Ongelmanratkaisu oppimisen ja matemaattisen ajattelun välineenä

Ongelmanratkaisu oppimisen välineenä on oleellinen matemaattisen ajattelun, asenteen ja luovuuden kehittymiselle. Ongelmanratkaisumenetelmässä oppilasta rohkaistaan tuottamaan ja kehittämään matematiikkaa itse ja itseään varten. Kuten Pehkonen (2004) artikkelissaan asian esittelee, tehtävä on ongelma, mikäli ratkaisija joutuu yhdistelemään opittuja as ioita hänelle uudella tavalla ongelman ratkaisemiseksi (Pehkonen, 2012). Ongelmaksi määritellään siis sellainen tehtävä, jonka ratkaisemiseen oppilaalla ei ole valmista ratkaisumallia (Ilmavirta & Pehkonen, 1995).

Ongelmanratkaisumenetelmässä ratkaisijoiden tulisi ohjauksen kautta luoda uusia työkaluja ongelmanratkaisun välineiksi ja kehittää matematiikkaa heille tarpeelliseen suuntaan. Opettajan tehtäväksi muodostuu oikean tasoisten ongelmien esittäminen ja motivoiminen niiden ratkaisemiseen (ks. Joutsenlahti). Vaikka opettaja esittääkin oppilaalle tehtävän, oppilas itse muodostaa ne ongelmat ja kysymykset, joihin hän loppujen lopuksi tarvitsee vastauksen. Kun ongelmatilanteissa käsitellään monen tasoisia tehtäviä, jokaisella oppilaalla on mahdollisuus onnistua omien kykyjensä mukaisesti (Ilmavirta & Pehkonen, 1995).

Ongelmanratkaisu oppimismetodina harjoittaa oppilaita kehittämään matemaattisia taitoja kuten prosessointitaitoja, ajattelua, päättelyä ja arviointia. Se myös kehittää pitkäjänteisyyttä ja sinnikkyyttä (Ilmavirta & Pehkonen, 1995), koska yleensä ongelmanratkaisutyyppiset tehtävät eivät ratkea heti ja vaativat useiden oppituntien mittaisia päättely- ja pohdintajaksoja. Ongelmanratkaisu-lähtöisessä opetuksessa opettaja tuo oppilaille esiin ongelman, jossa on piilotettuna varsinainen tehtävän tarkoitus. Opettajan rooli on johdattaa oppilaita kohti varsinaista ongelmaa; mikä meille muodostuu uudeksi ongelmaksi tätä alkuperäistä ratkaistaessa. Opettajan tulee myös kannustaa oppilaita itsenäiseen työhön. Mahdollisimman vähillä ohjeilla opettaja antaa oppilaille mahdollisuuksia toimia ennakko-oletustensa mukaisesti ja näin ratkaista tehtävä itsenäisesti omia oivalluksiaan hyödyntäen. Näin mahdollistetaan kokeellinen toiminta ja tarjotaan puitteet ajatte lun taitojen monipuoliselle kehittymiselle (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Mikäli yksittäinen oppilas ei pysty ongelmaa ratkaisemaan tai esittämään, hän pystyy kuitenkin oppimaan ystäviltään keskustelun ja pohdinnan kautta (Isoda, 2012). Opettajan tulisi myös johdatella tätä pohdintaa ja keskustelua varsinkin, jos ajatteluprosessi tuntuu pysähtelevän uhkaavasti ja ratkaisumetodit

16 toistavat itseään. Myös vastausten ja ajatteluprosessin reflektointi on tärkeää, joten opettajan on oltava valmis ohjaamaan reflektointia.

Ongelmanratkaisumetodissa, mikäli ongelmalla on enemmän kuin yksi oikea vastaus ja metodeja vastauksen saamiseen, ongelma asetetaan oppilaalle niin, että hän joutuu etsimään yhteyksiä jo opitun ja vielä tiedostamattomien asioiden välillä. Tässä tiedostamaton viittaa aspekteihin, joita ei ole vielä opittu, eikä niinkään vastaukseen itseensä. Esimerkiksi, mikäli yritetään selvittää monikulmion pinta-alaa ja oppilaat osaavat jo laskea neliön ja kolmion alat, miten saadaan monikulmion pinta-alan laskettua. Tämä on suunniteltua problematiikkaa oppilaille opettajan taholta. Suunniteltu problematiikka sisältää spesifimmän ongelman ja opettajan varsinainen opetuksen tavoite tulee esiin suunniteltua problematiikkaa ratkaistaessa. (Isoda, 2012)

Matemaattisissa tehtävissä syvin ajatus on se, että tehtävän ratkaistuaan oppilaan tulisi itsenäisesti huomata jotakin uutta näissä ratkaisuissa kysymällä esimerkiksi: ”voiko tätä ratkaisua tai siihen johtanutta päättelyä käyttää jossakin muualla?”. Tällöin puhutaan (Devlin, 1994) matematiikan yleistämisestä kuvioiden tieteenä. Kuvioina tässä tarkoitetaan erilaisia toimintamenetelmiä, kaavoja ja yhtäläisyyksiä tehtävien ratkaisujen ja metodien välillä. Tällaisten kaavojen yleispätevyyttä voidaan sitten tutkia ja yrittää yleistää niitä toimimaan erilaisissa tilanteissa. Jos tällaisia yleistyksiä voidaan tehdä, on näkymätön matematiikka tehtävän taustalla tehty näkyväksi. Jos oppilaat osaavat tällaisen ajattelun kautta tehdä olettamuksia siitä, millaisia askelia heidän tulisi tehdä ja millaiseen lopputulokseen luultavasti päästään vastaavanlaisissa uusissa tehtävissä, he ovat kehittäneet matemaattista ajatteluaan oppimisprosessien kautta. Tällaisia olettamus -askelia oppilaille tulisikin antaa mahdollisuus tehdä. Tällöin he osoittavat korkeamman asteen matemaattista ajattelua.

Kun oppilaat ratkaisevat tehtäviä, heille tulee antaa mahdollisuus toimia ennakko-oletustensa mukaisesti. Tämä kehittää matemaattista ajattelua. Oppilasta tulisi rohkaista yhdistelemään aikaisempia hankkimiaan tietoja uudella tavalla ja samalla kokeilemaan erilaisia ratkaisumalleja (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Kun oppilas tuntee, että on saanut sekä ratkaisun, että siihen johtaneet askeleet selville, hänen tulee sanallistaa ne itselleen. Tällöin hän voi esittää ratkaisunsa ja siihen johtaneet askeleet muulle ryhmälle. Erilaisten ratkaisujen esittäminen on tärkeää, koska erilaisten näkökulmien tarkastelu ja pyrkimys niiden ymmärtämiseen on välttämättömyys haluttujen tavoitteiden toteutumiselle. (Isoda, 2012) Tässä haluttuja tavoitteita ovat siis opettajan asettamien tiedostamattomien ongelmien löytäminen ja ratkaiseminen. On tärkeää pohtia löydettyjä ratkaisuja yhteisesti ja opettajan tehtävänä on rohkaista oppilaita kertomaan erilaisista

17 ratkaisuistaan (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Tällöin oppilaat ymmärtävät tai havainnoivat erilaisten ratkaisumahdollisuuksien kirjon.

Voidaan pohtia, voiko ongelmanratkaisua opettaa koulussa. Kuten Haapasalo ilmaisee asian kirjassaan Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu (2000), ”ongelmanratkaisun opettaminen tarkoittaa kaikkia sellaisia toimenpiteitä, joilla tuetaan oppilaan ongelmanratkaisun kehittymistä.”

Täten ongelmanratkaisun opettaminen ja sen oppiminen vaativat sellaisia keinoja, joilla oppilas voi aktiivisesti itse lähteä kehittämään omaa matemaattista ajatteluaan ja siten myös ongelmanratkaisutaitojaan. Ongelmanratkaisu on varsin kaoottinen menetelmä, jossa oppilaan ajattelu saattaa lennähdellä uusien ajatusten mukana kaikkialle. Kuitenkin voidaan tämän tutkimuksen pohjalta lopulta todeta, että tällainen kielentäminen osana ongelmanratkaisua voi omalta osaltaan selkeyttää oppilaan ajattelua ja sitä kautta lieventää turhautumista. Oppilas voi palata niihin aikaisempiin ajatuksiinsa, jotka johtivat häntä harhaan ja tämän perusteella miettiä uusia lähestymistapoja tutkia ongelmaa. Puhutaan ns. metakognitiivisista taidoista (katso esim.

Haapasalo (2000)).

Ongelmanratkaisuprosessissa myös luovuus voi tulla selkeästi esille. Kirjallisuudessa puhutaan yleisesti luovasta ongelmanratkaisusta, jossa nimenomaan painotetaan ongelmanratkaisua luovana prosessina (Pehkonen, 2012). Koska looginen ajattelu ja luovuus ovat lähinnä toistensa vastakohtia, loogisen ajattelun kehittäminen lähinnä estää luovaa ajattelua kehittymästä. Mikäli siis loogista ajattelua painotetaan liian paljon, luovuus ei pääse oikeuksiinsa ongelmanratkaisussa. Luovuutta kehitettäessä on luovuttava ylimääräisestä paineesta ja kontrollista, kuten aikarajasta.

Toiminnanvapaus on pakollinen tarve luovuuden kehittämiselle. (Pehkonen, 2012) Tällöin esimerkiksi avoimet ongelmat ja sen kaltaisten työskentelytapojen harjoittaminen on oiva ympäristö luovan ongelmanratkaisun kehittämiselle. Luova ongelmanratkaisu ei kuitenkaan ole mahdollista ilman hyviä matemaattisia perustaitoja.

Pehkonen totesi artikkelissaan, että sääntöjen ja algoritmien jatkuva painotus saattaa estää luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen kehittymisen (Pehkonen, 2012). Hän myös painotti avoimien tehtävien merkitystä ymmärtämisen nostamisessa ja luovuuden edistämisessä. Tehtävän sanotaan olevan avoin, jos sen sekä alku- että lopputilanne ei ole tarkkaan määritelty. Avoimilla tehtävillä on yleensä useita eri ratkaisuvaihtoehtoja, ja tehtävien tarkoituksena onkin löytää mahdollisimman monta erilaista ratkaisuvaihtoehtoa, ei niinkään ratkaisua itsessään. Avoimissa tehtävissä keskitytään siis luovuuden kehittämiseen matematiikanopetuksen puitteissa (Pehkonen,

18 2012). Tutkimustehtävästä taas puhutaan, mikäli tehtävä sisältää ongelmanratkaisua ja sen painopiste on nimenomaan luovassa ajattelussa. Tämän tyylisillä tehtävillä on yleensä myös useita erilaisia ratkaisuja, mutta voi myös olla, ettei ratkaisua ole ollenkaan. Tutkimustehtävätkin ovat siis luonteeltaan avoimia. (Ilmavirta & Pehkonen, 1995) Pulmatehtävistä puhutaan silloin, jos tehtävä ratketakseen vaatii ratketakseen ns. yhden oivalluksen. Ne ovat pääasiassa nopeasti ratkaistavissa ja yksinkertaisia. Näiden pulmatehtävien tasolle opetuksen ei kuitenkaan tulisi jäädä, vaan suositellaan monitasoisia tehtäviä, joissa kaikilla oppilailla on mahdollisuus osallistua omien kykyjensä mukaan ja lahjakkaimmatkin saavat osakseen haasteita. (Ilmavirta & Pehkonen, 1995) Ongelmanratkaisu edellyttää, että ratkaisija on tietoinen siitä, mitä matemaattisia menetelmiä hän hallitsee ja millaiseen käyttöön ne soveltuvat (Ilmavirta & Pehkonen, 1995). Oppijalla on siis suuri vastuu oman oppimisensa kriittisestä ja jatkuvasta arvioinnista sekä omien taitojensa aktiivisesta tiedostamisesta. Ongelmanratkaisu ja siinä sovellettava kielentäminen toimivat si is erittäin hyvä itsearvioinnin pohjana, koska omat taidot tulee tiedostaa, jotta ratkaisuprosessissa päästään haluttuun tavoitteeseen. Edellä mainittujen edellytysten lisäksi ratkaisijalla tulee olla mielenkiintoa ja pitkäjänteisyyttä ratkaista ongelmia, joita hänelle esitetään tai hän itse esittää.