θ α β θ θ k, 0 ≤ k ≤ n n Γ( r ) 1 n θ e y =( y ,...,y ) θ r − 1 − aθ a p ( y | θ )= θe θ p ( θ )= − θy 12

SIS/Tilastotiede

Tilastollinenpäättely 2;Harj. 1; 12.9.2014

1. Ehdollinen todennäköisyys: Synnytyksessä erimunaisten kaksosten todennäköisyys on

n.1/250 jasamanmunaisten n.1/300.Elvis Presleylläolikaksoisveli(jokakuolisynny-

tyksessä). Mikä on todennäköisyys, että Elviksellä oli identtinen kaksosveli? Voit olet-

taa, että pojan tai tytön syntymisen todennäköisyys on

1

2

^{. (Tehtävä poimittu kirjasta}

Gelman etal: Bayesian Data Analysis).

2. Olkoon tietyn valmistajan energiansäästölamppujen eliniän jakauma eksponentiaali-

nen tiheysfunktiolla

p(y|θ) = θe ^{− θy}

^{, missä} parametrilla

θ

^{on priorijakauma}

p(θ) =

a ^r

Γ(r) θ ^{r −1} e ^{− aθ}

^{. Meilläon}havaintoaineisto

y = (y 1 , ..., y _n )

^{. Johda}

θ

^:nposteriorijakaumaja sen odotusarvo (Bayes-estimaattori olettaen, että käytetään neliötappiofunktiota).

3. Havaitaan, että onnistumisten lukumäärä

n

^:ssä riippumattomassa Bernoulli-kokeessa, joissa onnistumisen todennäköisyys on vakio

θ

^{, on}

k, 0 ≤ k ≤ n

^{. Oletetaan, että}

todennäköisyys

θ

^noudattaa Beta-jakaumaa parametreilla

α

^ja

β

^{. Määritä}

θ

^{:n Bayes-}

estimaattori, joka minimoineliöllisentappiofunktion.

4. Vakuutusyhtiöarvioi,ettänoin20%matkustajistaostaalentovakuutuksen.Suhdevaih-

teleeterminaaleittainjayhtiöarvioi,ettävaihtelunkeskihajontaon10%.Eräässätermi-

naalissatehdyn satunnaisotoksen perusteella vain5matkustajaa 50matkustajastaosti

vakuutuksen. Estimoi lentovakuutuksen ostavien matkustajientodellinenosuus tämän

terminaalin käyttäjistä.(Vihje:Oleta priorijakaumaksi beta-jakaumaja käytä edellisen

tehtäväntulosta)

5. a) Luentodioissa s. 11 estimoitiin uuden lääkkeen markkinaosuutta. Priorijakauma oli

Tas(0.05,0.15).BUGS-esimerkissä oletettiin, että 100 havainnon otoksessa 20 henkilöä

sanoi käyttävänsä uutta lääkettä. Piirrä posteriorijakaumantiheysfunktionkäyräkäyt-

täen R:ää taijotainmuuta ohjelmistoa.

b) Luentodioissa s.15 estimoitiin rakkularuostesienen esiintyvyyttä metsässä. Kirjoita

mallilleBUGS-koodijamääritäsimuloimallaväli,jollaesiintyvyys95%todennäköisyy-

dellä on, kunhavaintoaineisto on

17 910 813