θ 2 , kunθ > 1 0, muuten

(1)

MTF/Tilastotiede

TilastollinenpäättelyII;Harj.2; 19.9.2014

1. Oletetaan, ettäbussikulkee

θ

^minuutin^välein.^Saavut^paikalle satunnaisestijajoudutodottamaan

y

minuuttia.Haluatestimoida parametrin

θ

^ja^asetat^sillepriorijakauman

p(θ) = 1

θ ² ,

^kun

θ > 1 0,

^muuten

a) Määritä

θ

^:nposteriorijakauma.

b)MääritäBayes-estimaatitparametrille

θ

^(moodi,^odotusarvo^ja^mediaani).^Laske^lisäksiestimaattien arvot, kun

y = 7

^.

) Simuloi posteriorijakaumaa ja määritä estimaatitBUGS:illa, kun

y = 7

^(Vihje: priorijakaumaon erikoistapausPareto-jakaumasta).

2. Olkoon

y = (y ¹ , . . . , y n )

satunnaisotos tasajakaumasta Tas(

θ − ¹ ₂ , θ + ¹ ₂ )

^, ^missä

θ ∈ (−∞, ∞)

^on

tuntematon.

a) Muodostauskottavuusfunktio

θ

^:lle. ^Mikä^on^suurimmanuskottavuudenestimaatti?

b) Muodostakonjugaattinenpriorijakauma.

) Määritäposteriorijakaumakonjugaattisellapriorijakaumalla.

3. Olkoot

Y ¹ , Y ² , ..., Y n

riippumattomiahavaintoja Poisson-jakaumasta,jonkaodotusarvo

θ

^on^tuntema-

ton.

a) Mikäon

θ

^:n uskottavuusfunktio?

b) Muodostakonjugaattinenpriorijakauma.Mistäjakaumastaonkysymys?

) Määritäposteriorijakaumakonjugaattisellapriorijakaumalla.

d) Mikäonpriorijakauman odotusarvojavarianssi?Entä estimaattorin

Y ¯ = P Y i /n

^varianssin^prio-

riodotusarvo

E [ Var ( ¯ Y |θ)] = R ^∞

0 p(θ) Var ( ¯ Y |θ)dθ

^? ^Osoita,^ettäposteriorijakaumanodotusarvoonprio- rijakaumanodotusarvon ja otoskeskiarvonpainotettu keskiarvo,missä painoina ovat priorijakauman

varianssinja

E [ Var ( ¯ Y |θ)]

^:nkäänteisluvut.

e) MääritäJereysinpriori

θ

^:lle.

4. a) Osoita,että

p(y|θ) = θ ²

θ + 1 (y + 1)e ^−yθ , y > 0,

ontiheysfunktiokullakin

θ > 0

^.

b)Satunnaisotantaa-kohdanjakaumastatuottaahavainnot

y ¹ , y ² , . . . , y n

^.^Mikä^onuskottavuusfunktio?

) Määritäkonjugaattinenpriorijakauma

θ

^:lle(vakiokerrointalukuunottamatta).

d) Määritä

θ

^:n posteriorijakauma(vakiokerrointa lukuunottamatta) käyttäen tätäpriorijakaumaaja

θ 2 , kunθ > 1 0, muuten

θ

y

θ

p(θ) = 1

θ 2 ,

θ > 1 0,

θ

θ

y = 7

y = 7

y = (y 1 , . . . , y n )

θ − 1 2 , θ + 1 2 )

θ ∈ (−∞, ∞)

θ

Y 1 , Y 2 , ..., Y n

θ

θ

Y ¯ = P Y i /n

E [ Var ( ¯ Y |θ)] = R ∞

0 p(θ) Var ( ¯ Y |θ)dθ

E [ Var ( ¯ Y |θ)]

θ

p(y|θ) = θ 2

θ + 1 (y + 1)e −yθ , y > 0,

θ > 0

y 1 , y 2 , . . . , y n

θ

θ

θ ² ,

y = (y ¹ , . . . , y n )

θ − ¹ ₂ , θ + ¹ ₂ )

Y ¹ , Y ² , ..., Y n

E [ Var ( ¯ Y |θ)] = R ^∞

p(y|θ) = θ ²

θ + 1 (y + 1)e ^−yθ , y > 0,

y ¹ , y ² , . . . , y n