2.1.2. Rekursiivinen jono Jono voidaan määritellä rekursiivisesti eli annetaan ensimmäinen termi (termit) ja sääntö, jolla seuraavat termit saadaan edellisistä.

2.1.2. Rekursiivinen jono

Jono voidaan määritellä rekursiivisesti eli annetaan ensimmäinen termi (termit) ja sääntö, jolla seuraavat termit saadaan edellisistä.

E.4. Laske rekursiivisesti määritellyn lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä, kun a₁ = 4 ja a_n = 3a_n-1 – 5, kun n ≥ 2

Kirjan esimerkki 1, s. 52

2.2.1. Rajoitetut jonot

1. Alhaalta rajoitettu jono

Jono (a_n) on alhaalta rajoitettu, jos ∃ sellainen luku m, että ∀ n : a_n ≥ m

2. Ylhäältä rajoitettu jono

Jono (an) on ylhäältä rajoitettu, jos ∃ luku M, että ∀ n : an≤ M

3. Rajoitettu jono

Jono on rajoitettu, jos se on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu

Katso esimerkit 1 & 2, kirja s. 86 - 87

2.2.2. Monotoniset jonot

Jono (a_n) on

kasvava, jos ∀ n : an+1≥ an

aidosti kasvava, jos ∀ n : an+1 > an aidosti vähenevä, jos ∀ n : an+1 < an vähenevä, jos ∀ n : an+1≤ an

Jono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä.

Jono on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Monotonisuuden tutkiminen

1) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien erotusta: Sievennä lauseketta an+1 - an . Jos erotus on positiivinen n:n arvosta riippumatta, niin jono on aidosti kasvava.

2) Monotonisuuden laatu tutkimalla peräkkäisten termien suhdetta: Sievennä lauseketta an+1 : an. Jos se on > 1 n:n arvosta riippumatta ja termit positiivisia, niin jono on aidosti kasvava

3) Monotonisuuden laatu tutkimalla jonoa vastaavaa jatkuvaa funktiota.

Korvaa lukujonon termin lausekkeessa n x:llä ja tutki näin saatua jatkuvan funktion monotonisuutta derivaatan avulla.

Jos funktion derivaatta on > 0 ∀ x, niin se on aidosti kasvava kaikilla kokonaislukuarvoillakin.

E.1. Osoita, että lukujono a_n = on kasvava.

TAPA1

TAPA 2

TAPA 3

+2 n

n