Analyysi I
Harjoitus 10/2003
1. M¨a¨ar¨a¨a raja-arvo
x→0lim
1−cosx x2 L’Hospitalin lauseen avulla.
2. Olkoon f : [0,1[→ R jatkuva siten, ett¨a f0(x) ≤ 0 kaikilla x ∈]0,1[. Osoita v¨aliarvolauseen avulla, ett¨a funktio on v¨ahenev¨a v¨alill¨a [0,1[.
3. Olkoon f : B(x0, r) → R jatkuva ja oletetaan, ett¨a limx→x0f0(x) = a ∈ R. Osoi- ta, ett¨a f0(x0) = a. (Vihje! Tarkastele erotusosam¨a¨ar¨an toispuoleisia raja-arvoja v¨aliarvolauseen avulla.)
4. M¨a¨ar¨a¨a funktion f(x) = |x|3−x2 ¨a¨ariarvot.
5. M¨a¨ar¨a¨a funktion
f(x) = x2−x x2+ 1 suurin ja pienin arvo v¨alill¨a [−4,4].
6. Tutki, onko Teht¨av¨an 5 funktiolla f pienint¨a/suurinta arvoa joukossa R?
7. Olkoon n∈N. Osoita m¨a¨aritelm¨a¨an nojaten, ett¨a
x→∞lim 1
xn = 0 ja lim
x→∞
√1 x = 0.
8. Oletetaan, ett¨a funktiolle f :]− ∞,0] → R p¨atee f(0) = 0 ja f0(x) ≥ 12 kaikilla x∈]− ∞,0]. Osoita, ett¨a
x→−∞lim f(x) =−∞.
(Vihje! Katso Esimerkki 4.3.14.)
