Koulumatematiikan oppimisnäkemyksiä:

Peruskoulun alkuaikoina matematiikan opetuksessa lähtökohtana oli tieteellinen matematiikka. Oppiaineksen vahvalla strukturoinnilla pyrittiin siirtämään mate-matiikan tietorakenne oppilaan tiedolliseksi rakenteeksi. Tiedot koottiin kumula-tiivisesti matematiikan rakennetta noudattaen ja taitoja kehitettiin tavoitetak-sonomian mukaisessa hierarkkisessa järjestyksessä. 1970-luvun opetussuunni-telman ja oppikirjojen tietonäkemystä voidaan pitää objektivistisena ja oppimis-näkemystä pitkälti tiedonhankintametaforaa myötäilevänä.

Arkipäivän matematiikan korostuessa 1980-luvulla peruskoulussa näke-mys matematiikasta siirtyi työvälineajattelun suuntaan. Työvälinenäkökulman korostuminen ei kuitenkaan välttämättä tarkoita oppimismetaforan vaihtumista.

Tiedonhankintametafora ja objektivistinen tietonäkemys voivat liittyä myös työ-välineajatteluun. Matematiikka voidaan edelleen nähdä valmiina, se on hankitta-vissa työvälineeksi ”mielen työkalupakkiin”, josta se voidaan ottaa tarvittaessa käyttöön (Parker 2001). Tiedonhankintametafora ja taksonomia-ajattelu näkyvät 1980-luvun oppikirjoissa varsin selvästi (ks. luku 4). Toki arkipäivän matema-tiikassa on tavoiteltu myös osallisuutta. Osallisuus on tällöin tarkoittanut arki-päivän tilanteita ja järjestys on ollut selkeä: asiat ensin opitaan ja sitten ”osallis-tutaan” soveltamalla tietoja arkipäivän tilanteisiin.

Situationaalisten ja konstruktivististen oppimisnäkemysten voimistuessa on nähty tarpeelliseksi sisällyttää myös matematiikan opetustilanteisiin toimin-nallisuutta, projekteja, pelejä ja pulmia. Oppikirjoihin toiminnallisia tehtäviä lisättiin varsinkin v. 1994 opetussuunnitelmauudistuksen jälkeen. Osaksi toi-minnallisuutta on käytetty motivointikeinona, sillä on pyritty antamaan myöntei-siä kokemuksia matematiikasta (Opetushallitus 1994, 77). Toiminnallisilla teh-tävillä on tarjottu myös aitoja toimintatilanteita, harjoiteltu ”maailmassa” toi-mimista. Toiminnallisissa tehtävissä on olennaista, millaisia matemaattisia

pro-134

sesseja niissä kehitetään ja minkä ”maailman” toimintoihin osallistutaan. Berei-ter (2002b) käyttää nimitystä ”hands-on” aktiviteeteista, joissa pääpaino on konkreettisessa toiminnassa. Pinnallisesti toteutettu hands-on -toiminnallisuus voi jäädä puuhasteluksi, jossa tavoitteena on pikemminkin suoritus kuin oppimi-nen (mm. Bereiter 2002b; Hakkaraioppimi-nen ym. 2000). Itse matematiikka, sen kau-askantoiset keskeiset ideat voivat peittyä aktiviteettien ja konkreettisen tuotok-sen varjoon.

Koulualgebraa on ollut vaikea sovittaa toiminnallisuuteen, ongelmakes-keisyyteen tai arkipäivän matematiikkaan. Kontekstisidonnaisen käyttömatema-tiikan painottuminen opetussuunnitelmissa on merkinnyt algebran oppisisältöjen supistamista ja keventämistä (ks. luku 4). Arkipäivän kontekstia on algebran opetuksessa käytetty uuteen asiaan johdateltaessa lähinnä analogiana (esim.

”hedelmäsalaattivertaus”, luku 8.1.1) ja sovellustehtävissä aihepiirinä. Pääosin algebra on kuitenkin opiskeltu kontekstista irrallaan. Kun asiat on opittu, niitä on sovellettu käytännön tilanteisiin. Soveltaminen on ollut valmiin tiedon sovel-tamista, siinä on opittu uusia menettelytapoja mutta ei juurikaan uusia matema-tiikan lainalaisuuksia. Arkipäivän konteksti on liitetty algebran soveltamiseen mutta ei niinkään itse algebran oppimiseen.

Mouwitz (2003) erottaa matematiikan opetuksessa tietonäkemysten suh-teen kolme vaihetta tai lähestymistapaa. Esimodernia tietonäkemystä Mouwitz kuvaa hyvin objektivistiseksi: tietoja ja taitoja pidetään erillisinä, tosi ja hyödyl-linen tieto voidaan etukäteen valita opetettavaksi, tieto on siirrettäviä yksiköitä.

Modernissa lähestymistavassa huomiota kiinnitetään tiedon eri muotoihin, mm.

hiljaiseen tietoon. Ymmärtäminen on ydinkäsite oppimista arvioitaessa. Tiedon muotoja kuvataan mielen ominaisuuksina. Myöhäismodernissa lähestymistavas-sa tietoa tarkastellaan oppimisen tuloksena, kompetenssina. Tiedon merkitys nähdään pragmaattisena. Oppiminen ei ole mielen ominaisuus vaan uusien toi-minta- ja suhtautumistapojen omaksumista. Kompetenssissa eri tiedon muodot esiintyvät rinnakkain eikä niiden erottelua pidetä tärkeänä.

Suomalaisessa opetussuunnitelmassa ei juuri näy ”myöhäismodernin” tie-tonäkemyksen mukaista kompetenssiajattelua, oppimista kuvataan ”modernein”

käsittein: ”Oppiminen on seurausta oppilaan aktiivisesta ja tavoitteellisesta toi-minnasta, jossa hän aiempien tietorakenteidensa pohjalta käsittelee ja tulkitsee opittavaa ainesta.” (Opetushallitus 2004, 18), sisällöt esitetään ”esimodernin”

lähestymistavan mukaisesti tietojen luettelona: ”lauseke ja sen sieventäminen”,

”potenssilauseke ja sen sieventäminen” ja osaaminen taitoina: oppilas osaa ”rat-kaista ensimmäisen asteen yhtälön” tai ”sieventää yksinkertaisia algebrallisia lausekkeita” (emt. 164–166). ”Myöhäismoderneja” näkemyksiä löytyy mm. uu-desta amerikkalaisesta opetussuunnitelmasta (NCTM 2000) ja

PISA-tutkimuksesta (Kupari ja Törnroos 2002). Niissä oppimistavoitteita ja -tuloksia on kuvattu kompetenssiajattelun mukaisesti taitavuutena (proficiency) tai tiedon käyttötaitoina ja osaamisena (literacy). Tiedot ja taidot ovat taitavuuden kom-ponentteja.

Amerikkalaisessa opetussuunnitelmajulkaisussa Principles and Standards for School Mathematics (NCTM 2000) asetetaan oppimisen periaatteeksi ym-märtävä oppiminen (learning with understanding) ja tavoitteeksi taitavuus:

Being proficient in a complex domain such as mathematics entails the ability to use knowledge flexibly, applying what is learned in one setting appropriately in another.

One of the most robust findings of research is that conceptual understanding is an im-portant component on proficiency, along with factual knowledge and procedural facil-ity.

(NCTM 2000, 20)

Käyttökelpoinen ja tehokas matematiikan osaaminen koostuu kolmesta kom-ponentista: faktatiedosta, proseduraalisesta taidosta ja käsitteellisestä ymmärtä-misestä.

Kansainvälisessä PISA-tutkimuksessa matemaattisella osaamisella (mat-hematical literacy) tarkoitetaan kykyä soveltaa matemaattista tietoa käytännön tarkoituksiin eri yhteyksissä, jotka edellyttävät asioiden ymmärtämistä, pohti-mista ja perustelepohti-mista. Matemaattista osaapohti-mista ovat esimerkiksi ajatusten erit-tely ja perustelu sekä matemaattisten ongelmien asettaminen, muotoileminen ja ratkominen. Tiedon soveltaminen ja käyttäminen edellyttävät myös matematii-kan perustietoja ja -taitoja: terminologian tuntemista, faktatietoutta sekä lasku-toimitusten ja ratkaisumenetelmien suoritus- ja käyttötaitoja. (Kupari ja Törn-roos 2002, 41.)

Kompetenssiajattelussa taitavuuden komponentit ovat samantasoisia ja toisiinsa kytkeytyviä toisin kuin hierarkkisissa taitotasomalleissa. Osaamisen komponenttimalli antaa mahdollisuuksia yhdistellä situationaalisia ja objektivis-tisia oppimis- ja tietonäkemyksiä, osaaminen koostuu monenlaisista osatekijöis-tä. Vaarana kuitenkin on, että näin osaamiseen ja oppimiseen liitetään ”kaikki hyvä ja kaunis”, jolloin kuvaukset jäävät kovin yleisiksi ja olennaiset ideat hä-märtyvät. Algebran opetuksen perustana olevan oppimisnäkemyksen tulisi antaa opettajalle tukea hänen etsiessään vastauksia kysymyksiin: mikä on keskeistä tämän asian oppimisessa ja miten sen tulisi näkyä ko. asian opettamisessa?

136