Opettajan kokemuksia kokeilusta

Kokeilun suorittanut opettaja oli opettanut algebran kurssia aikaisemmin perin-teisellä jäsentämistavalla (kuvio 16 luvussa 4.3.2). Edellisinä vuosina käytössä olleessa oppikirjassa ei 7. luokalla kylläkään enää käsitelty potenssien laskutoi-mituksia. Perinteisestä rakenteesta luopuminen ei ollut kovin helppoa. Helppoa ei ollut aina tietää etukäteen, millaisiin ongelmiin perinteisestä asioiden opetta-misjärjestyksestä luopuminen johtaa ja mitä perinteitä on syytä säilyttää. En-simmäisellä kokeilukerralla opettaja piti mm. vielä kiinni siitä, että polynomien laskutoimitukset pitää osata ennen kuin voidaan ratkaista yhtälöitä. Toisella ko-keilukerralla tästä oletuksesta luovuttiin. Yhtälöiden käyttöön oli luontevaa joh-datella samalla, kun opiskeltiin lausekkeiden laskutoimituksia.

Opettajan näkemyksen mukaan idealähtöinen algebran opetus oli luonte-vaa, mielekästä ja varsin tuloksekastakin. Mutta ongelmatonta se ei ollut.

Väliintulon ongelma

Kokeiluopetuksessa ei noudatettu järjestystä: ensin uuden asian opetus, sitten harjoittelu. Opiskelu ei ollut valmiin mallin seuraamista. Oppilaat suorittivat las-kutoimituksia kirjainlausekkeilla ja ratkaisivat tehtäviä algebraa käyttäen varsin vähin etukäteisohjein. Tavoitteena oli, että säännöt ”löydetään” algebran käytös-sä. Oppilaita oli kuitenkin ohjattava ja neuvottava, opiskelun tuli edetä oikeaan

suuntaan, pitkät ”harharetket” vievät turhaan aikaa eivätkä ole hyväksi motivaa-tion kannalta. Väliintulon ajoittaminen oli ongelmallista sekä yksittäisen oppi-laan tapauksessa että silloin, kun oli puututtava lähes koko ryhmän toimintaan.

Joskus oli tarpeen keskeyttää ja tarkentaa ohjeita koko ryhmälle. Tehdessään ratkaisuja keskimääräisen perusteella opettaja tunsi tekevänsä väkivaltaa sekä niille, joille asiat olivat selviä, että niille, joiden pohdinta oli vasta aluillaan.

Myös yhteisen teoriakeskustelun ajoituksessa oli ongelmia. Opetuksessa oli tavoitteena, että opitaan myös matematiikan teoriaa, näkemään matematiik-kaa suoritetuista laskutoimituksista; koulualgebra ei saisi jäädä pelkäksi laske-miseksi. Tätä varten teoreettisia kysymyksiä, matematiikan lakeja ja merkintäta-poja ja -sopimuksia, pyrittiin nostamaan selvästi esiin. Yhdessä pohdittiin, mitä sääntöä noudatettiin, mihin toiminnot perustuivat. Nämä yhteiset reflektointi-tuokiot eivät voineet osua kaikille oppilaille yhtä suotuisaan ajankohtaan.

Vapautta vai kurinalaisuutta?

Rajanveto kurinalaisuuden ja luovan vapauden välillä on opetuksessa aina on-gelmallista. Minkä verran voidaan sallia oppilaiden käyttävän esim. omia mer-kintätapojaan ja -tyylejään tai nimityksiään ja missä määrin on tarpeen antaa määräyksiä? Vaikka merkintöihin ja nimityksiin puututtiin ja oikean merkintäta-van tärkeyttä korostettiin, omaehtoinen työskentely edellytti myös omia ratkai-suja ja saattoi jättää ”löysiä” tapoja.

Kokeiluopetuksessa oppimateriaalina käytettiin pääasiassa opettajan te-kemiä monisteita. Tehtävissä lähdettiin konkreettisten tilanteiden kuvaamisesta algebrallisilla lausekkeilla. Millaisia tehtäviä kannattaisi esittää? Kun ensimmäi-sellä kokeilukerralla haluttiin aluksi välttää yhtälön avulla ratkaistavia ongelmia, tehtäviksi annettiin lausekkeiden kirjoittamista ja laskutoimituksia kirjainlau-sekkeilla. Monimuotoisuutta haettiin kontekstia vaihtelemalla, mutta tehtävä-tyyppiin tuli myös kaavamaisuutta:

Tehtävä 22. Leevillä on 10 kynää enemmän kuin Reinolla ja Reinolla yhtä monta kuin Kal-lella ja Joonaksella yhteensä. Joonaksella on 2 kertaa niin paljon kuin KalKal-lella ja Kallella 5 kynää vähemmän kuin Villellä ja Villellä 3 kertaa niin monta kuin Pekalla. Merkitse ja laske, paljonko heillä oli yhteensä.

Varsinkin ensimmäisellä kokeilukerralla tehtävien asettelussa tuli virhearvioin-teja, liian vaikeita tehtäviä annettiin valmistautumatta, mm. heti ensimmäisessä tehtävämonisteessa annettiin tehtäväksi verrata lausekkeita 5A+4 ja 4A+18. Seuraavalla kerralla näitä ongelmakohtia pyrittiin pehmentämään, mm. vertaa-minen aloitettiin lausekkeilla, joista selvästi näki, kumpi on suurempi.

104

”Tyhmän rohkeudesta” oli toisaalta myös etua. Kun opettaja ei markki-noinut tehtäviä vaikeina, myös oppilaat tarttuivat niihin rohkeasti ja ennakkoluu-lottomasti. Parhaimmillaan oppilaat toivat koulualgebraan oivalluksia, joita opettaja ei olisi itse keksinyt ottaa esille (mm. laskeminen allekkain). Jotkut ko-keiluopetuksessa annetut tehtävät olivat osalle oppilaista liian vaikeita. Useim-missa tehtävissä kuitenkin kaikki oppilaat pääsivät alkuun omin neuvoin. Ihan-teellisia olisivat tehtävät, jotka avautuisivat kaikille mutta jotka sitten antaisivat haastetta pohtia asioita pitemmällekin.

Miten vaihtelevaa tai miten systemaattista matematiikan opetuksen tulisi olla? Perinteinen koulualgebra on hyvin systemaattista. Tiukka systemaattisuus johtaa helposti kaavamaisuuteen, jähmettää opetusta, ei jätä tilaa omille oival-luksille. Liiallinen vaihtelevuus taas aiheuttaa hajanaisuutta, opetuksen idean voi hukata myös liialliseen vaihtelevuuteen. Keskitien löytäminen ei ollut kokei-luopetuksessakaan helppoa.

Tulosten mittaamisen ongelma

Kun opetuksessa kokeiltiin perinteisestä poikkeavaa algebran opettamisen tapaa, tavoitteetkin olivat osin erilaiset. Tavoitteita ja niiden toteutumista olen pyrkinyt kuvaaman kertomalla opetuksesta seikkaperäisesti. Tavanomaiset testit eivät välttämättä paljasta oppilaan suorituksen taustalla olevaa ajattelua. Mitä voidaan päätellä oppilaan osaamisesta, jos oppilas merkitsee esim. kkk =3k? Oppilaalla voi olla vääriä tulkintoja merkitsemisestä, mutta se ei välttämättä tarkoita, että oppilas sekoittaisi kolmella kertomisen ja kertolaskun k⋅k⋅k. Toki oikeiden merkintätapojen käyttäminen on tavoitteena, mutta merkitsemisen syntaktinen merkitys on kuitenkin eri asia kuin sen käytännöllinen, pragmaattinen merkitys.

Oppimistuloksia arvioitiin kurssikokeella, sen tuloksista olen kertonut edellä (ks. Liite 3). Mutta miten voidaan arvioida koulualgebran keskeisten ide-oiden omaksumista? Miten oppilaat omaksuivat muuttujan tai yhtälön käytön?

Tämän selvittämiseksi olisi tutkittava oppilaiden ratkaisustrategioita, ts. miten helposti he turvautuvat muuttujan tai yhtälön käyttöön. Tällä kurssilla ei tätä voitu kokeessa mitata, koska kurssin aiheena oli ”kirjainlaskenta” ja kirjainsym-boleiden ja yhtälön käyttöä nimenomaan edellytettiin.

Opettajalle oppimista

Kokeiluopetuksessa tuli esiin paljon asioita, joihin opettaja ei ollut aikaisemmin kiinnittänyt huomiota. Opettajan oppiminen oli tietysti seurausta siitä, että ko-keilun tarkoituksenakin oli olla opettajalle oppimista, tilanne oli uusi ja uusia piirteitä algebran opiskelusta ja oppimisesta haluttiin saada esiin. Mutta käyte-tyllä opetusmallilla oli myös ansionsa opettajan oppimistilanteiden

syntymises-sä. Kun oppilaille ei annettu valmiita malleja seurattavaksi, he itse ”etsivät” ja

”keksivät” matematiikkaa, opettajalla oli tilaisuus huomata, missä tarvittiin uu-den ”keksimistä” ja missä voitiin rakentaa entisen pohjalle. Kun perinteisessä opetuksessa algebraa opetetaan seurattavina toimintasääntöinä, opettaja näkee helposti oppilaiden kohtaamat ongelmatkin vain vaikeuksina sääntöjen seuraa-misessa. Todellisia haasteita ovat kuitenkin ne algebran ideat, joissa oppilaiden on opittava aidosti uudenlaista ajattelua. Oppimistilanteita opettajalle tarjoutui myös yhteisissä opetustuokioissa. Kun asiat ”opetettiin” harjoitusten jälkeen, jolloin ne olivat oppilaille tuttuja, opetustuokioissa voitiin edetä keskustellen ja oppilailla oli mahdollisuus tuoda ajatuksiaan esille.

Opettaja oppi muun muassa, miten paljon apua algebran tehtävissä on luonnollisesta kielestä, laskun lukemisesta konkreettisesti, lausekkeiden tarkas-telemisesta kokonaisina ja muuttujan näkemisestä mittana ongelmatehtävissä.

Opettaja oppi myös, että vaikeudet yhtälön merkitsemisessä johtuvat usein ker-tomuksen rakenteesta, miten suoraan se on käännettävissä matematiikan kielelle, mutta myös tottumattomuudesta nähdä sama asia kahdella tavalla ja asettaa lau-sekkeet yhtä suuriksi. Oppilaat ovat tottuneet näkemään laskulaulau-sekkeet toimin-nallisina tehtävinä, jotka on laskettava. Laskulausekkeiden tai kaavojen tulkit-seminen tilanteiden kuvauksina vaatii paljon harjoittelua.

Päiväkirjamerkintöjen mukaan opettaja ajatteli monta kertaa: ”Menikö täs-sä taas turhaan aikaa? Olisivatko tämänkin oppineet paremmin, jos olisin vain opettanut ’suoraan’?” ”Suoraan” opettaminen oli kuitenkaan johtanut inerttiin algebraan. Opettaja oppi näkemään opetuksen ”asioiden esiin nostamisena”, ts.

oppilailla tuli olla ”asiat” etukäteen materiaalina, josta ne nostetaan esiin.