Matematiikan perusteet taloustieteilijöille Ib

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille Ib

Harjoitus 1, syksy 2011 1. Ratkaise yhtälöparit

a)







−x−y+ 2 = 0 2x+ 2y−4 = 0

Vast: ∀x∈R, y =−x+ 2

b)







3x−4y+ 7 = 0 6x−2y−3 = 0

Vast: x= ¹³₉ , y = ¹⁷₆

c)







2x+y−3 = 0 4x+ 2y−5 = 0

Vast: ei ratk.

d)







y= ₂₀^x + 1 x= 32−4y−y²

Vast: (20,2) tai (−540,−26).

2. Etsi suora, joka sisältää suorien 3x −4y + 7 = 0 ja 6x− 2y − 3 = 0 leikkauspisteen ja täyttää seuraavat ehdot

a) kulkee origon kautta Vast: y= ⁵¹₂₆x

b) on yhdensuuntainen suoran 3x−2y+ 7 = 0 kanssa Vast: y= ³₂x+ ²₃ c) on kohtisuorassa suoraa3x−2y+7 = 0vastaan Vast:y=−²₃x+²⁰⁵₅₄.

3. a) Laske 3

3

P

i=1

(2x_i+ 1), kun x_i = 2i kaikilla i∈N+. Vast: 81

b) Laske3

3

Q

i=1

(2x_i+ 1), kun x_i = 2i kaikilla i∈N+. Vast: 1755 4. Tutki seuraavia jonoja

a) (a_n) = (3n−1) b) (a_n) =

2 3ⁿ

c) (a_n) =

1 (n+ 1)(n+ 2)

1

5. Tutki seuraavia sarjoja a)

∞

P

k=1

(3k−1)

b)

∞

P

k=1

2 3^k

c)

∞

P

k=1

1 (k+ 1)(k+ 2)

2