Esimerkkejä opetustilanteista IDEAA-mallilla

Luvussa 5 olen kertonut idealähtöisen algebran opetuskokeilusta tutkimukseni alkuvaiheessa. Siitä löytyy esimerkkejä kokeiluopetuksessa käytetyistä tehtävis-tä. Samantapaisia tehtäviä olen käyttänyt myös kokeilun jälkeen vuosittain

opet-164

taessani algebran kurssia 7. luokalla. Havainnollistan vielä muutamalla esimerk-kitehtävällä opetuksen toteuttamista IDEAA-mallilla.

”Kirjainlaskenta” voidaan aloittaa merkitsemällä tuntematonta lukua jol-lain symbolilla (kirjaimella tai piirrosmerkillä). Tähän lukuun kohdistetaan las-kutoimituksia ikään kuin se tunnettaisiin: ”lisää lukuusi 7, kerro saatu tulos kah-della, vähennä 4, jaa saatu tulos kahkah-della, vähennä alkuperäinen luku” tms. Täl-laisia ”seuraa sääntöä” -tehtäviä on helppo keksiä. Tehtävät opettavat, että tun-temattomaankin objektiin voidaan kohdistaa laskutoimituksia.

Esimerkki 10. Merkitään lukua:

Lisätään 7: + 7

Kerrotaan 2:lla: 2( + 7) = 2 + 14 Vähennetään 4: 2 + 14 - 4 = 2 + 10 Jaetaan 2:lla: (2 + 10):2 = + 5

Vähennetään alkuperäinen luku: + 5 - = 5

Merkitsemistä harjoitellaan konkreettisissa tilanteissa. Samalla voidaan opetella laskutoimituksia. Yhteenlasku ja kokonaisluvulla kertominen sujuvat tutuissa, konkreettisissa tilanteissa ongelmitta. Vähennyslaskua kannattaa aluksi harjoi-tella tapauksissa joissa vähenevä on selvästi suurempi kuin vähentäjä.

Esimerkki 11. A:lla on 5 laatikollista helmiä ja vielä 12 helmeä, B:llä on 3 laatikollista ja 9 helmeä. Laske:

a) Kuinka paljon on A:lla ja B:llä yhteensä?

b) Kuinka paljon enemmän on A:lla kuin B:llä?

c) Kuinka paljon on C:llä, jos hänellä on kolme kertaa niin paljon kuin A:lla?

d) Kuinka paljon on kullakin, jos laatikossa on 17 helmeä?

Oppilaat pyrkivät aluksi kirjoittamaan yhteenlaskussa vastaukset ilman lasku-toimitusmerkkiä: (5L+12H)+(3L+9H)=8L21H , koska vastauksia ei ole totuttu antamaan laskulausekkeina, ne näyttävät oppilaista keskeneräisiltä. Mer-kitsemiseen pitää kiinnittää huomiota, varsinkin kertolaskussa sulut jäävät hel-posti pois. Merkitsemistä on syytä korostaa myös siksi, että laskulait ovat näh-tävissä merkityissä laskulauseissa.

Johdattelun jälkeen laskutoimitusten harjoitteluun voidaan käyttää mm.

seuraavan tyyppistä tehtävää:

Esimerkki 12. A:lla on karkkeja 3 pussia ja 2 laatikkoa ja vielä 6 irtokarkkia. B:llä on 2 pussia ja 3 laatikkoa, mutta hän syö niistä 5 karkkia.

Merkitse paljonko on A:lla: B:llä:

Merkitse ja laske

a) Kuinka paljon on A:lla ja B:llä yhteensä?

b) Kummalla on enemmän? Kuinka paljon enemmän?

c) Kuinka paljon on kummallakin, jos pussissa on 22 karkkia ja laatikossa 18 karkkia?

d) Jos pussissa on 22 karkkia, kuinka monta karkkia täytyy olla laatikossa, jotta A:lla ja B:llä olisi yhtä monta karkkia?

Tässä tehtävässä harjoitellaan lausekkeen merkitsemistä symbolimerkintää käyt-täen ja lausekkeiden laskutoimituksia. Tehtävän a)-kohdassa opitaan yhteenlas-kua: (3P+2L+6)+(2P+3L−5), b)-kohdassa vähennyslaskua d)-kohdassa voidaan johdatella yhtälön käyttöön vertaamisessa

5 2P:tä, 3L:ää ja –5”. Vähennyslaskua ei redusoida sulkeiden poistamiseksi, vaan turvaudutaan aiemmin opittuihin vähennyslaskusääntöihin (esim. 6−(−5)=11).

Laskulausekkeissa kirjainsymboleille voidaan antaa monenlaisia merki-tyksiä. Ne voivat tarkoittaa yksiköitä (mittakeppiä, laatikkoa), objektia (helmiä), tuntematonta lukua (Villen tikkareiden määrä) tai muuttuvia lukuja tai suureita.

Symbolien käyttäminen tarkoittamaan pusseja ja laatikoita, joiden sisältö voi vaihdella, tukee symbolien muuttujatulkintaa. Muuttujatulkintaa voidaan koros-taa myös esimerkissä 12 taulukoimalla A:n ja B:n karkkimääriä P:n ja L:n eri arvoilla

Sääntöjen ja säännönmukaisuuksien kirjoittaminen matemaattisena lau-sekkeena vaatii paljon harjoittelua. Harjoitusta tarvitaan sekä säännönmukaisuu-den hahmottamiseen esim. kuviosarjasta että sen kirjoittamiseen matemaattisena lausekkeena. Oppilaiden on usein vaikea kuvailla sanallisesti tilanne muuttuvan suureen avulla, esim. kuviossa:

• • •

• • • • • • •

paikkojen (mustien pisteiden) määrän riippuminen pöytien (neliöiden) määrästä.

Muuttuvassa tilanteessa oppilaat pyrkivät kuvailemaan nimenomaan muutosta:

”Kun pöytiä tulee yksi lisää, paikkamäärä lisääntyy kahdella”. Laskusäännön löytäminen edellyttää, että on ”nähtävä toisin”, esim.: ”jokaisessa pöydässä on kaksi paikkaa ja päädyissä vielä kaksi paikkaa”. Säännönmukaisuustehtävissä kannattaa käyttää hyväksi mahdollisuus erilaisten näkemisen tapojen vertailuun.

166

Harjoitusta tarvitaan myös valmiina annettujen laskukaavojen ja sääntöjen tulkitsemisessa ja soveltamisessa. Oppilaat kokevat kaavat vaikeina, varsinkin jos he eivät ymmärrä niiden perusteluja. Kun oppilaat kirjoittavat itse lausekkei-ta konkreettisislausekkei-ta tilanteislausekkei-ta (kuten esimerkeissä 11 ja 12), he osaavat myös las-kea lausekkeiden arvoja, konkreettinen tilanne tukee arvon laskemista (”5 laati-kollista helmiä ja vielä 12 helmeä, kun laatikossa on 17 helmeä”). Mutta kun laskukaava annetaan valmiina, esim. monikulmion kulmien summa 180(n−2), lausekkeen arvon laskeminen on paljon vaikeampaa. Oppilaat kokevat usein, etteivät tiedä, miten lasketaan, jos eivät ymmärrä, miksi näin lasketaan. Kaavoja kannattaa ”lukea auki”, kääntää ne tilanteiden kuvauksiksi: ”monikulmion kul-mien summa saadaan, kun vähennetään kulkul-mien määrästä kaksi ja kerrotaan ero-tus 180:llä”.

Kun yhtälöä käytetään ongelmanratkaisutehtävissä, kirjoitetaan yleensä sanallisessa muodossa annetuista tiedoista lausekkeita ja muodostetaan yhtälö.

Ensiksi on osattava valita jokin annetuista suureista ”mitaksi”, joka merkitään symbolilla, siis nimetään. Muut suureet kuvataan nimetyn mitan avulla. Oppilai-ta on syytä ohjaOppilai-ta käyttämään lyhyitä muuttujanimiä, yksinkerOppilai-taisia symboleja, ei pitkiä ja kuvailevia nimiä (”Villen tikkarit”). Yhtälön kirjoittamisessa on op-pilaille uutta, että yhtäsuuruusmerkkiä käytetään ilmaisemaan: ”Nämä ovat yhtä suuret”, eikä totutusti: ”Tästä tulee …”. Yhtälön kirjoittaminen, saman asian merkitseminen kahdella tavalla, vaatii uudenlaista ajattelua. Ongelmia tuottaa juuri tämän ajattelutavan omaksuminen pikemminkin kuin yhtälön mekaaninen ratkaiseminen. Yksinkertaisia yhtälöitä voidaan ratkaista päättelemällä, joten yhtälöä voidaan käyttää ongelmanratkaisussa, vaikka muodollista ratkaisualgo-ritmia ei olekaan vielä opetettu.

Yhtälön kirjoittaminen on helpointa aloittaa tilanteista, joissa toiselle puo-lelle yhtäsuuruusmerkkiä tulee luku, siis muotoa ”yhteensä heillä on …” olevista yhtälöistä. Tällaiset yhtälöt on myös helppo ratkaista laskutoimitusten kääntei-syyden perusteella, esim.

Esimerkki 13. Tomilla, Raimolla ja Harrilla on kaikkiaan 575 € jaettavana keskenään. He jakavat summan niin, että Tomi saa 19 € enemmän kuin Raimo ja Raimo saa 17 € enemmän kuin Harri. Miten paljon Tomi saa?

On kuitenkin syytä harjoitella myös tehtäviä, joissa yhtälöä ei kirjoiteta yhteis-summan vaan jonkin muun annetun tiedon perusteella:

Esimerkki 14. Kasperilla on kolme kertaa niin monta pähkinää kuin Jesperillä ja Jesperillä kaksi kertaa niin monta kuin Jonatanilla. Kasperilla on 85 pähkinää enem-män kuin Jonatanilla. Kuinka monta on kullakin?

Tehtävän lauserakenteella on suuri merkitys sille, miten helposti se on käännet-tävissä matemaattiseksi lauseeksi. Tehtävän kääntäminen vaikeutuu huomatta-vasti, jos ei voida seurata suoraan luonnollisen kielen lauserakennetta kuten seu-raavassa esimerkissä:

Esimerkki 15. Laske kuvioiden sivujen pituudet, kun suorakulmion piiri on 10 suurempi kuin kolmion piiri.

Tässä tehtävässä oppilaiden on helppo muodostaa piirien lausekkeet 3x+25 ja 16

4x+ , mutta miten ne saadaan yhtä suuriksi? Lauserakenne: ”Suorakulmion piiri on kymmenen suurempi kuin kolmion piiri” ilmeisesti johtaa siihen, että suuri osa oppilaista lisää 10 suorakulmion piiriin, siis ”on 10 suurempi” tulki-taan toiminnaksi: ”suurenna 10:llä”.

Epäyhtälöt jäivät pois peruskoulun opetussuunnitelmista 1980-luvun puo-livälissä. Uusissa vuoden 2004 opetussuunnitelman perusteissa ne taas maini-taan algebran sisältöluettelossa. Epäyhtälötilanteet: ”Milloin A on suurempi kuin B?” ovat varsin hedelmällisiä, ne tarjoavat tilaisuuden lausekkeiden systemaatti-seen vertailuun ja tukevat näin muuttuja-ajattelua. Yksinkertaisten epäyhtälöiden tutkiminen ei edellytä ratkaisualgoritmin opettamista. Ratkaisuja voidaan etsiä päättelemällä tai taulukoimalla.

Esimerkki 16. Pekka myy autoja. Hän saa palkkaa kuukaudessa 650 € ja lisäksi hän saa 210

€ jokaisesta myymästään autosta. Merkitse ja laske

a) Paljonko Pekka saa palkkaa kuukaudessa, jos hän myy n autoa?

b) Marraskuussa Pekan palkka on 2750 €. Kuinka monta autoa hän on myy-nyt?

c) Kuinka monta autoa Pekan pitää myydä, jotta hänen palkkansa olisi yli 4000 €?

Myös Pirkko myy autoja. Hänen palkkansa on 330 € kuukaudessa ja lisäksi hän saa 250 € jokaisesta myymästään autosta.

d) Paljonko Pirkko saa palkkaa kuukaudessa, jos hän myy n autoa?

e) Toukokuussa Pirkon palkka oli 3180 €. Kuinka monta autoa hän oli myy-nyt?

f) Kuinka monta autoa Pirkon tulee kuukaudessa myydä, jotta palkka olisi yli 4000 €?

g) Jos Pekka ja Pirkko myyvät yhtä monta autoa kuukaudessa, kumman palkka on suurempi? Millä automäärällä palkat ovat yhtä suuret?

x+10 x+10

x+5

x+1

x+7

168

Tehtävän g)-kohdassa on vertailtava lausekkeita 650+210n ja 330+250n. Pe-ruspalkkojen ero on 320 € Pekan hyväksi ja yhdestä autosta saatavien palkkioi-den ero 40 € Pirkon hyväksi. Jos autoja myydään 8 kpl, palkat ovat yhtä suuret, jos enemmän, pärjää Pirkko, jos vähemmän, pärjää Pekka. Ratkaisu löytyy myös taulukoimalla palkkoja eri automäärillä:

autoja Pekan palkka Pirkon palkka

1 810 580

2 1070 830

3 jne.

Opetuksessa käytetään monenlaisia tehtävätyyppejä ja vaihtelevia konteksteja.

Myös oppilaat voivat keksiä tehtäviä. Tehtävien vaihtelevuus ja ”koukeroisuus”

eivät kuitenkaan ole itsetarkoituksia. Ne eivät saa jättää varjoonsa opittavaa ma-tematiikkaa, ”oikeaa” matematiikkaa.

In document Idealähtöistä koulualgebraa : IDEAA-opetusmallin kehittäminen algebran opetukseen peruskoulun 7. luokalla (sivua 173-178)