Kohti yhteisöllisempiä ongelmanratkaisutehtäviä : merkitys opettajan toimintaan, opetusjärjestelyihin, oppilaiden työskentelyyn ja ongelmanratkaisuprosesseihin

(1)

Minna Andersin & Viivi Laari

KOHTI YHTEISÖLLISEMPIÄ ONGELMANRATKAISUTEHTÄVIÄ:

Merkitys opettajan toimintaan, opetusjärjestelyihin, oppilaiden työskentelyyn ja ongelmanratkaisuprosesseihin

ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO Filosofinen tiedekunta

Soveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osasto, Savonlinna Kasvatustieteen Pro gradu -tutkielma

Huhtikuu 2016

(2)

TIIVISTELMÄ

ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO – UNIVERSITY OF EASTERN FINLAND

Tiedekunta – Faculty

Filosofinen tiedekunta Osasto – School

Soveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osasto, Savonlinna

Tekijät – Author

Minna Andersin ja Viivi Laari Työn nimi – Title

Kohti yhteisöllisempiä ongelmanratkaisutehtäviä: Merkitys opettajan toimintaan, opetusjärjestelyihin, oppilaiden työskentelyyn ja ongelmanratkaisuprosesseihin

Pääaine – Main subject

Työn laji – Level Päivämäärä –

Date Sivumäärä – Number of pages

kasvatustiede Pro gradu -

tutkielma x 15.4.2016 87

Sivuainetutkielma Kandidaatin tutkielma Aineopintojen tutkielma Tiivistelmä – Abstract

Käytännön opetustyön yhteisöllisestä ongelmanratkaisusta on varsin vähän suomalaista tutkimustietoa. Siksi on tärkeää laajentaa ymmärrystä siitä, kuinka oppilaiden yhteisöllistä ongelmanratkaisua voitaisiin edistää autenttisissa oppimisympäristöissä ja -tilanteissa, jotta oppilaat pystyisivät ratkaisemaan yhä haastavampia ja monimuotoisempia ongelmia innovatiivisessa ryhmässä.

Tässä kvalitatiivisessa tutkimuksessa tarkastellaan lähdekirjallisuuden perusteella valittujen ja testattujen oppimisteh- tävien sekä Pólyan ongelmanratkaisumallin hyödyntämistä pedagogisesti uudella tavalla rakennetussa opetuksessa.

Ennen kaikkea tutkitaan yhteisöllisen ongelmanratkaisun merkitystä itäsuomalaisen peruskoulun 6. luokan opettajan toimintaan ja opetuksen järjestämiseen sekä oppilaiden työskentelyyn ja ongelmanratkaisuprosesseihin. Tutkimus- joukko koostui 11 pojasta ja 8 tytöstä ja tutkimus toteutettiin syyslukukaudella 2015. Kehittämistutkimuksen näkö- kulmasta kehitettiin tämän luokka-asteen matematiikan ongelmanratkaisuun soveltuva opetuskokonaisuus. Kehittä- mistutkimusmenetelmä soveltuu lyhyeen kehittämis- ja tutkimusjaksoon ja sen avulla päästään tarkastelemaan opetuksen ja oppimisen kehittämistä useasta eri näkökulmasta. Oppimistehtävissä oli huomioitu yksilö- ja yhteisöllisen työskentelyn ero sekä se, että ne vaativat mekaanisen laskutaidon lisäksi myös ymmärtävää lukemista ja erilaisia ongelmanratkaisutaitoja.

Aineistonkeruumenetelmänä käytettiin observointia, jota tuettiin videoinnilla. Luokan vuorovaikutusta ja opettajan toimintaa observoitiin CLASS-menetelmällä. Opettajan haastatteluja käytettiin tutkijoiden havaintojen ja heidän tulkintojensa tukena. Aineiston analysoinnissa tukeuduttiin teoriaohjaavaan sisällönanalyysiin, jossa teoreettiset käsit- teet tuodaan teorian pohjalta analyysiin. Pääluokiksi määriteltiin opettajan toiminta, opetuksen järjestäminen sekä oppilaiden työskentely ja ongelmanratkaisuprosessi. Pääluokille kuvailtiin vielä yksityiskohtaisemmat alaluokat.

Tutkimuksen päätulokset osoittavat, että yhteisöllinen oppiminen ja ongelmanratkaisu näyttäisivät: 1) muuttavan opettajan roolin tiedonjakajasta oppimisen mahdollistajaksi, kannustajaksi ja rohkaisijaksi, 2) vähentävän oppilaiden avuntarvetta ja lisäävän motivaatiota sekä 3) lisäävän luokan positiivista vuorovaikutusta ja ilmapiiriä. Tutkimus antaa lähdekirjallisuuden ja aiempien tutkimusten mukaan viitteitä siitä, että yhteisöllinen ongelmanratkaisu on didaktinen keino parantaa kouluviihtyvyyttä, estää oppilaiden syrjäytymistä sekä merkityksettömyyden ja yksinäisyyden tunnetta luokkayhteisössä. Ryhmässä työskentely on tämän päivän lapsille hyvin luontainen tapa olla läsnä ja oppia ongelmanratkaisutaidot, joita arki, kansalaiseksi kasvaminen ja tuleva työelämä vaativat. Näiden tutkimustulosten perusteella oppimistehtäviä suunniteltaessa olisi hyvä huomioida tehtävien monimuotoisuuden lisäksi tehtävien yhdistäminen oppilaiden omaan kokemusmaailmaan. Kärkihaasteeksi nouseekin se, miten opetusalalle saadaan luovia, innostuneita opettajia, jotka omistautuvat matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisutaitojen kehittämiseen jo alakoulusta alkaen.

Avainsanat – Keywords

opettajan toiminta, opettajan ohjeistus, yhteisöllinen oppiminen, yhteisöllinen ongelmanratkaisu, matemaattinen ongelmanratkaisu, kehittämistutkimus

(3)

ABSTRACT

ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO – UNIVERSITY OF EASTERN FINLAND

Tiedekunta – Faculty

Philosophical Faculty Osasto – School

School of Applied Educational Science and Teacher Education, Savonlinna

Tekijät – Author

Minna Andersin and Viivi Laari Työn nimi – Title

Towards more Collaborative Problem-Solving Learning tasks: Influence on Teacher Action, Teaching Arrangements, Pupil’s Working and Problem-Solving Processes

Pääaine – Main subject Työn laji – Level Päivämäärä –

Date Sivumäärä – Number of pages

Educational Science Pro gradu -

tutkielma x 15.4.2016 87

Sivuainetutkielma Kandidaatin tutkielma Aineopintojen tutkielma Tiivistelmä – Abstract

Collaborative problem-solving in actual school context in Finland has been studied only a little. It would be important to expand our understanding on how pupils’ collaborative learning can be advanced in authentic learning environments so that the pupils would be able to work more, and solve more challenging and diverse problems in different kind of innovative groups.

This qualitative study describes how learning tasks derived from literature and Pólya’s problem solving model can be utilized in order to create a new pedagogical view to teaching. Under a specific surveillance is how collaborative problem solving can affect the teacher’s actions and teaching arrangements and the problem solving processes of pupils of one sixth grade in an Eastern Finland primary school. The research group consisted of eleven boys and eight girls. Time spent on the research was five lessons during the fall semester of year 2015. The research method was design and development study, which was used to create a targeted learning material to teach mathematical problem solving for grade six pupils. Based on the literature, the design and development study is applicable for a short duration research that in this case lasted only for five hours. With this method the development of both teaching and learning was observed from a variety of perspectives. The learning tasks designed to the pupils advanced from individual task to collaborative. Solving them requires mechanical numeracy, understanding reading and different kind of problem solving skills.

The data was collected through observations. To support the observations the lessons were also video recorded.

The teacher actions as well as the interaction between the teacher and the pupils were evaluated with CLASS- system. Interview of the teacher was also done in order to get more profound information to support research findings. The method used for data analysis is theory driven content analysis in which the theoretical concepts are brought to the analysis through the theory. The main categories to guide the analysis were teacher action, the teaching arrangements, pupils’ working and the problem-solving processes. Each main category was given sub- categories which are more elaborative.

The main findings show that collaborative learning and problem solving can: 1) Change the teacher’s role from the provider of the information to an adult who enables, supports and encourages learning, 2) Reduce the pupils’ need for support and help and increases motivation and 3) Increase the positive interaction and ambience. Based on the literature and former studies, this study gives suggestions to use the collaborative problem solving as a didactic way to improve the satisfaction in school, prevent the social exclusion of the pupils and the feelings of loneliness and insignificance in school. Working in groups is a natural way for the children of this age. It is also a way to learn problem solving skills which everyday life, growing up and future working life demand. With these findings it would be important not only to use diverse learning tasks but also attach them into the pupils’ own life. To conclude, the main issue is, to define and educate creative and enthusiastic teachers who dedicate themselves to develop the mathematical thinking and problems solving skills throughout the primary school.

Avainsanat – Keywords

The actions of the teacher, instructions of the teacher, collaborative learning, collaborative problem solving, mathematical problem solving, design and development research

(4)

Sisällys

1 JOHDANTO ... 1

2 YHTEISÖLLINEN OPPIMINEN ... 5

2.1 Vuorovaikutus opetuksessa ... 5

2.2 Yhteisöllisyys ... 7

2.3 Ryhmä ja oppilas ryhmän jäsenenä ... 8

2.4 Yhteisöllinen oppiminen ... 11

2.5 Yhteisöllisyys opetussuunnitelmassa ... 13

3 ONGELMANRATKAISU ... 15

3.1 Ongelmanratkaisun määrittelyä ... 15

3.2 Ongelmanratkaisutaidot ja tulevaisuuden taidot perusopetuksessa ... 17

3.3 Matemaattinen ongelmanratkaisu ... 18

3.4 Matemaattinen ajattelu ja ongelmanratkaisu ... 19

3.5 Matemaattinen ongelmanratkaisutaito ... 21

3.6 Matemaattisia ongelmanratkaisustrategioita ... 22

3.7 Matemaattisia ongelmanratkaisumalleja ... 25

3.7.1 Pólyan malli ... 25

3.7.2 Schoenfeldin malli ... 28

3.7.3 Sternbergin malli ... 29

3.7.4 Ongelmanratkaisumallien yhteenveto ... 30

3.8 Matemaattiset ongelmanratkaisutehtävät... 31

3.9 Matemaattisen ongelmanratkaisun opettaminen ja oppiminen ... 33

3.10 Mitä on yhteisöllinen ongelmanratkaisu? ... 35

3.10.1 Yhteisöllinen matemaattinen ongelmanratkaisu ... 36

3.10.2 Opettajan rooli yhteisöllisessä ongelmanratkaisussa ... 37

4 TUTKIMUSTEHTÄVÄ ... 40

5 TUTKIMUKSEN TOTEUTTAMINEN ... 41

5.1 Tutkimusmenetelmät ... 41

5.2 Tutkimusasetelma ja tutkimukseen osallistujat ... 46

5.3 Tutkimuksen rakenne ... 47

5.4 Tutkimuksen eteneminen... 48

5.5 Aineistonkeruu ... 50

5.5.1 Observointi ja videointi ... 51

5.5.2 Opettajan toiminta ja luokan vuorovaikutuksen arviointi CLASS-menetelmällä ... 51

5.5.3 Oppilaskysely ... 53

5.5.4 Opettajan haastattelu ... 54

5.6 Aineiston analyysi ja tulkinta ... 55

5.7 Tutkimuksen laatu ja luotettavuus ... 59

6 TULOKSET ... 62

6.1 Kohti yhteisöllistä ongelmanratkaisua opetuksessa – opettajan toiminta ja opetusjärjestelyt………..62

6.1.1 Opettajan toiminta ... 63

6.1.2 Opetusjärjestelyt ja esiin nousseet ongelmakohdat ... 66

6.2 Havaitut muutokset opettajan toiminnassa ja luokan vuorovaikutuksessa ... 70

6.3 Oppilaiden työskentely ja ongelmanratkaisuprosessit ... 71

6.3.1 Ongelmanratkaisuprosessi ... 71

6.3.2 Vertaisapu ja yhteisöllinen työskentely ... 75

6.3.3 Ryhmän työskentelyn ongelmat ... 77

7 POHDINTA ... 79

LÄHTEET ... 83

LIITTEET (10 kpl) ……….………88

(5)

1 JOHDANTO

Tutustukaamme ongelmanratkaisuun pienen esimerkin avulla.

Koulun opettajanhuoneeseen on hankittu uusi kulunvalvontajärjestelmä ja jokaisen opettajan tulee sanoa tunnussana päästäkseen sinne sisälle. Pekka haluaa opettajanhuoneeseen, muttei muista oven tunnussanaa. Hän piiloutuu odottamaan muita opettajia. Matti tulee paikalle ja ovesta kuuluu ääni ”kaksitoista”. Matti vastaa ”yk- sitoista” ja ovi avautuu. Seuraavaksi ovelle kävelee Maija. Ovesta kuuluu ääni ”kuu- si”. Maija vastaa ”viisi” ja pääsee sisälle. Pekka menee nyt ovelle kokeilemaan on- neaan. Ovi sanoo ”kahdeksan” ja Pekka vastaa ”seitsemän”, muttei pääsekään sisäl- le. Mitä hänen olisi pitänyt vastata?

Yllä olevan ongelmaesimerkin ratkaisemiseen tarvitaan oivaltamista, loogista päättelyä ja laskutai- toa. Tehtävä ei ole puhtaasti matemaattinen eikä sen ratkaiseminen edellytä, että oppilas on hyvä matematiikassa. Matematiikka ei ole vain lukuja ja laskutoimituksia; Se on ennen kaikkea oivaltamista. Koulumatematiikka keskittyy usein liikaa teorian ja laskukaavojen opettamiseen, eikä oppilaan luovuus, ajattelukyky ja matemaattinen ymmärtämys pääse esiin soveltavissa ja avoimissa tehtävissä. Opetussuunnitelman perusteissa (2014, 234) matematiikan opetukseen sisältyy oppilaiden loogisen, täsmällisen ja luovan matemaattisen ajattelun kehittäminen. Lisäksi opetuksen tulee tukea oppilaiden kykyä ratkaista monenlaisia ongelmia yksin, ryhmissä ja koko luokkayhtei- sössä. Vuorovaikutustaidot ovat ihmisten välisen toiminnan perusta. Oppilaille koulu ja oppitunnit ovat keskeinen osa arkea ja sosiaalista elämää. Vaikka hyperteknologia valtaa lasten ja nuorten huomion, kommunikointiin tarvitaan myös kasvotusten tapahtuvaa viestintää.

(6)

Tulevaisuuden koululta vaaditaan ainerajat ylittäviä teemoja ja ilmiöitä. Oppilaat tarvitsevat erilaisia ongelmanratkaisumalleja ja -strategioita, kun ratkovat monialaisia ongelmia yhteisöllisesti, luovasti ja innovoiden. Heuristisilla prosesseilla tarkoitetaan Haapasalon (2011, 16–17) ja Leppä- ahon (2007, 65) mukaan ongelmanratkaisussa tarvittavia strategioita, esimerkiksi apupiirroksia, tehtävien välisten analogioiden muodostamista ja näiden valintaa sääteleviä metakognitioita.

Myös opettajan toimenkuva on muuttumassa oppimisen ohjaajaksi, mahdollistajaksi ja kannusta- van palautteen antajaksi. Luokan yhteinen kokeminen ja ongelmanratkaisu tekevät oppimisesta oppilaslähtöistä, innostavaa ja koukuttavaa. Vuorovaikutuksessa kehittyvät ryhmänjäsenten kuu- lemisen, kuuntelemisen, tunteenilmaisun, päättelyn ja säätelyn taidot. Syksyllä 2016 voimaan tulevassa uudessa perusopetuksen opetussuunnitelmassa huomioidaan teknologisten taitojen ohella myös koulun yhteisöllisyys ja oppilaiden ongelmanratkaisutaidot.

Ongelmanratkaisutaitojen merkitystä korostetaan entisestään, sillä OECD:n (2012, 26) PISA (Prog- ramme for International Student Assessment) -tutkimukseen on otettu uusi tarkastelukohde, ni- mittäin luova ongelmanratkaisu. Perusteena tälle lisäykselle oli se, että työelämässä ja kansalaise- na olemisessa kohdataan päivittäin ongelmia, jotka vaativat monitahoisia ongelmanratkaisutaitoja. Tietokoneiden ja erilaisten laitteiden yleistyessä elämä muuttuu yhä enemmän ennalta- arvaamattomien teknisten ongelmien ratkaisemiseksi. Yksilön ongelmanratkaisun rinnalle OECD toi vuoden 2015 PISA-tutkimukseen yhteisöllisen ongelmanratkaisun. OECD:n (2013, 4) mukaan yhteisöllisesti toteutettu ongelmanratkaisu on yksilötyöskentelyä tehokkaampaa, kun ryhmän- jäsenten erilaiset kokemukset ja tiedot rikastuttavat ratkaisuprosessia. Myös Salo, Kankaanranta, Vähähyyppä ja Viik-Kajander (2011, 27) korostavat ongelmanratkaisukyvyn tarpeellisuutta post- modernissa informaatiotulvassa ja tiedonhaussa.

Ongelmanratkaisua on selvitetty erilaisilla tutkimuksilla. Heuristisen ongelmanratkaisun uranuur- tajana pidetään unkarilaista matemaatikkoa George Pólyaa. Hän julkaisi 1945 kirjan ”How to Solve it” (julkaistu suomeksi 2014 nimellä ”Ratkaisun taito”), missä hän esitti Pólyan ongelmanratkaisumallin. Tähän malliin perustuvia ongelmanratkaisumalleja ovat kehittäneet muun muassa Alan Schoenfeld ja Robert J. Sternberg. Pólyan ongelmanratkaisumalli ja -strategiat ovat edelleen ajan- kohtaisia ja niitä on käytetty vielä 2000-luvulla tehdyissäkin tutkimuksissa (Sukorivanto, Nusanta- ra, Subanji & Chandra 2016; Montague, Krawec, Enders & Dietz 2014; Chang, Wu, Weng & Sung 2012; Näveri, Ahtee, Pehkonen & Hannula 2012).

Zawojewski ja Carmona (2001, 549–553) havaitsivat, että strategioiden ja mallien opettaminen kehitti erityisesti oppilaiden keskinäistä kommunikointia, mikä johti kriittisempään itsenäiseen

(7)

ratkaisujen työstämiseen ja paransi tulosten seurantaa ja vertailua. De Corte, Verschaffel ja Masui (2004, 365) laajensivat ongelmanratkaisun opettamisen oppimisympäristöihin, joiden avulla pyrit- tiin vahvistamaan itsenäistä ja yhteisöllistä oppimista sekä soveltamis-, ajattelu- ja ongelmanrat- kaisukykyjä. Tutkijat kehittivät CLIA-mallin (Competence, Learning, Intervention, Assessment), jolla joukko muita tutkijoita testasi yläkoululaisten ongelmanratkaisua neljän kuukauden ajan.

Tulosten mukaan koeryhmän ongelmanratkaisukyvyt olivat merkittävästi parempia jälkitestauk- sessa ja myöhemmin tehdyssä viivästetyssä testissä. Tutkimuksessa todettiin myös, että koeryh- mä hyödynsi merkittävästi enemmän oma-aloitteisesti heuristisia strategioita. (De Corte ym.

2004, 371–374.) Stylianides ja Stylianides (2014, 8–10) puolestaan toteavat, että oppilaiden us- komukset matemaattista ongelmanratkaisua kohtaan voivat vaikuttaa negatiivisesti oppilaiden ongelmanratkaisukykyyn.

Suomesta haluamme nostaa esille muutamia tämänkin tutkimuksen syntyyn vaikuttaneita tutki- muksia. Laineen, Näverin, Hannulan, Ahteen ja Pehkosen (2011) artikkeli ”Opettajan toiminnan yhteys oppilaiden ongelmatehtävän ratkaisemiseen” innoitti meidät tutkimaan nimenomaan opettajan toiminnan merkitystä osana oppilaiden ongelmanratkaisua. Leppäahon (2007) väitöskir- ja ”Matemaattisen ongelmanratkaisutaidon opettaminen peruskoulussa” antoi meille tutkijoina korvaamatonta tietoa matemaattisesta ajattelusta, ongelmanratkaisusta ja niiden opettamisesta.

Leppäaho (2007, 78) toteaakin, että tietyn ongelmanratkaisustrategian lyhytaikainenkin opettelu parantaa oppilaiden ongelmanratkaisutaitoja vuosiksi eteenpäin. Tämä löydös innosti meidät tutkijoina etsimään menetelmiä, miten edistää alakoulun oppilaiden ongelmanratkaisukykyä.

Tämän käsillä olevan tutkimuksen aiheeksi muotoutuivat oppilaiden ongelmanratkaisuprosessit, kun siirrytään yksilöllisistä ongelmanratkaisutehtävistä yhteisöllisiin menetelmiin. Lisäksi tutkimus tarkastelee yhteisöllistä työskentelyä ja sen suhdetta opettajan toimintaan ja sitä muutosta, kun luokassa otetaan käyttöön uudenlaiset pedagogiset lähestymistavat. Erityisesti tavoitteena on tuottaa kehittämistuotos, jossa prosessinomaisesti tarkastellaan oppimistehtävien ja oppimista- van vaikutusta yhteisöllisessä matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Tarkoituksena on selvittää yhden itäsuomalaisen koulun 6.-luokan oppilaiden ongelmanratkaisuprosesseja ja työskentelyä erilaisten ongelmanratkaisutehtävien parissa.

Ongelmanratkaisua pidetään kaikista oppimisen muodoista kaoottisimpana ja vaikeimmin selitet- tävänä, sillä ei ole vain yhtä mallia, jolla ongelmia selvitetään. Tutkimuksemme teoreettisessa osiossa esittelemme Pólyan, Schoenfeldin ja Sternbergin ongelmanratkaisumallit. Tässä tutkimuksessa käytämme ajatonta, kaikenlaisten, ei vain matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen sovel-

(8)

tuvaa Pólyan mallia, jossa ratkaisuvaiheet yhdistyvät ongelman ymmärtämiseen, ratkaisusuunnitelman laatimiseen ja toteuttamiseen sekä prosessin tulkintaan. Opettajan toiminnan osalta huo- miota kiinnitetään erityisesti Pólyan ongelmanratkaisumallin kolmeen opettajan toiminnan osate- kijään: tehtävän antamiseen, ratkaisuvaiheen ohjaukseen ja tehtävän yhteenvedon toteutusta- paan. Oppilaiden toiminnassa huomio kiinnitetään kommunikoinnin tapoihin, ryhmien työnjakoon sekä ongelmanratkaisutehtävien vaiheiden ja lopputuloksen arviointiin.

(9)

2 YHTEISÖLLINEN OPPIMINEN

Yhteisöllisten ongelmanratkaisutaitojen pohjana on yhteisöllinen oppiminen. Yhteisöllinen oppiminen pohjaa vuorovaikutukselliseen oppimiseen. Jotta saamme kattavan kokonaiskuvan tästä opetusmenetelmästä, on meidän syytä tarkastella ensin vuorovaikutusta opetuksessa. Tästä siirrymme askeleen lähemmäs yhteisöllistä oppimista ja käsittelemme yhteisöllisyyden ja osallisuu- den käsitteitä sekä niiden toteutumisen ehtoja. Yhteisölliseen oppimiseen ja tämän tutkielman pohja-ajatukseen kuuluu ryhmissä sosiaalisen vuorovaikutuksen kautta tapahtuva oppiminen, joten ennen siirtymistä itse yhteisölliseen oppimiseen käymme läpi ryhmän työskentelyä ja oppilasta ryhmän jäsenenä. Viimeiseksi tuomme esiin uuden opetussuunnitelman huomiot yhteisölli- syydestä. Tässä luvussa pyrimme siis luomaan yleiskuvan yhteisöllisen oppimisen peruselemen- teistä, kun taas luvussa 3.10 käsittelemme yhteisöllistä oppimista tarkemmin matematiikan ja ongelmanratkaisun kannalta. Näin pyrimme luomaan kehittämistutkimuksen edellyttämää vahvaa teoriataustaa tutkimuksemme pohjaksi.

2.1 Vuorovaikutus opetuksessa

Yhteisöllinen oppiminen on interaktiivista eli vuorovaikutteista oppimista ja noudattaa näin interaktiivisen oppimisen pääperiaatteita. Helpottaaksemme yhteisöllisen oppimisen kokonaisvaltai- sempaa ymmärtämistä keskitymme tässä alaluvussa avaamaan vuorovaikutuksellisen oppimisen ydinajatuksia. Niitä Jääskelän, Klemolan ja Vallealan (2011, 21) mukaan ovat aktiivinen oppiminen, vastavuoroinen kommunikointi ja kriittinen keskustelu. Jääskelä ym. (2011, 21) listaavat interak- tiivisiksi opetusmenetelmiksi 1. osallistumista aktivoivat menetelmät, 2. ryhmää tukevat mene- telmät, 3. tavat luoda avointa oppimisilmapiiriä ja opettaja-oppilas -suhdetta, 4. rutiinien muut- tamista sekä 5. vastavuoroisuuden ja tasavertaisuuden lisäämistä. Erityisen tärkeää vuorovaikut-

(10)

teisessa oppimisessa on se, että oppilas on aktiivinen oppija passiivisen kuuntelijan sijaan. Näin ollen aktiivisuus, osallisuus ja ennen kaikkea vuorovaikutus ovat keskiössä paitsi kaikissa vuorovai- kutuksellisessa oppimisessa myös yhteisöllisessä oppimisessa.

Aktiivisen oppimisen ydin puolestaan on se, että oppilas puhuu, kuuntelee ja käsittelee tietoa eri tavoin kartuttaen näin osaamistaan. Jotta oppilas näkee oman tekemisensä ja oppimisensa arvon, on tärkeää, että tavoitteet ovat oppilaalle selvät, samoin kuin keinot tavoitteisiin pääsemiseksi (Lundell & Matilainen, 2011, 36). Kun oppilas ymmärtää sen, mitä ja miksi opiskellaan, tulee hän tietoisemmaksi omasta oppimisestaan. Samalla hän oppii itseohjautuvammaksi ja ottaa enemmän vastuuta oppimisestaan. (Opetushallitus 2014, 17). Lundell ja Matilainen (2011, 37) esittävät, että aktiivista oppimista on mahdollista harjoittaa tehtävillä, jotka haastavat oppilaan päättelykykyä ja olennaisen tunnistamista. Kun nämä taidot ovat hallinnassa, oppilaan on mahdollista löytää omaa oppimistaan parhaiten palveleva työskentelytapa. (Lundell & Matilainen 2013, 36–38.) Opetus- suunnitelman perusteissa (2014, 17) korostetaan, että oppimisessa tulee ottaa huomioon tulok- sen sijaan koko prosessi, jota myös oppilaan tulee osata arvioida. Parhaimmillaan aktiivinen oppija osaa soveltaa aiemmin oppimiaan tietojaan ja taitojaan uudenlaisiin tilanteisiin ja ymmärtää, mis- tä hänen oppimisensa muodostuu. Tähän kaikkeen oppilas ei kuitenkaan pysty yksin, vaan tarvitsee opettajalta ohjauksellista tukea (Lundell ja Matilainen 2011, 38; Opetushallitus 2014, 17;

Kontturi 2016, 38–41).

Vuorovaikutukseen ja oppilaan aktiivisuuteen perustuvaa opetusta voidaan toteuttaa hyvin monin keinoin. Vuorovaikutuksellisuus voi Haimin ja Komosen (2011) tutkimuksen mukaisesti näkyä niin, että oppilaat työskentelevät yksilöinä opettajan kanssa ja keskustelevat vastavuoroisesti. Toinen vaihtoehto on, että opettaja ja oppilasryhmät työskentelevät yhdessä, jolloin tapahtuu enemmän myös vertaisoppimista (Salminen, Nykopp, Kiili & Marttunen 2011). Pääasia on, että opetus ei edusta ainoastaan opettajan näkemystä opiskeltavasta aiheesta, vaan opetuksessa ja tiedon ra- kentamisessa ovat mukana opettaja ja oppilaat. Koska tässä tutkielmassa tutkimus on toteutettu pienryhmätyöskentelynä, keskitytään myös teoriassa enemmän ryhmässä tapahtuvaan vuorovaikutukseen.

(11)

2.2 Yhteisöllisyys

Yhteisöllisyys muodostuu Salovaaran ja Honkosen (2011, 41) mukaan kouluissa siitä, että yksittäi- nen oppilas ja koko ryhmä kokevat voivansa osallistua koulun toimintaan. Koulussa viihdytään ja se koetaan turvalliseksi paikaksi. Raina ja Haapaniemi (2007, 23) toteavat näiden tekijöiden paran- tavan oppimista. On tärkeää, että oppilaat, opettajat ja koulun muu henkilökunta kokevat koulu- ympäristön mielekkääksi. Kun koulussa viihdytään, edistää se oppilaiden ja opettajien välistä vuorovaikutusta. Raina ja Haapaniemi (2007, 60–61) toteavat, että vuorovaikutus on yhteisössä paitsi itseisarvoinen tavoite, myös väline, jonka avulla yhteisö saavuttaa asetetut tavoitteet ja halutut tulokset. He kuitenkin täsmentävät, että tieto yhteisöön kuulumisesta ei riitä, vaan tarvitaan aktii- visesti kokemuksia sopimuksellisuudesta, vuorovaikutuksesta ja yhteisyydestä, jotta yhteisöön sitoutuminen mahdollistuu. Toisin sanoen, vuorovaikutus on yhteisöllisyyden elinehto.

Raina ja Haapaniemi (2007, 12–13) korostavat, että yhteisöllisyyden tärkeä tavoite on, että oppilaat tuntevat olevansa tervetulleita luokka- ja kouluyhteisöön. Salovaaran ja Honkosen (2011, 70–

71) mukaan erityisesti nuorille osallisuus on merkitsevää. Yhteisöllisyys voimauttaa, auttaa oppilaita jaksamaan ja lisää itseluottamusta. Turvallisessa koulussa nuori voi mennä pyytämään apua vertaisiltaan ja opettajalta. Epäonnistumista ja virheitä ei tarvitse pelätä, sillä ne kuuluvat elämään ja ne ovat korjattavissa. Klemola ja Kostiainen (2011, 106) käyttävät tästä termiä autenttisuus:

Tunteille annetaan tilaa ja ne saa kokea ja ilmaista. Epäonnistumiset, vaikeudet, ilo ja onnistumiset kuuluvat elämään eikä niitä tarvitse kohdata yksin. Oppilaiden osallistuminen ei kuitenkaan ole jokaisen kohdalla samanlaista: Osa kertoo näkemyksiään ja keskustelee. Osa taas tekee päätökset keskustelematta. Tärkeintä on, että erilaisia toimintatapoja kunnioitetaan.

Rainan ja Haapaniemen (2007, 25) mukaan opettajalla on vastuu koulun yhteisöllisyydestä. Opet- tajan tulisi tiedostaa, että vuorovaikutustilanteista vastuu on aina opettajalla, minkä vuoksi omat tavat toimia toisten kanssa tulisi tiedostaa (Gyekye & Nikkilä 2013, 15). Blomberg (2010, 49) ko- rostaa, että se vaatii opettajalta hyviä tunnetaitoja. Opettajan tulee tunnistaa omat emootionsa ja reaktionsa niihin, jotta hän antaa hyvän mallin oppilailleen vuorovaikutustaidoissa. Myös opetussuunnitelman perusteet (2014) korostavat opettajan kielenkäytön ja vuorovaikutuksen tärkeyttä.

Koulun toimintakulttuurin muutos edellyttää kielteisten piirteiden tunnistamista ja korjaamista.

Aikuisen luottamus oppilaaseen lisää tämän uskoa omiin kykyihinsä. Oppilaiden näkemystä, asian- tuntemusta ja mielipiteitä on kunnioitettava. Tämä kuitenkin edellyttää, että opettaja luopuu

(12)

perinteisestä auktoriteettiroolistaan ohjeiden jakajana ja toiminnan valvojana. Opettajan tulee havaita oppilaiden tuentarve ja toimia sen mukaisesti. Oppilaiden osallistaminen vie aikaa ja opettajien tulee mahdollistaa se. (Salovaara & Honkonen 2011, 70–76.)

Hannulan (2013, 125) mukaan oppimisympäristön tulee tukea oppilaiden, opettajien ja vertaisten välistä vuorovaikutusta siten, että se edistää vuoropuhelua ja ohjaa oppilaita työskentelemään ryhmän jäsenenä. Opetussuunnitelman perusteet (2014, 18) kutsuu tätä sosiaaliseksi pääomaksi.

Oppilaiden tulisi kartuttaa tätä pääomaa, johon kuuluvat ihmisten väliset yhteydet, vuorovaikutus ja luottamus.

2.3 Ryhmä ja oppilas ryhmän jäsenenä

Yhteisönä voidaan pitää koko koulua, mutta yhteisöksi voidaan laskea myös pienempiä yksiköitä, kuten koululuokka, johon kuuluvat kiinteästi luokan opettaja ja oppilaat sekä kouluavustajat. Kou- luluokka voidaan vastaavasti nähdä ryhmänä, jonka sisälle muodostuu erilaisia pienryhmiä. Ryh- mässä on useimmiten kyse oppilaista, jotka muodostavat ryhmän ja sen sisälle pienempiä ryhmiä.

Koulussa ja luokassa vuorovaikutuksen tulee olla vastavuoroista, jotta se edistää oppimista (Sal- minen ym. 2011, 69). Koska koululuokissa tapahtuva vuorovaikutus on pääsääntöisesti opettajan määrittelemää, vaatii muutos ennen kaikkea opettajan roolin muutosta (Hannula 2011, 128–129).

Salminen ym. (2011, 69) toteavat, että osa oppilaista ei kykene hyödyntämään yhteisöllisen työs- kentelyn etuja, koska he ovat tottuneita yksin työskentelyyn. Hannula (2011 129, 132) toteaakin, että oppilaat tarvitsevat opettajalta mallin mielipiteen ilmaisuun ja sen perusteluun. Opettaja toimii ohjaajana, johtajana ja tukijana vuorovaikutuksessa. Oppilaat saavat luottaa siihen, ettei heille koulussa naureta eikä heidän ajatuksiaan tyrmätä. Näin he uskaltavat itsekin ilmaista mieli- piteitään ja perusteluitaan. Koskinen (2011, 75) toteaa, että opettajan on tarjottava oppilailleen tilaisuuksia ilmaista omia ajatuksiaan ja reflektoida niitä. Yksi keino tähän on oppilaiden kysymyksiin vastaaminen vastakysymyksellä. Motivointi ja rohkaisu ovat tärkeitä, jotta oppilaat ymmärtä- vät, miksi keskustellaan. Tärkeää on löytää ryhmään positiivinen asenne, jotta opettajajohtoisuus muuttuu vuorovaikutukselliseksi oppimiseksi. (Koskinen 2011, 74–75.) Haimi ja Komonen (2011, 84) toteavat, ettei monia menetelmällisiä taitoja opita vain opettajaa kuuntelemalla, vaan vuorovaikutuksessa opettajan kanssa.

(13)

Raina ja Haapaniemi (2007, 41) katsovat oppilaiden ryhmätyöskentelyn onnistumisen edellytyk- siksi muun muassa toimivan ryhmän. Oppilaiden mielestä toimivassa ryhmässä kaikki osallistuvat työskentelyn vaiheisiin tasapuolisesti ja jokaisen ryhmän jäsenen osaamista tarvitaan päämäärän saavuttamiseksi. Hyvässä ryhmässä oppilaat ovat samanarvoisia; toisia autetaan ja erilaiset näkö- kulmat koetaan vahvuuksiksi. Tuovinen ja Koskinen (2011, 51) toteavat, että oppilaiden on istut- tava työskennellessään samalla tasolla, tasavertaisesti. Osa ryhmästä ei voi istua lattialla silloin, kun osa istuu penkeillä, sillä se toisi tasa-arvon sijaan hierarkian tuntua. Samoin opettajan on mahduttava liikkumaan ryhmien seassa, jotta hän pystyy seuraamaan ja ohjaamaan työskentelyä (Tuovinen & Koskinen 2011, 50–51). Ryhmien tulee myös keskenään olla niin lähekkäin, että ne pystyvät vaihtamaan ajatuksia toisten ryhmien kanssa (Lundell & Matilainen 2011, 42). Tärkeää on, että vuorovaikutus mahdollistuu monella tasolla. Fyysinen tila ei saa rajoittaa tai estää ajatus- ten ja mielipiteiden vaihtoa.

Tuovinen ja Koskinen (2011, 45) kyseenalaistavat sen, miksi oppilaat pakotetaan yksilötyöskente- lyyn, kun ryhmässä toimiminen on heille luontevaa. Lisäksi oppilaille on Mäkitalo-Sieglin, Kohnlen ja Fischerin (2011) mukaan ominaista hakea vertaistietoa ja -apua, jota voidaan edistää ohjaamal- la oppilaat työskentelemään ryhmissä. Heterogeenisissä ryhmissä eritasoiset oppilaat pääsevät kukin vaikuttamaan ryhmän työskentelyyn omien vahvuuksiensa mukaan eikä niin, että taitavim- mat opettavat ja ohjaavat heikompia. Lundell ja Matilainen (2011, 43) tähdentävät, että opettajan tulee laatia ryhmätehtävät ottamalla huomioon jokainen oppilas. Salmisen ym. (2011, 69) mukaan tehtävien tulee edellyttää oppilailta ja ryhmiltä yhteistä neuvottelua ja ongelmanratkaisua. Yh- deksi keinoksi oppilaiden tasapuolisen työskentelyn edistämiseksi Lundell ja Matilainen (2011, 43) esittävät itsearvioinnin ryhmän toiminnasta ja sen jäsenten aktiivisuudesta. He myös huomauttavat, että oppilaiden kanssa yhteistyössä suunniteltu oppisisältö sitouttaa nämä työskentelyyn.

Rainan ja Haapaniemen (2007, 55–57) mukaan ryhmään sitoutuminen edellyttää pidempiaikaista yhteistyötä. Myös Salovaara ja Honkonen (2011, 44) toteavat, että ryhmän kehittyminen toimi- vaksi, turvalliseksi ja yhteistyökykyiseksi vaatii aikaa ja oppilaiden tutustumista toisiinsa ja vah- vuuksiinsa. Sekä Raina ja Haapaniemi (2007, 59) että Salovaara ja Honkonen (2011, 44) tähdentä- vät, että näin oppilaat oppivat toistensa vahvuudet, heikkoudet ja optimaalisen työnjaon. Kun ryhmätyöskentely edustaa vain taitavimman ja hallitsevimman oppilaan tietämystä ja mielipidet- tä, ei ryhmässä työskentely hyödytä muita (Raina & Haapaniemi 2007, 59).

Vastuu työskentelystä on ryhmän kaikilla jäsenillä tasapuolisesti, mutta ryhmiin tarvitaan myös johtajuutta. Sen ilmenemismuodot vaihtelevat. Tärkeää kuitenkin on, että ryhmällä on oltava

(14)

yksilö, joka johtaa työskentelyä ja vie sitä systemaattisesti eteenpäin. Johtajuus ei kuitenkaan tarkoita valtaa. Hurme (2010, 43) jäsentää tätä metakognitiivisen säätelyn viestittämisenä. Jonkun ryhmän jäsenistä on ohjattava ryhmää kokonaisuutena eteenpäin. Muiden jäsenten tulee reagoi- da aloitteen tehneen yksilön viestintään, jotta metakognitio on jaettua ja ratkaisu sosiaalisesti muodostettu. Jotta yksi ryhmän jäsenistä kykenee ohjaamaan ongelmanratkaisua, vaatii se onnis- tuakseen muita antamaan samantasoista palautetta hänen metakognitiivisiin ehdotuksiinsa.

(Hurme 2010, 44, 51.) Rainan ja Haapaniemen (2007, 48) mukaan yhteisen tietoisuuden kehittyminen vaatii aikaa, vuorovaikutusta, keskinäistä keskustelua ja toimintaa.

Ryhmätyöskentely ei ole aina helppoa. Raina ja Haapaniemi (2007) huomauttavat, että usein alun toimivuuden jälkeen ryhmien työskentelyssä tulee suvantovaihe. Tässä vaiheessa opettajan ei kuitenkaan kannata lähteä hajottamaan ryhmiä. Ryhmän jäsenet eivät sitoudu toisiinsa ja oppi- mistehtäviin eivätkä he opi ratkaisemaan ristiriitoja, jos aina konfliktien tullessa ryhmäkokoonpa- not muuttuvat. (Raina ja Haapaniemi 2007, 48–49.) Konflikti voi Salovaaran ja Honkosen (2010, 44) mukaan kehittää turvallista ja toimivaa ryhmää eteenpäin, mikäli ryhmän sisällä annetaan tukea toisille ja ollaan avoimia. Kerran tehtyyn ryhmäjakoon tulee suhtautua joustavasti, mikäli hienosäätöä tarvitaan (Raina & Haapaniemi 2007, 47). Yhteisöllisten menetelmien käyttö ei auto- maattisesti tarkoita sitä, että kaikki luokan oppilaat työskentelevät ryhmissä. Toisinaan ryhmä- työskentelyyn tarvittavia taitoja täytyy harjoitella, jotta ryhmässä työskentely onnistuu. Kun ryh- mätaidot hallitaan, voi oppilas siirtyä yksilötyöskentelystä ryhmään. Näin otetaan huomioon oppilaiden erilaiset sosiaaliset taitotasot. Vaikka ryhmätyö ja ratkaisujen tekeminen voi olla helpom- paa tuttujen ihmisten kanssa, työskentely entuudestaan tuntemattomien ihmisten ryhmissä voi tarjota uusia näkökulmia. Joka tapauksessa toimivassa ryhmässä toimiminen kasvattaa itsetunte- musta ja muiden kunnioitusta. (Raina & Haapaniemi 2007, 83.)

Salovaara ja Honkonen (2011, 86) toteavat, kuinka ryhmässä toimiminen edellyttää emotionaali- sia taitoja. Lapsilla ja nuorilla ei aina ole keinoja käsitellä omia tunteitaan ja siksi nämä taidot on opittava. Salovaaran ja Honkosen (2010, 85) sekä Rainan ja Haapaniemen (2007, 72) mukaan lap- sena opitut emotionaaliset taidot säilyvät läpi elämän ja auttavat työelämään sopeutumisessa.

Tästä syystä vuorovaikutuksellisia taitoja on harjoiteltava jo koulussa. He kuvaavat näitä taitoja yhteisötaitoina eli vuorovaikutustaitoina. Yhteisöllinen, itsensä tunteva ja vuorovaikutteinen yksi- lö osaa kohdata ja arvostaa erilaisia ihmisiä. Hän sopeutuu erilaisiin tilanteisiin ja hallitsee oman käyttäytymisensä. (Raina & Haapaniemi 2007, 40.) Koulun ryhmätoiminta opettaa aikuisuuden tärkeitä sosiaalisen kanssakäymisen taitoja.

(15)

Yhteistoiminnallinen oppiminen on interaktiivisen oppimisen eräs muoto. Lundell ja Matilainen (2013, 36) määrittelevät yhteistoiminnallisen oppimisen yhteiseksi opiskeluksi, joka tähtää yhtei- seen tavoitteeseen. Lundell ja Matilainen jatkavat, että yleensä yhteistoiminnallista oppimista harjoitetaan pienryhmissä, joissa oppilaiden erilainen tietämys pääsee oikeuksiinsa ja kasvattaa tehtävien ratkaisujen laaja-alaisuutta. Tuovisen ja Koskisen (2011, 47) mukaan yhteisöllinen oppiminen on ryhmätyötä, jossa kaikki ryhmäläiset osallistuvat ratkaisun löytämiseen. Perinteisessä opettajajohtoisessa opetustilanteessa luokka ei pääse ryhmäytymään eivätkä oppilaat pääse tuo- maan esiin taitojaan ja roolejaan. Yhteisölliset menetelmät sitouttavat oppilaat luokkayhteisöön- sä, jolloin he pystyvät tarjoamaan ja saamaan vertaistukea. Hyvät oppimistulokset edellyttävät, että oppilaat kokevat koulunkäynnin viihtyisäksi ja turvalliseksi. (Raina & Haapaniemi 2007, 12–

13, 23, 33.) Oppimisympäristön tulisi Hannulan (2011, 125) mukaan tukea luokan sisällä tapahtuvaa vuorovaikutusta, jotta koulussa olisi avoin, rohkaiseva ja myönteinen ilmapiiri.

2.4 Yhteisöllinen oppiminen

Häkkinen ja Arvaja (1999, 2) erottelevat yhteisöllisen oppimisen ja yhteistoiminnallisen oppimisen seuraavasti: Yhteisöllinen oppiminen viittaa tiedon rakentelun ja kehittelyn kulttuuriin, jossa oppiminen nähdään lisääntyneenä kykynä osallistua omaa pienryhmää laajemman oppijayhteisön toimintaan. Yhteistoiminnallisessa oppimisessa pienryhmän jäsenet rakentavat yhteistä ymmär- rystä oppimisilmiöistä. Tämän he tekevät jakamalla tehtävän pienempiin osiin yhteisöllisiksi teh- täviksi, jotka yhdistetään ryhmä yhtenäiseksi tuotokseksi. Yhteistä näille kahdelle käsitteelle on Häkkisen ja Arvajan (1999, 2) mukaan se, että pienryhmien keskusteluissa luodaan sosiaalisen vuorovaikutuksen kautta kokonaan uutta tietoa.

Yhteisöllisellä oppimisella on pitkä perinne ja sen tutkimustraditio on Vygotskyn sosiokulttuurises- sa ja neo-piagetilaisten sosiokognitiivisessa konfliktissa. Vygotskyn sosiokulttuurisen näkemyksen mukaan uusien asioiden omaksuminen edellyttää aina sosiaalista kanssakäymistä. Vygotskyn aja- tusmallissa painopisteenä on kollaboraation sijasta kyvykkäämmän henkilön ohjauksen merkitys, kun taas neo-piagetilaisten näkemys pohjautuu samalla kehitystasolla olevien lasten yhteisen toiminnan tuloksena syntyviin kognitiivisiin konflikteihin. Kognitiivisella konfliktilla tarkoitetaan hetkeä, jossa oppija huomaa, että hänen omat tietorakenteensa ovat puutteellisia tai soveltumat- tomia. Näiden konfliktien ratkaiseminen voi johtaa käsitteelliseen muutokseen. Tätä voidaan havainnollistaa esimerkin kautta: Lapselle näytetään savipalloa. Tämän jälkeen pallosta muotoillaan

(16)

tanko. Alle kouluikäisen mielestä tangossa on vähemmän savea kuin pallossa. Lapsi päättelee asian saven pituuden tai paksuuden eli yhden ominaisuuden perusteella. Kognitiivinen konflikti syntyy silloin, kun lapsi ei kykene päättämään, mihin hän perustaisi päätelmänsä. Kognitiivisten konfliktien ratkaiseminen vaikuttaa oppimiseen merkittävästi, sillä ne saavat oppilaat uudelleen- organisoimaan ja -jäsentämään tiedonrakenteitaan. (Häkkinen & Arvaja 1999, 1–2.)

Pönkä, Impiö ja Vallivaara (2012, 12–14) tuovat esiin näkemyksen siitä, että yhteisölliseen oppimiseen liittyy olennaisena osana myös yhteisöllinen tiedonrakentaminen. Tämä tarkoittaa tavoit- teellista työskentelyä käsitteellisten aikaansaannosten, kuten teorioiden tuottamiseksi. Pienryh- män tavoitteena on löytää yhteisöllisen tiedonrakentamisen ongelmanratkaisuja. Ryhmä rakentaa tietoa esimerkiksi keskustellen, esittämällä ja perustelemalla omia ideoitaan ja puntaroiden muiden ryhmän jäsenten ehdotuksia sekä jatkojalostamalla niitä, kunnes ryhmä onnistuu ratkaisemaan ongelman. Oppilaiden ajattelu paranee, kun oppilas joutuu pukemaan ideoitaan kielelliseen muotoon. Hän huomaa tässä yhteydessä aukkoja ajattelussaan ja käsityksissään ideansa toimi- vuudesta. Tässä on Pöngän ym. (2012, 12–13) mukaan kyse mielensisäisten ja näkymättömien ajatusprosessien ulkoistamisesta eli toisin sanoen ajatusprosessin tekemisestä näkyväksi. Samalla oppilaiden itseohjautuvuuden ja ryhmässä toimimisen taidot paranevat. Luokan ilmapiiri on positiivinen ja sitoutunut (Aho, 2012, 19). Jauhiaisen (2012, 36) mukaan oppilaiden yhteisöllisyys ilmenee ryhmätaidoissa, vastuullisuudessa, oppimisessa ja opiskelijoiden yhteisöllisyyden kehitty- misessä. Tärkeää siis on, että ryhmä menee tiedollisessa ja taidollisessa toiminnassaan eteenpäin.

Yhteisöllisen oppimisen ja tiedonrakentelun prosessin aikana oppilaat auttavat vastavuoroisesti toisiaan, mikä auttaa heitä kohti korkeatasoisempaa ymmärrystä. Samalla heidän käsitteellinen ymmärryksensä paranee enemmän kuin tilanteessa, jossa he ratkaisevat yksin ongelmia. Myös Häkkinen ja Arvaja (1999, 3) esittävät, että tuloksena voi muodostua ainutlaatuisia tuotoksia, joita ei voitaisi saavuttaa yksinomaa yhteistyössä vertikaalisen työnjaon ja yksilöllistettyjen tavoittei- den avulla. Yhteisöllisen oppimisen kautta voi syntyä enemmän kuin erillisten jäsenten tuotosten summan avulla. Työnjakoa voi hyödyntää myös yhteisöllisessä oppimisessa, mutta tällöin se on luonteeltaan horisontaalista. Yksi ryhmän jäsenistä voi toimia tehtävätasolla ja toinen taas meta- tasolla. Tällöin edellytetään, että oppilaat tarkkailevat toisiaan, jotta työskentely onnistuu.

Yhteisöllisen työskentelyn onnistumisen edellytyksenä on se, että pienryhmän jäsenet sitoutuvat yhteisen oppimistavoitteen saavuttamiseen ja ongelman ratkaisemiseen. (Pönkä ym. 2012, 13).

Häkkisen ja Arvajan (1999, 3) mukaan on tärkeä ymmärtää, miten mentaaliset prosessit nivoutu- vat toisiinsa ja oppimisympäristön ulkoisiin faktoreihin, jotta oppimista yhteisöllisissä oppimisti-

(17)

lanteissa voidaan tukea parhaalla mahdollisella tavalla. Esimerkiksi sosiaalinen yhteenkuuluvuus ja turvallinen ilmapiiri tukevat Jonesin ja Issroffin (2005, 406) mukaan onnistunutta yhteisöllistä oppimista. Yhteisöllinen työskentely ei välttämättä ala sujua oppilailta yhtä vaivattomasti kuin perinteinen ryhmätyöskentely, vaan oppilaat saattavat tarvita opettajan ohjausta yhteisöllisten työtapojen ja oppimisprosessien omaksumisessa, erityisesti neuvottelutaitojen oppimisessa (Nussbaum, Alvarez, McFarlane, Gomez & Claro 2009, 147).

Opettajan rooli yhteisöllisessä oppimisessa on toimia kannustajana ja ohjaajana (Hyvönen & Kuk- konen, 2012, 27). Myös esimerkin antaminen on tärkeää. Yhteisöllinen oppiminen vaatii innostus- ta ja sopeutumista oppilailta ja opettajalta. Opettajan ja oppilaan välinen yhteisöllisyys ilmenee keskinäisessä emotionaalisessa tilassa, tasavertaisuudessa, palautteen antamisessa, tuessa ja rohkaisussa. Opettajan ohjauksellinen ja tukeva rooli on tärkeä vuorovaikutuksessa. Sen kautta opettaja muuttuu tiedon jakajasta oppimisprosessin mahdollistajaksi (Jauhiainen, Pesola, Pulkki- nen, Viitala, 2012, 84). Keskinäinen tuntemus ja luottamus helpottavat oppimista ja palautteen antamista. (Jauhiainen, 2012, 36.) Opettajan tärkein tehtävä onkin oppilaidensa motivointi sekä motivaation ylläpitäminen läpi työskentelyn (Koskinen, 2011, 75; Koskinen & Tuovinen 2011, 48;

Lundell & Matilainen 2011, 44). Tässä mielessä yhteisöllinen oppiminen pitää sisällään enemmän kuin oppilasryhmän tiedollisen toiminnan tukemisen, sillä opettajan ohjauksellisella ja tukevalla roolilla on laajempi merkitys luokkahuoneessa. Tämä ilmenee niin tiedollisella, taidollisella kuin sosio-emotionaalisellakin tasolla (ks. Arvaja, 2005).

2.5 Yhteisöllisyys opetussuunnitelmassa

Opetussuunnitelma 2014 astuu voimaan syksyllä 2016 ja siksi Suomen kouluissa laaditaan parhail- laan koulukohtaisia opetussuunnitelmia. Yhteisöllisyys ja yhteisöllinen oppiminen näkyvät laajalti opetussuunnitelman eri osissa.

Opetussuunnitelman perusteissa (2014, 17) painotetaan oppilaan aktiivista roolia. Oppiminen tulee tapahtua vuorovaikutuksessa ja niin, että otetaan huomioon koko oppimisprosessi. Kun oppilas on tietoinen omasta oppimisestaan, osaa hän toimia itseohjautuvammin. Samaan aikaan oppilasta ohjataan ymmärtävään oppimiseen, jotta hän osaa yhdistää uutta oppia aiempaan tie- topohjaansa monista eri näkökulmista. Oppilaan esittämille kysymyksille ja argumentoinnille tulee

(18)

antaa tilaa ja häntä tulee rohkaista itsensä, tunteidensa, ajatustensa ja ideoidensa ilmaisemiseen eri tavoin.

Seuraava lainaus on suoraan opetussuunnitelman (2014, 15) luvusta 2. Opetuksen arvoperusta:

”Jokaisella on oikeus kasvaa täyteen mittaansa ihmisenä ja yhteiskunnan jäsenenä.

Tässä oppilas tarvitsee kannustusta ja yksilöllistä tukea sekä kokemusta siitä, että kouluyhteisössä häntä kuunnellaan ja arvostetaan ja että hänen oppimisestaan ja hyvinvoinnistaan välitetään. Yhtä tärkeä on kokemus osallisuudesta ja siitä, että voi yhdessä toisten kanssa rakentaa yhteisönsä toimintaa ja hyvinvointia.”

Salovaara ja Honkonen (2011) sekä Raina ja Haapaniemi (2007) korostavat, että yhteisöllinen koulu ja luokka tukevat oppilaan kasvua edellä kuvatusti. Vuorovaikutus, yhteisöllisyys, turvallisuus ja osallisuus saavat oppilaan tuntemaan itsensä merkitykselliseksi yhteisönsä jäseneksi. Koulun tavoite on oppilaiden yhteisötaitojen kehittäminen, jotta he rohkaistuvat osallistumaan, esittämään omia mielipiteitään ja yhteiskunta saa itseään ja muita kunnioittavia jäseniä. Opetussuunnitelman perusteissa (2014, 16) opetuksen arvoperustassa todetaan, että sivistävän koulutuksen kuuluu vahvistaa oppilaiden yksilöllisiä ja yhteisöllisiä taitoja, toisen ihmisen näkökulman huomioimista ja tietoon perustuvaa harkintaa. Vuorovaikutteinen ja yhteisöllinen oppiminen mahdollistavat tä- män.

Käsite oppiva yhteisö (Opetushallitus 2014, 27) kuvaa koulua yhteisönä, joka kannustaa jäseniään oppimiseen. Pohjana tämän kaltaiselle yhteisölle on jäsentenvälinen vuorovaikutus. Yhdessä tekeminen, yhteiset kokemukset ja toisten rohkaisu ovat tärkeässä roolissa toimivan yhteisön ra- kentamiseksi. Yhteisön tulee tukea kunkin jäsenen realistisen itsetunnon ja minä-käsityksen luo- mista ja tilaa annetaan virheille ja niistä oppimiselle.

Aiemmissa luvuissa kuvattu yhteisöllisyys, osallisuus ja turvallisuus sisältyvät opetussuunnitelman perusteiden (2014) oppiva yhteisö -käsitteeseen. Oppiva yhteisö on turvallinen, mielekäs, luotta- muksellinen ja vertaistukea tarjoava. Tavoitteena on, että koulu yhteisönä heijastaa yhteiskuntaa, jossa epäonnistuminen hyväksytään ja täydellistä yksilöä ei ole. Tärkeää on arvostaa itseään ja muita ja samalla kohdistaa rakentavaa kriittistä arviointia omaan ja muiden työskentelyyn. Uusi opetussuunnitelma edellyttää vuorovaikutuksellisia opetusmenetelmiä. Erityisesti yhteisöllinen ongelmanratkaisuun perustuva oppiminen vaikuttaa tarjoavan keinon toteuttaa uutta opetus- suunnitelmaa.

(19)

3 ONGELMANRATKAISU

Tässä tutkielmassa keskitymme tarkastelemaan niitä tekijöitä, jotka johtavat kohti yhteisöllisem- pää ongelmanratkaisua. Vaikka ongelmanratkaisua ei voida liittää ainoastaan yhteen oppiainee- seen, on se kuitenkin iso osa peruskoulun matematiikkaa. Koska yksi osa kehittämistutkimusta on vahva teoriatausta, tarkastelemme ongelmanratkaisua monesta näkökulmasta voidaksemme toteuttaa tutkimuksen mahdollisimman monipuolisesti. Matemaattisen ongelmanratkaisun ymmär- tämiseksi määrittelemme aluksi, mitä ongelmanratkaisu on ja miten se linkittyy perusopetukseen.

Seuraavaksi siirrymme tarkastelemaan matemaattista ongelmanratkaisua, ongelmanratkaisustrategioita, -malleja ja -tehtäviä. Tuomme myös esiin sen, miten ongelmanratkaisua voidaan opettaa ja oppia sekä mitä yhteisöllinen ongelmanratkaisu on.

3.1 Ongelmanratkaisun määrittelyä

Melkein kaikkeen, mitä oppilaat tekevät koulussa liittyy jonkinlainen ongelma: äidinkielessä poh- ditaan kielenkäyttöön ja vuorovaikutukseen liittyviä asioita, biologiassa tutustutaan ympäristöön ongelmatehtävien kautta ja matematiikassa ratkotaan laskupulmia. Oppilaat osoittavat tietonsa ja taitonsa vastaamalla lukuisiin kysymyksiin ja he ratkaisevat päivittäin erilaisia ongelmanratkaisu- tehtäviä, joista otamme muutaman esimerkiksi.

Esimerkki 1: Lehti ilmestyy 9 kertaa vuodessa ja sen irtonumero maksaa 6 euroa.

Kalle tilaa lehden vuodeksi hintaan 45 euroa. Kuinka monta prosenttia Kalle sääs- tää, kun hän tilaa lehden vuodeksi eikä osta lehteä irtonumeroina?

(20)

Esimerkki 2: Minna on muuttanut pienelle saarelle, jossa on vain kaksi kampaajaa.

Toisella on moderni kampaamo ja tyylikäs ruskea polkkatukka. Toisen tukka on epämääräisen värinen harakanpesä, ja hänen kampaamonsa toimii rumassa rötte- lössä. Kummalla kampaajalla Minnan kannattaa leikkauttaa tukkansa? (Oppi & ilo 2014, 78.)

Esimerkki 3: Laita kaksi tippaa punaista elintarvikeväriä keitinlasille, jossa on vettä.

Kuumenna vettä hitaasti. Mitä tapahtuu elintarvikevärille?

Esimerkki 4: Rakenna hammastikuista silta.

On ymmärrettävää, että nämä ongelmat eroavat toisistaan vaikeusasteeltaan, ajattelultaan ja oppiainesidonnaiselta tiedoltaan. Yllä oleva esimerkki 1 vaatii matemaattista osaamista, toinen loogista päättelyä, kolmas havainnointikykyä ja viimeinen mittaa avaruudellista hahmottamista sekä insinööritaitoa. Esimerkkitehtävillä on kaksi yhtäläisyyttä. Ensinnäkin niiden ratkaiseminen vaatii päämäärätietoista ajattelua. Toiseksi niiden ratkaiseminen edellyttää metakognitiota, joka tarkoittaa tietoisuutta henkisistä prosesseista sekä niiden hallinnasta. (Davidson & Sternberg 1998, 47.)

Ongelmanratkaisulle on useita erilaisia määritelmiä. Saariluoma (1990, 101) on koonnut Deweyn, Newellin ja Simonin sekä Pólyan tekstien pohjalta määritelmän:

”Ongelmanratkaisu on ajatteluprosessi, joka syntyy ongelmatilanteessa. Ongelma- tilanteessa ratkaisijalla on aina jokin tavoite, jonka hän pyrkii saavuttamaan, mutta ei kykene saavuttamaan sitä välittömästi käytettävissä olevien keinojen avulla.”

Yllä olevan määritelmän mukaan ongelmanratkaisuprosessiin kuuluu sen käynnistäjä eli ratkaisijan motivaatio ongelman ratkaisemiseksi. (Leppäaho 2007, 41.)

Haapasalon (2011, 17) mukaan on tärkeää ymmärtää ero ongelmanratkaisun ja ongelman ratkaisun välillä. Yhteen kirjoitettuna termi tarkoittaa koko prosessia, kun taas erikseen kirjoitettuna se tarkoittaa pientä osaa koko ongelmanratkaisuprosessista eli lähinnä ratkaisun esittämistä tai esi- tettyä ratkaisua.

Ongelma on Haapasalon (2011, 16–17) mukaan tilanne, johon liittyy yksilön kannalta ristiriita- ja epätasapainotila, joka saa aikaan päämäärähakuista ajattelutoimintaa ja pyrkii poistamaan ongelman ja löytämään ratkaisun. Ongelmanratkaisua voidaankin kuvata prosessina, jossa oppija hyödyntää aikaisemmin oppimiaan sääntöjä uudessa tilanteessa. Ongelma ei kuitenkaan ole ongelma, ellei sen ratkaisemiseen tarvita ajatuksia liikkeelle panevia ja niitä ylläpitäviä heuristisia

(21)

prosesseja, joita ovat strategiat ja näiden valintaa säätelevät metakognitiot. Ongelmanratkai- suprosessi sisältää aina ongelmaan orientoitumisen, ongelman työstämisen ja sen ratkaisemisen sekä ratkaisun tulkinnan.

Ongelmanratkaisu on käytännön taito, joka vaatii harjoittelua erityyppisten ongelmien ratkaisemisessa, löydettyjen ratkaisujen arvioimisessa ja perustelemisessa sekä uusien ongelmien muotoi- lussa (Leppäaho 2007, 41). Ongelmanratkaisun saatetaan ajatella virheellisesti kuuluvan ainoastaan matematiikkaan tai luonnontieteisiin. Se kuuluu kuitenkin aivan kaikkeen, johon sisältyy ongelma, jota ei pystytä ratkaisemaan suoraan ilman pohdintaa ja aikaisempien tietojen soveltamista.

3.2 Ongelmanratkaisutaidot ja tulevaisuuden taidot perusopetuksessa

Perusopetuksen yhtenä tehtävänä nähdään oppilaiden omien vahvuuksien löytäminen ja tulevaisuuden rakentaminen oppimisen keinoin. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteissa 2014 tulevaisuuden taidot nähdään muun muassa laaja-alaisina osaamiskokonaisuuksina, jotka ovat 1) Ajattelu ja oppimaan oppiminen, 2) Kulttuurinen osaaminen, vuorovaikutus ja ilmaisu, 3) Itsestä huolehtiminen ja arjen taidot, 4) Monilukutaito, 5) Tieto- ja viestintäteknologinen osaaminen, 6) Työelämätaidot ja yrittäjyys sekä 7) Osallistuminen, vaikuttaminen ja kestävän tulevaisuuden rakentaminen. Näillä pääpiirteissään tarkoitetaan tietojen, taitojen, arvojen, asenteiden ja tahdon muodostamaa kokonaisuutta. (Opetushallitus 2014, 18–20.)

Ajattelun ja oppimaan oppimisen taidoissa oppilaita kehotetaan miettimään asioita eri näkökul- mista, etsimään uutta tietoa ja pohtimaan ajattelutapojaan. Oppijoita kannustetaan kysymään ja hakemaan vastauksia, kuuntelemaan toisten näkemyksiä ja rakentamaan uutta tietoa. Heitä ohjataan hyödyntämään tietoa itsenäisesti ja yhteisöllisesti ongelmanratkaisuun, argumentointiin, päättelyyn ja johtopäätösten tekemiseen. Oppijoita motivoidaan ikäkaudelle soveltuvien ongelmanratkaisu- ja tutkimustehtävien avulla. Heitä myös rohkaistaan kyseenalaistamaan havainto- jaan sekä huomaamaan, että tieto voi olla ristiriitaista tai epäselvää. Monilukutaito kehittää oppilaiden tiedonhankinta-, muokkaus-, yhdistely-, esittämis- ja arviointikykyä. Se myös tukee oppijoi- den kriittisen ajattelun ja oppimisen taitojen kehittymistä. (Opetushallitus 2014, 20–23, 99.)

(22)

3.3 Matemaattinen ongelmanratkaisu

Perusopetuksen opetussuunnitelmassa 2014 todetaan matematiikan yhdeksi tehtäväksi se, että aineen opetus luo perustan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle. Sen avulla voidaan parantaa myös oppilaiden kykyä käsitellä tietoa ja ratkaista ongelmia (Opetushallitus 2014, 135). Matemaattinen ongelmanratkaisu kuuluu tärkeänä osana matemaattisen osaamisen kehittämiseen.

Matemaattiseksi ongelmaksi ajatellaan usein sanallisia, soveltavia tai pulmatehtäviä, jotka eivät ole ratkaistavissa puhtaasti matemaattisen laskutoimituksen avulla, vaan vaativat ratkaisijaltaan pohdintaa ja päättelyä. Matemaattiseksi ongelmaksi tehtävän tekee se, tarvitaanko sen ratkaisemisessa matematiikan keinoja. Se, onko jokin tehtävä ongelma vai rutiinitehtävä riippuu myös sen ratkaisijasta, esimerkiksi yhteenlasku on ongelma 1.-luokkalaiselle, mutta rutiinitehtävä yläkoulu- laiselle. (Leppäaho 2007, 39.)

Matemaattinen ongelmanratkaisu voidaan määritellä ajatteluprosessiksi, jossa ratkaisija etsii uutta informaatiota ja hyödyntää aiempia matemaattisia tietojaan ongelmatilanteen ymmärtämiseksi ja sen ratkaisemiseksi. Tätä määritelmää voidaan havainnollistaa Nunokawan (2005, 327–328) matemaattisen ongelmanratkaisukaavion kuvio 1 avulla.

KUVIO 1. Käsitys matemaattisesta ongelmanratkaisusta Nunokawan (2005, 328) mukaan

Matemaattisen ongelman tarkastelu aloitetaan Nunokawan mallissa tilanteesta, jossa aikaisem- paa matemaattista tietoa ei voida soveltaa suoraan. Voidakseen ratkaista tehtävän matemaattisil-

(23)

la tiedoillaan, tulee ratkaisijan muokata tehtävää tai etsiä uusia aspekteja [ks. Kuvio 1 kohta (1)].

Matemaattisessa ongelmanratkaisussa on pääasiallisesti kaksi eri vaihetta: Matemaattisen tiedon hyödyntäminen tutkimalla ongelmatilannetta (kohta 1) ja uuden tiedon saaminen ongelmatilan- teesta (kohta 2). Jos ongelma ei ratkea, jatkaa oppija ongelman prosessointia ja hyödyntää matemaattista tietoaan (kohta 3). Kohdassa (3’) ratkaisijan matemaattiseen tietoon voi yhdistyä ongelmatilanteen pohjalta matemaattisia kokonaisuuksia tai uutta informaatiota esimerkiksi kaavoja tai matemaattisia teoreemoja. Ongelmanratkaisussa käytetyt menetelmät tai niiden puute saattaa synnyttää uusia ideoita tai menetelmiä (kohta 4). (Nunokawa 2005, 327–328.)

3.4 Matemaattinen ajattelu ja ongelmanratkaisu

Matemaattiseen ajatteluun kuuluu ajattelu, kieli ja ymmärtäminen. Ne ovat Leinosen (2005, 34–

35) mukaan sidoksissa toisiinsa, mutta myös oppimiseen. Monet tutkijat (Pólya 2014; Mason, Burton & Stacey 2010; Schoenfeld 1985) ovat esittäneet, että matemaattisen ajattelun ydin on ongelmanratkaisu. Masonin ym. (2010, 9) mukaan matemaattista ajattelua kehittää parhaiten sellainen ongelmatilanne, jota ei pystytä ratkaisemaan muutamassa minuutissa.

Matemaattinen osaaminen voidaan Kilpatrickin, Swaffordin ja Findelin (2001, 116) mukaan jakaa viiteen tekijään: 1) Konseptuaalinen ymmärtäminen (conceptual understanding), 2) Proseduraali- nen sujuvuus (procedural fluency), 3) Strateginen kompetenssi (strategic competence), 4) Sovel- tava päättely (adaptive reasoning) ja 5) Yritteliäisyys (productive disposition). Nämä tekijät eivät ole itsenäisiä, vaan jokainen niistä vastaa eri aspekteja monitahoisesta kokonaisuudesta. Konsep- tuaalinen ymmärtäminen tarkoittaa sitä, että yksilöllä on ymmärrys matemaattisista käsitteistä, operaatioista ja näiden suhteista. Proseduraalinen sujuvuus on yksilön kyky matemaattisten me- nettelytapojen joustavaan, tarkkaan, tehokkaaseen ja tarkoituksenmukaiseen suorittamiseen.

Strategiseen kompetenssiin kuuluu kyky matemaattisten ongelmien muotoiluun, esittämiseen ja ratkaisemiseen. Soveltavassa päättelyssä yksilö pystyy loogiseen ajatteluun, reflektointiin, selityk- siin ja perusteluihin. Yritteliäisyys puolestaan sisältää yksilön asenteen matematiikkaa kohtaan, mikä ilmenee hänen ahkeruudessaan ja panostuksessaan. (Kilpatrick ym. 2001, 116.) Matemaatti- sen osaamisen tekijät ovat toisistaan riippuvaisia ja punoutuneet toisiinsa kuin sähkökaapeli (Ku- vio 2).

(24)

KUVIO 2. Matemaattisen osaamisen tekijät Kilpatrickia ym. mukaillen (2001, 117)

Matemaattisen ymmärtämisen prosessia voidaan Pirien ja Kierenin (1994) mukaan kuvata kuvion 3 mukaan (viitattu lähteessä Leppäaho 2007, 34).

KUVIO 3. Matemaattisen ymmärtämisen ja ajattelun kehittyminen Pirien ja Kierenin (1994) mukaan (viitattu lähteessä Leppäaho 2007, 34)

Oppilaan matemaattisen ymmärtämisen lähtökohtana voidaan pitää alkeistietämisen vaihetta, joka sisältää oppilaan pohjatiedot niistä käsitteistä, joita hän pyrkii ymmärtämään. Esimerkiksi pinta-alan laskemisen opettelua varten oppilaan tulee osata ainakin kerto-, yhteen- ja vähennys- lasku. Mielikuvan muodostamisen vaiheessa oppilas käyttää ja yhdistelee esitietojaan uudella tavalla. Opettajan kannattaa hyödyntää havaintovälineitä tässä vaiheessa, koska oppilaan oman toiminnan kautta oppilas pystyy muodostamaan mielikuvan opeteltavasta asiasta. Seuraavassa mielikuvan omaamisen vaiheessa oppilas ei tarvitse konkreettisia välineitä avukseen, vaan pystyy käsittelemään asioita mielessään. Ominaisuuksien huomaamisen vaiheessa oppilas osaa selittää käsitteen ominaisuuksia ja rakennetta. Esimerkiksi pinta-alan yhteydessä oppilas pystyy havaitse- maan ja kehittelemään strategian pinta-alan laskemiseen. (Leppäaho 2007, 34–35.)

Formalisoinnin vaiheessa oppilas ei tarvitse enää mielikuvia käsitteestä avukseen, vaan hän pystyy toimimaan pelkkien symbolien avulla. Oppilas osaa esimerkiksi soveltaa oppimaansa laskusään- töä. Havaitsemisen vaiheessa oppilas pystyy koordinoimaan ja kontrolloimaan toimintaansa ja

(25)

osaa luoda matemaattisen väittämän ratkaisemalleen tehtävälle. Jäsentämisen vaiheessa oppilas kykenee perustelemaan väitteensä loogisesti tai matematiikan keinoin argumentoiden. Viimeises- sä keksimisen vaiheessa oppilaan ymmärrys käsitteestä on jäsentynyt ja laskutoimitukset ovat automatisoituneet. Oppiminen ei tapahdu aina suoraviivaisesti. Oppilaan kohdatessa asian, jota hän ei pysty välittömästi ratkaisemaan, joutuu hän palaamaan eli kiertymään kuvion 3. sisimmälle tasolle kehittämään ymmärrystään ennen kuin hän voi jatkaa työskentelyään ongelman parissa.

(Leppäaho 2007, 35–36.)

3.5 Matemaattinen ongelmanratkaisutaito

Ongelmanratkaisutaidoksi ymmärretään yksilön kyky ratkaista ongelmia niin, että hän soveltaa matemaattista tietoaan ja käyttää monipuolisesti erilaisia ratkaisumalleja ja strategioita (Leppä- aho, Silfverberg & Joutsenlahti 2013, 73). Kyky ratkaista ongelmia vaatii useiden kykyjen ja osatai- tojen hallintaa, kuten keskittymiskykyä ja lukutaitoa. Matemaattisessa ongelmanratkaisussa tarvittavia taitoja voidaan määritellä monella eri tavalla.

Ongelmanratkaisutehtävissä on yleensä kerrottu tehtävän ratkaisun kannalta tarpeettomia tietoja ja tietoja, jotka voivat suorastaan harhauttaa ratkaisijaa. Lahjakkaat oppilaat pystyvät tehokkaasti hahmottamaan tehtävästä sen ratkaisun kannalta olennaiset tiedot. Kuvioon 4 on koottu Leppä- ahon (2007, 50) matemaattisen ongelmanratkaisutaidon osa-alueet. Sen perusteella voidaan huomata, että ongelmanratkaisutaitoa voidaan kuvata talona, jossa olennaisina taitoina ovat yksi- lön motivaatio tehtävän ratkaisua kohtaan, ymmärtävä lukuja kirjoitustaito, matemaattiset taidot, selektiivisyys sekä taito yhdistää ongelman tulkinta ja laskeminen kokonaisratkaisuksi. Taloa pitää näiden ohella pystyssä ongelmanratkaisumallit ja -strategiat.

(26)

KUVIO 4. Ongelmanratkaisutaidon osa-alueet (Leppäaho 2007, 50)

Ongelmanratkaisutaitoihin liittyy läheisesti myös ajattelustrategiat, joita tarvitaan ongelmanratkaisuprosessin aikana. Näitä ovat laaja-alainen ja yhdistävä ajattelu sekä metakognitio (Lazakidou

& Retalis 2010, 3–4). Leppäaho (2007, 51) toteaa, että matemaattista ongelmanratkaisutaitoa voidaan mitata kokeella, joka koostuu ongelmanratkaisutehtävistä.

3.6 Matemaattisia ongelmanratkaisustrategioita

Haapasalon (2011, 192) mukaan yleisesti ajatellaan, että ongelmanratkaisu edellyttää aina matemaattisten apuvälineiden käyttöä. Tätä tulisi kuitenkin miettiä niin, että ongelmanratkaisuun tarvitaan aina matemaattista ajattelua. Matemaattisten käsitteiden ja apuvälineiden käyttö ei ole aina tarpeen, mutta toisaalta tämän tutkielman kohdassa 3.4 esitetyn Pirien ja Kierenin matemaattisen ymmärtämisen prosessissa todetaan, että erityisesti mielikuvan muodostamisen vaiheessa oppilaat hyötyvät havaintovälineiden käytöstä. Käytännön ongelmanratkaisutehtävissä voidaan harvoin hyödyntää matematiikkaa sellaisenaan, vaan usein tarvitaan yksinkertaistamista, muokkaamista ja soveltamista. Tarkoitamme matemaattisilla strategioilla niitä menetelmiä, joissa hyödynnetään matemaattisia käsitteitä, lauseita tai algoritmeja. Matemaattisen ongelmanratkaisun kannalta onkin erittäin tärkeää pystyä soveltamaan algoritmeja, jotka esiintyvät toistuvasti matematiikan kehitysprosesseissa ja ovat riittävän yksinkertaisia, elementaarisia, käytännöllisiä ja ymmärrettäviä myös ilman matemaattista erityisosaamista.

(27)

Matemaattisessa ongelmanratkaisussa voidaan hyödyntää yleisiä päättelysääntöjä eli voidaan tehdä johtopäätöksiä tunnettujen tosiasioiden kuten käsitteiden ja määritelmien perusteella.

Pólya (2014, 78) esittää havainnollistavan esimerkin päättelystä: Tiedämme, että ”kun lähestym- me maata, näemme usein lintuja”. Havaitsemme lintuja ja voimme päätellä tämän perusteella, että olemme oikeasti lähestymässä maata. Haapasalon (2011, 182) mukaan on kuitenkin ongel- mallista, että näiden päättelysääntöjen hallinta on yleensä puutteellista.

Ongelmanratkaisuun liittyy tärkeänä osana todistamisajattelu (Malinen 2004, 100–109). Oppilaan tulee Pólyan (2014, 172–175.) mukaan toisin sanoen aukottomasti pystyä perustelemaan omaa ajatteluaan ja ongelmanratkaisuaan eli mihin oppilas pohjaa ratkaisunsa. Pääasiassa on siis kyse matemaattisten sääntöjen käyttämisestä ja niiden avulla ongelmanratkaisussa hyödynnettyjen ratkaisuaskeleiden todistamisesta oikeiksi. Todistusongelman keskeiset elementit ovat oletukset ja johtopäätös. ”Jos nelikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, niin silloin nelikulmion kaksi lävistä- jää ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.” Tässä Pólyanin esimerkissä ensimmäinen jos-sanalla alkava lause käsittää tehdyt oletukset, kun taas jälkimmäinen niin silloin -sanoilla alkava lause sisältää johtopäätöksen. Todistusongelman ratkaiseminen edellyttää, että tunnetaan perusteelli- sesti keskeiset elementit.

Lopusta alkuun -menetelmä

Ongelmanratkaisu lopusta alkuun -menetelmän avulla tarkoittaa sitä, että ratkaisua lähdetään hakemaan tehtävänannossa annetusta päämäärästä eli lopputilanteesta käsin. Tämä menetelmä on ongelmanratkaisun kannalta tärkeä heuristiikka. (Pólya 2014, 143.)

Esimerkki lopusta alkuun -menetelmän soveltamisesta (Pólya 2014, 143–149):

Ongelma: Miten voit mitata vettä täsmälleen 6 litraa, kun sinulla on käytettävissäsi ainoastaan yksi 4 litran ja yksi 9 litran astia?

Analyysi: Haluttu lopputilanne on siis 6 l + 0 l. Miten tämä voidaan saavuttaa? Onko mahdollista mitata 3 l? On, jos voidaan mitata 1 l.

(28)

KUVIO 5. Esimerkki analyysi-synteesi -menetelmän soveltamisesta (Haapasalo 2011, 183)

Lopusta alkuun -menetelmän avulla ratkaistujen ongelmien vaiheet tulee kuitenkin lopullisessa vastauksessa esittää oikeassa järjestyksessä eli tavallaan käänteisenä:

Täydestä 9 litran astiasta mitataan aluksi pois 4 litraa kaksi kertaa käyttäen pienempää as- tiaa. Isoon astiaan jäänyt 1 litra kaadetaan pienempään astiaan. Seuraavaksi täytetään isompi asti täyteen vettä ja kaadetaan siitä 4 litran astia täyteen (sinne mahtuu siis 3 litraa). Isoon astiaan jää näin ollen 6 litraa vettä, kuten pitikin.

Opettajat eivät usein hallitse tätä ongelmanratkaisutapaa, eivätkä siten myös opeta sitä oppilailleen. Menetelmä perustuu Pólyan (2014, 149) mukaan maalaisjärkeen ja Haapasalon (2007, 186) mukaan epäyhtälön ratkaisemiseen, joten molempien mielestä menetelmä soveltuu hyvin jokaisen yksilön käytettäväksi.

Kartesialainen menetelmä

Menetelmän nimi tulee ranskalaisen matemaatikon René Descartesin mukaan. Siinä ongelma yritetään tiivistää matemaattiseksi ongelmaksi, joka edelleen pyritään muokkaamaan algebral- liseksi ongelmaksi. Lopulta tämä pyritään prosessoimaan yhtälöksi. (Haapasalo 2011, 196.) Karte- sialaista menetelmää voidaan havainnollistaa seuraavan esimerkin avulla.

Minnan auton bensamittari on rikki, mutta hänen pitää ajaa Parikkalasta kouluun Savon- linnaan. Minna ei tiedä, miten paljon bensaa tankissa on, eikä matkalla ole bensa-asemaa.

(29)

Minna löytää autostaan edellisen tankkauksen päivämäärän, ja tietää sen perusteella, että silloin tankissa on ollut 40 litraa bensiiniä. Tankkauksen jälkeen Minna on ajanut kouluun neljä kertaa. Auto kuluttaa 7 litraa sadalla kilometrillä. Kuinka paljon tankissa on bensaa ja pääseekö hän sillä kouluun?

Tehtävä muutetaan algebralliseen muotoon:

Matka Parikkalasta Savonlinnaan on 64 km. Minna tekee 4 edestakaista matkaa eli ajaa 8 kertaa 64 km. Eli Minna on ajanut yhteensä (8 x 64 km) 512 km. Auto kuluttaa 7 litraa 100 kilometrillä. Minna on kuluttanut polttoainetta (7 l x 5) noin 35 litraa.

3.7 Matemaattisia ongelmanratkaisumalleja

Ongelmanratkaisumallit pohjautuvat käsitykseen siitä, miten yksilön ongelmanratkaisuprosessin on ajateltu etenevän. On olemassa useita erilaisia matemaattisten ongelmien ratkaisumalleja, koska ongelmanratkaisu on tehtävä-, ratkaisija- ja tilannesidonnaista. Esittelemme tässä muutamia eri malleja. Kuitenkin kyky ratkaista ongelmia on muutakin kuin vain mallin käyttäminen. Sii- hen tarvitaan muun muassa edellisessä luvussa esiteltyjä ongelmanratkaisustrategioita.

3.7.1 Pólyan malli

Yksi tunnetuimmista ongelmanratkaisumalleista on George Pólyan malli ja sitä on käytetty monien muiden ongelmanratkaisumallien pohjana (Leppäaho 2007, 53–54). Pólyan ongelmanratkaisumal- lissa on neljä vaihetta: 1) Ongelman ymmärtäminen, 2) Suunnitelman tekeminen, 3) Suunnitelman toteuttaminen ja 4) Ratkaisun tarkasteleminen. Ensimmäiseksi ratkaisija pyrkii ymmärtämään ongelman; mitä tulee selvittää, mitä tietoja ongelmasta on annettu ja mitkä tiedot tulee selvittää.

Ongelmatilanteen hahmottaminen paperille kaaviona auttaa usein tehtävän ratkaisemisessa. Toi- sessa vaiheessa tehdään suunnitelma eli etsitään yhteyttä aineiston ja tuntemattomien välille.

Ongelmanratkaisuun voidaan hakea apua aikaisemmin ratkotuista vastaavista ongelmista. Ongel- maa voidaan myös yleistää koskemaan laajempaa kokonaisuutta tai voidaan pohtia annettuja tietoja ja punnita, mitkä tiedot ovat olennaisia ongelman ratkaisemiseksi. Suunnitelman toteut- tamisessa ratkaisija pohtii ratkaisujensa oikeellisuutta ja kykyänsä todistaa ne oikeiksi. Saatujen tulosten arviointi on tärkeä ja usein laiminlyöty vaihe ongelmanratkaisua. Tässä vaiheessa ratkaisija vielä varmistaa sen, että on hyödyntänyt kaikkia lähtötietoja ja että saatu tulos ja sen perustelut

(30)

ovat oikein. Voidaan myös miettiä sitä, onko olemassa muita vaihtoehtoisia tapoja, joilla päästään ongelmanasettelulle asetettuun lopputulokseen. Samalla joudutaan pohtimaan sitä, voidaanko saatujen tulosten tai käytetyn ongelmanratkaisutavan pohjalta luoda malli tulevia ongelmanrat- kaisutilanteita varten. (Pólya 2014, 2–4.)

KUVIO 6. Ongelmanratkaisuprosessin päävaiheet Pólyan mukaan (Haapasalo 2011, 178)

Ongelmanratkaisuprosessissa yksilön tulee kuvion 6 mukaan ensin tiedostaa ja ymmärtää ongelma eli pohtia sitä, mitä tulee ratkaista. Tehtävänannossa on usein annettu ongelmanratkaisun kannalta tarpeettomia tietoja, jotka voivat johtaa ongelmanratkaisijaa harhaan. Yksilön tuleekin lähteä täsmentämään ja analysoimaan ongelmaa: Mitä tietoja ongelman ratkaisemiseksi on annettu ja mitä näistä tiedoista tarvitaan ongelman ratkaisemisessa? Mitä tietoja tulee selvittää, jotta ongelma voidaan ratkaista? Mitä menetelmiä tai periaatteita tulee hyödyntää ratkaisun löy- tämisessä? Yksilö laatii pohdintojensa perusteella ratkaisusuunnitelman, jonka avulla hän pyrkii