Matematiikkalehti 1/2002 http://solmu.math.helsinki.fl/

1/2002

http://solmu.math.helsinki.fi/

Solmu 1/2002

Matematiikan laitos PL 4 (Yliopistonkatu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://solmu.math.helsinki.fi/

P¨a¨atoimittaja

Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Toimitussihteerit

Mika Koskenoja, assistentti, Matematiikan laitos, Helsingin yliopisto

Jouni Sepp¨anen, tutkija, Informaatiotekniikan laboratorio, Teknillinen korkeakoulu S¨ahk¨oposti

toimitus@solmu.math.helsinki.fi Toimituskunta:

Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Matti Lehtinen, dosentti, Maanpuolustuskorkeakoulu

Marjatta N¨a¨at¨anen, dosentti, Matematiikan laitos, Helsingin yliopisto Graafinen avustajaMarjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkil¨ot:

Virpi Kauko, tutkija, virpik@maths.jyu.fi

Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyv¨askyl¨an yliopisto Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen korkeakoulu Jorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopisto Petri Ola, yliassistentti, petri.ola@oulu.fi

Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto Kalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopisto

Timo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fi Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

T¨am¨an vuoden numeroihin 2/2002 ja 3/2002 tarkoitetut kirjoitukset pyyd¨amme l¨ahett¨am¨a¨an maaliskuun ja syyskuun loppuun menness¨a.

Kiit¨amme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Huom! Solmun paperiversio postitetaan nykyisin vain niihin kouluihin, jotka ovat sit¨a erikseen pyyt¨aneet.

Solmun Internet-sivuilta saatava paperiversio on mahdollista tulostaa omalla kirjoittimella. Toivomme, ett¨a lehti ei j¨a¨a vain opettajien luettavaksi, vaan sit¨a kopioidaan kaikille halukkaille.

Sis¨ allys

P¨a¨akirjoitus . . . 4

Toimitussihteerin palsta . . . 5

Onko ympyr¨a aina py¨ore¨a? . . . 6

Eulerin kaavaa johtamassa . . . 9

Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta . . . 12

Solmun teht¨av¨apalsta on t¨a¨all¨a taas! . . . 14

Matematiikasta ja sen menetelmist¨a . . . 16

Yksi plus yksi on kaksi vai onko? . . . 23

Pitk¨an matematiikan ylioppilaskoe . . . 24

P¨ a¨ akirjoitus

”Deadline on kaikkien suoritusten ¨aiti”, sanoi er¨as tut- tavani.

Koulumaailmassa yksi t¨allainen takaraja ovat ylioppi- laskirjoitukset, joiden uudistamista pohditaan j¨alleen kerran. Nyt tarkoituksena n¨aytt¨a¨a olevan valinnaisuu- den lis¨a¨aminen niin, ett¨a ainoastaan ¨aidinkieli j¨aisi pa- kolliseksi ja v¨ahint¨a¨an kolme kirjoitettavaa ainetta va- littaisiin nelj¨an aineen ryhm¨ast¨a. Yhten¨a osana t¨at¨a ryhm¨a¨a olisi matematiikka.

Valinnaisuuden lis¨a¨amisell¨a on ainakin p¨a¨alt¨a katsoen tiettyj¨a hyvi¨a puolia, ja ilmeisesti ehdotus saa kanna- tusta sek¨a lukiolaisten ett¨a opettajien taholta. Lehtitie- tojen mukaan matemaatikoillakaan ei pit¨aisi olla syyt¨a huoleen, sill¨a niiss¨a kouluissa, joissa ehdotusta on muu- tamien vuosien ajan kokeiltu k¨ayt¨ann¨oss¨a, on matema- tiikan suosio ylioppilaskokeessa jopa kasvanut. Lis¨aksi uudistus n¨aytt¨aisi hieman kaventavan kielten ylivaltaa ylioppilaskirjoituksissa.

Matematiikan ylioppilaskokeen valinnaisuus on toki ol-

lut mukana kuvioissa jo vuodesta 1996 l¨ahtien. Vaikkei t¨all¨a ole ollut merkitt¨av¨a¨a vaikutusta kokeeseen osal- listuneiden m¨a¨ar¨a¨an, on kuitenkin pidett¨av¨a mieless¨a valinnaisesta matematiikan kokeesta saatujen arvosa- nojen alavireisyys. T¨am¨an voi tietysti tulkita osoituk- seksi kokelaiden strategisen ajattelun taidoista, mutta on selv¨a¨a, ett¨a valmisteilla oleva aikaisempaa suurem- pi muutos on teht¨av¨a harkitusti. Sek¨a¨an ei viel¨a riit¨a, sill¨a tuloksia on seurattava tarkasti ja my¨os uskalletta- va tunnustaa niist¨a seuraavat, mahdollisesti ik¨av¨atkin johtop¨a¨at¨okset. Esimerkiksi valinnaisuuden lis¨a¨amisen v. 1996 odotettiin houkuttelevan lis¨a¨a naisia matema- tiikan ylioppilaskokeeseen, mutta n¨ain ei ole k¨aynyt.

Kuten kaikissa aikaisemmissa ylioppilaskoetta koske- vissa suunnitelmissa, n¨aytt¨a¨a suurimmaksi koetinki- veksi t¨all¨akin kertaa muodostuvan toisen kotimaisen kielen koe. Uudistuksen l¨apimenon sitominen t¨ah¨an ratkaisuun saattaa kaataa koko suunnitelman, mutta t¨ass¨a vaiheessa on liian aikaista sanoa, olisiko t¨am¨a hy- v¨a vai huono lopputulos.

Pekka Alestalo

Toimitussihteerin palsta

Solmuun on vuoden 2002 alusta ker¨atty yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkil¨oit¨a, jotka toimivat yhdys- siteen¨a lehden ja edustamiensa laitosten v¨alill¨a. Tiedon on tarkoitus kulkea kumpaankin suuntaan. Yhteyshen- kil¨ot informoivat laitostensa henkil¨okuntaa mahdolli- suudesta kirjoittaa artikkeleita Solmuun tai ylip¨a¨at¨a¨an Solmun olemassaolosta. Toisaalta yhteyshenkil¨ot voi- vat v¨alitt¨a¨a terveisi¨a ja kirjoituksia Solmun toimituk- seen, jolloin my¨os p¨a¨akaupunkiseudun ulkopuolelle si- joittuvat yliopistot ja korkeakoulut saavat ¨a¨anens¨a kuu- luviin Solmussa aikaisempaa paremmin.

Yhteyshenkil¨ojen yksi teht¨av¨a on hankkia laitostensa vaikutuspiiriin kuuluvalta v¨aelt¨a artikkeli Solmuun ker- ran vuodessa. N¨ain saadaan kirjoitusten n¨ak¨okulmaa laajennettua ja monipuolistettua. Lis¨aksi Solmun luki- jat voivat erin¨aisiss¨a asioissaan ottaa oma-alotteisesti yhteytt¨a vaikkapa l¨ahimm¨an yliopiston tai korkeakou- lun yhteyshenkil¨o¨on. K¨ayt¨ann¨on on siis tarkoitus en- tisest¨a¨an madaltaa kynnyst¨a yhteydenpitoon Solmun ja lukijoiden v¨alill¨a. Yhteyshenkil¨oiden s¨ahk¨oposti- osoitteet l¨oytyv¨at sek¨a lehden infosivulta 2 ett¨a ver- kosta Toimituskunta-sivulta.

Uutuutena Solmun verkkoetusivullesolmu.math.helsin- ki.fi on lis¨atty haku, jonka avulla voi etsi¨a Solmusta artikkeleita ja muuta materiaalia hakusanojen perus- teella. Aikaisemminhan verkkosivuilla on ollut vain aiheittain eritelty hakemisto, mutta ei mit¨a¨an kehit- tyneempi¨a toimintoja hakea tietoa esimerkiksi jonkin k¨asitteen tai matemaatikon nimen perusteella. Nyt t¨a- m¨akin on siis mahdollista.

Haku on varmasti kaikille hyvinkin tuttu toiminto, l¨a- hes kaikista verkkosivustoistahan se l¨oytyy varsin sa- malla tavalla toimivana, mutta kertaan t¨ass¨a peruspe- riaatteet. Hakusanat kirjoitetaan perusmuodossa niille varattuun kentt¨a¨an ja sanojen v¨aliin lis¨at¨a¨an v¨alily¨onti.

Kun kaikki yhteen hakuun tarkoitetut sanat on kirjoi- tettu, niin painetaan rivinvaihton¨app¨aint¨a. T¨am¨an j¨al- keen haku etsii kyseisi¨a sanoja sis¨alt¨avi¨a dokumentteja Solmusta ja listaa l¨oydetyt sivut j¨arjestyksess¨a hakusa- nojen ”osumistarkkuuden” perusteella – mit¨a enemm¨an annettuja hakusanoja sivu sis¨alt¨a¨a, sen parempi ”osu- ma”. T¨am¨an j¨alkeen haun k¨aytt¨aj¨an tulee en¨a¨a valita listatuista dokumenteista ne, jotka parhaiten vastaavat etsinn¨an tarkoitusta.

Mika Koskenoja

Onko ympyr¨ a aina py¨ ore¨ a?

Timo Tossavainen Lehtori

Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

Varsin usein matemaattisen ongelman ratkaisun l¨oyty- minen on kiinni siit¨a, kykenemmek¨o mielemme silmin n¨akem¨a¨an ongelmaan liittyv¨at k¨asitteet ja n¨aiden v¨ali- set suhteet jonkinlaisena kuvana. K¨ayt¨ann¨oss¨a pyrim- me siis luomaan mielikuvituksemme avulla geometri- sen mallin ongelmasta ja katselemalla t¨at¨a mallia yri- t¨amme l¨oyt¨a¨a ratkaisun. T¨all¨oin on ensisijaisen t¨arke¨a¨a kiinnitt¨a¨a huomiota siihen, miksi ja mill¨a tavalla mal- limme vastaa k¨asitteit¨a ja ennen kaikkea, voidaanko sa- moista k¨asitteist¨a laatia useita erin¨ak¨oisi¨a malleja.

Jos meit¨a pyydet¨a¨an ajattelemaan ympyr¨a¨a tai piirt¨a- m¨a¨an siit¨a paperille kuva, tuskinpa monellekaan tulee mieleen muuta kuin sellainen py¨ore¨amuotoinen suljet- tu viiva, joka voidaan ainakin periaatteessa piirt¨a¨a si- ten, ett¨a ensin kiinnitet¨a¨an narunp¨atk¨an toiseen p¨a¨a- h¨an kyn¨a, pidet¨a¨an narun toista p¨a¨at¨a paikoillaan ja sitten py¨or¨aytet¨a¨an kire¨an¨a pidetty¨a narua kiinnitetyn p¨a¨an ymp¨ari. T¨allaisessa tempussa oleellista on, ett¨a liikkuva kyn¨anter¨a pysyy vakioet¨aisyyden p¨a¨ass¨a kiin- nitetyst¨a pisteest¨a eli piirtyv¨an ympyr¨an keskipistees- t¨a.

Edell¨a kuvatussa tempussa narun rooli on toimia jon- kinlaisena et¨aisyyden s¨a¨atimen¨a, ja jos et¨aisyys todel- la pysyy vakiona py¨or¨aytyksen ajan, syntyy kuvio, joka vastaa sit¨a, mit¨a sanalla ympyr¨a matematiikassa yleen- s¨a tarkoitetaan:O-keskinen jar-s¨ateinen ympyr¨a on ta- son niiden pisteiden ura, joiden et¨aisyys pisteest¨aOon tasanr.

O r

T¨am¨a m¨a¨aritelm¨a tuntuu hyvin selke¨alt¨a ja yksik¨asit- teiselt¨a, mutta tarkka lukija voi huomata, ett¨a ainakin kahden asian kohdalla voidaan hieman spekuloida. En- sinn¨akin, millainen pinta kelpaa piirt¨amistasoksi? Jos piirr¨amme narun ja kyn¨an avulla ympyr¨an reik¨aisel- le taivutetulle paperille tai vaikkapa puhalletun Mikki Hiiri -ilmapallon pinnalle, kuva ympyr¨ast¨a voi olla eri- lainen kuin taivuttamattomalle ehj¨alle paperille piir- retty kuva. Me emme kuitenkaan puutu t¨ass¨a esityk- sess¨a kysymykseen piirt¨amistasosta, vaan ajattelemme tason olevan ehj¨an ja taivuttamattoman (hyvin ison) paperin kaltainen. Sen sijaan mietimme tarkemmin si- t¨a, mit¨a pisteiden v¨alisen et¨aisyyden mittaamisella oi- kein tarkoitetaan.

Pythagoraan lauseeseen perustuva laskukaava (1) d(P, Q) =p

(x1−x2)²+ (y1−y2)²

on luonnollinen valinta kahden koordinaattipisteen P = (x1, y1) jaQ= (x2, y2) v¨alisen matkan mittaami- seen sellaisessa tasossa, jossa mik¨a¨an liikkumisen suun- ta ei ole estetty tai hankampi kuin mik¨a tahansa muu suunta. T¨at¨a mittaamistapaa vastaa luonnossa – aina- kin lyhyehk¨oill¨a matkoilla – ns. linnuntie. Kuitenkin meid¨an normaalisti maata pitkin liikkuvien olentojen yleinen kokemuksemme on, ettemme esimerkiksi suur- kaupungin ruutukaava-alueella pysty liikkumaan kah- den kohteen v¨alill¨a mit¨a tahansa reitti¨a pitkin, vaan meid¨an on kuljettava toisiinsa n¨ahden enemm¨an tai v¨a- hemm¨an samansuuntaisia tai kohtisuoria katuja pitkin.

T¨all¨oin her¨a¨a kysymys mik¨a on oikea tai luonnollisin tapa mitata pisteiden v¨alisi¨a et¨aisyyksi¨a tasoissa (tai yleisemmin avaruuksissa), joissa liikkumisen hankaluus on suuntariippuvaista.

.

.

P

Q

?

Ennen kuin etsimme oikean laskukaavan ruutukaavata- son pisteiden v¨alisen et¨aisyyden laskemiseksi, on mei- d¨an parasta ensin pohtia mit¨a kunnolliselta et¨aisyy- den mittaamiselta yleens¨a voi ja kannattaa vaatia. Er¨as t¨allainen vaatimus on se, ett¨a k¨aytet¨a¨anp¨a et¨aisyyden mittaamiseen mit¨a tahansa mittaria, matka mist¨a¨an pisteest¨a itseens¨a ei saa olla muuta kuin nolla. Toisaal- ta on luontevaa odottaa, ett¨a kahden pisteen v¨alinen et¨aisyys on aina positiivinen luku. Lis¨aksi kannattaa vaatia, ett¨a pisteiden v¨alinen et¨aisyys on riippumaton siit¨a, mitataanko matka pisteest¨a P pisteeseen Q vai p¨ainvastoin. Tietenkin my¨os se on toivottavaa, ett¨a tut- kittavana olevan avaruuden jokaisen pisteparin v¨alinen et¨aisyys saadaan yksik¨asitteisell¨a tavalla mitatuksi.

Oikeastaan jokainen et¨aisyysmittari, joka toteuttaa edell¨a kuvatut vaatimukset, on k¨aytt¨okelpoinen aina- kin matematiikan maailmassa, mutta reaalimaailman kokemustemme pohjalta olemme kiinnostuneita erityi- sesti sellaisista et¨aisyysmittareista, jotka lis¨aksi toimi- vat siten, etteiv¨at ne koskaan anna kahden pisteen v¨a- liseksi et¨aisyydeksi suoraan mitattuna suurempaa lu- kua kuin mutkan eli mink¨a tahansa kolmannen pisteen kautta mitattuna. Kutsumme t¨ass¨a esityksess¨a t¨allaista et¨aisyysmittariakunnolliseksi.

P

Q

R

Voimme ilmaista my¨os matematiikan kielell¨a millainen objekti tason (tai yleisemmin avaruuden) kunnollinen et¨aisyysmittari on. Tason pisteparien joukolta positii- visille reaaliluvuille m¨a¨aritelty funktioδon kunnollinen tason et¨aisyysmittari, jos sill¨a on seuraavat ominaisuu- det:

(i) δ(P, Q) = 0, jos ja vain josP =Q, (ii) δ(P, Q)≥0 kaikillaP jaQ, (iii) δ(P, Q) =δ(Q, P) kaikillaP jaQ,

(iv) δ(P, R)≤δ(P, Q) +δ(Q, R) kaikillaP, QjaR.

Jokaista funktiota δ, joka toteuttaa ehdot (i)–(iv), sa- notaanmetriikaksi.

On helpohko laskuteht¨av¨a osoittaa, ett¨a kohdan (1) luonnollisen et¨aisyyden laskukaava toteuttaa metriikan vaatimukset. Mutta on olemassa my¨os muita funktioi- ta, jotka toteuttavat samat vaatimukset. Esimerkiksi kaavan

(2) d1(P, Q) =|x1−x2|+|y1−y2|,

miss¨aP = (x1, y1) ja Q= (x2, y2), avulla tason piste- parien joukossa m¨a¨aritelty funktio d1 toteuttaa n¨am¨a vaatimukset. V¨aite seuraa siit¨a, ett¨a reaalilukujen it- seisarvolla on seuraavat ominaisuudet: |a| = 0, jos ja vain jos a = 0, ja muuten |a| > 0. Toisaalta, kaikilla a, b, c∈Ron|a−b|=|b−a|ja

|a−c|=|(a−b) + (b−c)| ≤ |a−b|+|b−c|.

Jos katsomme tarkemmin kohdan (2) kaavaa, huo- maamme, ett¨a d1 ilmoittaa tason pisteiden v¨alisen matkan pitkin koordinaattiakseleiden suuntaisia suoria.

T¨am¨a vastaa hyvin liikkumista ruutukaava-alueella, jo- tend1on luonnollinen et¨aisyysmittari ainakin Manhat- tanilla asuville. Itse asiassa tasoa varustettuna metrii- kallad1 sanotaankin useintaksiautotasoksi.

Taksiautotasolla on monia mielenkiintoisia ominai- suuksia, jotka erottavat sen tavallisesta koulugeomet- rian tasosta. Huomaamme, ett¨a jos pisteill¨a P ja Q molemmat koordinaatit eroavat toisistaan, lyhin reitti n¨aiden kahden pisteen v¨alill¨a ei olekaan en¨a¨a yksik¨a- sitteisell¨a tavalla m¨a¨ar¨aytyv¨a. Seuraavaan kuvaan on piirretty kaksi mahdollista yht¨a pitk¨a¨a (lyhint¨a) reitti¨a (a) ja (b) taksiautotason pisteidenP jaQv¨alille.

Q

( ) a P

( ) b

Millaisia ovat ympyr¨at taksiautotasossa? Koska pis- teiden v¨alinen et¨aisyys mitataan pitkin koordinaat- tiakseleiden suuntaisia suoria, saadaan origokeskisenr- s¨ateisen ympyr¨an kuvaksi salmiakkiruutu, jonka k¨arjet ovat pisteiss¨a (±r,0) ja (0,±r).

On siis mahdollista laatia kunnollisen et¨aisyysmittarin avulla my¨os sellaisia malleja, joissa ympyr¨at ovat kul- mikkaita. Nokkela lukija keksii pian kuinka metriikkaa d1pit¨a¨a muokata, jotta h¨an saisi toisen metriikan, jon- ka m¨a¨ar¨a¨am¨at ympyr¨at n¨aytt¨av¨at neli¨oilt¨a, joiden si- vut ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset.

d

(O,P) = x + y = r

O

P = ( x,y ) x

y

Tasoon voidaan m¨a¨aritell¨a my¨os ep¨ajatkuva metriikka.

Esimerkiksi tason pisteparien joukossa m¨a¨aritelty ku- vausd0, jolle

d0(P, Q) =

(0, jos ja vain josP =Q, 1, josP 6=Q,

on metriikka. Nimitt¨ain, d0 selv¨asti toteuttaa metrii- kan ehdot (i)–(iii). Lis¨aksi ehto (iv) toteutuu, sill¨a jos P =R, niin

0 =d0(P, R)≤d0(P, Q) +d0(Q, R), ja josP6=R, niinQ6=P taiQ6=Rja n¨ain ollen

d0(P, Q) +d0(Q, R)≥1.

Jos k¨ayt¨amme metriikkaa d0 et¨aisyysmittarina, niin mik¨a tahansa piste keskipisteen¨a piirretty 1-s¨ateinen ympyr¨a peitt¨a¨a koko tason paitsi ei kyseisen ympyr¨an keskipistett¨a. Toisaalta, metriikallad0 varustetussa ta- sossa ei ole olemassar-s¨ateisi¨a ympyr¨oit¨a, josr6= 1.

Tasoon voidaan m¨a¨aritell¨a ¨a¨arett¨om¨an monta eri met- riikkaa, sill¨a esimerkiksi kertomalla kaavan (1) juuri- lauseke jollakin vakiolla saadaan uusi funktio, joka on metriikka. Toisaalta tason kahden metriikan summa- funktio on aina tason metriikka. N¨ain ollen on mahdol- lista laatia lukemattomia erilaisia malleja, joissa ympy- r¨at voivat kuvioina poiketa toisistaan oleellisesti, vaik- ka jokaisessa mallissa ympyr¨an m¨a¨aritelm¨a sin¨ans¨a on sama.

Metriikkojen ja niiden avaruuksien, joissa voidaan m¨a¨a- ritell¨a erilaisia metriikkoja, tarkastelu kuuluu siihen matematiikan alaan, jota sanotaan topologiaksi. Mate- matiikan historiassa topologia on varsin uusi asia, sill¨a sen katsotaan saaneen alkunsa kuuluisasta K¨onigsber- gin siltaongelmasta, jonka Euler ratkaisi 1700-luvulla.

Topologian alkeista on kirjoitettu joitakin hyvi¨a oppi- kirjoja my¨os suomenkielell¨a.

Sivuhuomatus maailmankaikkeu- den mittaamisesta

Jokaisen sukupolven edustajat lienev¨at pohtineet si- t¨a, onko maailmankaikkeus ihan oikeasti ¨a¨arellinen vai

¨a¨aret¨on. Erilaisten metriikkojen tarkastelu voi johtaa meid¨at t¨ass¨a kysymyksess¨a mielenkiintoisen (ainakin osittaisen) vastauksen ¨a¨arelle.

Olkoon d tason luonnollisen metriikan vastine ava- ruudessa. M¨a¨aritell¨a¨an avaruuden pisteparien joukossa funktiod^∗ seuraavan kaavan avulla:

d^∗(P, Q) = d(P, Q) 1 +d(P, Q).

V¨alitt¨om¨asti n¨ahd¨a¨an, ett¨ad^∗toteuttaa metriikan vaa- timuksista ainakin kohdat (i)–(iii). Pienehk¨on laskuteh- t¨av¨an j¨alkeen huomaamme, ett¨a d^∗ t¨aytt¨a¨a my¨os nel- j¨annen vaatimuksen. Erikoista t¨ass¨a metriikassa kuiten- kin on se, ett¨a sen arvot ovat aina nollan ja yhden v¨a- lilt¨a.

On siis mahdollista mitata samaa avaruutta arvoiltaan sek¨a rajoittamattomilla ett¨a rajoitetuilla et¨aisyysmit- tareilla. Koska mittarit ovat ominaisuuksiltaan muuten samanlaisia, emme voi asettaa kumpaakaan mittaamis- tapaa sin¨ans¨a toista oikeammaksi. N¨ain ollen ei ole mie- lek¨ast¨a ottaa ehdotonta kantaa siihen, onko maailman- kaikkeutemme objektiivisesti pieni vai suuri ns. ulko- puolisen tarkkailijan silmin, sill¨a emme voi tiet¨a¨a, mit- taako t¨am¨a hypoteettis-spekulatiivinen hahmo maail- maamme rajoitetulla vai rajoittamattomalla mittaril- la.

Eulerin kaavaa johtamassa

Timo Kiviluoto

Lukiossa kompleksilukuja k¨asitell¨a¨an jonkin verran pit- k¨an matematiikan syvent¨av¨all¨a analyysin kurssilla, jol- loin mainitaan my¨osEulerin kaavaksi kutsuttu yht¨al¨o e^yi = cosy+isiny. Kaava perustellaan eksponentti- funktion, sinin ja kosinin sarjakehitelmien avulla, mi- k¨a on hyv¨a tapa, mutta sik¨ali ep¨ahavainnollinen, ettei n¨ait¨a sarjakehitelmi¨a johdeta lukion kursseilla. T¨ass¨a artikkelissa esit¨ankin muutaman vaihtoehtoisen tavan perustella ensiksi Eulerin kaavan kaunis erityistapaus e^πi = −1 ja sen j¨alkeen itse yht¨al¨o. Aivan perinpoh- jaiseen todistamiseen en pyri, vaan tarkoituksena on esitt¨a¨a muutama l¨aht¨ooletus kompleksisen eksponent- tifunktion tai logaritmifunktion ominaisuuksista ja joh- taa tulokset n¨aist¨a. Differentiaali- ja integraalilasken- nan kurssit sek¨a perustiedot kompleksiluvuista riitt¨a- v¨at esitiedoiksi p¨a¨attelyjen seuraamiseen.

Esimerkki 1: Integraalilaskentaa

Jo perustiedoilla funktionf(x) = 4/(x²−1) integroi- minen onnistuu helposti. Haetaan funktiollef osamur- tokehitelm¨a, eli nimitt¨aj¨a jaetaan tekij¨oihin ja f kir- joitetaan kahden helpommin integroitavan murtofunk- tion summana. Er¨aist¨a oppikirjoista voi l¨oyty¨a teht¨a- v¨an¨akin (esim. [MSL, t. 70b]) johtaa t¨am¨ankaltaisille integroimispulmille yleinen s¨a¨ant¨o

(1)

Z dx

(x−a)(x−b) = 1 a−blnk

¯¯

¯¯x−a x−b

¯¯

¯¯ (k∈R⁺).

Seuraavaksi palautamme mieleen perusintegraalin Z dx

1 +x² = arctanx+c.

Her¨a¨a kysymys, eik¨o nytkin voisi k¨aytt¨a¨a osamurtoin- tegrointia. Ongelmana on vain se, ettei nimitt¨aj¨a reaa- lialueella jakaannu tekij¨oihin. Kompleksialueella tilan- ne on kuitenkin toinen, sill¨a x²+ 1 = (x+i)(x−i).

P¨a¨asemme k¨aytt¨am¨a¨an kaavaa (1) esitt¨am¨all¨a seuraa- van oletuksen:

1.1. Logaritmifunktiolla on kompleksinen vastine f(z) = lnz, jolla on voimassa Df(z) = 1/z kaikilla z∈C,jotka eiv¨at ole negatiivisella reaaliakselilla.

Lis¨aksi tietysti oletamme, ett¨a differentiaali- ja in- tegraalilaskenta s¨ailytt¨av¨at keskeiset ominaisuutensa my¨os kompleksifunktioita k¨asitelt¨aess¨a, kuten ne teke- v¨atkin. Nyt kaava (1) s¨ailyy voimassa, muttakvoi olla my¨os kompleksiluku. My¨os itseisarvomerkint¨a h¨avi¨a¨a, sill¨a sen tarkoitus on pit¨a¨a logaritmin parametri po- sitiivisena reaalilukuna, mit¨a emme en¨a¨a halua. Sijoi- tamme kaavaan (1)a=−i,b=ija saamme

Z dx

(x+i)(x−i) =1 2ilnk

µx+i x−i

¶ .

Vertaamalla tuloksen ja arkustangentin arvoja nollassa saammek:n arvoksi−1, eli voimme kirjoittaa

(2) y= arctanx= 1 2iln

µi+x i−x

¶ ,

jolloin x:n ollessa reaalinen y saa arvot v¨alill¨a ]−π/2, π/2[. Nyt huomaamme, ett¨a koska tan(π/4) = 1, on π = 4 arctan 1 = 2iln(−i). T¨at¨a v¨alivaihet- ta ei ole syyt¨a sievent¨a¨a potenssin logaritmis¨a¨ant¨o¨on tukeutuen, sill¨a kyseinen s¨a¨ant¨o ei yleisess¨a tapauk- sessa p¨ade kompleksialueella. Sen avulla voisimme ni- mitt¨ain p¨a¨atell¨a virheellisesti, ett¨a ln(−1) = 0, koska 2 ln(−1) = ln 1 = 0, kuten monet Euleria edelt¨aneet matemaatikot luulivat [Bo, s. 630].

Sen sijaan teemme seuraavat lis¨aolettamukset:

1.2.Eksponenttifunktiolla on yksik¨asitteinen komplek- sinen vastine f(z) =e^z, jolla on voimassaf(lnz) =z kaikillaz∈C,joille z6= 0.

1.3.T¨am¨a funktio toteuttaa ehdonf(x+y) =f(x)f(y) kaikillax, y∈C.

T¨all¨oin p¨a¨adymme tulokseene^−πi/2=−i, josta seuraa e^πi=−1. N¨ain olemme osoittaneet t¨am¨an mielenkiin- toisen, matematiikan keskeiset luvut yhdist¨av¨an yht¨a- l¨on. Seuraavaksi kysymme, voiko itse Eulerin kaavan johtaa yht¨al¨ost¨a (2). Vastaus on kyll¨a, sill¨a k¨aytt¨am¨al- l¨a oletusta 1.2 saamme muodone^−2yi= (i+x)/(i−x) ja edelleen oletuksen 1.3 avulla

e^2yi=(i−x)²

i²−x² = 1 + 2ix−x² 1 +x² .

Koska x = tan(arctanx) = tany ja 1 + tan²y = 1/(cos²y), saamme

e^2yi= (cos²y) µ

1 + 2isiny

cosy − sin²y cos²y

¶

= cos 2y+isin 2y,

kuny on v¨alill¨a ]−π/2, π/2[, josta seuraa e^yi= cosy+isiny,

kunyon v¨alill¨a ]−π, π[. Josyei ole t¨all¨a v¨alill¨a, voim- me kirjoittaa y =pq, jossa pon kyseisell¨a v¨alill¨a ja q on kokonaisluku. T¨all¨oin saamme

e^yi= (e^pi)^q = cospq+isinpq= cosy+isiny.

T¨ass¨a k¨aytimme de Moivren kaavaa (cosθ+isinθ)ⁿ= cosnθ+isinnθ, joka on helppo todistaa induktiolla.

N¨ain olemme osoittaneet, ett¨a Eulerin kaava on voi- massa kaikilla reaalisillay:n arvoilla.

Esimerkki 2: Differentiaalilaskentaa

T¨all¨a kertaa l¨ahdemme seuraavista olettamuksista:

2.1.Eksponenttifunktiolla on yksik¨asitteinen komplek- sinen vastine f(z) = e^z, jolla on voimassa Df(z) = f(z)kaikillaz∈C.

2.2.T¨am¨a funktio toteuttaa ehdonf(x+y) =f(x)f(y) kaikillax, y ∈C.

N¨ain ollen voimme kirjoittaa

e^z=e^x+yi=e^xe^yi(x, y∈R).

Ratkaistaan e^yi kirjoittamalla se napakoordinaatti- muotoone^yi=r(cosθ+isinθ), miss¨ar=|e^yi|. T¨all¨oin rjaθovaty:n reaalisia funktioita. Derivoimme yht¨al¨on puolittainy:n suhteen ja saamme

ie^yi=r⁰(cosθ+isinθ) +irθ⁰(cosθ+isinθ), josta seuraa r = −ir⁰+rθ⁰. Koska r:n on oltava ei- negatiivinen reaaliluku,r⁰:n on oltava nolla kaikillay:n arvoilla, joten r on vakio. Koska |e⁰ⁱ| = 1, on r = 1 ja t¨all¨oin θ⁰ = 1, mist¨a seuraa θ = y +c. Toisaalta e⁰ⁱ= 1 = cosc+isinc, mist¨a saammec=n2π(n∈Z).

Integroimisvakio osoittaa n¨ain omalla tavallaan sen, et- t¨a eksponenttifunktio on jaksollinen ja sen perusjakso on 2πi. P¨a¨adymme tulokseen

e^z=e^x(cosy+isiny).

N¨ain olemme siis osoittaneet Eulerin kaavan sek¨a m¨a¨a- ritelleet kompleksisen eksponenttifunktion, jolla on sa- ma derivoimiss¨a¨ant¨o kuin reaalisella vastineellaan. Li- s¨aksi on tullut aimo joukko muita kiintoisia ominai- suuksia, kuten esimerkiksi se, ett¨a imaginaariosan y kulkiessa v¨alill¨a [0,2π] funktio piirt¨a¨a kompleksitasoon e^x-s¨ateisen ympyr¨an. Ja aivan erikoisesti kun x= 0 ja y=π, funktio saa reaalisen arvon−1.

Esimerkki 3: Raja-arvotutkimusta

T¨all¨a kertaa tutkimme tarkemmin logaritmifunktion raja-arvoesityst¨a. Differentiaalilaskennan kurssilta tie- d¨amme, ett¨a

Da^x= lim

h→0

a^x+h−a^x

h =a^xlim

h→0

a^h−1 h .

Toisaalta, koskaDa^x=a^xlna, t¨ast¨a seuraa lna= lim

h→0

a^h−1 h , joka voidaan kirjoittaa muotoon

(3) lnz= lim

h→∞h(√^hz−1).

T¨am¨a muoto kiinnostaa meit¨a erityisesti, koska kompleksialueella juurenotto voidaan m¨a¨aritell¨a, kun hon kokonaisluku. Teemme oletuksen:

3.1.Logaritmifunktiolla on kompleksinen vastine, jolla yht¨al¨o(3)on voimassa kaikilla z∈C,z6= 0.

Palautamme mieleen kompleksiluvun juurenoton (tar- kemmin ks. esim. [Sa]). Olkoon z = r(cosθ+isinθ), jolloin

(4) √ⁿ z= √ⁿ

r µ

cos µθ

n+k2π n

¶ +isin

µθ n+k2π

n

¶¶

, miss¨a k k¨ay l¨api arvot 0,1, . . . , n−1 eli juuria on n eri kappaletta. Kuitenkin sinin ja kosinin jaksollisuu- den vuoksi yht¨al¨o (4) on voimassa my¨os mill¨a tahansa muullak:n kokonaislukuarvolla. Pid¨amme t¨am¨an mie- less¨a ja kirjoitamme yht¨al¨on (3) muotoon

lnz= lim

h→∞h(√^h r−1) + lim

h→∞

√h

r lim

h→∞h µ

cos µθ

h+k2π h

¶

+isin µθ

h+k2π h

¶

−1

¶ .

Laskemme raja-arvot erikseen. Ensinn¨akin saamme

h→∞lim h(√^h

r−1) = lnrja lim

h→∞

√h

r= 1.

J¨aljelle j¨a¨av¨an raja-arvon k¨asittelemme kahdessa osas- sa. Josθ+k2π6= 0, voimme sijoittaah= (θ+k2π)/x, jolloin l¨oyd¨amme yht¨al¨ost¨a kaksi varsin tuttua raja- arvoa:

xlim→0(θ+k2π)

µcosx−1

x +isinx x

¶

=i(θ+k2π).

Josθ+k2π= 0, emme voi tehd¨a sijoitusta, mutta huo- maamme

hlim→∞h(cos 0 +isin 0−1) = 0 =i(θ+k2π).

Oletuksesta 3.1 seuraa siis suoraan lnz= lnr+i(θ+k2π),

miss¨a k on kokonaisluku. Se, ett¨a saimme tulokseksi

¨a¨arett¨om¨an monta eri logaritmin arvoa, johtuu tietys- ti eksponenttifunktion jaksollisuudesta. Jos haluamme toimituksesta yksiarvoisen, annammek:lle arvoksi esi- merkiksi nollan, jolloin saamme funktion, joka positiivi- silla reaaliarvoilla vastaa reaalista logaritmia. Nyt kui- tenkin pysyttelemme moniarvoisuudessa ja teemme j¨al- leen oletukset 1.2 ja 1.3, jolloin saamme

z=re^i(θ+k2π).

Toisaalta z = r(cos(θ+k2π) +isin(θ+k2π)), joten t¨ast¨a seuraa suoraan

e^yi= cosy+isiny,

eli j¨alleen kerran olemme johtaneet Eulerin kaavan ole- tuksistamme.

Lis¨ ateht¨ avi¨ a:

1. Esimerkin 1 yht¨al¨on (1) lis¨aksi my¨os er¨ait¨a muita integroimiskaavoja voi k¨aytt¨a¨a Eulerin kaavan perus- telussa. Yksi n¨aist¨a on yht¨al¨o

(5)

Z dx

√x²+a² = ln(x+p

x²+a²) +c,

jonka todistuskin on kelvollinen harjoitus (esim. [MSL, t. 70a]). Mihin syklometriseen funktioon liittyv¨a perus- integraali nyt tulee muistaa? Johda Eulerin kaava yht¨a- l¨on (5) avulla k¨aytt¨aen pohjana esimerkin 1 oletuksia.

2. Esimerkiss¨a 1 johdettiin arkustangentin logaritmie- sitys. Nyt kun tunnemme Eulerin kaavan, voidaan- ko my¨os tavalliset trigonometriset funktiot kuten si- ni, kosini ja tangentti esitt¨a¨a jossakin vastaavassa, ei- trigonometrisess¨a muodossa?

Kiitokset:

Kiit¨an professoriJorma Merikoskea ja lehtori Markku Halmetojaakaikesta rakentavasta palautteesta, jota he antoivat k¨asikirjoituksestani.

Kirjallisuusviittaukset:

[Bo] C. Boyer, Tieteiden kuningatar. Matematiikan historia, osat I–II.Art House, 1994.

[MSL] J. Merikoski, T. Sankilampi ja T. Laurinolli:Ma- tematiikan Taito 8: Integraalilaskenta, WSOY 2000.

[Sa] E. Saksman, Kolmannen asteen yht¨al¨o¨a ratkai- semassa. http://solmu.math.helsinki.fi/2000/2/, 5–12.

Artikkelin kirjoittaja on M¨ant¨an lukion toisen vuoden opiskelija. H¨anelle voi l¨ahett¨a¨a s¨ahk¨opostia osoitteeseen sonor@phpoint.fi.

Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta

Martti Nikunen Laboratorioinsin¨o¨ori

Matematiikan laitos, Helsingin yliopisto

Aluksi

Matemaattisen tekstin saattaminen painokelpoiseen muotoon on aina ollut ty¨ol¨ast¨a johtuen matemaattisis- sa kaavoissa k¨aytetyist¨a erikoismerkeist¨a. Ennen tieto- koneiden aikaa matemaattiset tekstit tehtiin painokun- toon k¨asinladonnalla tai erikoiskirjoituskoneilla. Hen- kil¨okohtaisten tietokoneiden mukana tulivat k¨aytt¨o¨on tekstink¨asittelyohjelmat, joissa monissa on jonkinlai- nen kaavaeditori matematiikan kirjoittamiseen. Typo- grafisesti korkeatasoisen matematiikan kirjoittamiseen eiv¨at n¨aiden editoreiden kyvyt kuitenkaan riit¨a.

Matemaattisen tekstink¨asittelyn standardiksi on muo- dostunut Donald Knuthin 1970-luvun loppupuolella luoma TeX. TeX ei ole tekstink¨asittelyohjelma, vaan ladontaohjelma, joka k¨asittelee tekstitiedostoja, jois- sa leip¨atekstin joukossa on tekstin muotoilua ohjaavia komentoja. TeX-ohjelmaa on my¨ohemmin laajennettu monilla ns. makropaketeilla, joista nyky¨a¨an k¨aytetyin on LaTeX.

Tyypillinen TeX-ohjelmisto, joita on saatavana eri- laisille k¨aytt¨oj¨arjestelmille, sis¨alt¨a¨a TeX- ja LaTeX- ohjelmat, esikatseluohjelman, tulostusohjelmia, makro- paketteja, fontteja ja opastekstej¨a. Kaikki t¨ass¨a jutussa lueteltavat ohjelmat ovat saatavissa Internetist¨a ilmai- seksi, ellei toisin mainita.

LaTeX soveltuu hyvin matematiikkaa sis¨alt¨avien teks-

tien (artikkelit, esityskalvot ja kirjat) tuottamiseen. Sii- n¨a on mahdollista k¨aytt¨a¨a ristiviittauksia ja kaavojen, taulukoiden sek¨a otsikoiden automaattista numeroin- tia. My¨os kuvia on mahdollista liitt¨a¨a tekstin jouk- koon ja t¨ass¨a on EPS-muoto (Encapsulated PostSc- ript) parhaiten tuettu. LaTeX-dokumentista voi my¨os tarvittaessa tuottaa verkkoversion HTML- tai PDF- muodossa (Portable Document Format).

Esimerkki

Seuraavassa on lyhyt LaTeX-esimerkkiteksti. Ensim- m¨aisell¨a rivill¨a valitaan dokumentin tyyppi ja kirja- sinkoko. Komennolla\usepackagevoidaan ottaa k¨ayt- t¨o¨on erilaisia makropaketteja, jotka t¨ass¨a tapauksessa valitsevat k¨aytett¨av¨an fontin sek¨a suomenkielen tavu- tuksen.

\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[finnish]{babel}

\begin{document}

\section{Muuan integraali}

Seuraavaa kaavaa ei ole aivan helppo todistaa oikeaksi

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx

= \sqrt{\pi} \]

\end{document}

Jos edell¨a listattu teksti on tekstitiedostona juttu.tex, voidaan sen k¨asittelyyn k¨aytt¨a¨a komentoa (Unixin komentorivill¨a, Windowsin DOS-ikkunassa) latex juttu

T¨all¨oin syntyy tiedostojuttu.dvi (DVI = Device In- dependent), jota voi esikatsella ruudulla tai tulostaa paperille apuohjelmilla. Paperille tulostettuna t¨am¨a n¨aytt¨aisi seuraavalta:

1 Muuan integraali

Seuraavaa kaavaa ei ole aivan helppo todistaa oikeak-

si Z∞

−∞

e^−x2dx=√ π

Unixin X-Window-ikkunointiymp¨arist¨oss¨a voi tulosta katsella ruudulla komennolla

xdvi juttu

Windowsin DOS-ikkunassa komentoa xdvi vastaava komento olisiwindvi(fpTeX) taiyap(MikTeX).

Paperitulostuksessa parhaiten tuettuja ovat PostScript-kirjoittimet ja HP:n laserkirjoittimet. Em.

esimerkkitiedosto voidaan tulostaa LaTeX-ajon j¨alkeen PostScript-muodossa tiedostoonjuttu.pskomennolla dvips -o juttu.ps juttu

Jos kirjoitin ei tue suoraan PostScript-muotoa, voidaan apuna k¨aytt¨a¨a GhostScript-ohjelmistoa http://www.cs.wisc.edu/˜ghost/. T¨at¨a voidaan k¨ayt- t¨a¨a my¨os muunnokseen PostScript-muodosta PDF- muotoon.

Toinen tapa tuottaa PDF-muotoisia LaTeX- dokumentteja on k¨aytt¨a¨a melko ¨askett¨ain kehi- tetty¨a TeXin laajennusta pdfTeX, joka tuottaa DVI-tiedostojen asemesta PDF-tiedostoja (komento pdflatex). L¨ahdetiedostoihin tarvitaan vain pieni¨a muutoksia tekstin alkuun. Tuettuja kuvaformaatteja ovat PNG, JPEG, TIFF ja PDF. Jos tekstiin halu- taan liitt¨a¨a EPS-kuvia, ne tulee ensin muuntaa PDF- muotoon erillisell¨a apuohjelmalla epstopdf.

Mist¨ a saa?

Internetiss¨a TeX-materiaalia saa CTAN-arkistoista (CTAN = Comprehensive TeX Archive Network). Suo- messa t¨allainen l¨oytyy osoitteesta ftp://ftp.funet.fi/

pub/TeX/CTAN/. TeXin k¨aytt¨aj¨ayhdistyksen (TUG

= TeX Users Group) kotisivulta http://www.tug.org/

l¨oytyy hy¨odyllisi¨a linkkej¨a.

Unix-ymp¨arist¨oss¨a parhaiten tuettu TeX-ohjelmisto on teTeX, joka tulee useimpien Linux-jakelupakettien mu- kana. Asennuspaketti tavallisimmille Unix-varianteille l¨oytyy CTAN-alihakemistostasystems/unix/teTeX/.

Windows-maailmassa (95/98/ME/2000/XP) k¨ayte- tyimm¨at ilmaisohjelmistot ovat MikTeX (http://

www.miktex.org/) ja fpTeX (http://www.fptex.org/).

N¨aist¨a fpTeX on yhteensopivampi teTeXin kanssa, mutta MikTeX on ensikertalaiselle helpompi asen- taa. CTAN-alihakemistostasystems/win32/ l¨oytyy La- TeXin k¨aytt¨o¨a helpottavia graafisia k¨aytt¨oliittymi¨a, joista suosituin lienee WinEdt (shareware).

Macintoshille ei ole ilmaista TeX-ohjelmistoa, joka toi- misi k¨aytt¨oj¨arjestelm¨an vanhemmissa versiossa, mutta uudelle Mac OS X:lle l¨oytyy teTeX ja siihen k¨aytt¨o- liittym¨a TeXShop. Macin TeX-linkkej¨a on osoitteessa http://www.esm.psu.edu/mac-tex/default.html. Muil- le k¨aytt¨oj¨arjestelmille l¨oytyy TeX-ohjelmistoja CTAN- alihakemistosta systems/.

Kirjallisuutta

LaTeX ja AMS-LaTeX: opus asiatekstin ladonnas- ta (K¨aytt¨aj¨an opas n:o 43), Jyv¨askyl¨an yliopiston atk-keskus. Antti-Juhani Kaijanahon kirjoittama kir- ja, www-sivuhttp://www.cc.jyu.fi/latex-opas/.

Suomenkielist¨a LaTeX-materiaalia Internetiss¨a:

•Johdatus LaTeXiin,http://www.hut.fi/atk/ohjelmis- tot/tex/latex.html. Jukka Korpelan kirjoittama lyhyt ohje.

• Ohjeita LaTeXin k¨aytt¨o¨on, http://www.csc.fi/op- paat/latex/. Juha Haatajan laatima artikkelikokoel- ma, jossa my¨os kirjallisuusviitteit¨a englanninkieliseen materiaaliin.

• Pitk¨anpuoleinen johdanto LaTeX2e:n k¨aytt¨o¨on, CTAN-alihakemisto info/lshort/finnish/. Timo Hell- grenin suomentama ja muokkaama versio teoksesta The Not So Short Introduction to LaTeX2e (Tobias Oetiker).

• Lars Wirzeniuksen ja Antti-Juhani Kaijanahon LaTeXin k¨aytt¨o¨a esittelev¨at tiedostot, CTAN- alihakemistoinfo/finnish/texmalli/.

TeX- ja LaTeX-kysymyksi¨a k¨asitell¨a¨an suomenkielises- s¨a uutisryhm¨ass¨a sfnet.atk.tex ja kansainv¨alisess¨a ryhm¨ass¨acomp.text.tex.

T¨am¨a artikkeli on julkaistu l¨ahes samassa muodossa Hel- singin yliopiston atk-osaston ATK – tietotekniikkaa yli- opistolle-tiedotuslehden numerossa 4/2001, ja se julkais- taan Solmussa ATK-lehden luvalla.

Solmun teht¨ av¨ apalsta on t¨ a¨ all¨ a taas!

Matti Lehtinen

Solmussa oli sen alkutaipaleella tapana julkaista ma- temaattisia ongelmia, sellaisia v¨ah¨an vaativampia. Toi- mittaja toivoi saavansa lukijoiden ratkaisuja ja kannus- timeksi lupasi julkaista n¨ait¨a Solmussa, ratkaisijaa sa- malla kehuen. Toimittaja ei sortunut sis¨a¨an virtaavan postin alle, sill¨a sit¨a tuli perin v¨ah¨an. Teht¨avien jul- kaiseminen lopetettiin. Mutta nyt ovat lukijat kerto- neet, ett¨a teht¨avi¨a pit¨aisi kuitenkin olla. T¨ass¨a niit¨a tulee. Mukavat lukijoiden ratkaisut p¨a¨asev¨at edelleen

lehteen, ja ansiokkaita ratkaisijoita saatetaan muistaa pikku lahjuksinkin. Niin ett¨a t¨oihin nyt, ja kun val- mista tulee, niin paperille, kirjekuoreen ja osoitteeseen Matti Lehtinen, Untuvaisentie 5 B 63, 00820 HELSINKI. S¨ahk¨opostiakin voi yritt¨a¨a k¨aytt¨a¨a, se- h¨an onmatti.lehtinen@helsinki.fi. ¨Al¨a kuitenkaan panttaa ratkaisujasi loputtomiin, koska toimittajan rat- kaisut julkaistaan seuraavassa Solmussa, ja silloinhan hommasta mielenkiinto v¨ahenee.

Teht¨ av¨ at

1. Luku (√

50 + 7)²⁰⁰¹ kehitet¨a¨an desimaaliluvuksi.

M¨a¨arit¨a luvun 1. ja 2001. desimaali.

2. Kolmion sivujen pituudet ovat per¨akk¨aisi¨a kokonais- lukuja. Yksi kolmion keskijanoista on kohtisuorassa er¨ast¨a kolmion kulmanpuolittajaa vastaan. M¨a¨arit¨a kolmion sivujen pituudet.

3. KuutioKon leikattu 99:ksi pienemm¨aksi kuutioksi.

N¨aist¨a vain yhdell¨a s¨arm¨an pituus ei ole 1. M¨a¨arit¨a kuutionK tilavuus.

4. M¨a¨arit¨a suurin kokonaislukud, joka on kaikkien lu- kujenn(n+ 1)(2n+ 2002), miss¨anon positiivinen kokonaisluku, tekij¨a.

5. Montako alkiota on suurimmassa joukon A = {1,2, . . . , 547} sellaisessa osajoukossa, jossa min- k¨a¨an kahden luvun summa ei ole jaollinen 42:lla?

6. Ympyr¨at, joiden s¨ateet ovat h ja k, sivuavat suo- raa ` pisteiss¨a A ja B. Ympyr¨at leikkaavat toisen- sa pisteiss¨aC jaD. Todista, ett¨a kolmioidenABC jaABDymp¨ari piirrettyjen ympyr¨oiden s¨ateet ovat samat. M¨a¨arit¨a t¨am¨a s¨ade.

7. Olkoon positiivisten lukujena1, a2, . . . , an tulo 1.

Osoita, ett¨a

√a1+√a2+· · ·+√an6a1+a2+· · ·+an.

8. Seurueen jokaisen nelj¨an j¨asenen joukossa on yksi, joka on tuttu kyseisten kolmen muun j¨asenen kanssa.

Todista, ett¨a seurueessa on ainakin yksi j¨asen, joka on tuttu seurueen kaikkien muiden j¨asenten kanssa.

9. Varastossa on 2001 juustonpalaa. Todista, ett¨a on mahdollista leikata yksi paloista kahteen osaan niin, ett¨a palat voidaan ker¨at¨a kahteen s¨akkiin, joiden si-

s¨alt¨o painaa yht¨a paljon ja joissa on kummassakin yht¨a monta palaa.

10. Kokonaislukukertoimisella n:nnen asteen (n > 5) polynomilla P(x) on n eri kokonaislukunollakoh- taa 0,x2,x3, . . . ,xn. M¨a¨arit¨a polynominP(P(x)) kokonaislukunollakohdat.

11. Veljekset m¨oiv¨at n lammasta hintaan n eu- roa/lammas. Rahat jaettiin niin, ett¨a vanhempi ve- li otti ensin 10 euroa, sitten nuorempi otti 10 euroa jne., kunnes oli nuoremman veljen vuoro ottaa ra- haa, jota ei kuitenkaan en¨a¨a ollut kymment¨a euroa.

T¨all¨oin sovittiin, ett¨a nuorempi veli saa loput ra- hat sek¨a vanhemman linkkuveitsen, ja jako menee tasan. Mink¨a arvoinen oli linkkuveitsi?

12. Reaaliluvutajab toteuttavat yht¨al¨ot a³−3ab²= 20, b³−3a²b= 40.

M¨a¨arit¨aa²+b². 13. Olkoon

an=jn 1

k+jn 2

k+· · ·+jn n

k.

Osoita, ett¨a an = 2 +a_n−1 silloin ja vain silloin, kun non alkuluku.

14. Todista, ett¨a kaikilla luonnollisilla luvuillan luku 2ⁿ+n²on jaollinen 5:ll¨a silloin ja vain silloin, kuin lukun²·2ⁿ+ 1 on jaollinen 5:ll¨a.

15. M¨a¨arit¨a kaikki alkuluvut n, joiden kymmenj¨arjes- telm¨aesitys onn= 10101. . .01.

16. M¨a¨arit¨a kymmenj¨arjestelm¨ass¨a kirjoitetun luvun 2001²⁰⁰¹ numeroiden summan numeroiden sum- man numeroiden summa.

17. Olkoon pkaikkien sellaisten funktioiden lukum¨a¨a- r¨a, jotka on m¨a¨aritelty joukossa {1,2, . . . , m}, m positiivinen kokonaisluku, ja joiden arvot kuulu- vat joukkoon {1,2, . . . ,35,36} ja olkoon q kaik- kien sellaisten funktioiden lukum¨a¨ar¨a, jotka on m¨a¨aritelty joukossa {1,2, . . . , n}, n positiivinen kokonaisluku, ja joiden arvot kuuluvat joukkoon {1, 2,3,4,5}. M¨a¨arit¨a |p−q|:n pienin mahdolli- nen arvo.

18. Olkoota1,a2, . . . ,a2001 ei-positiivisia lukuja. To- dista, ett¨a

2^a1+ 2^a2+· · ·+ 2^a2001 62000 + 2^{a1+a2+···+a2001}. 19. Neli¨onABCD sivun pituus on 1. OlkoonX mieli-

valtainen sivun AB jaY mielivaltainen sivunCD piste ja olkoot M XD:n ja Y A:n leikkauspiste ja N XC:n jaY B:n leikkauspiste. M¨a¨arit¨a ne pisteet X ja Y, joille nelikulmion XN Y M ala on suurin mahdollinen.

20. SuunnikkaanABCD sivun ADkeskipiste onE ja F on pisteenB kohtisuora projektio suorallaCE.

Osoita, ett¨aABF on tasakylkinen kolmio.

21. PisteetA,B,C jaD ovat pallon pinnan eri pistei- t¨a. Janat AB ja CD leikkaavat toisensa pisteess¨a F. PisteetA,CjaF ovat yht¨a et¨a¨all¨a pisteest¨aE.

Osoita, ett¨a suoratBD jaEF ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

22. Ter¨av¨akulmaisen kolmion ABC ymp¨ari piirretty ympyr¨a on Γ. OlkoonP piste Γ:n sis¨apuolella. Ol- kootX,Y ja Z ne pisteet, joissa suoratAP, BP jaCP my¨os leikkaavat Γ:n. M¨a¨arit¨a ne pisteetP, joilleXY Zon tasasivuinen kolmio.

23. n kive¨a asetetaan yhdeksi tai useammaksi kasak- si. Mik¨a on eri kasoissa olevien kivien lukum¨a¨arien tulon suurin mahdollinen arvo?

24. M¨a¨aritell¨a¨an lukujonot (an) ja (bn) seuraavasti:

a1= 9, b1= 3,ak+1= 9^ak,bk+1= 3^bk, kunk= 1, 2, . . . M¨a¨arit¨a pieninn, jollebn> a2001.

25. Tasossa on annettuina 2000 pistett¨a. Osoita, et- t¨a pisteet voidaan yhdist¨a¨a pareittain 1000 janalla, jotka eiv¨at leikkaa toisiaan.

26. Er¨as tehdas tuottaa samankokoisia s¨a¨ann¨ollisi¨a tet- raedreja. Tehdas maalaa tetraedrinsa nelj¨all¨a v¨aril- l¨aA, B, C ja D, kukin tahko omallaan. Montako erilaista tetraedria on mahdollista tuottaa?

27. Maalaiskoulussa on 20 lasta. Jokaisella kahdella lapsella on yhteinen isois¨a. Todista, ett¨a er¨a¨all¨a isois¨all¨a on ainakin 14 lastenlasta.

28. Toisessa koulussa oli 13 tytt¨o¨a ja 10 poikaa. Opet- taja jakoi namusia. Kaikki tyt¨ot saivat kesken¨a¨an yht¨a monta ja kaikki pojat kesken¨a¨an yht¨a mon- ta. Kukaan ei j¨a¨anyt ilman. Osoittautui, ett¨a ta- pa, jolla opettaja jakoi namuset, oli ainoa tapa, jo- ka t¨aytti edell¨a kuvatut ehdot. Montako namusta opettajalla enint¨a¨an oli?

29. Todista, ett¨a 1 668 + 1

669+· · ·+ 1

2002= 1 + 2 2·3·4+

+ 2

5·6·7 +· · ·+ 2

2000·2001·2002. 30. Olkoon N^∗ positiivisten kokonaislukujen joukko.

M¨a¨arit¨a kaikki funktiotf :N^∗ →N^∗, joillef(n+ m) = f(n)f(m) kaikilla m, n ∈ N^∗ ja joille yh- t¨al¨oll¨af(f(x)) = (f(x))² on ainakin yksi ratkaisu x∈N^∗.

Matematiikasta ja sen menetelmist¨ a

Euroopan matemaattisen seuran lehden kirjoituksestaThe Methodology of Mathematics, Ronald Brown ja Ti- mothy Porter (kes¨akuu 2001 ja syyskuu 2001) lyhent¨aneet ja vapaasti k¨a¨ant¨aneet

Marjatta N¨a¨at¨anen ja Matti Lehtinen Matematiikan laitos, Helsingin yliopisto

Kirjoitus perustuu esitelm¨a¨an, jonka tarkoituksena on antaa opiskelijoille k¨asitys matematiikan pyrkimyksis- t¨a ja saavutuksista sek¨a n¨aiden pohjalta her¨att¨a¨a my¨os alan ansaitsemaa arvostusta ja ylpeytt¨akin. Tarkoituk- sena on my¨os auttaa opiskelijoita selitt¨am¨a¨an n¨ait¨a p¨a¨am¨a¨ari¨a ja saavutuksia yst¨avilleen ja sukulaisilleen.

Muutama peruskysymys mate- maatikoille

Toivomme matematiikkaa mill¨a tahansa tasolla opet- tavia miettim¨a¨an, miss¨a m¨a¨arin matemaatikon koulu- tukseen tulisi liitty¨a seuraavien kysymysten k¨asittely¨a ja arviointia.

1. Onko matematiikka t¨arke¨a¨a? Jos se on, niin mille, miss¨a yhteyksiss¨a ja miksi.

2. Mik¨a on matematiikan luonne muihin oppialoihin verrattuna?

3. Mitk¨a ovat matematiikan tutkimuskohteet?

4. Mitk¨a ovat matematiikan menetelm¨at, miten se saa aikaan tuloksensa?

5. Tutkitaanko matematiikkaa? Jos, niin kuinka pal- jon? Mitk¨a ovat tutkimuksen yleiset tavoitteet? Mit- k¨a ovat merkitt¨avimm¨at saavutukset? Miten mate- matiikkaa tutkitaan?

6. Millaista on hyv¨a matematiikka?

Voidaan v¨aitt¨a¨a, ett¨a jotkin n¨aist¨a kysymyksist¨a eiv¨at osu kohdalleen ja ett¨a matemaatikon ei ole tarpeen t¨al- laisia pohtia. N¨ait¨a v¨aitteit¨a vastaan puolustaudumme Albert Einsteininsanoilla vuodelta 1916:

”Kun k¨a¨annyn tieteen puoleen ilman jotain pinnallis- ta syyt¨a kuten rahan ansaitseminen tai kunnianhimo, ja my¨oskin ilman (tai ei ainakaan yksinomaan) pelin antaman mielihyv¨an, aivourheilun ilojen takia, silloin seuraavien kysymysten t¨aytyy kiinnostaa minua tutki- jana palavasti: Mihin p¨a¨am¨a¨ar¨a¨an pyrkii tiede, jonka harjoittamiselle omistaudun? Kuinka ’oikeita’ ovat sen tulokset? Mik¨a on olennaista ja mik¨a vain satunnaisen kehityksen tulosta?

... K¨asitteet, jotka ovat osoittautuneet hy¨odyllisiksi asioiden j¨arjest¨amisess¨a saavat helposti niin suuren auktoriteetin, ett¨a unohdamme niiden maallisen alku- per¨an ja hyv¨aksymme ne annettuina tosiasioina, ’a priori tilanteina’ jne. Tieteen edistyksen tie tulee usein

pitkiksi ajanjaksoiksi tukittua sellaisten virheiden ta- kia. Siksi ei ole turhaa touhua k¨aytt¨a¨a kyky¨amme tut- tujen k¨asitteiden analysointiin ja tuoda esiin ehdot, joista n¨aiden k¨asitteiden oikeutus ja hy¨odyllisyys riip- puu, ja miten n¨am¨a v¨ah¨a v¨ah¨alt¨a kehittyiv¨at...”

Ihmisen erottaa el¨aimest¨a kyky mietti¨a omaa toimin- taansa ja t¨am¨a kyky vaikuttaa positiivisesti suureen osaan ihmisen toimintaa. T¨ah¨an mietiskelyyn kuuluu arvojen arviointi, j¨alleen – tiet¨am¨amme mukaan – vain ihmiselle ominainen kyky. Miettiminen lis¨a¨a yleens¨a toiminnan tehokkuutta, voimme analysoida, mik¨a on oleellista, mik¨a t¨arke¨a¨a, ja miten toiminta voidaan suo- rittaa ilman tavallisimpia virheit¨a. Siisp¨a meid¨an tulisi mietti¨a my¨os matemaattista toimintaa. Voimme my¨os pohtia n¨ait¨a kysymyksi¨a ja k¨aytt¨a¨a vertilukohtana tai- dekasvatuksen n¨ak¨okohtia. Olemme kuulleet v¨aitett¨a- v¨an, ett¨a taidekasvatus on huomattavasti edell¨a tiede- kasvatuksesta, koska se her¨att¨a¨a oppilaiden kiinnostus- ta ja itsen¨aisyytt¨a. Vertaillaanpa siis taide- ja tiedekas- vatusta.

P¨a¨am¨a¨ariksi voidaan taiteen ja muotoilun kurssilla asettaa:

1. Opettaa hyv¨an suunnittelun periaatteet.

2. Rohkaista itsen¨aisyytt¨a ja luovuutta.

3. Antaa oppilaille valikoima k¨ayt¨ann¨on taitoja, jotta he voivat k¨aytt¨a¨a hyv¨an suunnittelun periaatteita ty¨oss¨a¨an.

Eik¨o matematiikan kurssin p¨a¨am¨a¨ariksi voisi ottaa n¨ai- t¨a, vaihtamalla suunnittelu matematiikaksi?

Seuraava lainaus onT. Dantziginkirjasta:

”T¨am¨a on kirja matematiikasta: se k¨asittelee symbo- leja ja muotoja sek¨a ideoita, jotka ovat symbolien ja muotojen takana. Kirjoittajan mielest¨a nykyinen kou- lukurssi riisuu matematiikan sen kulttuuriyhteydest¨a ja j¨att¨a¨a vain teknisten yksityiskohtien luurangon. T¨am¨a on monille lahjakkaille mielille vastenmielist¨a. Kirjan tarkoitus on tuoda takaisin kulttuuriyhteys ja esitt¨a¨a matematiikan kehitys sin¨a perin inhimillisen¨a tarina- na, mik¨a se on.”

Mik¨ a on matematiikan merkitys?

Yleens¨a ei huomata, miten suurta osaa matematiikka n¨ayttelee jokap¨aiv¨aisess¨a el¨am¨ass¨amme. Osa t¨at¨a ma- tematiikkaa on tietenkin varsin vanhaa: n¨aemme joka p¨aiv¨a numeroita, graafeja, yhteen- ja kertolaskua. On helppoa unohtaa, ett¨a n¨aiden keksiminen oli aikanaan suuri edistysaskel. Roomalaisten numeroiden korvaami- nen arabialaisilla teki kunnon kirjanpidon mahdollisek- si ja t¨am¨an v¨aitet¨a¨an olleen syy Venetsian vaurauteen

14. vuosisadalla. On my¨os syyt¨a huomata tarkkuuden merkitys matematiikassa. Ydinasia arabialaisessa sys- teemiss¨a on luvun nolla k¨aytt¨o. Ensi silm¨ayksell¨a tun- tuu j¨arjett¨om¨alt¨a laskea tyhj¨ass¨a laatikossa olevien esi- neiden lukum¨a¨ar¨a¨a. On yll¨att¨av¨a¨a, kuinka t¨arke¨a¨a t¨a- m¨a on kunnolliselle laskusysteemille, jossa lukua 0 k¨ay- tet¨a¨an paikan merkkin¨a. Nollan k¨asitteen puuttuminen esti matematiikan edistyksen vuosisatojen ajan.

Korkeammalla tasolla taas emme olisi saaneet n¨ahd¨a Voyager II:n kauniita kuvia planeetta Jupiterista ilman virheit¨a korjaavia koodeja. T¨am¨a matematiikka on mo- nin tavoin olennaista my¨os telekommunikaatiolle, tie- tokoneille ja erityisesti CD-soittimille. Ilman krypto- grafian matematiikkaa ei nykyinen miljardien dollarei- den elektroninen finanssiliikenne olisi mahdollista kaut- ta maapallon. Kategoriateoriaa, matemaattisten struk- tuurien teoriaa, k¨aytet¨a¨an nyt antamaan uutta n¨ake- myst¨a seuraavan sukupolven ohjelmistojen suunnitte- luun k¨aytt¨aen tulevaisuuden logiikkaa ja algebroita.

Matematiikan valtavat sovellukset insin¨o¨oritieteisiin, tilastotieteeseen ja fysiikkaan tunnetaan yleisesti. Al- kur¨aj¨ahdyksen ja peruspartikkelien teoriat eiv¨at oli- si mahdollisia ilman matematiikkaa. Kuvitellaan, et- t¨a matematiikan roolin ottavat tulevaisuudessa super- tietokoneet. T¨all¨oin ei useinkaan huomata, ett¨a n¨am¨a supertietokoneet ovat matemaattisen ja k¨asitteellisen formuloinnin palvelijoita: elektroniikka tekee laskut ih- meen nopeasti ja tarkasti. Esimerkiksi kehon skannerit ovat sovellus ja realisointi 19. vuosisadan matematii- kasta. T¨am¨a ilmaisee, kuinka rekonstruoida kiinte¨a, ti- heydelt¨a¨an vaihteleva objekti, kun sit¨a voidaan katsella r¨ontgens¨ateill¨a; kun ainoa mittaustulos on intensiteetin muutos s¨ateiden kulkiessa kehon l¨api useista eri suun- nista.

Mik¨ a on matematiikan luonne?

T¨am¨a on mysteeri. Nobelinpalkinnon saanut E. Wig- ner kirjoitti kuuluisan esseen Matematiikan k¨asitt¨a- m¨at¨on tehokkuus luonnontieteiss¨a. Meille avainsana on ”k¨asitt¨am¨at¨on”. H¨an puhuu siit¨a yll¨atyksest¨a, min- k¨a matematiikan k¨aytt¨o aiheuttaa pystym¨all¨a ennus- tamaan koetuloksiin sopien aina yhdeks¨an merkitse- v¨an numeron tarkkuudella. Miten t¨allainen ¨allistytt¨av¨a tarkkuuus on mahdollista? T¨ass¨a on joitain lainauksia artikkelista:

”... matematiikan ¨a¨aret¨on hy¨odyllisyys fysikaalisissa tieteiss¨a on jotain melkein mystist¨a, eik¨a sille ole ratio- naalista selityst¨a. Matematiikka on taidokkaiden ope- raatioiden tiede, miss¨a k¨asitteet ja s¨a¨ann¨ot keksit¨a¨an vain t¨at¨a tarkoitusta varten” (tarkoitus on taidok- kuus...)

”P¨a¨atarkoitus on k¨asitteiden keksiminen. Ajatuksen sy- vyys, jolla matematiikan k¨asitteet muodostetaan, saa

my¨ohemmin oikeutuksensa siit¨a taidosta, jolla n¨ait¨a k¨a- sitteit¨a k¨aytet¨a¨an. V¨aite, ett¨a luonnon lait on kirjoitet- tu matematiikan kielell¨a esitettiin kunnolla kolmesataa vuotta sitten (se luetaanGalileonv¨aitteeksi), nyt se on todempi kuin koskaan ennen.

... Einstein sanoi, ett¨a olemme valmiita hyv¨aksym¨a¨an ainoastaan kauniit fysiikan teoriat. Voidaan v¨aitt¨a¨a, et- t¨a matematiikan k¨asitteet, jotka perustuvat niin paljol- le ¨alylle, ovat laadultaan kauniita.”

Jos matemaatikolta kysyy, miksi opiskella matematiik- kaa, h¨an voisi vastata: Matematiikka on mallien ja ra- kenteiden tutkimista sek¨a niiden avulla loogista analy- sointia ja laskemista. Yrityksess¨amme ymm¨art¨a¨a maa- ilmaa ja s¨aily¨aksemme elossa tarvitsemme abstraktin rakenteiden tieteen, metodin tiet¨a¨a, mik¨a on totta ja mik¨a on mielenkiintoista n¨aille rakenteille. Matematiik- ka on siis loppujen lopuksi v¨altt¨am¨at¨ont¨a ja perustaa kaikille muille luonnontieteille ja tekniikalle.

Toinen syy on n¨aiden uusien mallien ja rakenteiden ihmettely ja mielenlumo, h¨amm¨astytt¨av¨at yhteydet, jotka tutkimuksemme on l¨oyt¨anyt. Matematiikka tuo my¨os n¨oyryytt¨a, me tied¨amme, miten vaikeaa on to- distaa edes yht¨a pient¨a n¨aenn¨aisen helppoa v¨aitett¨a.

Tunnemme matemaattisen totuuden rajoitukset, ei voi- da todistaa kaikkea, mik¨a on totta, kutenG¨odel osoit- ti. Matemaatikko ei v¨ait¨a, ett¨a lopullinen ratkaisu, kai- ken selvitt¨av¨a yhten¨aisteoria on tulossa. Paremminkin etsimme yll¨atyksi¨a, jotka esitt¨av¨at maailman uudesta n¨ak¨okulmasta. Kokemus antaa aihetta uskoa, ett¨a n¨ai- t¨a tulee. Matemaatikolle maailma ei ole vain oudompi kuin kuvittelemmekaan, vaan oudompi kuin edes pys- tyt nyt kuvittelemaan. T¨at¨a outoutta tutkimme.

Mit¨ a matematiikka tutkii?

T¨at¨a on jo v¨ah¨an k¨asitelty. Matematiikkka ei tutki ob- jekteja, vaan niiden v¨alisi¨a suhteita. Matematiikalla on my¨os kielen luonne. Matematiikan ja sen sovellusten historia osoittaa, ett¨a juuri matematiikan kieli, mene- telm¨at ja k¨asitteet tuovat sille kest¨av¨an arvon ja joka- p¨aiv¨aisen k¨ayt¨on. Joitain t¨arkeit¨a k¨asitteit¨a, joille ma- tematiikka on antanut t¨asm¨allisyyden, ovat: luku, pi- tuus, pinta-ala, tilavuus, muutosnopeus, satunnaisuus, laskennallisuus, symmetria, liike, voima, energia, kaa- revuus, avaruus, jatkuvuus, ¨a¨arett¨omyys, deduktiivi- nen p¨a¨attely. Alexander Grothendieckinsanoin uuden matemaattisen teorian luomisessa on usein ongelmana

”tuoda uusia k¨asitteit¨a pimeydest¨a”. N¨am¨a uudet k¨a- sitteet, jotka tekev¨at vaikeasta helpomman, osoittavat meille oikean tien edet¨a. Viel¨a t¨arke¨ampi on matematii- kan tapa k¨asitell¨a ja m¨a¨aritell¨a k¨asitteit¨a yhdistelem¨al- l¨a niit¨a matemaaattisiksi rakenteiksi. N¨am¨a rakenteet, mallit, n¨aytt¨av¨at k¨asitteiden v¨alisi¨a suhteita ja niiden rakenteellista k¨aytt¨aytymist¨a. Kuten sanottua, mate- matiikka tutkii abstrakteja malleja ja struktuureita.

Mitk¨ a ovat matematiikan mene- telm¨ at?

Kysymyst¨a k¨asitell¨a¨an harvoin. Tunnetaan toki Paul Erd¨osin kommentti, jonka mukaan matematiikka on menetelm¨a, jolla kahvi muutetaan teoreemoiksi, mutta t¨am¨a ei varmaan juuri valaise asiaa ulkopuolisille. Kat- sotaan siis, mit¨aP. David ja R. Hershsanovat asiasta kirjoissaanThe Mathematical ExperiencejaDescartes’

Dream. Edellisen kirjan luku Inner Issues ottaa esiin seuraavia teemoja:

Symbolit

Symbolien k¨aytt¨o ja yhdistely on yksi matematiikan tunnuspiirteit¨a. Se on yksi niist¨a tekij¨oist¨a, jotka saa- vat suuren yleis¨on suhtautumaan matematiikkaan tor- juvasti. Monet sanovat, ett¨a he ymm¨arsiv¨at kyll¨a mate- matiikkaa, kunnes vastaan tulivatxjay. Symbolien k¨a- sittely tiettyjen s¨a¨ant¨ojen puitteissa on yh¨a t¨arke¨a osa matematiikan k¨ayt¨ann¨on taitoa. On ihmisi¨a, jotka tah- tovat oppia (esimerkiksi) taloustiedett¨a, mutta jotka ei- v¨at osaa p¨a¨atell¨a, ett¨a josx+ 2 = 4, niinx= 2. T¨allai- set puutteet tekev¨at taloustieteen k¨asitteiden ymm¨ar- t¨amisen kovin vaikeaksi.

Sangen monimutkaisia relaatioita voi ilmaista symboli- sesti tavalla, joka on hyvin vaikeaa muuttaa sanallisek- si. T¨am¨a symbolien taloudellisuus lis¨a¨antyy jatkuvasti, kun symboleja ruvetaan k¨aytt¨am¨a¨an yh¨a mutkikkaam- pien k¨asitteiden merkkein¨a ja samalla symbolien k¨asit- telys¨a¨ant¨oj¨a pidet¨a¨an itse k¨asitteit¨a koskevien s¨a¨ant¨o- jen malleina.

Hiukan liioitellen on sanottu, ett¨a matematiikan histo- ria on merkint¨ojen kehittymisen historiaa. T¨am¨a hei- jastaa k¨asityskyvyn rajallisuutta. Tarvitsemme ajatte- lumme avuksi ja johdatukseksi tukipisteit¨a ja vertaus- kuvia.

Jotkin matemaattiset symbolit ovat jo itsess¨a¨an ver- tauskuvia. T¨allaisia ovat esimerkiksi/,<,→jaR

. Joi- hinkin toisiin on liittynyt voimakkaita assosiaatioita, joiden ansiosta nekin k¨ayv¨at metaforista. Symbolien avulla voi ilmaista asioita taloudellisesti ja t¨asm¨allises- ti, kutenA.N. Whitehead aikanaan huomautti. Jonkin tietyn symbolin k¨aytt¨otapa saattaa kuitenkin muuttua ajan my¨ot¨a, sit¨a mukaa kuin matemaatikot tottuvat uusiin merkint¨oihin ja omaksuvat ne k¨aytt¨o¨ons¨a.

Joissain tapauksissa matemaatikkojen laiskuuden syn- nytt¨am¨a merkint¨a on voinut johtaa uusiin teorioihin.

Esimerkiksi tyyppi¨a (a11x1+· · ·+a1nxn;. . .;am1x1+

· · ·+amnxn) olevat merkinn¨at lyhentyiv¨at aikojen ku- luessa muotoonAx, ja matriisilaskenta syntyi tarpees- ta luoda t¨am¨an merkinn¨an korrektin k¨asittelyn s¨a¨an- n¨ot.

Abstraktius

T¨am¨a on matematiikan olennainen piirre. My¨os se on omiaan tekem¨a¨an matematiikasta suurelle yleis¨olle k¨a- sitt¨am¨at¨ont¨a.

Matemaattiset rakenteet ovat abstrakteja. Niiden m¨a¨a- rittely perustuu rakenteiden itsens¨a sis¨all¨a vallitseviin relaatioihin. Ne eiv¨at ole aistein havaittavia. Abstrak- tisuuden edut ovat ainakin kolminaiset:

• Abstrakti teoria kokoaa yhteen monia yksitt¨aista- pauksia koskevan tietomme ja tekee siten helpom- maksi ymm¨art¨a¨a tapauksien yhteiset piirteet. Usean teorian sijasta tarvitaan vain yksi. Kokoaminen hy¨o- dynt¨a¨a analogioita, ei itse tapausten v¨alill¨a vaan asioiden kesken vallitsevien relaatioiden ja vaikutus- suhteiden v¨alill¨a. N¨am¨a analogiat tekev¨at monia yk- sitt¨aistietoja korvaavasta abstraktista teoriasta ma- tematiikan t¨arke¨an metodin.

• Sen j¨alkeen kun teoria on saatu k¨aytt¨o¨on, saatetaan havaita, ett¨a se sopii viel¨a uusiinkin yksitt¨aistapauk- siin. T¨am¨a havainto johtaa huudahduksen ”tuosta- han tulee mieleeni, ett¨a. . . ” ilmaisemaan j¨annityk- seen ja iloon. Onhan siis niin, ett¨a uuden ongelman ratkaisun sis¨alt¨av¨a valmis teoria on otettavissa k¨ayt- t¨o¨on vain kirjan sivuja k¨a¨ant¨am¨all¨a.

• Abstrakti teoria antaa mahdollisuuden yksinkertai- sempiin todistuksiin. T¨am¨a on h¨amm¨astytt¨av¨a¨a, mutta yleens¨a totta. Abstrakti teoria tekee mahdol- liseksi keskitty¨a olennaisuuksiin. On mielenkiintois- ta tiet¨a¨a, pit¨a¨ak¨o jokin v¨aitt¨am¨a paikkaansa yleises- s¨a tilanteessa vaiko vain tietyss¨a erikoistapauksessa.

Abstraktissa teoriassa poistuvat merkityksett¨om¨at n¨ak¨okohdat.

Yleist¨ aminen ja laajentaminen

T¨all¨a on yhtym¨akohtia abstraktiuteen, mutta yleen- s¨a kyse on hiukan eri asiasta. Pythagoraan teoreema yleist¨a¨a kolmikon (3,4,5) m¨a¨aritt¨am¨an suorakulmai- sen kolmion. Fermat’n suuri lause, jonka mukaan yht¨a- l¨oll¨a xⁿ+yⁿ =zⁿ ei ole positiivisia kokonaislukurat- kaisuja (x, y, z), josn >2, on saman kolmikon ominai- suuden laajennus. T¨am¨an laajennuksen todistiAndrew Wiles.

Todistaminen

Ankara todistamisen vaatimus on matematiikalle tun- nusomainen piirre. Siksi matematiikka on niin olennais- ta tekniikassa, turvallisuudessa, fysiikassa jne.

Todistuksen, kelpaavuuden k¨asite matematiikassa liit- tyy yleiseen kysymykseen siit¨a, mik¨a on kelvollista, validia, mill¨akin tutkimuksen alueella. Kaikilla tut- kimusaloilla, niin yhteiskuntatieteill¨a, taloustieteell¨a, kemialla, biologialla, kasvatustieteell¨a, oikeustieteell¨a kuin kirjallisuustieteell¨akin on oma kelvollisuuden k¨asi- tyksens¨a. On mielenkiintoista tarkastella kelvollisuuden eroja ja k¨aytt¨o¨a.

Siit¨a, mik¨a on hyv¨aksytt¨aviss¨a kelvolliseksi argumen- toinniksi matematiikassa, keskustellaan ja v¨aitell¨a¨an yh¨a. Keskustelunaihetta ovat antaneet ylipitk¨at to- distukset (esimerkiksi ¨a¨arellisten ryhmien luokittelun 15 000 sivua) ja tietokoneiden k¨aytt¨o visualisoinnissa, kokeilussa ja laskemisessa.

Matemaattisten k¨ asitteiden olemassaolo

On sanottu, ett¨a matematiikan opettamisen p¨a¨ateh- t¨av¨a on osoittaa matemaattisten k¨asitteiden todel- lisuus. Mit¨a t¨am¨a todellisuus on? Mill¨a tavoin n¨a- m¨a k¨asitteet ovat olemassa? Esimerkiksi John Robin- sonin veistos Eternity (katso http://www.cpm.infor- matics.bangor.ac.uk/sculmath/wake.htm) on symboli- nen kuvanveistos, mutta samalla matemaattisen s¨aie- kimpun konstruktio.

Matematiikan todellisuutta ovat pohtineet monet ma- tematiikan filosofian harrastajat, mutta kiinnostus hei- d¨an sanomaansa n¨aytt¨a¨a olevan laimenemassa. Kysy- mys jonkin matemaattisen struktuurin olemassaolosta on ehk¨a samanlainen kuin kysymys siit¨a, onko ˇsakki- peli olemassa. Se ei selv¨astik¨a¨an ole olemassa samalla tavoin kuin tuolit ja p¨oyd¨at ovat olemassa, mutta kui- tenkin sill¨a on vaikutusta monen el¨am¨a¨an. Ja se l¨ap¨ai- see my¨os rahatestin. (Siis kysymyksen, voiko sill¨a an- saita rahaa. Voi, ainakin jos on maailmanmestari tai ˇsakkiv¨alineiden valmistaja.)

Se, ett¨a matemaattiset k¨asitteet ja menetelm¨at ovat prosessien kaltaisia, n¨akyy siit¨akin, ett¨a lihastoiminnan ja rytmin muisti on t¨arke¨a puoli matemaattista ty¨ot¨a.

Suuri osa matematiikkaa k¨asittelee toistuvien proses- sien vaikutuksen ymm¨art¨amist¨a ja realisointia.

Matemaatikot ovat etevi¨a ymm¨art¨am¨a¨an ja kuvitte- lemaan asioiden liikkumista. Termit siirtyv¨at yht¨al¨on puolelta toiselle, asetelmat ja kuviot muuntuvat ava- ruudessa. Matemaatikot elehtiv¨at k¨asill¨a¨an selvitt¨a¨ak- seen, mit¨a on tapahtumassa. K¨asitteet ja ideat, joista matemaatikot puhuvat, ovat toisinaan ik¨a¨an kuin t¨al- laisten muistettujen prosessien ketjuja. Toisaalta, kun n¨am¨a ideat ilmaistaan kirjoittaen, tyyli on usein karua

ja lyhytt¨a, ja t¨am¨a tekee k¨asitteiden ja ideoiden k¨ayt¨on ja soveltamisen oppimisen vaikeaksi. Mutta jokaisen on my¨os mahdollista muodostaa itselleen sopivin tulkinta ja sis¨aist¨a¨a asiat omalla tavallaan.

A¨ ¨ arett¨ omyys

A¨arett¨omyyden kesytt¨aminen, mielikuvituksen laajen-¨ taminen niin, ett¨a se sis¨alt¨a¨a my¨os ¨a¨arett¨om¨at operaa- tiot, on yksi matematiikan riemuja ja my¨os yksi sen skandaaleja. Ovatko n¨am¨a ¨a¨arett¨om¨at objektit todelli- sia? H¨amm¨astytt¨av¨a¨a on, ett¨a n¨aiden ¨a¨arett¨omien, eh- k¨a olemassa olemattomien objektien avulla voidaan to- distaa ¨a¨arellisi¨a ja todellisia asioita. T¨am¨a on j¨alleen yksi puoli matematiikan mystillisyytt¨a. Ajatellaanpa esimerkiksi, ett¨a n¨aiden ¨a¨arett¨omien prosessien avul- la todistetaan ydinreaktorin tai lentokoneen laskeutu- misj¨arjestelm¨an turvallisuus. Kuinka uskottava t¨allai- nen todistus on? N¨am¨a ovat aitoja kysymyksi¨a.

Tutkitaanko matematiikkaa?

Asiasta voi k¨ayt¨ann¨oss¨a vakuuttua tarkastelemalla Mathematical reviews -julkaisun kehityst¨a vuodesta 1940, jolloin se alkoi ilmesty¨a. T¨am¨a kuukausijulkai- su sis¨alt¨a¨a matemaattisten tutkimusartikkelien lyhen- nelmi¨a. Karkeasti ottaen viisisivuisesta artikkelista kir- joitetaan pari kappaletta. Julkaisun sivum¨a¨ar¨a on sen ilmestymisaikana yksitoistakertaistunut. Joka kuukausi julkaistaan noin 400 suurta sivua matematiikan tutki- musten referaatteja. El¨amme todella matematiikan kul- takautta, niin m¨a¨ar¨an kuin laadunkin puolesta.

Matematiikan tutkimuksen tavoitteet ovat moninaiset.

Yksi on saada lis¨a¨a tietoa jo hyvin m¨a¨aritellyist¨a ja ole- massa olevista struktuureista. Toinen on ottaa selv¨a¨a uusista struktuureista, sit¨a mukaa kuin sellaisia tulee esiin ja ne todetaan t¨arkeiksi. Uusia struktuurien v¨a- lisi¨a relaatioita l¨oytyy. On tarve yksinkertaistaa, l¨oy- t¨a¨a struktuureja, jotka selitt¨av¨at ja auttavat ymm¨ar- t¨am¨a¨an, miksi tietyt struktuurit k¨aytt¨aytyv¨at tietyll¨a tavalla verrattuna joihinkin toisiin.

Tulokkaan ja suuren yleis¨on on vaikea ymm¨art¨a¨a, miten matemaattista tutkimusta tehd¨a¨an. Annamme muuta- mia osviittoja esitt¨am¨all¨a nelj¨a eri tapaa tutkia mate- matiikkaa. Tapoja on varmasti paljon enemm¨an, ja yk- sitt¨ainen tutkija joutuu loppujen lopuksi itse luomaan menestymisens¨a strategian. On my¨os vaikea sanoa, pal- jonko matematiikasta olisi tiedett¨av¨a, ennen kuin voi alkaa sit¨a tutkia. Kuuluisa vastaus t¨ah¨an on ”kaikki tai ei mit¨a¨an”.

Menetelm¨ a 1. Sovella tunnettua mene- telm¨ a¨ a tunnetun tyyppiseen ongelmaan

T¨am¨a menetelm¨a muodostaa luultavasti ainakin osan jokaisesta onnistuneesta matematiikan tutkimushank- keesta. Sill¨a on kaikki mahdollisuudet onnistua, jos vain tutkija on kyllin taitava tunnetun menetelm¨an k¨aytt¨a- j¨a. Matematiikan tutkimuksen t¨arkeimpi¨a keinoja on todellakin ongelman palauttaminen joksikin jo ratkais- tuksi ongelmaksi. Jos alkuper¨ainen ongelma on liian vaikea, niin k¨ayp¨a strategia on yksinkertaistaa sit¨a niin, ett¨a siit¨a tulee tunnetun ongelman kaltainen, ja k¨asi- tell¨a sitten ne erityisongelmat, joiden ansiosta alkupe- r¨ainen ongelma on tuore. Yleinen k¨asitys on, ett¨a vain helpot asiat ovat teht¨aviss¨a. On siis muunnettava on- gelma helpoksi. Jos et tied¨a, mit¨a tekisit, tee ilmeiset asiat ensin.

Jos kehittyy taitavaksi vakiomenetelmien k¨aytt¨aj¨aksi, voi er¨a¨an¨a p¨aiv¨an¨a huomata, ett¨a taidot sopivat my¨os ongelmaan, jota kukaan ei viel¨a ole pohtinut. N¨ain saat- taa johtua uusiin ja t¨arkeisiin tuloksiin. Matemaatikon koulutuksesta suuri osa on h¨anen valitsemallaan alalla teht¨av¨an ty¨on kannalta k¨ayv¨an taidon ja tiedon hank- kimista.

Menetelm¨ a 2. K¨ ay tiedon rajoilla olevan kuuluisan ongelman kimppuun

T¨am¨a strategia tarkoittaa tiedon huippua edustavan kuuluisan ongelman ratkaisun yritt¨amist¨a. Hyv¨a puo- li on, ett¨a onnistuminen tekee kuuluisaksi. Vaikeam- paa on ennustaa onnistumista. Luultavasti aivan uudet ideat ovat tarpeen.

T¨am¨a tuntuu menetelm¨alt¨a, jonka kunnianhimoinen nuori valitsee. Mutta, niin kuinStanislaw Ulammainit- si toiselle kirjoittajista 1964, vaikka menetelm¨a vetoaa kunnianhimoiseen nuoreen, siihen pit¨aytyminen saat- taa est¨a¨a h¨ant¨a kehittym¨ast¨a juuri sellaiseksi matemaa- tikoksi, johon h¨anell¨a persoonallisten ominaisuuksiensa pohjalta olisi parhaat edellytykset. Ongelma on jonkun toisen ongelma.

Tavallisempaa on toki yritt¨a¨a ratkaista v¨ah¨aisempi¨a tiet¨amyksen raja-alueen ongelmia, sellaisia, joita ei vie- l¨a ole kovin paljon yritetty ja joissa onnistumisen to- denn¨ak¨oisyys n¨ain ollen on suurempi. Melko varmaan on opiskeltava, jotta saisi selville, mit¨a on jo tehty, min- k¨alaisia tekniikoita on k¨aytett¨aviss¨a ja mitk¨a niist¨a on hallittava.

Voi olla hy¨odyllist¨a tutkia ongelmia, joiden ratkeami- sen kriteerit ovat selvi¨a: on kysymys, johon voi vastata vainkyll¨ataiei. T¨all¨oin toisaalta ep¨aonnistumisellakin on ilmeinen kriteerins¨a samoin kuin sill¨a, onko ongelma