Y ij ja oletetaan, että {Y ij |θ j , τ 1 } ∼ N (θ j , τ 1 − 1 )

Tilastotiede

Tilastollinenpäättely 2 28.11.2014

1. Osoita, että Metropolis-Hastings-algoritmituottaaMarkovin ketjun, jonkastationaari-

nen jakauma on

p(x)

^(vrt. luentodiat, s.98).

2. EstimoivalonnopeusNewomb-aineistonavullakäyttäenjakaumanat-jakaumaa,jonka

vapausastelukuon tuntematon. Tee mallintarkistuksia testisuureiden avulla.

3. Tarkastellaanhierarkista mallia aineistolle,jossa on J ryhmää ja niissä kussakin I ha-

vaintoa.(Esim.JkoulustavalitaankustakinI oppilastajatehdään heillekoulusuoritus-

testi). Merkitään

j

^{. koulun}

i

^{. havaintoa}

Y ij

^{ja oletetaan, että}

{Y ij |θ j , τ ¹ } ∼ N (θ j , τ 1 ^{− 1} )

ja

{θ j |µ, τ ² } ∼ N (µ, τ 2 ^{− 1} )

^{. Oletetaan} parametreille

µ

^,

τ ¹

^ja

τ ²

riippumattomatpriorija- kaumat

µ ∼ N (µ ⁰ , τ 0 ^{− 1} )

^,

τ ¹ ∼ Γ(α ¹ , β ¹ )

^ja

τ ² ∼ Γ(α ² , β ² )

^.

(a) KirjoitaJAGS-koodimallin estimoimiseksi

(b)Estimoimallikäyttäenallaolevaaaineistoasekäkymmentä1000posterioirisimuloin-

ninketjua.TarkistasuppeneminenkäyttäenaikasarjakuvioitasekäGelmaninjaRubinin

diagnostiikkoja.

(1)3.1, -0.7, 15.0, -1.0, 0.2 (2) 14.9, -4.5,7.8, -19.1,-8.9

(3)4.1, -1.2, 14.9, -1.4, 1.9 (4) 6.8, 7.5, 8.7, 4.6, 1.3

() Estimoi vielä lisäksi malli, joissa ryhmien välillä ei ole vaihteluja (

θ j = θ, j = 1, ..., J

^{) sekä} ei-hierarkinen malli, jossa

θ i

^{:t ovat} riippumattomia (

τ ² = 0

^{). Määritä}

kaikillemalleille

D ¯

^,

p D

^{ja DIC, sekä näidenavullaparas malli.}

4. Hae aineisto,jossa onannettu kangasrullien pituudet ja vikojen lukumäärät:

data<-read.table("http://www.stat.olumbia.edu/ gelman/book/data/fabri.as",

skip=4,header=TRUE)

Estimoi JAGS:lla seuraavatmallit:1) Tavallinen Poissonin regressiolog-linkillä.2)Ta-

vallinen Poissonin malli,jossa vikojen lukumäärän odotusarvo on suoraan verrannolli-

nen rullan pituuteen.3) Poissoninregressio log-linkillä,kunotetaanylihajonta(rullien

välinenvaihtelu)huomioon. 4)Yleistettylineaarinenmallilog-linkilläkäyttäennegatii-

vista binomijakaumaa.Vertaile mallienhyvyyttä suureiden

D ¯

^,

p D

^{ja DIC avulla.}

5. Dobson (1983) analysoi binomiaalista annos-vaste-dataa, joka sisältää kuolleiden ko-

vakuoriasten lukumäärät, sen jälkeen kun ne on altistettu 5 tunniksi hiilidisuldille

(rikkihiilelle)

n = 8

^eri konsentraatiolla,ks. aineisto http://mathstat.helsinki./openbugs/Examples/Beetles.html

a) Estimoi binomiaalinen regressiomalli, jossa kuoleman todennäköisyyttä selitetään

konsentraation avulla, käyttäen logit-, probit- ja komplementääristä log-log-linkkiä.

Koskaposteriorijakaumassaonvoimakaskorrelaatioparametrienvälillä,kannattaakäyt-

tää selittäjänäkeskistettyä muuttujaa x[j℄-mean(x[℄).

b) Vertaa mallejasuureiden

D ¯

^{ja DIC avulla.}

) Piirräkussakin tapauksessa annos-vaste-käyräennusteväleineen ja raakaestimaattei-

neen

θ ˆ j = y j /n j

^,vrt. luentodiojen esimerkki.