Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1b
802153P
Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2013
Sisältö
1 Derivaatta 3
1.1 Määritelmä . . . 3
1.2 Derivaatan geometrinen tulkinta (ks. kuvio) . . . 4
1.3 Derivoimissääntöjä . . . 6
1.4 Yhdistetyn funktion derivaatta . . . 6
1.5 Logaritmi- ja eksponenttifunktion derivaatta . . . 6
1.6 Käänteisfunktion derivaatta . . . 7
1.7 Jatkuvuus ja derivoituvuus . . . 8
1.8 Korkeammat derivaatat . . . 8
1.9 Implisiittinen derivointi . . . 9
1.10 L’Hospitalin sääntö . . . 9
1.11 Differentiaali . . . 10
1.12 Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia . . . 12
1.12.1 Kustannusfunktio . . . 12
1.12.2 Tulofunktio . . . 13
1.12.3 Jousto . . . 14
1.12.4 Kansantulo, kulutus ja säästäminen . . . 14
2 Funktion tutkiminen derivaatan avulla 16 2.1 Differentiaalilaskennan väliarvolause . . . 16
2.2 Yhden muuttujan funktion monotonisuudesta ja ääriarvoista . . . 17
2.3 Paikallisten ääriarvojen määrittäminen . . . 19
2.4 Kuperuus ja käännepisteet . . . 22
3 Usean muuttujan funktiot 26 3.1 Yleistä . . . 26
3.2 Osittaisderivaatat . . . 28
3.2.1 Osittaisderivaattojen määrääminen . . . 28
3.3 Kokonaisdifferentiaali . . . 29
3.4 Yhdistetyn funktion derivointi . . . 30
3.5 Osittaisderivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia . . . 31
3.5.1 Rajakustannusfunktiot . . . 31
3.5.2 Kysyntäfunktiot . . . 32
3.5.3 Tuotantofunktiot . . . 33
4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista 35
4.1 Usean muuttujan funktion ääriarvokohta . . . 35
4.2 Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu . . . 37
5 Sidotut ääriarvot 40 5.1 Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa . . . 40
5.1.1 Sijoitus . . . 40
5.1.2 Lagrangen menetelmä . . . 40
5.1.3 Lagrangen yleistys . . . 41
5.1.4 Lagrangen kertoimen tulkinta . . . 41
5.2 Absoluuttiset ääriarvot ehtoalueessa . . . 42
5.3 Sidotut ääriarvot epäyhtälörajoitteen tapauksessa . . . 42
5.3.1 Kuhn-Tucker –menetelmä . . . 42
5.3.2 Kahden muuttujan ja yhden epäyhtälörajoitteen tapaus (il- man Kuhn-Tuckeria) . . . 44
5.4 Hyötyfunktion maksimi . . . 45
1 Derivaatta
1.1 Määritelmä
Olkoon funktiof(x)määritelty välillä ]a, b[ ja x0 ∈]a, b[. Lauseketta f(x)−f(x0)
x−x0
sanotaan funktion f(x) erotusosamääräksi kohdassa x0 ja se ilmoittaa funktion arvon muutoksen suhteessa muuttujan muutokseen eli funktion f muutosnopeu- den välillä [x0, x]. Näin ollen erotusosamäärä kuvaa keskimääräistä muutosno- peutta välillä [x0, x].
Jos raja-arvo
x→xlim0
f(x)−f(x0) x−x0
on olemassa äärellisenä, sanotaan, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa x0. Raja-arvo
f0(x0) = lim
x→x0
f(x)−f(x0) x−x0
on funktion f(x) derivaatta kohdassa x0. Derivaatta merkitsee funktion f(x) muutosnopeuden raja-arvoa, kun muuttujan x muutos lähenee nollaa.
Derivaatta kuvaa siis funktion hetkellistä muutosnopeuttakohdassa x0. (Talous- tieteessä yleensä muutos yhtä muuttujan yksikköä kohden.)
Esimerkki 1.1. Määritä funktion f(x) derivaatta pisteessä x0, kun a)f(x) = c b) f(x) =x c) f(x) =|x| , x0 = 0.
Funktio f on derivoituva välillä ]a, b[, jos sen derivaatta on olemassa välin jokai- sessa pisteessä.
Lisäksif on derivoituva funktio, jos sillä on derivaatta olemassa jokaisessa mää-
Derivaattafunktio:
Olkoonf(x)derivoituva välillä]a, b[. Merkitsemällä erotusosamäärän lausekkees- sa∆x=x−x0 saadaan
f0(x0) = lim
∆x→0
f(x0+ ∆x)−f(x0)
∆x .
Korvaamallax0 muuttujalla x (x0 ∈]a, b[ on mielivaltainen), saadaan f0(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)−f(x)
∆x ,
joka on funktion f derivaattafunktio. Funktion y=f(x) derivaattaa merkitään:
f0(x), Df(x), df(x)
dx , y0, dy dx.
Esimerkki 1.2. Määrää funktion f(x) = 2x2+ 3x−1 derivaattafunktio f0(x). Olkoot funktiotf jag derivoituvia pistessäx. Tällöin myös funktiot f+g,f−g, cf (cvakio), f·g ja fg (g(x)6= 0) ovat derivoituvia pisteessä x.
Funktiot, joille esitetään derivoimissäännöt, ovat derivoituvia määrittelyaluees- saan ilman eri tutkimista.
1.2 Derivaatan geometrinen tulkinta (ks. kuvio) Erotusosamäärä
f(x)−f(x0) x−x0
on pisteiden P ja Q kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Kun x → x0, niin piste Q liukuu pitkin käyrää y = f(x) kohti pistettä P. Samalla pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora lähenee käyrän y = f(x) pisteeseen P eli pisteeseen (x0, f(x0)) piirrettyä tangenttisuoraa.
Vastaavasti pisteiden P ja Q kautta kulkevan suoran kulmakerroin lähenee pis- teeseenP asetetun tangentin kulmakerrointa. Siis
f0(x0) = lim
x→x0
f(x)−f(x0) x−x0
on käyräny =f(x)pisteeseen (x0, f(x0)) piirretyn tangentin kulmakerroin.
Koska derivaatta on raja-arvona yksikäsitteinen, niin funktiolla voi olla kohdassa x0 vain yksi derivaatan arvo f0(x0). Siten geometrisesti derivaatan olemassaolo edellyttää, että käyrän pisteeseen(x0, f(x0))voidaan piirtää täsmälleen yksi tan- gentti. Siten jos funktio on derivoituva välillä ]a, b[, sen kuvaajassa ei saa olla tällä välillä kulmia (vrt. funktio f(x) = |x|).
Käyräny=f(x) tangentin yhtälö pisteessä (x0, f(x0)):
Edellä on todettu, että tangentin kulmakerroin kt =f0(x0). Toisaalta tangentti kulkee pisteen (x0, f(x0))kautta, joten tangentin yhtälö on
y−f(x0) = f0(x0)(x−x0)
1.3 Derivoimissääntöjä D1) Dc= 0, kun c=vakio D2) Dxn=nxn−1, n∈R, n6= 0 D3) D(f(x)±g(x)) = Df(x)±Dg(x) D4) D(cf(x)) = cDf(x)
D5) D(f(x)·g(x)) = f0(x)·g(x) +f(x)·g0(x) D6) D
f(x) g(x)
= f0(x)·g(x)−f(x)·g0(x)
[g(x)]2 , (g(x)6= 0) Esimerkki 1.4.
a) D(4x7+ 5) b) D(2x2+ 5x) c)D[(x2+ 2)(2x+ 5)] d)Dx2+ 2 2x−1
1.4 Yhdistetyn funktion derivaatta
Oletetaan, että funktio g(x) on derivoituva kohdassa x0 ja funktio f(x) on de- rivoituva kohdassa g(x0) ja lisäksi Rg ⊂ Df. Tällöin yhdistetty funktio f◦g on derivoituva kohdassax0 ja
D7) (f ◦g)0(x) = [f(g(x))]0 =f0(g(x))·g0(x) Nyt voidaan määrätä seuraavan funktion derivaatta:
D8) D(f(x)n) = n·f(x)n−1·f0(x), n∈R Esimerkki 1.5.
a)D √ x
b) D
1
√3
x3+ 2
1.5 Logaritmi- ja eksponenttifunktion derivaatta Logaritmifunktion derivaatta:
D9) Dlnx= 1x
D10) D(logax) = D lnx
lna
= 1
lnaD(lnx) = 1 x·lna D11) Dlnf(x) = 1
f(x) ·f0(x) = f0(x) f(x) D12) Dlogaf(x) = 1
f(x)·lna ·f0(x)
Eksponenttifunktion derivaatta:
D13) D ex =ex
D14) D ef(x) =ef(x)·f0(x) D15) D ax=ax·lna
D16) D af(x) =af(x)·lna·f0(x) Esimerkki 1.6.
a)Dln x+√
x2+ 2
b)D35
√x−1
1.6 Käänteisfunktion derivaatta
Olkoonf(x)reaalifunktio, jolla on käänteisfunktiof−1 olemassa. Josf on aidosti kasvava (aidosti vähenevä), niin f−1 on myös aidosti kasvava (aidosti vähenevä).
Lisäksi, josf on jatkuva, niin myösf−1 on jatkuva. Samoin, josf on derivoituva, niin f−1 on derivoituva.
Käänteisfunktionf−1 derivaattafunktio voidaan määrätä seuraavasti ilman kään- teisfunktion määräämistä:
f(f−1(y)) = y | d dy
⇒f0(f−1(y))·(f−1)0(y) = 1 (f−1)0(y) = 1
f0(f−1(y)) Siis
Esimerkki 1.7. Määrää funktion f(x) = √
2x+ 1 käänteisfunktion derivaatta pisteessäy = 2.
1.7 Jatkuvuus ja derivoituvuus
Lause 1.1. Jos funktio f(x) on derivoituva kohdassa x0, niin f(x) on myös jatkuva kohdassa x0.
Lause 1.2. Jatkuva funktio f(x) on derivoituva kohdassa x0, jos lim
x→x0
f0(x) on olemassa lim
x→x−0
f0(x) = lim
x→x+0
f0(x)
! .
Huomautus. Jos funktio f(x) on jatkuva kohdassa x0, niin f(x) ei välttämät- tä ole derivoituva kohdassa x0. Jos f(x) ei ole jatkuva kohdassa x0, ei se ole derivoituvakaan kohdassa x0.
Lause 1.3. Funktion f(x) derivoituvuuden tutkiminen kohdassa x0: 1. f(x) jatkuva kohdassa x0?
2. lim
x→x0f0(x) olemassa?
Esimerkki 1.8. Tutki funktion f(x) jatkuvuutta ja derivoituvuutta, kun f(x) =|x|=
(x, x≥0
−x, x <0
1.8 Korkeammat derivaatat
Olkoon f :X → Y derivoituva funktio. Tällöin funktion f(x) derivaattafunktio on f0(x). Jos f0 on edelleen derivoituva, sen derivaattaa (f0)0 sanotaan funktion f toiseksi derivaataksi ja merkitäänf00(x). Siten
f00(x) = lim
∆x→0
f0(x+ ∆x)−f0(x)
∆x .
Käytetään myös merkintöjäy00, D2f(x), d2f(x) dx2 , d2y
dx2. Esimerkki 1.9. Olkoon f(x) = 2ex2 + lnx2. Määrää f00(1).
Funktion f(x) n. derivaattasaadaan samoin derivoimalla funktio f(x) n kertaa.
Sitä merkitäänf(n)(x). Siis
f(1)(x) =f0(x), f(2)(x) =f00(x), f(3)(x) =f000(x) jne.
Pilkkumerkintää käytetään yleensä, kun n ≤ 3. Lisäksi sovitaan, että f(0)(x) = f(x). Muut merkintätavat vastaavasti kuin f00(x):llä.
Esimerkki 1.10. Olkoon f(x) = xm,m ∈N+. Määrää f(k)(x), k ∈N+
1.9 Implisiittinen derivointi
Edellä on käsitelty muodossa y = f(x) annetun funktion derivointia. Joskus funktio y = y(x) voidaan kuitenkin esittää ns. implisiittimuodossa f(x, y) = 0 eli muodossa, jossa y ei olex:n suhteen ratkaistuna. On mahdollista, että y:tä ei edes kyetä ratkaisemaan x:n funktiona, mutta kuitenkin y riippuu muuttujasta x. Derivaatta dydx voidaan silti usein määrätä implisiittinen derivoinnin avulla.
Edellytyksenä on, ettäyonx:n suhteen derivoituva. Tällöin derivaatta dydx sisältää yleensä sekä muuttujaax että funktion arvon y.
Implisiittisessä derivoinnissa lausekef(x, y) = 0derivoidaan termeittäinx:n suh- teen ja y:tä käsitellään x:n funktiona. Saadusta lausekkeesta ratkaistaan dydx tai y0.
Esimerkki 1.11. Määrää dydx eli tutki y:n muutosnopeutta x:n suhteen pisteessä x= 1, kun x3+y3−92xy = 0 ja y=f(x).
Esimerkki 1.12. Määrää dy
dx ja d2y
dx2, kun ey −xex = 0 ja y=f(x).
1.10 L’Hospitalin sääntö Tarkastellaan raja-arvoa lim
x→a
f(x) g(x).
Olkoon lim
x→af(x) = 0 ja lim
x→ag(x) = 0
tai lim
x→af(x) =±∞ ja lim
x→ag(x) = ±∞.
Jos nyt lim
x→a
f0(x)
g0(x) =A on olemassa, niin
x→alim f(x)
g(x) = lim
x→a
f0(x) g0(x) =A.
Esimerkki 1.13. a) lim
x→3
x3−27
x2−9 b) lim
x→∞
1 + 1
x x
1.11 Differentiaali
Olkoon f(x) derivoituva funktio kohdassa x0. Asetetaan u(x) = f(x)−f(x0)
x−x0 −f0(x0), kun x∈Df ja x6=x0. (1) Tällöin
x→xlim0
u(x) = lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0 −f0(x0)
=f0(x0)−f0(x0) = 0.
Kun kerrotaan yhtälö (1) puolittain lausekkeella x−x0, saadaan funktion f(x) differentiaalikehitelmä.
Differentiaalikehitelmä:
∆f(x) =f(x)−f(x0) =f0(x0)(x−x0) +u(x)(x−x0), (2) missä, u(x)→0, kun x→x0.
Kun merkitään ∆x=x−x0 ja ∆y=f(x)−f(x0), saadaan yhtälö (2) muotoon
∆y= ∆f(x) =f0(x0)∆x+u(x)∆x, (3) missä u(x)→0, kun ∆x→0.
Differentiaalikehitelmä (3) kuvaa muuttujanxmuutosta ∆x vastaavaatodellista funktion f arvonmuutosta ∆f.
Nyt termi f0(x0)∆x on funktion y=f(x) muuttujan lisäystä ∆x vastaava diffe- rentiaali kohdassa x0 ja sitä merkitään
dy=df(x0) = f0(x0)∆x. (4)
Koska u(x) → 0, kun ∆x → 0, niin differentiaali df arvioi hyvin funktion f(x) arvon muutosta∆f (= f(x)−f(x0)) kohdanx0 läheisyydessä.
Geometrisesti funktion arvon todellisen muutoksen∆f(x) korvaamista differen- tiaalilla df(x) vastaa käyrän y = f(x) korvaaminen sen pisteeseen (x0, f(x0)) piirretyllä tangentilla.
Huomautus. Mitä voimakkaammin funktio y = f(x) muuttuu kohdan x0 ym- päristössä, sitä huonommin differentiaali df kuvaa funktion todellista muutosta
∆f.
Jos f(x)=x, niin f0(x) = 1 aina, kunx∈R. Täten dx=df =f0(x)·∆x= 1·∆x elidx= ∆x. Näin saadaan differentiaalille lauseke
dy=df(x) = f0(x)dx. (5)
Esimerkki 1.14. Mikä on funktion f(x) = x2 muuttujan lisäystä 101 vastaava differentiaalidf kohdassa x0 = 2. Mikä on tällöin∆f?
Esimerkki 1.15. Olkoon kulutusfunktio C(x) = 5 + 0.6x+ 0.2√
x,x=kokonais- tulo. Josx= 25ja muuttujanxmaksimaalinen virhemahdollisuus0.3, niin arvioi kulutuksen maksimaalista ja suhteellista virhettä.
1.12 Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia 1. rajakustannus
2. rajatulo 3. jousto
4. rajakulutusalttius ja rajasäästämisalttius
Keskimääräinenmuutos(-nopeus) ilmaisee funktiony=f(x) muutoksen suhtees- sa muuttujan x muutokseen, kun x muuttuu jonkin välin verran.
Rajamuutosmerkitsee funktiony =f(x)muutosnopeuden raja-arvoa, kun muut- tujan x muutos lähenee nollaa eli rajamuutos on funktion f(x) muutosnopeus jollain hetkellä (ts. derivaatta).
Rajamuutos ilmaisee paljonko funktion f arvo muuttuu, kun muuttuja x kasvaa yhdellä yksiköllä.
1.12.1 Kustannusfunktio
Oletetaan, että tavaramääränx tuottamisesta ja markkinoinnista aiheutuvatko- konaiskustannukset C(x) voidaan ilmaista funktiona C = C(x). Tällöin keski- määräiset yksikkökustannukset AC(x) ovat (ts. kustannukset/tuote)
AC(x) = C(x) x .
Rajakustannusfunktio M C(x) on kokonaiskustannusfunkton C(x) 1. derivaatta ja se ilmaisee kokonaiskustannusten hetkellisen muutosnopeuden suhteessa tuo- tantomäärän x muutokseen. Keskimääräiset kustannukset ja rajakustannukset riippuvat yleensä aina tuotannon tasosta jolla ollaan.
Keskimääräiset kustannukset ovat minimissään, kun ne ovat yhtä suuret kuin ra- jakustannukset. (Miksi?) Keskimääräisten kustannusten funktio on yleensä alas- päin kupera.
Esimerkki 1.16. Olkoot kokonaiskustannuksetC(x) = 2x2+ 3x+ 1,x=tuotannon määrä. Määrää keskimääräiset kustannukset ja rajakustannukset. Milloin keski- määräiset kustannukset ovat minimissään?
1.12.2 Tulofunktio
Olkoonkysyntäfunktio y =f(x), missä yon tavaran yksikköhinta jax on kysyn- nän suuruus (tavaramäärä).
Kokonaistulo R(x) on tällöin
R(x) = xy=x·f(x).
Rajatulo on
M R(x) = dR(x)
dx =R0(x),
joka on siis kokonaistulon muutosnopeus kysynnänmääränx suhteen.
Huomautus. Keskimääräinen tulo R(x)x = f(x), joten se on sama funktio kuin kysyntäfunktio.
Funktion R(x) arvo on aina positiivinen, sillä x ja f(x) = y ovat positiivisia.
Rajatulo M R(x) voi olla myös negatiivinen, sillä kokonaistulo voi sekä lisääntyä että vähentyä kysynnän kasvaessa.
Esimerkki 1.17. Olkoon kysyntäfunktio y = −x + 3 (y = yksikköhinta, x=määrä). Määrää kokonaistulo, rajatulo ja keskimääräinen tulo.
Yleisesti lineaariselle kysyntäfunktiolle y=f(x) = ax+b pätee:
• tuotannon kasvaessa kokonaistulo aluksi kasvaa ja myöhemmin vähenee,
• sekä keskimääräinen tulo että rajatulo vähenevät.
• Keskimääräinen tulo ja rajatulo leikkaavat y–akselin samassa pisteessä ja keskimääräisen tulon funktion kulmakerroin on puolet rajatulon kulma- kertoimesta.
Kokonaistulofunktio on suurimmillaan kohdassa, jossa rajatulofunktio saa arvon 0 (ks. ääriarvot).
1.12.3 Jousto
Funktion y=f(x) jousto Ef(x) kohdassa x on Ef(x) =
dy y dx
x
= x
y ·f0(x) = x
f(x)·f0(x)
Jousto on funktionf(x)suhteellisen muutoksen muutosnopeus muuttujanxsuh- teellisen muutoksen suhteen. Jousto mittaa, kuinka herkästi funkto f(x) reagoi muuttujanxmuutoksiin. Jousto kertoo, kuinka monta % funktion arvo muuttuu, kun muuttujan arvo muuttuu yhden % verran. Funktion arvo muuttuu suhteessa hitaammin, kun |Ef(x)|<1. Joustoa käytetää tutkittaessa kysyntää, tarjontaa, kustannuksia ja tuottavuutta.
Huomautus. Joustolla ei ole yksikköä!
1.12.4 Kansantulo, kulutus ja säästäminen
Kulutusfunktio C(x) ilmaisee käytettävissä olevan (kokonais) kansantulon x ja kansallisen (kokonais) kulutuksen välisen suhteen.
Yksinkertaisissa malleissa kulutusfunktionC(x) oletetaan kasvavan, kun kansan- tulo kasvaa, ja vähenevän , kun kansantulo vähenee, kuitenkin siten, että kansan- tulon muuttuessa kulutus ei muutu yhtä paljon.
Rajakulutusalttius tarkoittaa kulutusfunktion muutosnopeutta, kun kansantulo muuttuu. Rajakulutusalttius on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin yksi.
Olkoon kulutusfunktioC =C(x), missä C(x) = kansallinenkulutus,x=kansan- tulo, C ja xsamaa yksikköä.
Rajakulutusalttius on
dC(x)
dx =C0(x).
Yksinkertaisissa malleissakäytettävissä oleva tulo = kulutus + säästäminen. Siis
x=C(x) +S(x), missä S(x)on säästöt, kun kansantulo on x.
Siten säästämisfunktio
S(x) = x−C(x) ja rajasäästämisalttius
S0(x) = dS(x)
dx = 1−C0(x) = 1− dC(x) dx .
Kansantuloanalyysissäinvestoinnit käsitetään pääoman muodostukseksi, eli I =I(x) = S(x) = x−C(x),
ja ne edustavat lisäystä reaalipääomaan.
Investoinnin ja kulutuksen oletetaan olevan suhteessa toisiinsa siten, että tietty (rahamääräinen) lisäys investointeihin voi tuottaa rahamäärältään moninkertai- sen lisäyksen kansantuloon. Täsmällinen ilmaisu tälle riippuvuudelle annetaan kertoimen k avulla. Tämä kerroin kuvaa suurimman mahdollisen tulonlisäyksen suhdetta sen aiheuttaneeseen investointilisäykseen. Merkitään
k·∆I = ∆x.
Siis
k = ∆x
∆I = dx dI = 1
dI dx
= 1
d(x−C(x)) dx
= 1
1−C0(x) = 1 S0(x)
Esimerkki 1.18. Olkoon kulutusfunktio C(x) = 10 + 0,8x+ 0,5√
x, missä x on kansantulo. Määrää S(x), dCdx ja dSdx sekä kerroin k.
2 Funktion tutkiminen derivaatan avulla
2.1 Differentiaalilaskennan väliarvolause Tarkastellaan aluksi seuraavaa kuviota:
PisteidenA= (a, f(a)) jaB = (b, f(b))kautta kulkevan suoran kulmakerroin on f(b)−f(a)
b−a .
Kuvion mukaan käyrällä y = f(x) on olemassa piste C, johon asetettu tangent- tisuora on pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran suuntainen.
Tangentin kulmakerroin pisteessä C onf0(c). Siten f0(c) = f(b)−f(a)
b−a .
Lause 2.1 (Differentiaalilaskennan väliarvolause). Olkoon funktio f jatkuva vä- lillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Silloin on olemassa ainakin yksi sellainen piste c∈]a, b[, että
f0(c) = f(b)−f(a) b−a .
Esimerkki 2.1. Olkoon f(x) = x3−1. Määrääc∈]−2,2[ se.
f0(c) = f(2)−f(−2) 2−(−2) .
Seurauslause 2.1. Olkoon y = f(x) derivoituva funktio ja olkoot x1 ja x2 (x1 < x2) funktion f nollakohtia. Tällöin väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen x0 ∈]x1, x2[, jolle
f0(x0) = f(x2)−f(x1)
x2−x1 = 0−0 x2 −x1 = 0.
Siis jatkuvan ja derivoituvan funktionf(x)kahden nollakohdan välillä on funktion derivaatalla nollakohta.
2.2 Yhden muuttujan funktion monotonisuudesta ja ääriarvoista Funktio y =f(x) on monotoninen välillä I, jos se on joko kasvava tai vähenevä tuolla välillä. Funktioy=f(x)on aidosti monotoninen välilläI, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä välillä I.
Monotonisuuden yhteys derivaattaan on seuraava:
Lause 2.2. Oletetaan, että funktio y =f(x) on derivoituva (ja siten myös jat- kuva) välillä I. Tällöin funktio y=f(x) on
(i) kasvava välillä I, jos f0(x)≥0 kaikillax∈I (tangentit välillä I nousevia suoria)
(ii) vähenevä välilläI, jos f0(x)≤0kaikilla x∈I (tangentit välillä I laskevia suoria)
(iii) aidosti kasvava välillä I, jos f0(x) > 0 kaikilla x ∈ I (tangentit välillä I aidosti nousevia suoria)
(iv) aidosti vähenevä välillä I, jos f0(x)<0 kaikilla x∈I (tangentit välillä I aidosti laskevia suoria)
Esimerkki 2.3. Olkoon a >0, a6= 1. Tutki funktion ax monotonisuutta.
Esimerkki 2.4. Milloin funktiof(x) = 3x4−20x3+ 36x2 on kasvava?
Funktiolla f(x) on kohdassa x0 ∈ Df suurin arvo, jos f(x) ≤ f(x0) kaikilla x ∈ Df. Vastaavasti funktiolla f(x) on kohdassa x0 ∈ Df pienin arvo, jos f(x) ≥ f(x0) kaikilla x ∈ Df. Suurinta arvoa sanotaan myös absoluuttiseksi maksimiksi ja pienintä arvoaabsoluuttiseksi minimiksi.
Esimerkki 2.5. Välillä [−1,1]funktion f(x) = 2x−1pienin arvo onf(−1) =−3 ja suurin arvo on f(1) = 1.
Esimerkki 2.6. Funktionf(x) = x2pienin arvoR:ssä onf(0) = 0. Suurinta arvoa funktiolla ei ole.
Esimerkki 2.7. Funktiolla f(x) =x3 ei ole pienintä eikä suurinta arvoa R:ssä.
2.3 Paikallisten ääriarvojen määrittäminen
Piste x0 ∈Df on funktion f paikallinen maksimikohta, jos on olemassa sellainen r > 0, että f(x) ≤ f(x0) aina, kun x ∈ Df ja x ∈]x0−r, x0 +r[. Tällöin f(x0) on funktion f paikallinen maksimiarvo. Paikallisia ääriarvoja kutsutaan myös lokaalisiksi ääriarvoiksi.
Vastaavasti kohtax0 ∈Df on funktionf paikallinen minimikohta, jos on olemassa sellainen r >0, että f(x)≥f(x0)aina, kunx∈Df jax∈]x0−r, x0+r[. Tällöin f(x0) on funktion f paikallinen minimiarvo.
Aputulos 1. Oletetaan, että f(x) on määritelty eräässä pisteenx0 ympäristössä ja f on derivoituva kohdassa x0. Jos x0 on funktion f paikallinen ääriarvokohta, niin f0(x0) = 0.
Geometrisesti:
f0(x0) = 0 ⇔ käyrän pisteessäx0 olevan tangentin kulmakerroin nolla.
Lause 2.3 (KRP:n löytäminen). Derivoituvan funktion mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat:
f0(x) = 0 (KRP)
Esimerkki 2.8. Etsi funktion f(x) = x5 + 5x3 + 8x+ 1 mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat.
Lause 2.3 ei päde suoraan; Jos 0 , niin ei ole välttämättä
Lause 2.4 (KRP:n löytäminen). Jatkuvan funktion mahdolliset paikalliset ää- riarvokohdat:
1. f0(x) = 0 (derivaatan 0–kohdat) 2. f(x) ei derivoituva (epäderivoituvuuskohdat)
Lause 2.5 (Ääriarvon olemassaolo ja laatu). Olkoon funktio f jatkuva eräässä kohdan x0 ympäristössä. Olkoon lisäksi f0(x0) = 0 tai x0 epäderivoituvuuskohta.
Jos funktion f derivaatta muuttuu kohdassa x0
(i) positiivisesta negatiiviseksi, kyseessä on paikallinen maksimikohta.
(f muuttuu aidosti kasvavasta aidosti väheneväksi)
(ii) negatiivisesta positiiviseksi, kyseessä on paikallinen minimikohta.
(f muuttuu aidosti vähenevästä aidosti kasvavaksi)
Jos f0(x) ei muuta merkkiään kohdassa x0, niin funktiolla f(x) ei ole ääriarvo- kohtaa kohdassa x0, vaikka f0(x0) = 0 tai x0 on epäderivoituvuuskohta.
Lause 2.6. JosDf ei ole kokoRvaan jokin väli, paikallinen ääriarvo voi esiintyä myös välin päätepisteissä.
Lause 2.7. Funktion f(x) paikallisia ääriarvokohtia voivat olla 1. kohdat, joissa funktio on epäjatkuva
2. kohdat, joissa derivaattaa ei ole 3. derivaatan nollakohdat (f0(x) = 0)
4. välin päätepisteet (f määritelty suljetulla välillä)
Huomautus. Lause 2.5 ei päde epäjatkuvuuskohdassa ⇒ tutki tarkemmin!
Lause 2.8. Tarkasteltaessa paikallisten ääriarvojen absoluuttisuutta verrataan niiden arvoja keskenään sekä tutkitaan tarvittaessa raja-arvot lim
x→∞f(x) ja
x→−∞lim f(x) .
Esimerkki 2.9. Määritä funktion f(x) =
(x3+x, kun −2≤x <0
−x, kun 0≤x≤3 ääriarvot.
Esimerkki 2.10. Määritä funktion f(x) = x4−2x2 ääriarvot välillä [0,3].
Esimerkki 2.13. Määritä seuraavan funktion paikalliset ja absoluuttiset ääriarvot.
f(x) =
(x2+x, kun x <0
−x2, kun x≥0
2.4 Kuperuus ja käännepisteet
Olkoon funktiof derivoituva välillä]a, b[. Jos käyräy=f(x)ei missään kohdassa välillä ]a, b[ ole minkään tangenttinsa alapuolella, on käyrä välillä ]a, b[ kupera alaspäin. Vastaavasti jos käyrä y = f(x) ei missään kohdassa välillä ]a, b[ ole minkään tangenttinsa yläpuolella, on käyrä välillä ]a, b[ ylöspäin kupera.
Lause 2.9. Käyrä y =f(x) on aidosti kupera alaspäin välillä ]a, b[
⇔ tangenttien kulmakertoimet tulevat aidosti suuremmiksi muuttujan x kasvaessa
⇔ derivaatta f0(x) on aidosti kasvava välillä ]a, b[
⇔ f00(x)>0 välillä ]a, b[
Lause 2.10. Käyrä y=f(x) on aidosti kupera ylöspäin välillä ]a, b[
⇔ tangenttien kulmakertoimet tulevat aidosti pienemmiksi muuttujan x kasvaessa
⇔ derivaatta f0(x) on aidosti vähenevä välillä ]a, b[
⇔ f00(x)<0 välillä ]a, b[
Esimerkki 2.14. Tutki funktion f(x) = x3+ 2x2−1 kuperuutta.
Funktion kuvaajan pistettä, jossa kuperuuden suunta muuttuu, sanotaankäänne- pisteeksi ja sitä vastaavaa muuttujanxarvoa käännekohdaksi. Käännepisteeseen piirretty käyrän tangentti kulkee käyrän läpi. Jos funktiof on kahdesti derivoitu-
+ ⇒ − (alaspäin kuperuus) ⇒ (ylöspäin kuperuus)
− ⇒ + (ylöspäin kuperuus) ⇒ (alaspäin kuperuus)
Lause 2.11. Olkoon f derivoituva eräässä kohdan x0 ympäristössä ja oletetaan, että f0(x0) = 0 (siis KRP).
1. f00(x0)<0 ⇒ x0 on paikallinen maksimikohta 2. f00(x0)>0 ⇒ x0 on paikallinen minimikohta
3. f00(x0) = 0 ⇒ x0 voi olla maksimikohta, minimikohta tai satulapiste (ks. derivaatan merkkikaavio Lause 2.5 tai Lause 2.12)
Esimerkki 2.15. Määrää funktion f(x) = 3x4 −4x3−36x2+ 2 ääriarvokohdat.
Lause 2.12. Olkoon f(x)jatkuva funktio, joka onn kertaa derivoituva pisteessä x0. Välttämätön ja riittävä ehto sille, että f(x0) on paikallinen ääriarvo, on, että on olemassa sellainen parillinen kokonaisluku n, jolla
f(k)(x0) = 0 kaikilla k = 1,2, . . . , n−1 ja f(n)(x0)6= 0.
Kyseessä on lisäksi paikallinen minimi, jos f(n)(x0)>0 ja paikallinen maksimi, jos f(n)(x0)<0.
Esimerkki 2.16. Määrää funktion f(x) = x3 paikalliset ääriarvot.
Esimerkki 2.17. Määrää funktion f(x) = x4 paikalliset ääriarvot.
Lause 2.13. Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f(x) saavuttaa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa.
3 Usean muuttujan funktiot
3.1 Yleistä
Joukko Rn (n ∈N)määritellään seuraavasti:
R1 =R,
R2 ={(x1, x2)|x1, x2 ∈R}, . . . ,
Rn ={(x1, . . . , xn)|x1, . . . , xn ∈R}, kun n≥2.
Siis esimerkiksi
R2 ={(x, y)|x, y ∈R} ja R3 ={(x, y, z)|x, y, z ∈R}
R4 ={(x1, x2, x3, x4)|x1, x2, x3, x4 ∈R}.
OlkoonX ⊂Rnjaf :X →Rfunktio. Funktiof onn:nmuuttujan reaaliarvoinen funktio. Merkintäy=f(x1, . . . , xn)tarkoittaa, ettäyon funktionf arvo pisteessä (x1, . . . , xn)∈X.
Esimerkki 3.1.
a)z =f(x, y) = x2+y2 b)f(x, y, z) = x+y−z
Kahden muuttujan reaaliarvoista funktiota f : X → R, X ⊂ R2, voidaan ha- vainnollistaa pinnan z =f(x, y) avulla x, y, z–koordinaatistossa. Tämä pinta on funktion f kuvaaja.
Esimerkki 3.2. Olkoonf :X →Rfunktio, missä määrittelyjoukkoX ={(x, y)∈ R2|x2 +y2 ≤ 1}, ja f(x, y) = 3 kaikilla (x, y) ∈ X. Tällöin määrittelyehto x2+y2 ≤1antaa 1–säteisen ympyrän sisältämän alueen.
Huomautus. Joskus funktion y = f(x1, . . . , xn) kukin muuttuja xi saa arvoja jollakin välillä Ii.
Esimerkki 3.3.
f(x, y, z) =x2−2y+z, 0≤x≤1, 1≤y <2, 0≤z <3.
Siis Df ={(x, y, z)∈R3|x∈[0,1], y ∈[1,2[, z ∈[0,3[}.
Jos funktion määrittelyjoukkoa ei ole annettu, määrittelyjoukoksi ajatellaan kaik- ki ne pisteet, joissa funktion arvo voidaan määritellä.
Funktiolla y = f(x1, . . . , xn) on raja-arvo b pisteessä (a1, . . . , an), jos jokaista lukua ε > 0vastaa sellaiset luvut δ1 >0, . . . , δn >0, että |f(x1, . . . , xn)−b| < ε aina, kun0<|x1−a1|< δ1, . . . ,0<|xn−an|< δn.
Tällöin merkitään
lim
(x1,...,xn)→(a1,...,an)f(x1, . . . , xn) =b.
Samoin funktio y=f(x1, . . . , xn) onjatkuva pisteessä(a1, . . . , an), jos lim
(x1,...,xn)→(a1,...,an)f(x1, . . . , xn) =f(a1, . . . , an).
Geometrisestifunktionf(x, y)jatkuvuus pisteessä(a, b)merkitsee sitä, että pinta z =f(x, y) on jatkuva eikä sisällä hyppäystä pisteessä (a, b).
Esimerkki 3.4.
a) Määrää lim
(x,y)→(0,1)
y x2
b) Onko funktio 2 2 jatkuva pisteessä ?
3.2 Osittaisderivaatat
Olkoon y=f(x1, . . . , xn)n:n muuttujan funktio. Tutkitaan funktion f derivaat- taa muuttujan x1 suhteen pisteessä (a1, a2, . . . , an). Asettamalla x2 = a2, . . . , xn = an saadaan yhden muuttujan x1 funktio y = f(x1, a2, . . . , an). Jos tämä funktiof(x1, a2, . . . , an) onderivoituva kohdassa x1 =a1, eli raja-arvo
xlim1→a1
f(x1, a2, . . . , an)−f(a1, a2, . . . , an) x1−a1
on olemassa ja äärellinen, niin sitä sanotaan funktiony =f(x1, . . . , xn) osittais- derivaataksi muuttujanx1 suhteen pisteessä (a1, . . . , an).
Siis ∂f
∂x1(a1, . . . , an) = lim
x1→a1
f(x1, a2, . . . , an)−f(a1, a2, . . . , an) x1−a1
Tätä merkitään myös:
f1(a1, . . . , an), ∂f
∂x1(a1, . . . , an).
Vastaavasti lasketaan osittaisderivaatat muuttujien xi suhteen:
∂f
∂xi(a1, . . . , an) = lim
xi→ai
f(a1, . . . , xi, . . . , an)−f(a1, . . . , an) xi−ai
Huomautus. Funktion osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen kuvaa funktion hetkellistä muutosnopeutta muuttujanxi suhteen.
Esimerkki 3.5. Määrää funktionf(x, y) =x2+xy+ 1 osittaisderivaatat muuttu- jien xja y suhteen pisteessä (1,3).
Osittaisderivaatan funktio saadaan seuraavasti:
∂f
∂xi = lim
∆xi→0
f(x1, . . . , xi+ ∆xi, . . . , xn)−f(x1, . . . , xn)
∆xi 3.2.1 Osittaisderivaattojen määrääminen
Jos funktion y = f(x1, . . . , xn) osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen on ole- massa funktion määrittelyjoukon jokaisessa pisteessä, funktion kyseinen osittais- derivaattafunktio saadaan derivoimalla funktiota y = f(x1, . . . , xn) muuttujan xi suhteen ja pitämällä muut muuttujat vakiona. Tällöin käytetään merkintää
∂f
∂xi, fxi, fi.
Huomautus. Funktiot, joille on annettu derivoimissäännöt, ovat derivoituvia mää- rittelyjoukossaan Df. Jos funktio ei ole jatkuva, ei se ole derivoituvakaan.
Lause 3.1. Olkoon funktio f jatkuva pisteessä (a1, . . . , an). Tällöin funktio f on derivoituva muuttujan xi suhteen pisteessä (a1, . . . , an) eli ∂x∂f
i(a1, . . . , an) on olemassa, jos
lim
(x1,...,xn)→(a1,...,an)
∂f
∂xi
(x1, x2, . . . , xn) on olemassa.
Esimerkki 3.6. Onko funktio f(x, y) =|x|+y2 derivoituva?
Funktion y = f(x1, . . . , xn) osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen pisteessä (a1, . . . , an) saadaan sijoittamalla f:n osittaisderivaattafunktioon ∂x∂fi piste (a1, . . . , an).
Esimerkki 3.7. Määrää funtionf(x, y, z) =xex+y+z2x+xyz osittaisderivaatta- funktiot muuttujien x, y ja z suhteen. Laske näiden arvo pisteessä (1,0,2).
3.3 Kokonaisdifferentiaali
Olkoon funktionz =f(x, y)osittaisderivaatat ∂f∂x ja ∂f∂y jatkuvia ja olkoon(a, b)∈ Df.
Tällöin
∆f =f(x, y)−f(a, b) (6)
= ∂f
∂x(a, b)·(x−a) + ∂f
∂y(a, b)·(y−b) +u1(x, y)(x−a) +u2(x, y)(y−b), missä u1 →0ja u2 →0, kun x→a ja y→b.
Tämä on funktion f differentiaalikehitelmä.
Kuten yhden muuttujan tapauksessa, differentiaali dz =df(a, b) = ∂f
∂x(a, b)·dx+∂f
∂y(a, b)·dy, missä dx= ∆x ja dy= ∆y.
Geometrisesti ∆z:n korvaaminen dz:lla vastaa pinnan z = f(x, y) korvaamista pisteeseen(a, b, f(a, b))piirretyllä tangenttitasollazt(x, y), joka saadaan yhtälöstä
zt−f(a, b) = ∂f
∂x(a, b)·(x−a) + ∂f
∂y(a, b)·(y−b).
Huomautus. Jokainen muotoa ax+by+cz+d= 0 (a, b, c, d∈R)oleva yhtälö on avaruuden R3 jonkin tason yhtälö (d= 0 ⇒ taso kulkee origon kautta).
Lause 3.2. Kokonaisdiffentiaali n:n muuttujan funktiolle y=f(x1, . . . , xn):
df = ∂f
∂x1 ·dx1+ ∂f
∂x2 ·dx2+. . .+ ∂f
∂xn ·dxn.
Esimerkki 3.8. Olkoon f(x, y) = x3+ 3y2. Määrää funktion f muuttujan xmuu- tosta 12 ja muuttujan y muutosta 13 vastaava kokonaisdifferentiaali ja todellinen muutos kohdassa (2,3).
3.4 Yhdistetyn funktion derivointi
Oletetaan, että funktion y = f(x1, . . . , xn) osittaisderivaatat ∂x∂f1, . . . ,∂x∂f
n ovat olemassa eli funktio on derivoituva muuttujien suhteen. Oletetaan lisäksi, että kukin x1, x2, . . . , xn on edelleen muuttujan t funktio, ts. x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t).
Tällöin myös funktiof on muuttujantfunktio ja funktionf (kokonais)derivaatta muuttujan t suhteen saadaan lausekkeesta
df
dt = ∂f
∂x1 · dx1
dt +. . .+ ∂f
∂xn · dxn dt , kun muuttujatxi ovat derivoituvia muuttujansa t suhteen.
Tai: sijoittamalla.
Esimerkki 3.9. f(x, y) = x2−3xy2, missä x= 2t ja y=t2. Määrää dfdt.
Jos funktio y = f(x1, . . . , xn) on derivoituva muuttujien xi suhteen ja kukin muuttuja xi on muuttujien t1, . . . , tm funktio (ts. x1 = x1(t1, . . . , tm), . . . , xn = xn(t1, . . . , tm)) ja lisäksi kukin xi on derivoituva muuttujiensa ti suhteen, siis osittaisderivaatat
∂x1
∂t1, . . . ,∂xn
∂t1, . . . , ∂x1
∂tm, . . . ,∂xn
∂tm
ovat olemassa.
Tällöin saadaan
∂f
∂t1
= ∂f
∂x1
· ∂x1
∂t1
+. . .+ ∂f
∂xn
· ∂xn
∂t1
...
∂f
∂tm = ∂f
∂x1 · ∂x1
∂tm +. . .+ ∂f
∂xn · ∂xn
∂tm Tai: sijoittamalla.
Esimerkki 3.10. Olkoon f(x, y) = x2 −3xy2, missä x = u· v ja y = u2 +v2. Määrää ∂f∂u ja ∂f∂v.
3.5 Osittaisderivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia 3.5.1 Rajakustannusfunktiot
Oletetaan, että kahden hyödykkeen A ja B tuottamisesta koituvia kokonaiskus- tannuksia kuvaa funktio
C =C(x, y), missä
x=hyödykkeen A tuotantomäärä, y=hyödykkeen B tuotantomäärä. Tällöinrajakustannusfunktiot ovat
∂C
∂x =rajakustannus tuotantomäärän x suhteen,
∂C
∂y =rajakustannus tuotantomäärän y suhteen.
Esimerkki 3.11. Olkoon kustannusfunktio C(x, y) = x·ln (5 +y). Tällöin raja- kustannukset ovat ∂C∂x = ln (5 +y) ja ∂C∂y = 5+yx .
3.5.2 Kysyntäfunktiot
Oletetaan, että kahden hyödykkeen kysynnän määrät ovat x ja y ja vastaavat hinnat p ja q ja että x = f(p, q) ja y = g(p, q). (Siis kysynnät x ja y riippuvat vain hinnoista pja q.)
Saadut funktiot
x=f(p, q) ja y =g(p, q) ovat kysyntäfunktioita.
Kysyntäfunktioilla x=f(p, q) ja y=g(p, q) on seuraavat ominaisuudet 1. x, y, p, q,≥0
2. Jos hintaqon vakio, niin kysyntäxon hinnanpsuhteen vähenevä funktio.
Samoin, jospon vakio, kysyntä y on hinnanq suhteen vähenevä funktio.
3. Yhtälöryhmä
(x=f(p, q)
y=g(p, q) voidaan yksikäsitteisesti ratkaista hintojen pja q suhteen eli on mahdollista määrätä käänteisfunktiot p=F(x, y)ja q=G(x, y).
Kun kysyntäfunktiot ovat x=f(p, q) ja y=g(p, q), niin
∂x
∂p on kysynnän x rajakysyntä hinnan psuhteen
∂x
∂q on kysynnän x rajakysyntä hinnan q suhteen
∂y
∂p on kysynnän y rajakysyntä hinnan p suhteen
∂y
∂q on kysynnän y rajakysyntä hinnan q suhteen
Esimerkki 3.12. Olkoon kysyntäfunktiot x= 2eq−p ja y= 3ep−q. Tällöin rajaky- syntäfunktiot ovat
∂x
∂p =−2eq−p, ∂x
∂q = 2eq−p, ∂y
∂p = 3ep−q, ∂y
∂q =−3ep−q.
Määritellään nyt kysyntäfunktioiden x=f(p, q) ja y=g(p, q)osajoustot:
Epx(q=c1) = p x · ∂x
∂p Kysynnän x osittaisjousto hinnanp suhteen, kun q=c1 Eqx(p=c2) = q
x · ∂x
∂q Kysynnän x osittaisjousto hinnanq suhteen, kunp=c2
Epy(q=c3)= p y ·∂y
∂p Kysynnän y osittaisjousto hinnan psuhteen, kun q=c3 Eqy(p=c4)= q
y ·∂y
∂q Kysynnän y osittaisjousto hinnan q suhteen, kunp=c4 3.5.3 Tuotantofunktiot
Olkoon hyödykkeentuotantofunktio z =f(x, y), missä z = hyödykkeen tuotantomäärä
x ja y= kahden tuotannontekijän käyttömäärät (työ, maa, pääoma, materiaali, koneet). Tällöin
∂z
∂x on tuotannontekijänx rajatuottavuus
∂z
∂y on tuotannontekijäny rajatuottavuus.
Esimerkki 3.13. Olkoon tuotantofunktio z = 4x34y14, missä x on työ ja y on pääoma. Tällöin
∂z
∂x = 4· 3
4·x−14y14 = 3x−14y14 (työn rajatuottavuus)
∂z
∂y = 4x34 · 1
4·y−34 =x34y−34 (po:n rajatuottavuus)
3.6 Korkeammista osittaisderivaatoista
Jos funktion y = f(x1, . . . , xn) osittaisderivaatat ∂x∂f1, . . . ,∂x∂f
n ovat edelleen deri- voituvia, saadaan funktion f toisen kertaluvun osittaisderivaatat:
fx1x1 = ∂
∂x1 ∂f
∂x1
= ∂2f
∂x21, fx1x2 = ∂
∂x1 ∂f
∂x2
= ∂2f
∂x1∂x2, . . . ,
fxixj = ∂
∂xi ∂f
∂xj
= ∂2f
∂xi∂xj.
Vastaavasti määritellään vielä korkeammatkin osittaisderivaatat.
Esimerkki 3.14. Määrää funktion f(x, y) = x3e3y toisen kertaluvun osittaisderi- vaatat.
3.7 Implisiittinen derivointi
Esimerkki 3.15. Olkoon z2x−2xyz+y= 0, missä z =f(x, y). Määrää ∂x∂z(1,1) ja ∂z∂y(1,1).
4 Usean muuttujan funktion ääriarvoista
4.1 Usean muuttujan funktion ääriarvokohta
Funktiolla y = f(x1, . . . , xn) on pisteessä (a1, . . . , an) ∈ Df suurin arvo (abso- luuttinen maksimi), jos f(x1, . . . , xn) ≤ f(a1, . . . , an) kaikilla (x1, . . . , xn) ∈ Df. Vastaavasti funktiolla on pisteessä (a1, . . . , an) ∈Df pienin arvo (absoluuttinen minimi), jos f(x1, . . . , xn)≥f(a1, . . . , an)kaikilla (x1, . . . , xn)∈Df.
Esimerkki 4.1. Olkoon z = f(x, y) = x+y. Funktion kuvaaja on taso eikä sillä siksi ole suurinta eikä pienintä arvoa.
Esimerkki 4.2. Olkoonz=f(x, y) =x2+y2−1. Funktion kuvaaja on paraboloidi.
Suurinta arvoa ei ole, mutta pienin arvo onf(0,0) = −1.
f(a1, . . . , an)on funktionpaikallinen maksimiarvo. Vastaavasti (a1, . . . , an)∈Df on funktion f paikallinen minimikohta ja f(a1, . . . , an) paikallinen minimiarvo, jos f(x1, . . . , xn)≥f(a1, . . . , an) eräässä pisteen (a1, . . . , an)ympäristössä.
Lause 4.1 (KRP:n etsiminen). Olkoon funktio f jatkuva ja oletetaan, että sillä on osittaisderivaatat pisteessä(a1, . . . , an). Jos funktiolla on paikallinen ääriarvo pisteessä (a1, . . . , an), niin
∂f
∂x1(a1, . . . , an) = 0,
∂f
∂x2(a1, . . . , an) = 0, . . .
∂f
∂xn(a1, . . . , an) = 0.
Mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat saadaan siis ratkaisemalla yhtälöryhmä
∂f
∂x1 = 0
∂f
∂x2 = 0 . . .
∂f
∂xn = 0.
Huomautus. KRP, joka ei ole ääriarvokohta, on satulapiste.
Esimerkki 4.3. Määrää kriittiset pisteet seuraaville funktioille a) f(x1, . . . , xn) =x21+. . .+x2n
b) f(x, y) =x2−y2
Lause 4.2. Jos funktio y=f(x1, . . . , xn) on jatkuva suljetussa joukossa A={(x1, . . . , xn)|a1 ≤x1 ≤b1, . . . , an ≤xn≤bn},
niin voidaan löytää sellaiset pisteet (c1, . . . , cn)∈A ja (d1, . . . , dn)∈A, että f(c1, . . . , cn)≤f(x1, . . . , xn)≤f(d1, . . . , dn)
kaikilla (x1, . . . , xn)∈A.
Siis suljetussa joukossa jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän ar- vonsa tässä joukossa.
Lause 4.3. Funktion mahdolliset ääriarvokohdat löydetään tutkimalla:
1. Osittaisderivaattojen 0–kohdat
2. Määrittely-/tarkastelujoukon A reunat (ja nurkat), ts. arvot x1 =a1, . . . , xn=an ja x1 =b1, . . . , xn =bn 3. Pisteet, joissa osittaisderivaattoja ei ole
4. Epäjatkuvuuskohdat
Jos funktio on jatkuva ja derivoituva suljetussa joukossa A, niin mahdolliset ää- riarvokohdat löytyvät kohtien 1. ja 2. avulla. Näistä valitaan pienin ja suurin.
4.2 Usean muuttujan funktion ääriarvon laatu
Lause 4.4. Derivoituva funktio y=f(x1, . . . , xn) on ylöspäin kupera, jos 1)
f(αa1+(1−α)b1, . . . , αan+(1−α)bn)≥αf(a1, . . . , an)+(1−α)f(b1, . . . , bn) aina, kun (a1, . . . , an),(b1, . . . , bn)∈Df ja 0< α <1.
2)
f(x1, . . . , xn)≤f(a1, . . . , an) + ∂f
∂x1(a1, . . . , an)·(x1−a1) +. . .+ ∂f
∂xn(a1, . . . , an)·(xn−an) aina, kun (a1, . . . , an)∈Df.
3)
n
X
i=1 n
X
j=1
∂2f
∂xi·∂xj(x1, . . . , xn)·hihj ≤0 aina, kun (x1, . . . , xn)∈Df, h1, . . . , hn ∈R ja hi 6=hj.
Kun eo. ehdoissa epäyhtälömerkki muutetaan vastakkaiseksi, saadaan alaspäin kuperan funktion kolme tulosta.
Esimerkki 4.4. Tutki funktion f(x, y, z) = x2+y4−2xz+z2−1 kuperuutta.
Lause 4.5. Olkoon z = f(x, y) 2. kertaluvun osittaisderivaattoineen jatkuva. Tällöinz =f(x, y)onylöspäin kuperatäsmälleen silloin, kun kaikilla(x, y)∈Df
(i)
ja alaspäin kupera täsmälleen silloin, kun (ii)
∂2f
∂x2 ≥0, ∂2f
∂y2 ≥0 ja ∂2f
∂x2 ·∂2f
∂y2 −
∂2f
∂y∂x 2
≥0
Esimerkki 4.5. Tutki funktion f(x, y) = x2+ 4y2+ 3xy kuperuutta.
Lause 4.6. Oletetaan, että y = f(x1, . . . , xn) on 1. kertaluvun osittaisderivaat- toineen jatkuva. Jos funktio on ylöspäin kupera, sen jokainen kriittinen piste on absoluuttinen maksimikohta. Jos funktio on alaspäin kupera, sen jokainen kriitti- nen piste on absoluuttinen minimikohta.
Lause 4.7. Oletetaan, että funktio f(x1, . . . , xn) on 2. kertaluvun osittaisderi- vaattoineen jatkuva ja piste (a1, . . . , an) on funktion kriittinen piste (osittaisde- rivaatat=0). Tällöin kriittinen piste (a1, . . . , an) on
(i) paikallinen minimikohta, jos
n
X
i=1 n
X
j=1
∂2f
∂xi∂xj(a1, . . . , an)·hihj >0 kaikillah1, . . . , hn ∈R, hi 6=hj.
(Siis f alaspäin kupera KRP:n ympäristössä.) (ii) paikallinen maksimikohta, jos
n
X
i=1 n
X
j=1
∂2f
∂xi∂xj(a1, . . . , an)·hihj <0 kaikillah1, . . . , hn ∈R, hi 6=hj.
(Siis f ylöspäin kupera KRP:n ympäristössä.) (iii) satulapiste, jos
n
X
i=1 n
X
j=1
∂2f
∂xi∂xj(a1, . . . , an)·hihj
saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, kun termit h1, . . . , hn vaihte- levat.
(iv) Testi ei kerro mitään, kun
n
X
i=1 n
X
j=1
∂2f
∂xi∂xj(a1, . . . , an)·hihj = 0 joillakin h1, . . . , hn ∈R, hi 6=hj.
Esimerkki 4.6. Etsi funktion f(x, y, z) =x2+y4−2xz+z2−1ääriarvot.
Lause 4.8. Olkoon funktio z =f(x, y) 2. kertaluvun osittaisderivaattoineen jat- kuva ja (a, b) on funktion kriittinen piste. Tällöin kriittinen piste (a, b) on
(i) paikallinen minimikohta, jos
∆ = ∂2f
∂x2(a, b)·∂2f
∂y2(a, b)−
∂2f
∂y∂x(a, b) 2
>0 ja ∂2f
∂x2(a, b)>0, ∂2f
∂y2(a, b)>0 (ii) paikallinen maksimikohta, jos
∆ = ∂2f
∂x2(a, b)·∂2f
∂y2(a, b)−
∂2f
∂y∂x(a, b) 2
>0 ja ∂2f
∂x2(a, b)<0, ∂2f
∂y2(a, b)<0 (iii) satulapiste, jos
∆ = ∂2f
∂x2(a, b)·∂2f
∂y2(a, b)−
∂2f
∂y∂x(a, b) 2
<0 (iv) Testi ei kerro mitään, jos ∆ = 0.
Tutki tarkemmin.
Esimerkki 4.7. Määrää funktion f(x, y) =x3−y3+ 3xy paikalliset ääriarvot.
Esimerkki 4.8. Etsi funktion f(x, y) =x2+y2−x suurin ja pienin arvo joukossa A={(x, y)| −2≤x≤2, −2≤y≤2}.
5 Sidotut ääriarvot
5.1 Sidotut ääriarvot yhtälörajoitteen tapauksessa
Oletetaan, että funktiot f(x, y) ja g(x, y) ovat 2. kertaluvun osittaisderivaattoi- neen jatkuvia määrittelyjoukossaan. Määrättävä funktion f(x, y) paikalliset ää- riarvot ehdolla g(x, y) = 0.
5.1.1 Sijoitus
Ratkaistaanxtaiyehtoyhtälöstäg(x, y) = 0(jos mahdollista) ja sijoitetaan funk- tioon f(x, y), jolloin saadaan yhden muuttujan funktio, jolle lasketaan ääriarvot normaalisti.
Esimerkki 5.1. Etsi funktionf(x, y) = 5x2+6y2−xyääriarvot ehdollax+2y = 24. 5.1.2 Lagrangen menetelmä
Muodostetaan kohdefunktio F(x, y, λ) = f(x, y)−λg(x, y). Määritetään kohde- funktion F(x, y, λ)kriittiset pisteet eli mahdolliset ääriarvokohdat ratkaisemalla yhtälöryhmä
∂F
∂x = ∂f∂x−λ· ∂g∂x = 0
∂F
∂y = ∂f∂y −λ· ∂g∂y = 0
∂F
∂λ =−g(x, y) = 0 ⇔ g(x, y) = 0 Ääriarvonlaadun testaaminenkriittisessä pisteessä:
∆ = ∂2F
∂x2 · ∂2F
∂y2 −
∂2F
∂x∂y 2
>0, ∂2F
∂x2 <0 ja ∂2F
∂y2 <0
⇒ paikallinen maksimikohta
∆ = ∂2F
∂x2 · ∂2F
∂y2 −
∂2F
∂x∂y 2
>0, ∂2F
∂x2 >0 ja ∂2F
∂y2 >0
⇒ paikallinen minimikohta
∆ = ∂2F
∂x2 · ∂2F
∂y2 −
∂2F
∂x∂y 2
≤0
⇒ testi ei anna tulosta (tutkittava funktioita tarkemmin)
