xx (58) − xx (58) − 7(3)111. xxx −+=−−− 7(3)111. xxx −+=−−−

(1)

1 YLIOPPILASTUTKINTO-

LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE

PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 19.3.2014

Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.

PITKÄ KEVÄT, 26.4.

1. a) Ratkaise yhtälö ^{7( 3) 1}^x^{− + = − −}^x² ¹

( )

^x²⁻^{1 .}

b) Millä muuttujan x arvoilla lauseke x(5 8 )− x saa positiivisia arvoja?

c) Sievennä lauseke ²− ² + ²− ²,

− +

a b a b

a b a b kun a b≠ ja a≠ −b.

2. Taulukon ylärivissä ovat funktioiden f x( ), g x( ) ja h x( ) kuvaajat. Alemmassa rivissä on viiden eri funktion kuvaajat. Näiden joukossa ovat myös derivaattafunktioiden f x′( ),

′( )

g x ja h x′( ) kuvaajat.

Kopioi alla oleva taulukko vastauspaperiisi ja merkitse siihen, mikä kuvaajista 1−5 esittää kyseessä olevan funktion derivaattaa. Vastausta ei tarvitse perustella.

Funktio f x( ) g x( ) h x( ) Derivaatan

kuvaajan numero

y ^y ^y

 x ^ x



x

f (x) g(x) h(x)

y y ^y ^y



x

y

 x ^ x ^ x

 x

PITKÄ KEVÄT, 26.4.

1. a) Ratkaise yhtälö ^{7( 3) 1}^x^{− + = − −}^x² ¹

( )

^x²⁻^{1 .}

b) Millä muuttujan x arvoilla lauseke x(5 8 )− x saa positiivisia arvoja?

c) Sievennä lauseke ²− ² + ²− ²,

− +

a b a b

a b a b kun a b≠ ja a≠ −b.

2. Taulukon ylärivissä ovat funktioiden f x( ), g x( ) ja h x( ) kuvaajat. Alemmassa rivissä on viiden eri funktion kuvaajat. Näiden joukossa ovat myös derivaattafunktioiden f x′( ),

′( )

g x ja h x′( ) kuvaajat.

Kopioi alla oleva taulukko vastauspaperiisi ja merkitse siihen, mikä kuvaajista 1−5 esittää kyseessä olevan funktion derivaattaa. Vastausta ei tarvitse perustella.

Funktio f x( ) g x( ) h x( ) Derivaatan

kuvaajan numero

(2)

2

3. a) Käyrät y=6x²+3x⁴+ 1

x^ja ^y⁼³^x⁴ sekä suorat x=1 ja x=2 rajaavat tasoalueen.

Laske sen pinta-alan likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella.

b) Määritellään funktiot f x x( )= −³ 3x ja ( ) 1 (2 )

2 ,

g x = f x kun x∈R. Laske derivaatta g′(1).

4. Millä vakion a arvoilla yhtälöllä ax²− + =5x 2 0 on täsmälleen yksi juuri?

5. Ympyrä sivuaa suoraa 3 4x− y=0 pisteessä (8 6)., Lisäksi se sivuaa positiivista x-akselia.

Määritä ympyrän keskipiste ja säde.

6. Olkoot a a_{1 2}, , , a_n reaalilukuja. Millä muuttujan x arvolla summa

(

x a⁻ ₁

)

²^{+ + −}^

(

x an

)

²

on mahdollisimman pieni?

7. Säännöllisen tetraedrin muotoista noppaa heittämällä voi saada silmäluvuksi 1, 2, 3 tai 4.

Nämä ovat kaikki yhtä todennäköisiä. Pelaaja heittää yhtä aikaa tetraedrin muotoista ja tavallista noppaa ja laskee silmälukujen summan.

a) Määritä kaikkien mahdollisten silmälukujen summien todennäköisyydet.

b) Määritä silmälukujen summan odotusarvo.

8. Lasersäteellä osoitetaan pisteestä A(1 2 3), ,− vektorin u=2i j− −3k suuntaan. Toisella säteellä osoitetaan pisteestä B(9 1 12), ,− − vektorin v = − −i 2j+3k suuntaan. Näytä, että säteet leikkaavat toisensa, ja määritä niiden leikkauspiste.

9. Taso x+2y+3z=6 leikkaa positiiviset koordinaattiakselit pisteissä A, B ja C.

a) Määritä sen tetraedrin tilavuus, jonka kärjet ovat origossa O sekä pisteissä A, B ja C.

b) Määritä kolmion ABC pinta-ala.

(3)

Alla on funktion derivaattafunktion kuvaaja Lisäksi funktio toteuttaa ehdon

a) Kirjoita derivaatan lauseke paloittain määriteltynä funktiona välillä b) Muodosta funktion lauseke paloittain määriteltynä välillä

c) Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

12. Fun avu p= mu

ustoa myydä n pohjan sä en osaan. To

rkeus on h.

ttp://www.v

a on funktio 0) 0= .

Kirjoita der Muodosta f Määritä fun

nktion f x( ) ulla, kun h

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

ään suoran de on r. Ju oisesta puo Laske tämä

valio.fi/tuot

on f deriva

rivaatan f′( funktion f nktion f su

) derivaata

0

h> on p Mikä näistä p

ksikkö on ra

ympyrälier uusto leikat olikkaasta le n juustonpa

tteet/juusto

aattafunktio

( )x lauseke ( )x lauseke uurin ja pien

n likiarvoja f pieni. Olete

p:n arvoist adiaani.

riön muoto taan ensin p eikataan vin

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

paloittain m e paloittain

nin arvo väl

pisteessä x ( 0+ −) f x h f

h etaan, että

a antaa pa

isessa pakk pystysuoras nosti kuvion us integroim

ermanni> L

′( ).

y f x= L

määriteltyn määriteltyn illä 0≤ ≤x

x0 voidaan ( )0

f x

ä f x( ) sin= rhaan likiar

auksessa. L ssa suunnas n osoittama malla.

uettu 12.3.

isäksi funkt

ä funktiona nä välillä 0≤

4.

laskea lause

nx, x₀=0 rvon luvulle

Lieriön kork ssa kahteen a pienempi

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

keus on h ja n yhtä suu- pala, jonka

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

= ^p kun Tehtävässä a

- a

n ä

3

12.

10.

11.

10. Juu sen ree kor

<ht

11. Alla f(0 a) b) c)

12. Fun

avu

= p mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10.Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10.Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä Funktion derivaatan likiarvoja pisteessä voidaan laskea lausekkeen

avulla, kun on pieni. Oletetaan, että ja kun Mikä näistä p:n arvoista antaa parhaan likiarvon luvulle Tehtävässä muuttujan x yksikkö on radiaani.

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10.Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

12. Fun

avu p= mu

rkeus on h.

ttp://www.v

a on funktio 0) 0= . Kirjoita der Muodosta f Määritä fun

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

ään suoran de on r. Ju oisesta puo Laske tämä

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

ympyrälier uusto leikat olikkaasta le

n juustonpa

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10.Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

12. Fun

avu p= mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10.Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10.Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla (0 f a) b) c)

12. Fun

avu p= mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla f(0 a) b) c)

12. Fun

avu

= p mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

riön muoto taan ensin p eikataan vin alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

nx, x₀ =0 rvon luvulle

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11.Alla f(0 a) b) c)

12. Fun

avu

= p mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

n juustonpa

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻ ,

- a

n ä

Juustoa myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa. Lieriön korkeus on h ja sen pohjan säde on r. Juusto leikataan ensin pystysuorassa suunnassa kahteen yhtä suureen osaan. Toisesta puolikkaasta leikataan vinosti kuvion osoittama pienempi pala, jonka korkeus on h. Laske tämän juustonpalan tilavuus integroimalla.

<http://www.valio.fi/tuotteet/juustot/valio-oltermanni>. Luettu 12.3.2013.



 

y

z

x

<ht

11. Alla f(0 a) b) c)

12. Fun

avu

= p mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  _M

uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

n juustonpa

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

=

y f x L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4. x≤

10⁻ ,

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla f(0 a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

=  M uuttujan x y

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

p:n arvoista adiaani.

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

määriteltyn määriteltyn lillä 0≤ ≤x

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

10⁻^p, kun Tehtävässä a

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla f(0 a) b) c)

12. Fun avu

= p mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

>0

h on p Mikä näistä p

ksikkö on ra

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

≤ x

- a

n ä 10. Juu

sen ree kor

<ht

11. Alla f(0 a) b) c)

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

n juustonpa

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että

a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

x≤

- a

n ä sin x , 0,5

<ht

11. Alla f(0 a) b) c)

12. Fun avu

= p mu

rkeus on h.

ttp://www.v

3, ,10.

valio.fi/tuot

on f deriva

) derivaata

0

ksikkö on ra

n juustonpa

tteet/juusto

aattafunktio

alan tilavuu

ot/valio-olt

on kuvaaja

nin arvo väl

h etaan, että a antaa pa

ermanni> L

′( ).

y f x= L

x0 voidaan ( )0

f x

uettu 12.3.

isäksi funkt

4.

laskea lause

2013.

tio f toteu

a välillä 0≤ 4.

≤ ≤x

ekkeen

0 5, ja h= e f x′

( )

0 ?

ttaa ehdon

4.

≤ x

- a

n ä

(4)

4

*13.

*14.

13. Tarkastellaan positiivisia kokonaislukuja n ja k, joille

n n+ + + + + + +( 1) (n 2)  (n k) 1007.=

a) Osoita, että tällaiset luvut n ja k toteuttavat yhtälön (k+1)(2n k+ ) 2014.= b) Määritä luvun 2014 kaikki alkutekijät.

c) Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut n ja k, jotka toteuttavat a-kohdan yhtälön.

14. Erään tarinan mukaan ihmiskunta kokeili liikkumista säännöllisten monikulmioiden avulla, ennen kuin pyörä keksittiin.

a) Tasasivuinen kolmio kiertyy oikealle kuvion mukaisesti, kunnes kärki A osuu uudelleen alustaan. Kärki A piirtää kuvion mukaisen käyrän. Laske käyrän pituus, kun kolmion piiri on p. (2 p.)

b) Hahmottele vastaavat käyrät neliön ja kuusikulmion tapauksessa. Kummassakin tapauk- sessa monikulmio kiertyy niin monta kertaa, että vasemmalla alhaalla oleva kärki osuu uudelleen alustaan. (2 p.)

c) Laske b-kohdan käyrän pituus neliölle, jonka piiri on p. (2 p.)

d) Laske b-kohdan käyrän pituus kuusikulmiolle, jonka piiri on p. (3 p.)

15.Välillä [ 1 1]− , jatkuvien funktioiden f ja g skalaaritulo f g∗ määritellään kaavalla ¹

1

( ) ( ) .

−

∗ =



f g f x g x dx Funktiot ovat ortogonaaliset, jos f g∗ =0.

a) Määritellään f x₀( ) 1,= f x₁( )=x ja f x₂( )=x², kun x∈ −[ 1,1]. Niiden avulla määritel- lään funktiot g_k: [ 1 1]− , →R, k =0 1 2, , , käyttämällä kaavoja

g x₀( )= f x₀( ), ₁ ₁ ⁰ ¹ ₀

0 0

( )= ( )− ∗ ( )

∗ g f

g x f x g x

g g ja

₂ ₂ ⁰ ² ₀ ¹ ² ₁

0 0 1 1

( )= ( )− ∗ ( ) − ∗ ( ).

∗ ∗

g f g f

g x f x g x g x

g g g g

Sievennä funktioiden g₁ ja g₂ lausekkeet. (4 p.)

b) Osoita, että funktiot g_j ja g_k ovat ortogonaaliset kaikilla eri indekseillä 0≤ < ≤j k 2.

(2 p.)

c) Olkoon h x( )=x³+ax²+bx c+ . Määritä vakioille a, b ja c sellaiset arvot, että funktiot h ja g_k ovat ortogonaaliset jokaisella k =0 1 2., , (3 p.)

A

*15.

A