Esitellään seuraavaksi Polyan ongelmanratkaisuprosessi (Haapasalo, 2000), jota voidaan käyttää kielennettyjen ongelmanratkaisujen tarkastelemiseen. Polyan ongelmanratkaisuprosessin on esitellyt esimerkiksi Haapasalo teoksessaan Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu (2000).
Ensimmäisenä ongelma ns. löydetään, eli motivoidutaan ongelman ratkaisemiseen ja aletaan tuottaa ensimmäisiä ongelmanratkaisuun johtavia askeleita. Tässä vaiheessa tiedostetaan, mikä on tehtävän perimmäinen ongelma ja ymmärretään ongelmanasettelu. Ratkaisijat saattavat joutua muotoilemaan ongelman uudelleen haluttujen ratkaisujen saamiseksi, eli he joutuvat itse toteuttamaan ongelmanasettelua.
Seuraavaksi muodostetaan ratkaisusuunnitelma. Tässä pohditaan ylipäätään ongelman mielekkyyttä ja päämäärää. Kohdehenkilöt saattavat miettiä, miksi tällaista ongelmaa edes esitetään ja mikä on ongelman ratkaisun tarkoitus. Ratkaisusuunnitelman laatimiseen liittyy olennaisesti myös ongelman olennaisimpien osien löytäminen, ongelman ehtojen ja tietojen analysoiminen ja lähtötietojen tarkastelu. Ratkaisija saattaa myös muuttaa näitä lähtöarvoja ja rajoja tarkastellakseen ongelman mielekkyyttä yleisellä tasolla. Ratkaisija voi yrittää pohtia edellisiä
19 samankaltaisia ratkaisemiaan tehtäviä ja turvautua niistä saatuun tietoon. Mikäli aikaisemmin ratkaistuista tehtävistä ei tunnu olevan apua, ratkaisija pyrkii luomaan uusia ideoita ratkaisuun päästäkseen.
Kun ratkaisusuunnitelma on laadittu, siirrytään sen toteuttamiseen. Ratkaisija pyrkii toteuttamaan asettamansa suunnitelman vaiheet mahdollisimman tarkasti ja huolellisesti. Jos edellinen ratkaisusuunnitelma ei pitänyt paikkaansa tai ei ole toistettavissa, ratkaisija siirtyy takaisin muodostamaan uuden ratkaisusuunnitelman ongelmalle. Todellisen ratkaisun löydyttyä hän määrittää ratkaisunsa sellaiseen muotoon, että kaikki vaadittavat ongelmanratkaisun vaiheet ovat selkeitä ja yksinkertaisia. Tässä tutkimuksessa ratkaisut esitel lään muille, joten kohdehenkilöille annetaan aikaa selkeyttää ratkaisujaan tuhoamatta kuitenkaan alkuperäistä ajatusprosessiaan.
Viimeisenä vaiheena on prosessin tulkinta ja palautteen vastaanottaminen. Ratkaisuprosessia tarkastellaan vielä sen oikeellisuuden ja täydellisyyden varmistamiseksi mm. perustelemalla ratkaisun vaiheet mahdollisimman monella eri tavalla. Omat ongelmanratkaisuprosessit siis esitellään muille ja niistä saadaan rakentavaa palautetta. Muiden avatuista ongelman- ratkaisuprosesseista oppilas voi myös saada oppimisen kokemuksia ja näin laajentaa näkökulmaansa ratkaistavasta asiasta. Muiden oppilaiden kielennetyistä ongelman- ratkaisuprosesseista oppilas voi saada omaan käyttöönsä ideoita ja menetelmiä, joita hän pyrkii hyödyntämään uusissa ongelmanratkaisutilanteissa.
3.6. Matematiikan kieli
Tutkimuksessa kieli on jaoteltu neljään eri muotoon. Näitä muotoja ovat luonnollinen kieli, kuviokieli, matematiikan symbolikieli ja toiminnan kieli. (Joutsenlahti & Rättyä, 2014) Kieli siis sisältää puhutun ja kirjoitetun kielen, kuvat, ilmeet ja eleet sekä matemaattisen symbolikielen (Joutsenlahti & Rättyä, 2014). Oppilas voi kielentäessään käyttää yhtä tai useampaa kielen muotoa.
Keskitytään kuitenkin omalla äidinkielellä tehtävään kielentämiseen ja matematiikan kielellä tehtyyn kielentämiseen. Kuten Joutsenlahti artikkelissaan mainitsi kielen tehtävistä:
Kielen tehtävät voidaan luokitella esimerkiksi seuraavasti (Koppinen ym. 1989, Orpana 1992):
kieli on ajattelun, tiedonhankinnan ja – välittämisen, vaikuttamisen, sosiaalisten suhteiden luomisen ja ylläpitämisen, tunteiden ilmaisemisen, kielellisen luomisen sekä oman ja toisten
20 käyttäytymisen säätelemisen väline. Matematiikan opiskelussa nousevat esille erityisesti neljä ensimmäistä tehtävää.
Kieli on jäsentämisen ja viestin välittämisen keino, perusteluiden ja reflektoinnin väline sekä välttämättömyys argumentoinnille. Varsinkin alakouluikäisillä oppilailla pääasiallinen työ kielentämisessä tapahtuu luonnollisella kielellä ja vasta harjoittelun tuloksena oppilas voi monipuolisesti ja vakuuttavasti kielentää niin matemaattisen kielen kuin luonnollisen kielen avulla sekä suullisesti että kirjallisesti.
Omaa matemaattista ajattelua ja ongelmanratkaisuprosessia tuodaan esille kielentämisen keinoin.
Tässä tärkeänä osana on hallita matematiikan kieli. Se antaa välineet tuoda omaa kielennettyä ongelmanratkaisuprosessia esille eksaktein ja yleismaallisesti ymmärrettävin keinoin. Vaikka matematiikassa pystyy hyödyntämään hyvin paljon myös luonnollista kieltä, matematiikassa on myös oma sanastonsa, johon liittyy vakiintuneita, vain matematiikalle tyypillisiä ilmaisuja ja kielellisiä rakenteita (Tossavainen, 2008). Toisin kuin luonnollisessa kielessä, matematiikassa ei ole vakiintuneita kieliopillisia sääntöjä, jotka määrittelisivät, miten tietty asia pitäisi sanoa. Kieli kehittyy ja mukautuu asiayhteyden mukaan. Kuitenkin hyvin vakiintuneet käytännöt määrittelevät suurimmaksi osaksi sen, kuinka matematiikassa tuotetaan ilmaisuja tai käytetään merkintöjä (Tossavainen, 2008).
Kielentämisessä matematiikan kieli antaa välineet tarkkaan ja yksikäsitteiseen ilmaisuun ja ongelmanratkaisuun. Kuitenkin ongelmanratkaisussa käytetty mielikuvien ja representaation kieli voi olla hyvin toisenlainen, kuin kieli jolla varsinaiset matemaattiset tulokset tulisi esittää (Tossavainen, 2008). Siksi matemaattiselle kielelle kielentäminen tulisi tehdä vasta luonnollisella kielellä tehdyn ongelmanratkaisun ja kielentämisen jälkeen. Tossavainen esitteli artikkelissaan:
Monet opiskelijoiden todistamistaitojen heikkoutta käsittelevät tutkimukset (mm. Moore 1994; Weber 2002) viittaavat siihen, että opiskelijoiden vakavimmat vaikeudet matematiikan oppimisessa liittyvät enemmän representaatioiden tasolla tapahtuvan ajattelun kääntämiseen matematiikan kielelle ja päinvastoin kuin varsinaisen ongelman ratkaisemiseen (esimerkiksi representaatioiden tasolla).
Varsinkin siis tämä kääntämisprosessi luonnolliselta kieleltä matemaattiselle kielelle tuottaa hankaluuksia. Ongelmanratkaisu itsessään ei tunnu aiheuttavan ongelmia, mutta ideoiden ja perustelujen kertominen muille kanssaopiskelijoille yksikäsitteisesti ja selkeästi voivat tuottaa
21 ongelmaa. Harjoittelemalla matematiikan kielestä voi jopa tulla osa luonnollista kieltä, jolloin kommunikointi matematiikan symbolikielellä on vaivatonta ja helpommin ymmärrettävää, kuin luonnollisella kielellä avatut ratkaisut ja tehtävät. Ns. matematiikan todistuskieli, jolla matemaattiset todistukset yleensä kirjoitetaan, selittää osiltaan opiskelijoiden heikon taidon tuottaa yksinkertaisiakin matemaattisia todistuksia, joita esimerkiksi ongelmanratkaisun yhteydessä saatetaan tarvita (Tossavainen, 2008).
Ongelmanratkaisuun tarvitaan aina matemaattisia apuvälineitä. (Haapasalo, 2000) Näitä välineitä voivat olla esimerkiksi piirtäminen, kirjoittaminen, keskusteleminen, laskimen käyttö ja elekieli.
Kielentämisessä on myös omia strategioitaan, jotka esitellään lyhyesti luvussa kielentäminen oppimisen tukena ja tarkemmin Sarikan diplomityössä Kielentäminen matematiikan opetuksen ja oppimisen tukena (Sarikka, 2014). Matemaattisessa ongelmanratkaisussa ja varsinkin dialogipohjaisessa työskentelyssä tarvitaan myös matemaattista argumentointia. Siinä matematiikan kieltä hyödynnetään mahdollisimman tarkasti ongelmanratkaisuprosessin ja sen vaiheiden yksikäsitteisessä perustelussa. Ratkaisija voi argumentoidessaan hyödyntää tekemäänsä kielennettyä prosessia, jossa hän on yksinkertaistanut ja jäsentänyt itselleen ongelmanratkaisun vaiheet ja perustellut vaiheiden tarpeellisuuden. Ratkaisija voi siis olla hyvä matemaattinen argumentoija vain, mikäli hän hallitsee matematiikan kielen perusteluidensa tukemiseksi.
Matemaattisilla strategioilla tarkoitetaan menetelmiä, joissa käytetään matemaattisia käsitteitä, lauseita ja algoritmeja, (Haapasalo, 2000) eli osaa matematiikan kielestä. Strategioilla on suuri merkitys ongelmanratkaisussa niiden hyödyllisyyden ja käyttökelpoisuuden takia. Erityisiä strategioita ovat esimerkiksi taaksepäin päättely, taulukon tekeminen, helpoilla luvuilla kokeileminen ja apupiirroksen laatiminen. Heurististen strategioiden jatkuva harjoittaminen voi kuitenkin urauttaa ongelmanratkaisijaa vain tiettyjen strategioiden käyttöön, jolloin luovuus ja ongelmanratkaisu itsessään saattavat vaikeutuu. Toisaalta taas yleisistä toimintastrategioista, kuten mielikuvituksesta, joustavuudesta, ongelman määrittämisestä sekä ymmärtämisestä ja kielitaidosta on hyötyä ongelmanratkaisutaidon kehittymisessä. Opettajan tulee luoda luokkaansa sellainen ilmapiiri ja ympäristö, joissa näitä strategioita on helppo ja mielekäs kehittää aktiivisesti. (Ilmavirta
& Pehkonen, 1995) 3.7. Kielentäminen
Kielentämisellä tarkoitetaan jonkin käsitteen tai ajatusprosessin sanallistamista, sen auki selittämistä ja reflektoimista. Kielentämisen välineitä tässä tutkimuksessa ovat sanallinen ilmaisu,
22 kirjallinen ilmaisu sekä kuvallinen ilmaisu. Kielentäminen on väline oman ajattelun ilmi tuomiseen ja tiedostamiseen muille ymmärrettävällä tavalla käyttäen joko omaa äidinkieltään tai matematiikan kieltä. Tästä ajatteluprosessista voi löytää uusia näkökulmia siitä, millä tavalla oma ajattelumaailma on orientoitunut ja kuinka sitä voi lähteä muokkaamaan. Joutsenlahti kirjoittaa artikkelissaan (Joutsenlahti & Rättyä, 2014):
Matemaattisen käsitteen kielentäminen on myös osa oppilaan käsitteen konstruointiprosessia.
Oppilaan ilmaistessa muille käsitteen sisältöä hän joutuu pohtimaan käsitteen keskeisiä piirteitä ja reflektoimaan sekä jäsentämään matemaattista ajatteluaan. Muut oppilaat voivat samalla verrata oppimansa käsitteen sisältöä toisen oppilaan ilmaisuun ja muovata keskustelun avulla sekä omaansa että toisten oppilaiden käsitteen sisältöä. Oppilaan ilmaisussa tulevat esille myös hänen asiaan liittyvät uskomuksensa.
Oppilaat hyötyvät muiden kielentämisprosesseista verratessaan niitä omiinsa ja samalla hän joutuu kyseenalaistamaan joitakin uskomuksiaan, mikäli kielentäessä päädytään ristiriitaan uskomusten ja havaintojen kanssa. Matemaattisessa ajattelussa kielentäminen toimii jäsentäjänä ja kielentämisen avulla matemaattisessa ongelmanratkaisussa oppilas pystyy yksinkertaistamaan ja yksikäsitteistämään kielennettyä prosessiaan ja ratkaisujaan.
Kielentäminen on myös yksi arvioinnin väline. Kielennetyn ajatteluprosessin seuraaminen ja sen arvioiminen (myös itsearvioiminen) luovat mainion pohjan opettajan arviolle siitä, millaisella tasolla oppilaan matemaattinen ajattelu on. Opetussuunnitelmassa (2014) mainitaan, että matematiikassa luokilla 3-6 arvioinnin kohteena ovat tekemisen tapa, ratkaisujen oikeellisuus sekä taito soveltaa opittua. Kielentämisen tulisi siis olla olennainen osa oppilaiden työskentelytaitoja, koska sitä hyödyntämällä voidaan kehittää näistä jokaista. Opetussuunnitelman mukaan oppilaiden tulisi myös osata tehdä perusteltuja päätelmiä ja kysymyksiä havaintojensa pohjalta (Opetushallitus, 2014).
Koska kielentäminen auttaa jäsentämään oppilaan ajattelua ratkaisuprosessin taustalla, hänellä on myös helpompi muodostaa päätelmiä ja rakentavia kysymyksiä havainnoimastaan ja kielentämästään asiasta.
Koska ryhmäkoot ovat yleensä koulussa suuria, ei jokainen oppilas pysty opettajalle ja muille kanssaopiskelijoille suullisesti kielentämään omia ratkaisujaan. Tämän takia oppilaita tulisi kannustaa kielentämään kirjallisesti, eli kertomaan omin sanoin kirjallisessa muodossa ratkaisuistaan tai muodostetuista käsitteistä (Joutsenlahti & Rättyä, 2014). Hyvä luonnollisella kielellä pienryhmälle tapahtunut kielentäminen voi auttaa kirjallisessa kielentämisessä ja sitä kautta
23 lopulta matematiikan kielellä kielentämisessä. Kirjallisesti kielennettyjen prosessien tarkastelu on opettajalle oiva keino tarkastella oppilaan ajattelun tasoa, kehittymistä ja ymmärrystä opiskeltavaa asiaa kohtaan.
Puhuttaessa kielentämisestä, täytyy puhua myös sosiaalisen vuorovaikutuksen merkityksestä oppimisessa. Kielennetyn ajatteluprosessin tai käsitteen yhdessä läpikäyminen kuuluu osana sosiaalisen vuorovaikutuksen kautta oppimiselle. Yhdessä ratkaisujen ja ratkaisuprosessien vertaileminen kuuluu argumentoinnin ja kielentämisen taitojen kehittämiseen. Myös taito esitellä omia ratkaisumallejaan sekä kommentoida toisten ratkaisuja rakentavasti ovat tärkeitä taitoja opiskelussa ja oppimisessa.
Nykyisessä työmaailmassa työyhteisöt toimivat usein tiimeissä. Tavoitteena on, että jokainen työyhteisön jäsen osaa selventää muulle tiimille oman osuutensa tietystä projektista tai työtehtävästä. Tässä siis tarvitaan kielentämisen taitoja, koska ajattelun kielentäminen muille on keskeisessä osassa työskentelyä. Nykyisessä koulutyöskentelyssä tällaista työnjakoa ja kielentämisen taitoja ei juurikaan harjoiteta varsinkaan matematiikassa. Aina ei edes pääse kielentämään omalla äidinkielellään, vaan toisinaan kielentäminen työyhteisössä tapahtuu esimerkiksi vieraalla kielellä. Myös matemaattista ajattelua oletetaan pystyvän kielentämään useammallakin kielellä kuin vain omalla äidinkielellään. Taidon harjoittelu tulisi kuitenkin aloittaa jo alakoulussa omaa äidinkieltä eli luonnollista kieltä hyödyntäen. (Joutsenlahti & Rättyä, 2014) Matematiikasta puhuttaessa luonnollisesta kielestä pyritään sen jälkeen siirtymään matemaattiseen symbolikieleen ja tämän jälkeen vasta vieraisiin kieliin.
3.7.1. Sosiaalinen vuorovaikutus oppimisessa
Koska kielentäminen voi tapahtua joko suullisesti tai kirjoittaen, kielentämistä voidaan käsitellä myös dialogien kannalta. Tässä sosiaalinen vuorovaikutus tulee vahvasti esille. Kielentämisestä kumpuava keskustelu opettajan tai muiden oppilaiden kanssa voi kehittää oppilaan oppimisprosesseja ja matemaattista ajattelua, mikäli dialogi on mielekästä oppimisen kannalta.
Koulukulttuurissa tällaista vapaata ideoiden vaihtoa ja keskustelua on perinteisesti pyritty rajoittamaan, jolloin ongelmatilanteiden pohtiminen ja vaihtoehtojen vertaaminen jäävät melko heikolle tasolle. Oppilaita tulisi kuitenkin kannustaa keskustelemaan toistensa kanssa ja opettajan tehtäväksi jää keskustelun ohjaaminen oikeaan suuntaan asianmukaisissa puitteissa (Pehkonen, 2012). Myös opetussuunnitelmassa kohdassa ajattelu- ja oppimaan oppiminen mainitaan, että
”oppilaita ohjataan käyttämään tietoa itsenäisesti ja vuorovaikutuksessa toisten kanssa
24 ongelmanratkaisuun, argumentointiin, päättelyyn ja johtopäätösten tekemiseen sekä uuden keksimiseen” (Opetushallitus, 2014). Siis sekä itsenäinen että sosiaalisessa vuorovaikutuksessa tapahtunut matemaattinen ajattelu on tavoitteena sekä oppimisessa että opetuksessa.
Yleensä ongelmanratkaisutyylisessä työskentelyssä on suositeltavaa työskennellä tiimeissä.
Tiimeissä työskennellessä myös luokan ilmapiiri virittyy positiivisilla piirteillä ja myös yksilöllisellä tasolla oppilaan itseluottamus ja –kuri kehittyvät. Pienessä ryhmässä kokeilu, pohtiminen, arvailu ja virheiden tekeminen tuntuvat turvalliselta, eikä pelätä kokeilla uusia strategioita (Ilmavirta &
Pehkonen, 1995). Vaikka oppilasryhmä ei välttämättä päätyisikään minkäänlaiseen varsinaiseen ratkaisuun keskustelun tuloksena, he ovat silti pohdintaprosessin aikana oppineet paljon matematiikasta ja matemaattisesta ajattelusta (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Oppilaiden toimiessa pienryhmissä, kielentäminen saa luovuuden piirteitä ja kaoottiset ajatukset saattavat vallata pöytäkeskustelun. Kuitenkin yhdessä ongelmaa ratkaistaessa ratkaisut saavat moniulotteisempia piirteitä ja sitä voidaan lähteä ratkaisemaan useista erilaisista näkökulmista, jolloin myös vastaukset ovat moninaisempia ja niistä yhdessä yleistyksien tekeminenkin voi olla helpompaa. Mikäli itsenäiseen työskentelyyn kuitenkin päädytään, oppilaiden olisi mielekästä vertailla muodostettuja ratkaisujaan luokkatovereidensa kanssa ja täten harjoittaa matemaattisen argumentoinnin taitojaan. Oppilaat pystyvät myös arvioimaan omaa oppimistaan vertaamalla omia ratkaisumetodeja ja -muotoja kanssaratkaisijoihin.
3.7.2. Kielentäminen matemaattisen ajattelun välineenä
Tässä yhteydessä kielentämisellä tarkoitetaan matemaattinen ajattelun ilmaisemista kielen avulla.
Kieli on jaoteltu neljään eri muotoon, joista oppilas voi käyttää yhtä tai useampaa ratkaisuprosessia kielentäessään. Näitä muotoja ovat luonnollinen kieli, kuviokieli, matematiikan symbolikieli ja toiminnan kieli. (Joutsenlahti & Rättyä, 2014) Luonnollisella kielellä tarkoitetaan ratkaisijalle tuttua puhekieltä tai äidinkieltä, jota hän käyttää arkielämässään. Hypoteesina oletan, että tämä keino on ratkaisijoiden joukossa yleisin tapa kielentää ongelmanratkaisuaan. Kuviokielellä tarkoitetaan nimensä mukaisesti kuvioiden ja piirrosten avulla kielentämistä. Toiminnan kieli tarkoittaa käsin kosketeltavan materiaalin avulla kielentämistä. Tällaisia ovat kaikki konkreetti set välineet ajattelun ilmentämisessä ja muille esiteltäessä. Luokittelen tähän kategoriaan myös eleiden ja liikkeiden kautta tapahtuvan kielentämisen, koska varsinkin pienillä oppilailla on tapana ilmaista asioita oman kehonsa kautta. Esimerkiksi kysyttäessä ”kuinka pitkä kala oli”, oppilas voi vastata ”se oli näin pitkä”
25 ja ilmaisee mitan oman kehonsa avulla, esimerkiksi käsien väliin jäävän tilan mukaan.
Matemaattinen symbolikieli on universaali symbolikieli, johon tulkitsijan oma äidinkieli ei juurikaan vaikuta. Symbolikielelle kielentäminen tapahtuu esimerkiksi oman äidinkielen kautta, kun sanallisesti auki avattu ratkaisuprosessi tai termin merkitys kirjataan matematiikan symbolikielellä ylös.
Matemaattisen ajattelun kielentämisen merkitys korostuu ratkaisijan oman ajattelun jäsentymisen ja ymmärryksen kasvun kautta. Myös vertaisryhmässä vuorovaikuttaen jäsenten ajattelun reflektointi on tärkeä osa matemaattisen ajattelun kehittymistä. (Joutsenlahti & Rättyä, 2014) Taitava kielentäjä pyrkii yksinkertaiseen ja yksikäsitteiseen esitykseen ilmaisussaan, jotta se olisi kuulijoille mahdollisimman selkeä. Kielentäminen kohottaa myös oppilaan argumentointitaitoja, jotka matematiikassa muuten jäävät kovin vähäiselle. Kuten opetussuunnitelmassa mainitaan,
”oppilailta edellytetään aiempaa enemmän matemaattisen ajattelunsa esilletuomista puheen, välineiden, piirtämisen ja kirjallisen työskentelyn avulla”. Oppilaille vielä toistaiseksi oman matemaattisen ajattelun kuvaaminen muille on hankalaa, mutta kuten Joutsenlahti totesi artikkelissaan (Joutsenlahti & Rättyä, 2014), taitoa on mahdollista harjoittaa.
Matematiikka yleensä luonnehditaan persoonattomana tehtävien ratkaisemisena ja matematiikan kirjoittaminen on symbolien allekkain kirjoittamista tietyssä järjestyksessä. Tämä voidaan huomata jopa neljänneltä luokalta lähtien, kun luonnollisen kielen käyttäminen on oppilaille matematiikassa jo melko hankalaa symbolikielen ohella (Kramer 2012). Tämä voi osittain johtua juurikin matematiikan luonteesta liittyen yksin suoritettavien tehtävien kirjoittamiseen. Kuten jo opetussuunnitelmassa kuitenkin mainitaan, matematiikan opiskelun tulisi olla monipuolista ja matemaattista ajattelua sekä asennetta kehittävää. Symbolikieli on vain yksi osa kielentämistä ja yleensä viimeinen vaihe sen jälkeen, kun asia on ensin kielennetty luonnollisen kielen, kuviokielen tai toiminnan kielen kautta. Symbolikieltä tulisi siis toki harjoitella, mutta varsinainen ymmärrys tapahtuu tutun ja turvallisen luonnollisen kielen kautta. Yleensä matemaattiset ratkaisut esimerkiksi vihkotyöskentelyssä ovat jonoja ja rivejä matemaattisia merkkejä, joista oppilaan matemaattista ajattelua ratkaisun taustalla on mahdoton lukea ja tulkita (Joutsenlahti & Rättyä, 2014). Mikäli tehtävää kielennetään esimerkiksi luonnollisen kielen kautta, opettajan on mahdollista tulkita ja jopa arvioida oppilaan matemaattisen ajattelun tasoa. Kuten Joutsenlahti totesi artikkelissaan (Joutsenlahti & Rättyä, 2014), ”eri oppiaineista ilmeisesti matematiikan vihkoissa on vähiten
26 oppilaan omaa äidinkieltä. Se on kuitenkin juuri se kieli, jonka avulla oppilas ajattelee ja ilmaisee itseään eniten myös koulumatematiikassa”.
Kielentämisessä on useita erilaisia strategioita, joita mm. Sarikka esittelee diplomityössään Kielentäminen matematiikan opetuksen ja oppimisen tukena (Sarikka, 2014). Näitä ovat mm.
standardimalli, kertomusmalli, tiekarttamalli, kommenttimalli ja päiväkirjamalli. Standardimallissa tehtävä ratkaistaan puhtaasti matemaattisin merkinnöin. Tämä on perinteisin malli koulumatematiikassa ja oppilaan omalle ajattelulle sekä kommentoinnille jää hyvin vähän tilaa.
Mekaaninen suorittaminen ja laskutoimitusten kirjoittaminen sen sijaan korostuvat.
Kertomusmallissa edellisten lisäksi oppilas on täydentänyt ratkaisua luonnollisella kielellä, eli lausekkeiden välissä nähdään kommentteja ja selitteitä siitä, mihin tehtävä on etenemässä.
Päiväkirjamalli on samankaltainen kuin edellinen, mutta ideana on se, että ratkaisija kirjoittaa otsikoita ja otsakkeita laskujen väliin selkeyttämään ratkaisun kulkua. Tiekarttamallissa ratkaisija selittää ensin luonnollisella kielellä ratkaisuprosessinsa vaiheet ja sisällön. Tämän jälkeen tehdään matemaattiset merkinnät ja toimenpiteet. Kommenttimallissa laskija kirjoittaa laskutoimitusten viereen kommentteja, jotka selkiyttävät itse matemaattista laskemista ja ratkaisun vaiheita. Mikäli siis matemaattista ajattelua pyritään kehittämään aktiivisesti kielentämisen keinoin, nämä strategiat antavat kuhunkin matemaattiseen ongelmanratkaisu- tai suoritustilanteeseen sopivan metodin.
3.8. Kielentäminen opetuksessa
Opetuksessa tulisi pyrkiä kokonaisvaltaiseen tulokseen, jolloin kielentäminen on erinomainen väline opiskella ja oppia uutta. Koska luonteeltaan matemaattinen tieto on kasaantuvaa, käsitteiden ja operaatioiden ymmärtäminen on erittäin tärkeää uuden oppimisen kannalta. Uutta tietoa ei kannata rakentaa hataralle pohjalle. Kielentäessä uusien käsitteiden ja operaatioiden merkityksiä , oppiminen ja ymmärrys opittavasta asiasta lisääntyy. Kuten Joutsenlahti asian ilmaisi:
Oman ajattelunsa kirjoittaminen näkyväksi laskutoimitusten lisäksi matematiikan vihkoon on työtapa, joka varhain opittuna tulee helpottamaan opiskelua myöhemmin ja lisäämään matematiikan käsitteiden ymmärtämistä. Tie matematiikan käsitteistöön ja symbolikieleen käy koulussa äidinkielen kautta, joten äidinkieli on avainasemassa myös oppilaan matemaattisen ajattelun tulkkina opettajalle ja muille oppilaille.
(Joutsenlahti & Rättyä, 2014)
