 f ´( x )· g ( x ) dx  f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x ) dx

1.4.2. Osittaisintegroint



 ^{f ´( x )· g ( x ) dx  f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x ) dx}

Perustelu:

 )) ( ) (

( f x g x

D f ' ( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x )

Integroidaan puolittain:

 ) ( )

( x g x

f  ^{f ' ( x ) g ( x ) dx }  ^{f ( x ) g ' ( x ) dx}



 ^{f ' ( x ) g ( x ) dx  f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x ) dx}



 ^{f´(x)·g(x)dx  f(x)g(x) f (x)g'(x)dx} E.3. Laske a)  ^exb) ^·2xdx



f ’ (x) = e^x f (x) = e^x + C C = 0:

f(x) = e^x

g (x) = 2x g ’(x) = 2

 ^e

^{· 2 xdx}  ^e

^{ 2 x }  ^e

^{ 2 dx  e}

^{ 2 x  2}  ^e

^dx

C e

x

e

 



 2 2

C e

x 



 2 ( 1 )



 ^{f´(x)·g(x)dx  f(x)g(x) f (x)g'(x)dx}



f ’ (x) = e^2x f (x) = ½e^2x

g (x) = x g ’(x) = 1

 ^xe

^dx  ^{½ e}

^{ x }  ^{½ e}

^{ 1 dx  1} ₂ ^e

^{ x } ₄ ¹  ^{2 e}

^dx

C e

x

e

 





4 1 2

1

b)

C e

xe







4 1 2

1

 ^{( 3 x  4 ) e}

^dx

E.4.



 ^{f´(x)·g(x)dx  f(x)g(x) f (x)g'(x)dx} f ’ (x) = e^x

f (x) = e^x

g (x) = 3x + 4 g ’(x) = 3



 ^{( 3 x}  ^{4 ) e}

^{dx e}

^{ ( 3 x  4 ) }  ^e

^{ 3 dx  e}

^{ ( 3 x  4 )  3}  ^e

^dx

C e

x

e

  



 ( 3 4 ) 3 C e

x 



 ( 3 1 )

E.5.



f ’ (x) = f (x) =

g (x) = x g ’(x) = 1



 ^{x 2 x}  ^{1 dx 1} ₃ ^{( 2 x  1 )}

^{ x }  ¹ ₃ ^{( 2 x  1 )}

^{ 1 dx}

 ^{2 ( 2 x  1 )}

^dx

6 1

)½

1 2

( 1

2x   x 

2 /

)3

1 2

3(

1 x 







 ( 2 x 1 )

x 3

1







 ( 2 x 1 )

x 3

1

5

) 1 2

( 2 1 3

1 6

1 



 x

) 1 3

( 1 2

) 1 2

15 (

1    

 x x x







 ( 2 x 1 )

x 3

1

5

) 1 2

15 (

1 x 

)) 1 2

5 ( ( 1

1 2

) 1 2

3 (

1     

 x x x x

5 ) 1 5

( 2 1 2

) 1 2

3 (

1     

 x x x x

5 ) 1 5

( 3 1 2

) 1 2

3 (

1    

 x x x