Kirjainsymbolien merkityksistä

Symbolien (merkkien tai sanojen) merkityksistä puhuttaessa on tapana erottaa symbolin sinänsä merkitys ja se, mihin symboli viittaa. Edellistä kutsutaan sym-bolin tai sanan mieleksi eli intensioksi, jälkimmäistä referenssiksi. (esim. Carnap 1964; Hudson 1995.) Edellä siteeratussa Filebos-dialogissa Protarkhos ja Sokra-tes keskustelevat tavallisten kansalaisten ”referenssimatematiikasta” ja filosofien formaalista ”intensiomatematiikasta”. Kumpaa opetetaan koulualgebrassa ja kumpi olisi ”oikeaa” matematiikkaa?

Perusoppiainesehdotuksessa vuodelta 1976 neuvotaan käyttämään konk-reettisia malleja:

Tässä kuten aikaisemmin rationaalilukujen laskutoimituksia opetettaessa on kiinnitet-tävä riitkiinnitet-tävää huomiota perusteelliseen käsitteenmuodostukseen konkreetteja laskutoi-mitusmalleja käyttäen esimerkiksi seuraavan tyyppisin tehtävin: 2 a(ppelsiinia) + 2 b(anaania) + 3 a(ppelsiinia) = 5 a(ppelsiinia) + 2 b(anaania). Tällaisten kirjainvakioi-ta kirjainvakioi-tai muuttujia sisältävien lausekkeiden käsittely ennen polynomien opetkirjainvakioi-tamiskirjainvakioi-ta ankirjainvakioi-taa oppilaalle kokemuksia, joihin voidaan perustaa polynomien määrittely, toisin sanoen ne auttavat oppilasta ymmärtämään polynomin käsitettä. Näin ehkäistään ennakolta niitä vaikeuksia, joita polynomien laskutoimitusten opettamisessa usein esiintyy.

(Kouluhallitus 1976, 49)

”Hedelmäsalaattivertauksen” ohella toinen yleisesti käytetty johdattelutapa on kirjainsymbolien rinnastaminen mittayksiköihin ja mittaluvuilla laskemiseen kuvioiden yhteydessä:

a) 7 m b) x c) a

7 m 7 m x x b b

7 m x a

p = 7 m+7 m+7m+7 m

= 4·7 m

= 28 m

p = x+x+x+x

= 4·x

= 4x

p = a+b+a+b

= a+a+b+b

= 2a+2b

Kuvio 18. Algebran johdantotehtävä (Matematiikan maailma 2, Potenssit ja polynomit, 10)

Konkreettisiin referensseihin turvautumiseen koulualgebrassa suhtaudutaan kak-sijakoisesti. Toisaalta algebran vaikeutta selitetään sillä, että algebra on abstrak-tia, kirjainsymbolit ja lausekkeet eivät viittaa fyysisiin objekteihin. Toisaalta juuri konkreettisen referenssin puuttumista pidetään algebran vahvuutena. Mm.

Sutherland (1990) katsoo, että algebran voima tehokkaana ongelmanratkaisun välineenä perustuu siihen, että siinä lausekkeiden käsittelyn voi tehdä formaalil-la tasolformaalil-la ajattelematta tiformaalil-lanteeseen liittyviä tekijöitä. Hän pitää referenssi-merkitysten hakemista algebrassa suorastaan paradoksaalisena:

The second is the search for referential meaning with the aim of making algebra more accessible to pupils. I argue that this search for meaning is paradoxical because the power of algebra lies in suppression of referential meaning.

(Sutherland 1990, 173)

Opetuskokeilussa (luku 5) algebra aloitettiin tehtävillä, joissa oppilaat kirjoitti-vat lausekkeita konkreettisista tilanteista, kirjainsymboleilla oli siis selkeästi tietty referenssimerkitys. Symbolit merkitsivät tuntemattomia lukuja tai ”pusse-ja” ja ”laatikoita”, joiden arvo voi vaihdella. Kun kirjainsymboleilla piti merkitä esim. 5 laatikollista helmiä ja 4 helmeä, oppilaat käyttivät myös merkintää

H L 4

5 + , kirjainsymbolit olivat ikään kuin yksiköitä tai sanojen lyhenteitä. Op-pikirjan mekaanisissa tehtävissä kirjainsymbolit olivat ”vain kirjaimia”. Kun oppilailta kysyttiin, mitä kirjaimet voisivat tarkoittaa annetussa lausekkeessa, he vastasivat yleensä objektilla (”omenaa ja appelsiinia”) tai yksiköillä (”metriä ja senttimetriä”).

Oppikirjoissa kirjainsymbolia nimitetään yleisesti muuttujaksi:

Marianne tutki tietokoneen taulukkolaskentaohjelmalla, kuinka paljon puhelu maksaa.

Hänellä on kaksi arvoa, 12 ja 2, joita sanotaan vakioiksi, koska ne pysyvät koko ajan samoina. Minuuttimäärä muuttuu jokaisen puhelun mukana ja tätä muuttuvaa tekijää hänen ohjelmassaan esittää tyhjä ruutu. Kun ruutuun sijoitetaan puhelun kesto minuut-teina, tietokone laskee puhelun hinnan sentteinä.

12 + 2 · 12 + 2·x

Matematiikassa puhelun hinta kirjoitetaan lausekkeena, jossa muuttuvia arvoja saava laatikko korvataan kirjaimella. Yleisimmin käytetty kirjain on x. Kirjainta kutsutaan muuttujaksi juuri sen vuoksi, että se saa vaihtelevia arvoja. (Kartio 1, 101, korostuk-set alkuperäistekstissä)

Matematiikassa kirjaimia kutsutaan tavallisesti muuttujiksi, sillä kirjaimien paikalle voidaan sijoittaa eri lukuja. Muuttujia käytetään yleensä kaavoissa suureita merkitse-mässä. Tavallisesti muuttujina käytetään kirjaimia x, y ja z, mutta myös muita kirjai-mia voidaan käyttää. Arvot, jotka eivät muutu, ovat vakioita. Esimerkiksi luvut ovat vakioita. (Kerroin, Kurssit 1–3, 136, korostukset alkuperäistekstissä.)

142

Küchemann (1981, 104) erottaa kuusi erilaista tapaa, joilla kirjaimia tulkitaan koulualgebrassa. Luokitus on paljon käytetty, sitä siteerataan useissa lähteissä (mm. Kieran 1989; MacRegor ja Stacey 1997; Orton ja Frobisher 1996; myös Hihnala 2005). Tulkintatapoja ovat:

1) kirjaimelle haetaan arvoa

esim. a+5=8,a=? tai m =3n+1, m=?

2) kirjaimia ei noteerata lainkaan, niille ei anneta mitään merkitystä, tehtävät ratkaistaan eliminoimalla kirjaimet

esim. n−246=762,n−247=? tai jos e+ f =8, mitä on e+ f +g? 3) kirjaimia käytetään objekteina (lausekkeiden sievennyksessä tällainen

tul-kinta voi tuottaa oikean vastauksen)

esim. 2a+5a=7a (”2 omenaa + 5 omenaa”)

4) kirjainta pidetään jonakin (yhtenä) tuntemattomana lukuna, esim. lisää 4 lausekkeeseen n+5 tai kerro n+5 neljällä

5) kirjain tulkitaan yleistetyksi luvuksi, joka voi saada useita arvoja esim. mitä voit sanoa d:stä, jos c+d <10 ja c <d? tai

onko L+M + N =L+ P+ N, ei koskaan, joskus (milloin?), aina?

6) kirjainta käytetään muuttujana, siihen liitetään systemaattisuutta

esim. siniset lyijykynät maksavat 5 p/kpl ja punaiset 6 p/kpl. Merkitse lau-seena: ostetaan b on sinistä kynää ja r punaista ja kokonaishinnaksi tulee 90 p tai kumpi on suurempi n2 vai n+2?

Luokitus on tarkoitettu hierarkkiseksi, siinä edetään asteittain kohti kehit-tyneempää, ”parempaa” tulkintatapaa. Kolmea ensimmäistä tulkintatapaa pide-tään alkeellisina ja muuttujatulkintaa tavoiteltavana. Erityisesti varoitetaan tul-kitsemasta kirjainsymbolia objektiksi. ”Hedelmäsalaattivertaus” (ks. edellä pe-rusoppiainessitaatti) on paljon käytetty, mutta se voi antaa oppilaille suppean mielikuvan kirjainten käytöstä: kirjainlausekkeessa a ei yleensä tarkoita objektia (appelsiinia) vaan lukua (appelsiinien lukumäärää). (Küchemann 1981; Orton ja Frobisher 1996; Pimm 1987.)

Em. luokituksessa (kuten myös Hartin ym. (1981) mukaan) muuttujatul-kinnaksi ei vielä riitä, että kirjaimet saavat vaihtelevia arvoja. Muuttujatulkinta edellyttää lisäksi lukujen keskinäisten suhteiden tarkastelua ”korkeammalla ta-solla”: esim. yhtälössä 5b+6r =90 ei ajatella vain järjestettyjä pareja (b,r), jot-ka toteuttavat yhtälön, vaan myös sitä, millä tavalla b:n arvon muuttuminen vai-kuttaa r:n arvoon.

Oppikirjoissa ”muuttuja” määritellään luvuksi, joka saa vaihtelevia arvoja.

Muuttujan määrittely on näin väljempi kuin em. luokituksessa. Kirjainsymbolin tulkintaa yleistetyksi luvuksi käytetään lausekkeen arvoa laskettaessa ja

esitettä-essä laskukaavoja ja säännönmukaisuuksia matemaattisina lausekkeina. Tavalli-sissa koulualgebran sovellustehtävissä sanallisesta tehtävästä kirjoitetaan yhtälö ja ratkaistaan tuntematon, jolloin kirjainsymboli tarkoittaa tuntematonta lukua, jonka arvo ratkaistaan. Suuressa osassa koulualgebran tehtäviä, kuten potenssien ja polynomien laskusääntöjä opeteltaessa, lausekkeita käsitellään sääntöjä seura-ten, syntaktisesti, kirjainten merkitykseen ei juuri kiinnitetä huomiota. Esim. sie-vennettäessä vaikkapa lausekkeita −210x+x² −80x+9−x² tai ( x5 ³¹)² (tehtä-vät ovat 7. luokan oppikirjasta) päähuomio on seurattavassa laskusäännössä:

”Näin menetellään”.

Koulualgebran tehtävä sinänsä ei aina määrää kirjainsymbolin tulkintata-paa eikä sitä voida välttämättä päätellä tehtävän suorituksesta. Tyyppiä ”jos

=8 + f

e , mitä on e+ f + g?” oleva tehtävä voidaan ratkaista eliminoimalla kirjaimet, mutta se ei sulje pois sitä, että kirjaimet ymmärretään yleiseksi luvuk-si tai muuttujikluvuk-si. Toisaalta vaikka ymmärrettäiluvuk-siinkin kirjaimet muuttujina, mo-net tehtävät voidaan ratkaista mekaanisesti ajattelematta kirjainten merkitystä tai vaikkapa objektitulkintaa apuna käyttäen.

Historiallisesti varhaisin algebra kehittyi nimenomaan ongelmanratkaisun työkaluksi. Algebran varhaisia vaiheita kutsutaan retoriseksi ja ”synkopaattisek-si” vaiheeksi, tehtävät ja ratkaisuprosessi kuvattiin sanallisesti, symboleita tettiin lyhenteinä. Varsinainen symbolinen algebra, jossa kirjainsymboleita käy-tetään strukturaalisesti matematiikan lainalaisuuksien, deduktiivisen päättelyn ja systemaattisen muutoksen kuvaamisesta, lasketaan alkaneeksi vasta 1500-1600-luvun taitteessa. (Boyer 1994; Sfard 1995.) Sfardin (emt.) mukaan useat tutki-mukset osoittavat, että oppilaiden on huomattavasti luontevampaa käyttää reto-rista kuin symbolista algebraa. Esim. yhtälön ratkaisussa käytetään yleisimmin laskutoimitusten käänteisyyttä. Yhtälön katsominen erillisinä, yhtä suurina lau-sekkeina, joita voidaan muokata itsenäisesti, on oppilaille vierasta. (Strukturaa-lista ja operationaa(Strukturaa-lista aspektia koulualgebrassa käsittelen lähemmin luvussa 8.2.)

Strukturaalinen tarkastelu ja muuttujatulkinta eivät edellytä luopumista konkreettisista referensseistä. Kokeiluopetuksessa käytettiin aluksi tehtäväkon-teksteja, joissa kirjaimet tarkoittivat pusseja tai laatikoita, joiden sisältö voi vaihdella. Tällaista tulkintaa tuettiin myös muissa yhteyksissä. Pussi- tai laatik-kotulkinnalla voidaan päästä lukujen keskinäisten suhteiden ja muutoksen sys-temaattiseen tarkasteluun. Esim. yhtälöön 5b+6r =90 johtavan tehtävän voisi esittää muodossa:

5 sinisessä pussissa ja 6 punaisessa pussissa on yhteensä 90 esinettä (esim. lyijy-kynää). Sinisissä pusseissa on kussakin b kpl ja punaisissa pusseissa r kpl. Tutki eri mahdollisuuksia b:n ja r:n arvoiksi.

144

Konkreettinen tulkinta voi tehdä systemaattisen tarkastelun mielekkääksi ja aut-taa ymmärtämään lukujen välistä riippuvuutta. Monet tutkijat (mm. Fey 1989;

Kieran ym. 1996) suosittelevat numeeristen taulukkolaskentatehtävien käyttöä koulualgebrassa, koska katsovat niiden vahvistavan kirjainsymbolien tulkintaa muuttujana. Kokeiluopetuksessa muuttujatulkintaa pyrittiin tukemaan tehtävillä, joissa tuli verrata lausekkeita. Epäyhtälötehtävät sopivat hyvin lausekkeiden sys-temaattiseen tarkasteluun: millä m:n arvoilla 3⋅120+m⋅1,50 < 3⋅150+m⋅1,00? (tehtävä 18, luvussa 5.6.3).