Kompaktien avaruuksien ominaisuuksia
Pro gradu -tutkielma Aleksi Karhu
249670
Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto
Päivämäärä 24.6.2019
Tiivistelmä
Tämän työn tavoitteena on tutkia, mitä ominaisuuksia kompakteilla ava- ruuksilla on. Tutkimus on tehty olemassaolevaa kirjallisuutta hyödyntäen.
On selvitetty, että kompaktius on topologinen ominaisuus ja että usealla ta- valla kompakteilla avaruuksilla on samanlaisia ominaisuuksia kuin äärellisil- lä avaruuksilla, kuten että kompaktilla reaalilukujen osajoukolla on maksimi ja minimi. On myös päätelty, että kompakteilla Hausdorffin avaruuksilla on kaikki hyvin tunnettujen separaatioaksioomien tuomat ominaisuudet ja et- tä kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa joukon kompaktius on ekvivalent- tia sen sulkeisuuden kanssa. Vastaavasti on havaittu, että äärellisulotteisissa reaaliavaruuksissa joukko on kompakti jos ja vain jos se on suljettu ja ra- joitettu. On myös selvitetty, että reaaliavaruuksissa avaruuden kompaktius on ekvivalenttia usean ominaisuuden kanssa, kuten että avaruuden jokaisella jonolla on avaruudessa suppeneva osajono.
Abstract
The aim of this MSc thesis is to examine what are the main properties of compact spaces. The research has been done using existing literature. It has been discovered that compactness is a topological property and that in seve- ral ways, compact spaces have similar properties as finite spaces, such as a compact subset of real numbers having a maximum and a minimum. It has also been reasoned that compact Hausdorff spaces have all the properties granted by the most well known separation axioms and also that in compact Hausdorff spaces, the compactness of a set is equivalent to the closedness of a set. Similarly it has been found that in finite dimensional real spaces a set is compact if and only if it closed and bounded. In real spaces it has also been discovered that compactness of a space is equivalent to a number of proper- ties, one of them being that each sequence in the space has a subsequence that converges in the space.
Esisanat
Yliopisto-opintojeni aikana hauskinta matematiikkaa oli ehdottomasti topo- logia. Sen myötä pyysin saada tehdä graduni topologiaan liittyen ja sehän järjestyi. Tämän työn tekeminen sisälsi monta miellyttävää hetkeä. Yhdessä vaiheessa aika tyypillinen ilta oli, että kotonani katselin valkotaululla ole- vaa matematiikkaa ja koitin keksiä jotain todistusstrategiaa. Sain pohtia ja oivaltaa asioita kompakteista avaruuksista, ja mikäs sen mukavampaa. Tah- don kiittää apulaisprofessori Janne Heittokangasta hyvästä ohjauksesta ja lähipiiriäni, joka rakkaudella muistutti gradun edistymisestä.
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Pohjatietoja 3
3 Yhtenäiset ja N-avaruudet 11
4 Kompaktit avaruudet 15
5 Kompaktius kuvauksissa 26
6 Kompaktius Rn:ssä 30
7 Numeroituva kompaktius 36
8 Johtopäätökset 45
Lähteet 47
Luku 1 Johdanto
Topologia on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan avaruuksien ja joukko- jen eräällä tavalla perimmäisistä ominaisuuksista, jotka eivät muutu, vaikka avaruutta tai joukkoa esimerkiksi käänneltäisiin tai venytettäisiin. Työn aika- na tullaan huomaamaan, että kompaktius on yksi tällainen topologinen omi- naisuus. Ja kompaktit avaruudet ovatkin mielenkiintoisia avaruuksia. Niille on tyypillistä, että ne käyttäytyvät kuin äärelliset avaruudet, vaikka ne olisi- vatkin äärettömiä. Tässä työssä tutkitaan, millaisia ominaisuuksia kompak- teilla avaruuksilla on. Työn pääasiallisena lähteenä on käytetty Paul E. Lon- gin kirjaa An Introduction to General Topology. Työ sisältää pitkälti Longin esittämää teoriaa ja asiat esitetään osittain samassa järjestyksessä kuin Lon- gin kirjassa. Uusien määritelmien yhteydessä annetaan viitteet, joilla vastaa- vat määritelmät löytyvät Longin kirjasta. Työn kirjoittajan panos tulee lisät- tyjen tulosten ja esimerkkien muodossa, joista suurin osa on poimittu Lon- gin kirjan harjoitustehtävistä. Lisäksi muutama esimerkeistä ja suurin osa pohdinnoista ovat työn kirjoittajan omia. Muuta kirjallisuutta on hyödyn- netty muutaman todistuksen kohdalla. Lisäksi kirjallisuudesta on katsottu, että Longin esittämä teoria ei ohita joitain tärkeitä kompaktien avaruuksien ominaisuuksia. Vaikuttaa siltä, että myös muut tekijät ovat pitäneet samoja ominaisuuksia tärkeinä kuin Long. Tosin tuntuu olevan tavallista, että muut tekijät määrittelevät luvussa 7 esitetyn Bolzanon-Weierstrassin lauseen eri tavoin kuin Long. Suomennettaessa englanninkielistä termistöä on hyödyn- netty Jussi Väisälän Matematiikan sanastoa.
Työ etenee niin, että ensin kerrataan topologian peruskäsitteistöä ja - tuloksia Itä-Suomen yliopiston topologian luentokurssin pohjalta. Seuraa- vaksi kompakteja avaruuksia pohjustetaan vielä luvulla, joka käsittelee yhte- näisiä avaruuksia ja N1- ja N2-avaruuksia. Kompakteista avaruuksista käsi- tellään ensin niiden perusominaisuuksia. Työn edetessä tarkastellaan niiden käyttäytymistä funktioissa, niiden erityispiirteitä reaaliavaruuksissa ja lopul-
ta tarkastellaan numeroituvasti kompaktien avaruuksien ominaisuuksia.
Luku 2
Pohjatietoja
Kompakti avaruus on käsite, joka matematiikan osa-alueista kuuluu topolo- giaan. Tässä työssä kompaktien avaruuksien käsittely vaatiikin useiden topo- logian käsitteiden ja tulosten tuntemista. Itä-Suomen yliopistossa pidettiin vuonna 2017 topologian luentokurssi ja tässä luvussa esitetään luentokurssin tälle työlle olennaista sisältöä. Myös luentokurssi hyödynsi Longin kirjaa, eri- tyisesti lukuja Basic Notions Concerning Sets, Functions, Topological Spaces, Bases, Subbases and Products, Continuous Functions, The Separation and Countability Axioms ja Convergence. Tuloksia pidetään tunnettuina.
Tämän työn aikana termi osajoukko ja merkintä ⊂ ymmärretään niin, että jos A ⊂ B, niin kaikki A:n alkiot sisältyvät myös B:hen. Tämä sallii mahdollisuuden, että A =B. Työn aikana käytetään myös usein merkintää
△, jolla ilmaistaan mielivaltaista indeksijoukkoa.
Aloitetaan määrittelemällä topologia.
Määritelmä 2.1. [3, Definition 1.1, sivu 62] PerusjoukonX topologia T on kokoelma X:n osajoukkoja, joka toteuttaa seuraavat ehdot:
1. X ∈ T ja ∅∈ T.
2. Topologiaan kuuluvien joukkojen äärellinen leikkaus kuuluu myös to- pologiaan.
3. Topologiaan kuuluvien joukkojen yhdiste kuuluu myös topologiaan.
Perusjoukko ja sen topologia muodostavat topologisen avaruuden (X,T).
Sanotaan, että jos joukko U kuuluu topologiaan, U onavoin.
Esimerkki 2.2.
a. Reaalilukujen standarditopologiassa epätyhjäU on avoin, mikäli jokai- selle x∈U löytyy avoin väli(a, b)siten, ettäx∈(a, b)⊂U. Merkitään avaruutta (R,Tst).
b. Avaruuden diskreettitopologiassa Tds joukko sisältyy topologiaan, jos joukko sisältyy avaruuteen.
c. Avaruuden triviaalitopologiassa Ttr topologiaan sisältyvät vain tyhjä joukko ja perusjoukko.
Jatkossa jos reaaliavaruudelle ei erikseen ilmoiteta muuta topologiaa, käy- tössä on standarditopologia.
Määritelmä 2.3. [3, Theorem 4.7, sivu 78] Olkoon avaruudessa (X,T) os- ajoukko A. Aliavaruudessa (A,TA) avoimia joukkoja ovat joukot V, jotka ovat muotoa A∩U, missä U ∈ T.
Long on kirjassaan määritellyt aliavaruuksien topologian toisin. Tässä on määritelmäksi valittu ekvivalentti ominaisuus, joka on käytännöllinen todis- tuksissa. Aliavaruuksien topologioista sanotaan, että topologia TA periytyy topologiasta T.
Esimerkki 2.4. Olkoon reaalilukujen osajoukolla [0,1]avaruudesta (R,Tst) periytyvä topologia. Merkitään myös tätä aliavaruuden topologiaa standar- ditopologiaksi Tst. Nyt myös joukot muotoa[0, a)ja(b,1], missä a, b∈(0,1), ovat avoimia avaruudessa ([0,1],Tst).
Esimerkki 2.4 osoittaa, että aliavaruuden avoimet joukot eivät välttämät- tä ole avoimia alkuperäisessä avaruudessa. Vastaavasti esimerkiksi (0,1) on suljettu aliavaruudessa ((0,1),Tst), mutta ei avaruudessa (R,Tst).
Topologisuuden ehdot sallivat topologioiden olla yksinkertaisia tai mo- nimutkaisia. Määritellään seuraavaksi erikoinen topologinen avaruus, johon myöhemmin palataan kompaktiuden yhteydessä. Tätä esimerkkiä ei ole kä- sitelty topologian luentokurssilla. Esimerkki 2.5 muistuttaa, että topologiset avaruudet eivät välttämättä liity lukuihin lainkaan, vaan ne voivat olla hy- vinkin abstrakteja rakenteita.
Esimerkki 2.5. Olkoon perusjoukkoX muotoa⋃3
j=1(Bj∪Cj), missä joukot B1, B2, B3, C1, C2 ja C3 ovat pistevieraita keskenään, lukuun ottamatta kai- kille joukoille yhteistä alkiota a. Valitaan jokaisesta joukostaa:sta poikkeava alkio ja nimetään alkiot niin, että bj ∈Bj ja cj ∈Cj, j = 1,2,3.
Määritellään topologiaTk, missä alaindeksiksi on valittuk:
U ∈ Tk jos ja vain josU on jotain seuraavista vaihtoehdoista:
Kuva 2.1: Esimerkin 2.5 perusjoukko.
1. U =∅. 2. U ={a}.
3. U ⊂Bj ∪Cj ja toteuttaa ehdot (a)-(c).
(a) bj ∈U.
(b) Jos on olemassax̸=a siten, että x∈U∩Cj, niinBj ⊂U. (c) Joscj ∈U, niin Cj ⊂U.
4. U = V1 ∪ V2 ∪ V3, missä yhdisteen joukot ovat avoimia ehtojen 1-3 mukaisesti.
Osoitetaan, ettäTk todella on topologia.
1. Tyhjä joukko kuuluu topologiaan. PerusavaruusXon muotoa⋃3
j=1(Bj∪ Cj). Nyt jokainen Bj ∪ Cj toteuttaa ehdon (3), sillä bj ∈ Bj ∪ Cj, Bj ⊂ Bj ∪Cj ja Cj ⊂ Bj ∪Cj. Tällöin avaruus X on avoin ehdon 4 mukaisesti.
2. Olkoon{Uα :α∈ △} äärellinen perhe joukkoperheen Tk joukkoja. Jos leikkaus⋂
α∈△Uαon tyhjä joukko tai{a}, sisältyy leikkaus topologiaan.
Oletetaan, että leikkaus on jotain muuta, eli se sisältääa:sta poikkeavan alkion x∈Bi∪Ci, missäi on jokin alkio joukosta{1,2,3}. Nyt kaikki leikkaukseen ⋂
α∈△Uα osallistuvat joukot sisältävät saman x∈Bi∪Ci ja koska joukot ovat topologiasta, täytyy niiden kaikkien sisältää bi ehdon (a) perusteella. Tällöin bi ∈⋂
α∈△Uα. Jos leikkaus ⋂
α∈△Uα si- sältää a:sta poikkeavan alkion x0 ∈ Ci, täytyy kaikilla leikkaukseen osallistuvilla topologian joukoilla olla Bi osajoukkona ehdon (b) pe- rusteella. Tällöin Bi ⊂ ⋂
α∈△Uα. Jos puolestaan ci ∈ ⋂
α∈△Uα, niin ehdon (c) perusteella Ci ⊂Uα kaikilla α ∈ △. Tällöin Ci ⊂ ⋂
α∈△Uα. Tämän perusteella jos leikkaus ⋂
α∈△Uα sisältyy joukkoonBi∪Ci, to- teuttaa leikkaus ehdon 3, jolloin se sisältyy topologiaan. Jos leikkaus puolestaan ei rajoitu kyseiseen joukkoon, voidaan täysin vastaavalla ta- valla löytää leikkauksesta kaikki tarvittavat alkiot ja osajoukot, joilla leikkaus sisältyy topologiaan ehdoilla 3 ja 4.
3. Olkoon{Uα:α ∈ △}ehdon 3 mukaisesti avoin joukkoperhe siten, että joukotUαovat samanBj∪Cjosajoukkoja. Nyt yhdiste⋃
α∈△Uα selväs- ti toteuttaa ehdot (a)-(c), eli yhdiste on edelleen avoin ehdon 3 mukai- sesti. Nyt mikä tahansa topologian joukkojen yhdiste voidaan purkaa muotoon ⋃
α∈△′Vα, missä jokainen Vα on jonkin Bj ∪Cj osajoukko.
Nyt joukot Vα voidaan yhdisteessä ryhmitellä niin, että ⋃
α∈△′Vα = V1∪V2∪V3, missäV1,V2 jaV3 ovat avoimia ehtojen 1-3 mukaisesti, eli yhdiste on avoin ehdon 4 mukaisesti.
Tk on topologia.
Kun mahdollisesta topologiasta tarkastellaan joukkoperheen joukkojen leikkausta, riittää vaihtoehtoisesti tarkastella kahden mielivaltaisen joukon leikkausta. Jos niiden leikkaus kuuluu joukkoperheeseen, niin induktiivisesti mikä tahansa äärellinen leikkaus kuuluu myös.
Jokaisella topologialla on vähintään yksi kanta. Kannat ovat kuin topolo- gioiden riisuttuja versioita, jotka kuitenkin säilyttävät kaiken informaation, jonka perusteella topologia voidaan konstruoida uudelleen.
Määritelmä 2.6. [3, Definition 1.1, sivu 92] Olkoon (X,T) topologinen avaruus ja olkoon B perhe avoimia joukkoja. B on topologian T kanta, jos jokainen epätyhjä avoin joukko on kannan jäsenten yhdiste.
Määritelmä 2.7. [3, Exercise 10, sivu 215] Pisteenxympäristöavaruudessa X on osajoukko M ⊂ X, jolle on olemassa avoin joukko U siten, että x ∈ U ⊂M.
Voidaan tulkita niin, että vähintäänkin avaruus itse on ympäristö sen jo- kaiselle alkiolle. Työn aikana käytetään termiä pisteen x avoin ympäristö, jolla yksinkertaisesti tarkoitetaan avaruuden avointa, x:n sisältävää osajouk- koa.
Määritelmä 2.8. [3, Definition 2.1, sivu 69] Olkoon topologinen avaruus (X,T). Joukko A⊂X onsuljettu, jos X\A on avoinX:ssä.
Suljetuissa joukoissa on hyvä huomata, että äärettömät leikkaukset ja yh- disteet käyttäytyvät käänteisellä tavalla avoimiin joukkoihin nähden. Avoin- ten joukkojen ääretön leikkaus ei välttämättä ole avoin, mutta suljettujen joukkojen ääretön yhdiste puolestaan ei välttämättä ole suljettu. Lisäksi on tärkeää huomata, että intuitiosta poiketen joukot voivat olla avoimia tai sul- jettuja tai yhtäaikaisesti molempia tai ei kumpaakaan.
Määritelmä 2.9. [3, Definition 2.4, sivu 70] Joukon Asulkeuma Aon kaik- kien A:n sisältävien suljettujen joukkojen leikkaus.
Määritelmä 2.10. [3, Definition 6.1, sivu 85] Piste x on joukon A kasau- tumispiste, jos kaikki avoimet joukot, jotka sisältävät x:n, sisältävät myös jonkin a∈A, a̸=x. JoukonA kasautumispisteiden joukkoa merkitään A′. Lause 2.11. (a) Joukko A on suljettu, jos ja vain jos A=A.
(b) A=A∪A′.
Määritelmä 2.12. [3, Definition 6.9, sivu 88] Avaruuden X osajoukkoA on tiheä X:ssä, jos A=X.
Tiheydelle voidaan tehdä tulkinta, että jokainen avaruuden epätyhjä avoin joukko sisältää siinä tiheän A:n alkioita. Koska muuten avaruus sisältää pis- teitä, jotka eivät kuulu A:han tai sen kasautumispisteisiin, eikä A siten voisi olla koko avaruus.
Esitetään seuraavaksi eräitä tärkeitä kuvauksia, joista on hyötyä työn aikana.
Määritelmä 2.13. [3, Theorem 1.5, sivu 115] Olkoon f : X → Y funktio avaruudelta (X,TX) avaruudelle (Y,TY). Funktio f onjatkuva jos f−1(V)∈ TX kaikilla V ∈ TY.
Jatkuvien funktioiden määritelmän tapauksessa poiketaan Longin kirjas- ta ja Topologian luentokurssista. Niissä jatkuvat funktiot on määritelty ekvi- valentilla, mutta monimutkaisemmalla tavalla.
Määritelmä 2.14. [3, Definition 1.6, sivu 35] Olkoon ∏n
i=1Xi tuloavaruus.
Nyt kaikilla k,1 ≤ k ≤ n funktio pk : ∏n
i=1Xi → Xk on projektiofunktio, jolla pk(x1, x2, ..., xn) =xk.
Projektiofunktiot poimivat siis tuloavaruuksista halutun dimension. Pro- jektiofunktiot voidaan määritellä myös mielivaltaiselle indeksijoukolle, mutta tässä työssä riittää tarkastella vain äärellisten tuloavaruuksien projektioita.
Määritelmä 2.15. [3, Definition 2.2, sivu 118] Olkoon f : X → Y funktio topologisten avaruuksien (X,TX) ja(Y,TY) välillä. f onavoin, jos jokaisella U ∈ TX,f(U)∈ TY. f onsuljettu, jos jokaisella suljetulla U ⊂X,f(U)⊂Y on suljettu.
Määritelmä 2.16. [3, Definition 2.5, sivu 120] Olkoon h :X → Y funktio.
h onhomeomorfismi, jos h on bijektio, jatkuva ja avoin. Jos avaruuksien X jaY välillä on homeomorfismi, sanotaan, että avaruudet ovathomeomorfiset.
Homeomorfismit ovat hyvin tärkeitä funktioita, sillä ne ovat aivan topolo- gian ytimessä. Juuri homeomorfismit ovat funktioita, jotka säilyttävät kaiken topologisessa mielessä mielenkiintoisen rakenteen avaruuksissa. Esimerkiksi jos X ja Y ovat homeomorfiset ja X:llä on tismalleen kaksi avointa yksiötä, niin Y:llä on myös tismalleen kaksi avointa yksiötä.
Määritelmä 2.17. [3, Definition 2.9, sivu 121] Topologisen avaruuden X ominaisuus on topologinen ominaisuus, jos kaikilla X:n kanssa homeomorfi- silla avaruuksilla on sama ominaisuus.
Määritellään separaatioaksioomat. Ne määrittävät sen, kuinka hyvin ava- ruuden erillisiä alkioita tai suljettuja osajoukkoja voidaan erottaa toisistaan avoimilla joukoilla. Sillä on suuri merkitys sen kannalta, millaisia ominai- suuksia avaruudella voi olla.
Määritelmä 2.18. [3, Definition 1.1, sivu 137] Olkoon (X,T) topologinen avaruus.
a. Avaruus on T0-avaruus, jos kaikilla erillisillä pisteillä x, y ∈ X on joko avoin joukko sisältäen x:n, mutta eiy:tä tai avoin joukko sisältäeny:n, mutta ei x:ää.
b. Avaruus onT1-avaruus, jos kaikilla erillisillä pisteilläx, y ∈X on avoin joukko sisältäenx:n, mutta ei y:tä ja avoin joukko sisältäeny:n, mutta ei x:ää.
c. Avaruus on T2-avaruus tai Hausdorffin avaruus, jos kaikilla erillisillä pisteillä x, y ∈ X on avoimet joukot U ja V siten, että x ∈ U, y ∈ V ja U ∩V =∅.
d. Avaruus on säännöllinen avaruus jos kaikilla suljetuilla osajoukoilla F ⊂ X ja jokaisella pisteellä x ̸∈ F, on avoimet joukot U ja V siten, että x∈U, F ⊂V jaU∩V =∅. SäännöllistäT1-avaruutta kutsutaan T3-avaruudeksi.
e. Avaruus onnormaali avaruus, jos kaikkia erillisiä suljettuja osajoukkoja F1 ja F2 vastaa avoimet joukot U ja V siten, että F1 ⊂U, F2 ⊂ V ja U ∩V =∅. Normaalia T1-avaruutta kutsutaan T4-avaruudeksi.
Kuva 2.2: Separaatioaksioomien havainnollistus. Pisteet edustavat alkioita, soikiot avoimia joukkoja ja suorakulmiot suljettuja joukkoja.
Kirjallisuudessa säännöllisten ja normaalien avaruuksien määritelmät ei- vät ole vakiintuneita ja määritelmät usein vaihtuvat T3- ja T4-avaruuksien määritelmien kanssa vastaavasti. Tässä työssä on valittu Longin kirjan ja topologian luentokurssin määritelmäkäytäntö. Sillä on se etu, että näin mää- riteltynä pätee selvä implikaatioketju "Avaruus onT4"⇒"Avaruus on T3"⇒
"Avaruus on T2"⇒ "Avaruus on T1"⇒ "Avaruus on T0", joka on helppo to- deta.
Lause 2.19. Avaruudet Rn ovat Hausdorffin avaruuksia.
Lemma 2.20. Avaruus X on säännöllinen jos ja vain jos kaikilla x∈X ja x:n sisältävillä avoimilla joukoilla U on olemassa avoin joukko V siten, että x∈V ⊂V ⊂U.
Lemma 2.20 on erittäin hyödyllinen tilanteissa, joissa on toivottavaa kon- struoida suljettu joukko sulkeumalla niin, että se säilyy jonkin avoimen jou- kon osajoukkona.
Esitetään vielä muutama määritelmä jonoihin liittyen.
Määritelmä 2.21. [3, Definition 1.1, sivu 166] Funktio f :N→X onjono avaruudessa X.
Määritelmä 2.22. [3, Definition 1.3, sivu 166] Jono f : N → X suppenee pisteeseenx∈X, jos kaikillax:n sisältävillä avoimilla joukoillaU on olemassa jokin luonnollinen luku n0 siten, että f(n)∈U kaikillan > n0.
Jotta jono voisi supeta, täytyy suppenemispisteen olla samassa avaruu- dessa kuin jonokin. Esimerkiksi jonot f : N → (0,1], f(n) = 1/n ja g : N → [0,1], g(n) = 1/n sisältävät tismalleen samat jäsenet, mutta vain jono g suppenee.
Määritelmä 2.23. [3, Definition 3.1, sivu 177] Olkoon jono f : N → X avaruudessa X. Jos g : N → N on aidosti kasvava injektio, niin yhdistetty funktio f◦g :N→X on jononf osajono.
Luku 3
Yhtenäiset ja N -avaruudet
Ennen kompaktien avaruuksien käsittelyyn siirtymistä tässä luvussa vielä tarkastellaan kahdenlaisia avaruuksia, yhtenäisiä avaruuksia ja N1- ja N2- avaruuksia. Yhtenäisten avaruuksien tuntemisesta on hyötyä myöhemmin kompaktien reaaliavaruuksien yhteydessä ja numeroituvuuteen viittaavatN- avaruudet ovat hyödyllisiä työn luvussa 7.
Määritelmä 3.1. [3, Definition 1.1, sivu 191] Avaruus onepäyhtenäinen ava- ruus, jos se voidaan esittää kahden avoimen, erillisen ja epätyhjän osajoukon yhdisteenä. Avaruus on yhtenäinen avaruus, jos se ei ole epäyhtenäinen.
Yhtenäisen avaruuden määritelmästä seuraa se, että epäyhtenäisiä ava- ruuksia on paljon helpompaa käsitellä matemaattisesti. Tämän vuoksi monet yhtenäisyyttä koskevat lauseet todistetaankin antiteesien kautta.
Lemma 3.2. A ⊂ R, joka sisältää useamman kuin yhden pisteen, on yh- tenäinen, jos ja vain jos millä tahansa pisteillä a, b ∈ A siten, että a < b, A:han sisältyvät kaikki pisteet x, joilla a < x < b.
Todistus. Todistetaan väite suunnassa, jossaA oletetaan yhtenäiseksi.
Muodostetaan antiteesi, että luvuilla a, b ∈ A, a < b on olemassa jokin x, a < x < b siten, että x ̸∈ A. Nyt joukot (−∞, x)∩A ja (x,∞)∩A ovat avoimia A:ssa ja muodostavatA:n osituksen. Ristiriita A:n yhtenäisyydestä osoittaa väitteen tässä suunnassa.
Toisen suunnan todistus on pitkähkö ja nyt se kuitataan viittaamalla lähteeseen [3, Theorem 1.4, sivu 192].
Lemmaa 3.2 hyödyntäen on lähteessä [3, Theorem 1.6, sivu 194] todistettu seuraava hyödyllinen tulos.
Lause 3.3. A⊂R on yhtenäinen jos ja vain jos A on väli.
Lause 3.4. Jos f :X → Y on jatkuva ja A⊂ X on yhtenäinen, niin f(A) on yhtenäinen.
Todistus. Antiteesi: f(A) on epäyhtenäinen, jolloin avaruudessa Y avoimet joukot U ja V muodostavat f(A):n osituksen. Funktion jatkuvuuden perus- teella f−1(U)∩ A ja f−1(V)∩ A ovat avoimia A:ssa ja muodostavat sen osituksen. Ristiriita A:n yhtenäisyydestä todistaa väitteen.
Jatkuvat funktiot siis siirtävät yhtenäisyyden kuvajoukoillekin. Sen si- jaan jatkuvalla funktiolla ei voida osoittaa, että yhtenäisen joukon alkuku- va on myös yhtenäinen. Vastaesimerkki voi esimerkiksi syntyä jos jatkuvalla funktiolla kahden erillisen avoimen joukon kuva on sama yksiö. Homeomor- fismilla todistuksen päättely toimii käänteiseen suuntaan, eli yhtenäisyys on itseasiassa topologinen ominaisuus.
Määritelmä 3.5. [3, Definition 3.2, sivu 204] Pisteen x ∈ X määräämä komponentti on niiden pisteiden y ∈ X joukko, joille on olemassa jokin yh- tenäinen joukko A siten, että x, y ∈A.
Komponentit ovat itseasiassa ekvivalenssiluokkia, mikä on todistettu Lon- gin kirjassa [3, sivu 204]. Tällöin ne muodostavat avaruuden osituksen, eli komponentti-sanan tuomat mielikuvat ovat osuvia. Jokainen avaruus raken- tuu komponenteista, sillä vähintäänkin jokainen yksiö on yhtenäinen. Kom- ponentteja voi olla avaruudessa myös vain yksi.
Määritelmä 3.6. [3, Definition 3.8, sivu 206] Avaruus X onlokaalisti yhte- näinen, jos jokaisellax∈X ja jokaisella avoimellaU ⊂X, siten, ettäx∈U, on olemassa yhtenäinen, avoin joukko A siten, että x∈A ⊂U.
Esimerkki 3.7. Avaruus (1,2)∪ (3,4) standarditopologialla on lokaalisti yhtenäinen, mutta ei yhtenäinen.
Siirrytään seuraavaksi N1- ja N2-avaruuksien tarkasteluun. Aloitetaan määrittelemällä lokaali kanta.
Määritelmä 3.8. [3, Definition 4.1, sivu 154] Avointen joukkojen perheBx on lokaali kanta pisteelle x ∈ X, jos jokaisella avoimella joukolla U jolla x∈U, on olemassa jokin V ∈ Bx siten, että x∈V ⊂U.
Määritelmä 3.9. [3, Definition 4.2, sivu 154] AvaruusX onN1-avaruus, jos jokaisella x∈X on numeroituva, lokaali kanta.
N1-avaruuksien etu on se, että vaikka jokin alkio sisältyisi ylinumeroi- tuvaan määrään avoimia joukkoja, niihin kaikkiin päästään käsiksi nume- roituvalla määrällä lokaalin kannan jäseniä. Numeroituvuudesta on hyötyä
erityisesti jonojen tapauksessa, sillä jonot ovat kuvauksia, joiden määritte- lyjoukkona on N. Määritelläänkin jonojen kasautumispiste, jolloin päästään esittämään Lause 3.11 jonoista N1-avaruuksissa.
Määritelmä 3.10. [3, Definition 3.4, sivu 178] Olkoon avaruudessa X jono f : N→ X. Alkio a on jonon f kasautumispiste, jos kaikilla a:n sisältävillä avoimilla joukoilla U ja kaikilla luonnollisilla luvuilla n0 on olemassa luku n ∈Nsiten, että n > n0 ja f(n)∈U.
Nyt termi kasautumispiste on työssä kahtaismerkityksessä. Määritelmässä 2.10 kyseessä on joukon kasautumispiste ja Määritelmässä 3.10 jonon kasau- tumispiste. Englanniksi vastaavat termit ovat cluster point ja accumulation point. Määritelmät ovat hyvin samankaltaisia, mutta niillä on olennainen ero. Joukon kasautumispisteessä kaikki kasautumispisteen sisältävät avoimet joukot sisältävät minkä tahansa joukon alkion, joka poikkeaa kasautumis- pisteestä. Jonon kasautumispisteessä puolestaan kaikista kasautumispisteen sisältävistä avoimista joukoista täytyy löytyä jonon jäseniä mistä tahansa jo- non järjestysluvusta lähtien. Kahtaismerkitykset ovat epätoivottavia, mutta tässä kuitenkin noudatetaan Väisälän suomennosta. Jos on vaaraa sekaan- nuksesta, tekstissä pyritään selvästi korostamaan kummasta kasautumispis- teestä on kyse.
Lause 3.11. Olkoon X N1-avaruus ja f jono X:ssä.a ∈X on jonon kasau- tumispiste, jos ja vain jos jonolla f on a:han suppeneva osajono.
Todistus. Oletetaan ensin, että a on jonon f kasautumispiste. Koska X on N1-avaruus, pisteelleaon olemassa lokaali, numeroituva kanta{Bn:n ∈N}.
Konstruoidaan pisteelle toinen lokaali numeroituva kanta {Un : n ∈ N} = {⋂n
i=1Bi : n ∈ N}. Uusi joukkoperhe on lokaali kanta, sillä joukot Un ovat avoimia ja kukin Un⊂Bn. Lisäksi uudella lokaalilla kannalla on todistuksen kannalta tärkeä ominaisuus, että Un+1 ⊂Un kaikilla n∈N.
Koskaaon jonon kasautumispiste, joukkoU1sisältää jonon jäsenenf(n1).
Joukko U2 puolestaan sisältää jonon jäsenen f(n2) siten, että n2 > n1. Jat- kamalla samoin voidaan muodostaa uusi jono g siten, että g(1) = f(n1), g(2) =f(n2)... Nyt g onf:n osajono, joka suppenee kasautumispisteeseen a, sillä jokainen a:n sisältävä avoin joukko sisältää jonkin joukonUn′ lokaalista kannasta ja siten jonon g(n)kaikilla n > n′.
Oletetaan seuraavaksi, että jonolla f on a:han suppeneva osajono. Täl- löin mikä tahansaa:n sisältävä avoin joukko sisältää osajonon kaikki jäsenet jostain luonnollisesta luvusta lähtien. Tällöinaon selvästi jonon kasautumis- piste.
Määritelmä 3.12. [3, Definition 5.1, sivu 158] Avaruus(X,T)onN2-avaruus, jos topologialla T on numeroituva kanta.
N2-avaruuksissa avoimiin joukkoihin päästään jälleen käsiksi numeroitu- valla määrällä kannan jäseniä. EronaN1 avaruuteen on se, että nyt mielival- taista avointa joukkoa voidaan käsitellä täysin kannan jäsenten yhdisteenä.
Lause 3.13. Jokainen N2-avaruus on N1-avaruus.
Todistus. Tarkastellaan pistettä x ∈ X, missä X on N2-avaruus. Valitaan topologian numeroituvasta kannasta ne joukot, jotka sisältävät alkion x ja annetaan uudelle joukkoperhelle nimi B(x). Nyt B(x) on x:lle numeroituva lokaali kanta, sillä mikä tahansa x:n sisältävä avoin joukko sisältää joukon B(x):stä. Pisteen x mielivaltaisuudesta johtuen X onN1-avaruus.
Lauseen 3.14 todistus on pitkä ja se jätetään tässä esittämättä. Longin kirjassa Lause 3.14 on seurausta kahdesta lauseesta. Niistä ensimmäinen [3, Theorem 5.4, sivu 158] osoittaa, että RonN2-avaruus ja toinen [3, Theorem 5.13, sivu 162] osoittaa, että N2-avaruuksien äärellinen tuloavaruus on N2- avaruus. Mainittakoon todistuksista, että reaalilukujen standarditopologial- le saadaan numeroituva kanta numeroituvalla kokoelmalla rationaalilukujen numeroituvia lokaaleja kantoja.
Lause 3.14. Rn on N2-avaruus.
Luku 4
Kompaktit avaruudet
Tässä luvussa esitetään kompaktien avaruuksien määritelmä ja tarkastellaan kompaktien avaruuksien perusominaisuuksia. Havaitaan, että useita päätel- miä voidaan tehdä kompakteista avaruuksista, joihin vaikuttavat separaa- tioaksioomat. Erityisesti kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa löydetään yhteys suljettujen ja kompaktien osajoukkojen välillä. Lisäksi tarkastellaan vaihtoehtoista tapaa kompaktiuden määrittämiseksi, tuloavaruuksien kom- paktiutta ja ei-kompaktien avaruuksien kompaktisointia.
Kompaktiuden määrittelemiseksi tarvitaan peitteen käsitettä, joka mää- ritellään seuraavaksi.
Määritelmä 4.1. [3, Definition 4.1, sivu 210] Olkoon{Aα :α∈ △} joukko- perhe avaruudessa X ja olkoon B X:n osajoukko. Perhe on joukon B peite, jos B ⊂⋃
α∈△Aα. Mikäli joukkoperhe koostuu avoimista joukoista, kyseessä on avoin peite. Mikäli joukkoperhe koostuu äärellisestä määrästä joukkoja, kyseessä on äärellinen peite.
Kaikilla topologisilla avaruuksilla on vähintään yksi äärellinen, avoin pei- te, sillä perusjoukko itse kuuluu topologiaan.
Määritelmä 4.2. [3, Definition 4.4, sivu 210] Olkoon {Aα :α∈ △} joukon B peite. Olkoon uusi indeksijoukko△′ siten, että△′ ⊂ △. Nyt{Aα :α∈ △′} on peitteen {Aα :α ∈ △}osapeite B:lle, jos B ⊂⋃
α∈△′Aα.
Määritelmä 4.3. [3, Definition 4.5, sivu 211] Avaruus (X,T) on kompakti, jos kaikilla X:n avoimilla peitteillä on olemassa äärellinen osapeite X:lle.
Avaruuden osajoukko B on kompakti, jos aliavaruus (B,TB)on kompakti.
Koska kaikilla topologisilla avaruuksilla on vähintään yksi avoin, äärelli- nen peite, sellaisten löytäminen ei ole kovin mielenkiintoista. Kompaktiuden
määritelmässä vaaditaankin sopivan osapeitteen löytymistä kaikista mahdol- lisista avoimista peitteistä. Tällöin kompaktius voidaan osoittaa epätodeksi yhdelläkin vastaesimerkillä, mutta kompaktiuden osoittaminen todeksi vaatii päätelmien tekemistä kaikista mahdollisista avoimista peitteistä. Näin toimi- taan seuraavissa esimerkeissä. Kompaktiuden toteaminen on siis työlääm- pää kuin yksittäisen äärellisen osapeitteen löytäminen, mutta toisaalta, kos- ka kompaktius koskee kaikkia mahdollisia avoimia peitteitä, kompaktius voi kertoa avaruuden ominaisuuksista paljon.
Esimerkki 4.4. Olkoon R:llä vasemman puolisäteen topologia Tlr, eli topo- logiaan kuuluvat ∅, Rja avoimet välit muotoa (−∞, a), missä a∈R.
a. Osoitetaan, että(R,Tlr) ei ole kompakti. Joukkoperhe {(−∞, n) :n∈ N}muodostaa avaruudelle avoimen peitteen. Jos avaruus olisi kompak- ti, olisi olemassa äärellinen osapeite{(−∞, n1),(−∞, n2), ...,(−∞, ni)}, missä i∈N. Nyt luvuista n1, n2, ..., ni voitaisiin äärellisyyden ansiosta ottaa maksimi nmax. Mutta nyt luku nmax+ 1 ei sisältyisi peitteseen.
Avaruus ei ole kompakti.
b. Osoitetaan, että aliavaruus {x : x < 0} ei ole kompakti. Joukko- perhe {(−∞,−n1) : n ∈ N} muodostaa avoimen peitteen aliavaruu- delle. Jos aliavaruus olisi kompakti, olisi olemassa äärellinen osapei- te {(−∞,−n1
1),(−∞,−n1
2), ...,(−∞,−n1
i)}, missä i ∈ N. Nyt luvuis- tan1, n2, ..., ni voitaisiin äärellisyyden perusteella valita maksiminmax. Mutta nyt luku − 1
nmax+ 1 ei sisältyisi peitteeseen. Aliavaruus ei ole kompakti.
c. Osoitetaan, että aliavaruus C = {x : x ≤ 0} on kompakti. Olkoon aliavaruudella avoin peite. Aliavaruuden avoimet joukot ovat muotoa U ∩C, missä U on avaruuden (R,Tlr) avoin joukko. Jotta luku 0 voi- si sisältyä avaruuden (C,TC) avoimeen peitteeseen, peitteeseen täytyy sisältyä vähintään yksi joukko V, joka on muotoa (−∞, k)∩C, missä k >0. Mutta tällöin koko joukko C sisältyy V:hen, eli V yksin riittää osapeitteeksi.
Esimerkki 4.5. Osoitetaan, että R2 ei ole kompakti. Olkoon {An,m : n ∈ N0, m ∈ N0} joukkoperhe, jossa kukin An,m on muotoa {(x, y) ∈ R2 : n−0,6< x < n+0,6, m−0,6< y < m+0,6}. Tämä joukkoperhe muodostaa äärettömän avoimen peitteen R2:lle. Mutta peitteestä on mahdotonta ottaa äärellistä osapeitettä, sillä yhdenkin joukon poistaminen tuottaisi peittee- seen aukon. Esimerkiksi jättämällä mielivaltaisen avoimen joukonAn′,m′ pois
peitteestä, piste (n′, m′)ei sisältyisi osapeitteeseen. Tällöin avaruus (R2,Tst) ei ole kompakti.
Esimerkki 4.6. Esimerkin 2.5 avaruus on kompakti. Tämä havaitaan hel- posti siitä, että mistä tahansa avoimesta peitteestä voidaan valita yksi, kaksi tai kolme joukkoa, joihin sisältyvät alkiot c1, c2 ja c3. Tällöin pelkästään nämä joukot muodostavat avoimen osapeitteen.
Tarkastellaan kompaktien avaruuksien perusominaisuuksia. Ensimmäinen tulos, Lause 4.7, kertoo, että kompaktien avaruuksien yhdisteet ovat kompak- teja. Sen sijaan Esimerkki 4.8 osoittaa, että vastaava ei välttämättä päde leik- kauksille. Tämä on hieman intuition vastaista, sillä luulisi, että kompaktin avaruuden pienentäminen leikkauksella tuottaisi edelleen kompaktin joukon.
Lause 4.7. Oletetaan, että A ja B ovat avaruuden X kompakteja aliava- ruuksia. Tällöin A∪B on kompakti.
Todistus. Olkoon {Uα : α ∈ △} avoin peite A∪B:lle. Koska A ⊂ A∪B, joukkoperhe {A∩Uα :α ∈ △}on avoin peite kompaktilleA:lle. Tällöin siitä voidaan valita äärellinen avoin osapeite {A∩Uα : α ∈ △′ ⊂ △} . Samoin voidaan muodostaa äärellinen avoin osapeite {B ∩Uα :α∈ △′′⊂ △} B:lle.
Muodostamalla nyt äärellinen yhdiste △′′′ =△′ ∪ △′′ saadaan äärellinen ja avoin osapeite {Uα :α∈ △′′′ ⊂ △} A∪B:lle.
Esimerkki 4.8. Osoitetaan vastaesimerkillä, ettäA∩B ei aina ole kompakti.
Muodostetaan perusjoukkoN∪{a, b}ja sen topologia, jossa avoimia joukkoja ovat N:n diskreetin topologian avoimet joukot, sekä joukotN∪ {a},N∪ {b}
ja N∪ {a, b}.
N∪ {a} ja N∪ {b} ovat kompakteja aliavaruuksia, sillä aliavaruuksien peittäminen kokonaan vaatii sellaisen avoimen joukon sisällyttämistä peit- teeseen, joka yksin peittää koko aliavaruuden. Mutta aliavaruuksien leikkaus Nei ole kompakti, sillä esimerkiksi{n:n ∈N}muodostaa avoimen peitteen, josta on mahdotonta ottaa äärellistä osapeitettä.
Lause 4.9. Jos (X,T) on kompakti ja T1 ⊂ T, niin (X,T1) on kompakti.
Todistus. Valitaan mielivaltainen avoin peite avaruudelle(X,T1). KoskaT1 ⊂ T, peite on avoin myös avaruudessa(X,T), jolloin siitä kompaktiuden perus- teella voidaan valita avoin äärellinen osapeite, mikä osoittaa myös avaruuden (X,T1) olevan kompakti.
Seuraava esimerkki osoittaa, että käänteisessä tilanteessa, missä (X,T) on kompakti ja T ⊂ T1, (X,T1)ei välttämättä ole kompakti.
Esimerkki 4.10. Tarkastellaan luonnollisten lukujen joukkoa triviaalitopo- logialla Ttr.(N,Ttr)on selvästi kompakti. Mutta diskreetillä topologialla Tdr pätee Ttr ⊂ Tdr, eikä (N,Tdr) ole kompakti.
Lause 4.11. Jokaisella kompaktilla, lokaalisti yhtenäisellä avaruudella on vain äärellinen määrä komponentteja.
Todistus. Antiteesi: Komponentteja on ääretön määrä. Koska avaruus on lo- kaalisti yhtenäinen, jokaiselle pisteelle voidaan konstruoida pisteen sisältävä avoin, yhtenäinen joukko. Valitaan komponentti A ja konstruoidaan jokai- selle A:n alkiolle aα, α ∈ △ avoin, yhtenäinen joukko V(aα). Muodostetaan näistä joukoista yhdiste ⋃
α∈△V(aα).
NytA=⋃
α∈△V(aα), sillä selvästiA⊂⋃
α∈△V(aα). Jos puolestaan vali- taan pistex∈⋃
α∈△V(aα), kuuluuxvähintään yhteen yhtenäiseen joukkoon V(aα), jolloin se komponentin määritelmän myötä kuuluu komponenttiin A.
Avointen joukkojen yhdisteenä A on nyt myös avoin.
Nyt ääretön määrä avoimia komponentteja muodostaa avoimen peitteen kompaktille avaruudelle, jolloin kompaktiuden perusteella voitaisiin valita äärellinen osapeite. Mutta komponentit muodostavat avaruudelle osituksen, eli peitteestä ei voida ottaa yhtäkään komponenttia pois. Ristiriita todistaa, että komponentteja on vain äärellinen määrä.
Suoraan kompaktin avaruuden määritelmästä saadaan, että koko avaruut- ta voidaan käsitellä äärellisen monen avoimen joukon kautta. Ominaisuus on samanlainen kuin äärellisillä avaruuksilla. Työn aikana tullaan huomaamaan äärellisen osapeitteen hyötyjä. Esimerkiksi Lauseessa 4.12 kompaktiuden an- siosta voidaan ottaa äärellinen yhdiste suljetuista joukoista, jolloin yhdiste tiedetään myös suljetuksi.
Lause 4.11 kertoo tapauksesta, jossa kompaktilla avaruudella on toinen samanlainen ominaisuus kuin äärellisellä avaruudella. Työn aikana tullaan kohtaamaan lisää tapauksia, joissa kompaktit avaruudet käyttäytyvät kuin äärelliset avaruudet. Tämä on kompakteille avaruuksille ominainen piirre ja avaruuksia onkin luonnehdittu niin, että ne "ovat seuraavaksi parasta ää- rellisten avaruuksien jälkeen". (Keskustelua aiheesta internet-foorumilla läh- teessä [5].)
Kannattaa huomata, että äärellisten avaruuksien peitteet ovat välttämät- tä äärellisiä, joten myös kaikki äärelliset avaruudet ovat kompakteja.
Tarkastellaan seuraavaksi lauseita, joissa kompaktius yhdistyy separaa- tioaksioomiin.
Lause 4.12. OlkoonAkompakti joukko säännöllisessä avaruudessaX. JosU on avoin joukko X:ssä sisältäen A:n, niin on olemassa X:n avoin osajoukko V siten, että A⊂V ⊂V ⊂U.
Todistus. Lemman 2.20 perusteella tiedetään, että jokaiselle x ∈ U on ole- massa avoin joukko V, jolla x ∈ V ⊂ V ⊂ U. Valitaan nyt A:n jokaiselle alkiolle a avoin joukko V(a), jolla pätee
a ∈V(a)⊂V(a)⊂U Nyt voidaan muodostaa yhdiste⋃
a∈AV(a), joka muodostaa avoimen peit- teen joukolle A. Kompaktiuden perusteella voidaan muodostaa äärellinen osapeite joukoista V(ai), missäi= 1,2, ..., n, eli A⊂⋃n
i=1V(ai). Nyt yhdis- te ⋃n
i=1V(ai) ⊂ U on suljettujen joukkojen äärellisenä yhdisteenä suljettu joukko, joka sisältää ⋃n
i=1V(ai):n. Sulkeuman määritelmän myötä
A⊂
n
⋃
i=1
V(ai)⊂
n
⋃
i=1
V(ai)⊂
n
⋃
i=1
V(ai)⊂U.
Lauseen 4.12 todistuksessa sanottiin, että⋃
a∈AV(a), muodostaa avoimen peitteen kompaktille joukolleA. Teknisesti ottaen Määritelmän 4.3 perusteel- la olisi pitänyt tarkastella A:n aliavaruudessa avoimia joukkoja⋃
a∈AV(a)∩ A, kun A:n kompaktiuden perusteella otettiin äärellinen osapeite. Todistuk- sen loppuosan perusidea olisi säilynyt, mutta sen esitys olisi ollut hieman monimutkaisempaa. Onneksi Lause 4.13 perustelee, että tätä vaivaa ei ole tarvetta nähdä.
Lause 4.13. Olkoon (X,T) topologinen avaruus ja (A,TA) sen aliavaruus.
Tällöin A on kompakti jos ja vain jos kaikilla A:n peitteillä {Uα : α ∈ △}, missä Uα∈ T kaikilla α∈ △, on äärellinen osapeite.
Todistus. ⇒ Olkoon A kompakti, eli aliavaruus (A,TA) on kompakti. Ol- koon {Uα : α ∈ △} X:ssä avoin A:n peite. Nyt {A ∩ Uα : α ∈ △}, on aliavaruudessa avoin A:n peite, joten voidaan ottaa äärellinen osapeite {A∩Uα1, A∩Uα2, ..., A∩Uαn},n∈N. Joukkojen Uα1, Uα2, ..., Uαn on peitet- tävä A, joten ne ovat peitteen {Uα :α ∈ △}äärellinen osapeite.
⇐Olkoon kaikilla X:ssä avoimillaA:n peitteillä {Uα :α ∈ △}äärellinen osapeite ja olkoon {A∩Vα :α ∈ △′}aliavaruudessaAavoin A:n peite, missä Vα ∈ T kaikilla α ∈ △′. Nyt {Vα1, Vα2, ..., Vαn} on äärellinen, X:ssä avoin A:n peite. Tällöin aliavaruudessa avoimella peitteellä {A∩Vα :α ∈ △′} on äärellinen osapeite {A∩Vα1, A∩Vα2, ..., A∩Vαn}, eli A on kompakti.
Lauseessa 4.12 osajoukko V on avoin joukko, joka sisältää kompaktin A:n. Lausetta voidaan siis soveltaa uudelleen ja uudelleen. Tästä seuraa se, että joko A lopulta sisältyy joukkoon, joka on sekä avoin, että suljettu, tai
A:n ympärille voidaan konstruoida loputtomasti yhä pienempiä suljettuja ja avoimia joukkoja.
Lauseesta seuraa myös se, että jos kompakti joukko säännöllisessä ava- ruudessa on avoin, on se myös suljettu eräänlaisella kuristusperiaatteella.
Tällöin jos avoin kompakti joukko olisi säännöllisen avaruuden aito osajouk- ko, avaruus olisi epäyhtenäinen, koska avaruus voitaisiin osittaa avoimeen joukkoon ja sen avoimeen komplementtiin. Tunnetusti R on säännöllinen ja Lauseen 3.3 perusteella yhtenäinen. Tämä tarkoittaa sitä, että ainakin R:ssä päädytään ristiriitaan, jos kompaktit joukot ovat avoimia, avaruuden aitoja osajoukkoja. Herää kysymys, että voivatko kompaktit joukot olla avoimia, avaruuden aitoja osajoukkoja missään säännöllisessä avaruudessa. Avaruus {a, b} diskreetillä topologialla osoittaa, että voivat. Ristiriitoja syntyy mah- dollisesti vain yhtenäisissä avaruuksissa.
Myöhemmin työn aikana havaitaan, että reaaliavaruudessa kompaktit joukot ovat välttämättä suljettuja.
Lause 4.14. Jokainen kompakti, säännöllinen avaruus on normaali.
Todistus. Olkoon X kompakti, säännöllinen avaruus. Valitaan avaruudesta kaksi suljettua joukkoa A ja B. Tarkastellaan joukon B alkioita b. Säännöl- lisyyden perusteella jokaiselle b:lle on olemassa avoimet joukot U(b) ja V(b) siten, että A⊂U(b), b∈V(b) ja U(b)∩V(b) =∅.
JoukotV(b)muodostavat avoimen peitteen kompaktilleB:lle, joten niis- tä voidaan valita äärellinen osapeite {V(b1), V(b2), ..., V(bn)}. Nyt osapeit- teen joukoille on vastaavat joukot U(b1), U(b2), ..., U(bn). Ottamalla äärelli- nen leikkaus ⋂n
i=1U(bi) saadaan avoin joukko, jolla pätee A ⊂ ⋂n
i=1U(bi).
Lisäksi B ⊂⋃n
i=1V(bi)ja ⋂n
i=1U(bi)∩⋃n
i=1V(bi) = ∅. Avaruus on normaa- li.
Suljetuilla ja kompakteilla osajoukoilla on tietyissä avaruuksissa vahva yhteys. Tarkastellaan seuraavaksi tuloksia, joiden perusteella selviää millä ehdoin osajoukon sulkeisuudesta seuraa sen kompaktius ja päinvastoin.
Lause 4.15. Olkoon X kompakti avaruus ja B ⊂ X suljettu. Tällöin B on kompakti.
Todistus. Olkoon {Uα : α ∈ △} suljetun joukon B avoin peite. Nyt joukko- perhe {Uα :α∈ △} ∪ {X\B} on kompaktin avaruudenX avoin peite. Täl- löin on olemassa äärellinen osapeite, joka koostuu joukoistaUα1, Uα2, ..., Uαn, joiden täytyy peittää B, sillä {X\B} ei voi sitä tehdä. B on kompakti.
Lemma 4.16. Olkoon A kompakti osajoukko Hausdorffin avaruudessa X ja olkoon x ̸∈ A. Tällöin on erilliset avoimet joukot U ja V, sisältäen A:n ja x:n vastaavasti.
Todistus. Tarkastellaan kompaktin joukon A alkiota a. Hausdorffiuden an- siosta on olemassa erilliset avoimet joukot U(a)ja V(a) siten, ettäa ∈U(a) ja x ∈ V(a). Nyt joukkoperhe {U(a) : a ∈ A} on avoin peite kompaktille joukolle A, joten on olemassa äärellinen osapeite {U(a1), U(a2), ..., U(an)}.
Näille joukoille on olemassa vastineetV(a1), V(a2), ..., V(an). Avointen jouk- kojen äärellinen leikkaus on avoin, joten⋂n
i=1V(ai)on avoin joukko sisältäen x:n, joka ei leikkaa avointa joukkoa ⋃n
i=1U(ai), joka sisältääA:n.
Lause 4.17 seuraa lähes suoraan Lemmasta 4.16. Kompaktin joukon komple- mentin jokaiselle alkiolle löytyy avoin joukko, joka ei leikkaa kompaktia jouk- koa. Tämä tekee komplementista avoimen ja kompaktista joukosta suljetun.
Lause 4.17. Hausdorffin avaruuden kompakti osajoukko on suljettu.
Nyt Lauseet 4.15 ja 4.17 yhdessä tuottavat Seurauksen 4.18. Huomionar- voista on se, että Seuraus 4.18 pätee nimenomaan kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa ja se on heikompi tulos kuin Lauseet 4.15 ja 4.17 erikseen yh- dessä. Lause 4.15 ei vaadi avaruuden Hausdorffiutta eikä Lause 4.17 vaadi avaruuden kompaktiutta. Seuraus 4.18 on kuitenkin merkittävä, sillä nyt on löydetty avaruus, jossa osajoukon kompaktius on yhtäpitävää yksinkertaisen ja varsin fundamentaalisen ominaisuuden kanssa.
Seuraus 4.18. Olkoon X kompakti Hausdorffin avaruus. TällöinA ⊂X on kompakti jos ja vain jos A on suljettu.
Pohditaan suljettua joukkoa kompaktissa Hausdorffin avaruudessa. Seu- raus 4.18 tekee joukosta kompaktin, jolloin Lemma 4.16 tekee avaruudesta säännöllisen. Eikä ketjureaktio pääty tähän, sillä nyt Lause 4.14 puolestaan tekee avaruudesta normaalin, mikä todistaa Lauseen 4.19.
Lause 4.19. Jokainen kompakti Hausdorffin avaruus on normaali.
Kompakteissa avaruuksissa separaatioaksioomat käyttäytyvät hieman eri- koisesti. Yleisesti ottaen normaalitT1-avaruudet ovat säännöllisiä avaruuksia ja säännölliset T1-avaruudet ovat Hausdorffin avaruuksia. Mutta nyt on näh- ty, että kompakteissa avaruuksissa ketjureaktio tapahtuu käänteiseen suun- taan ja Hausdorffin avaruudet ovat automaattisesti säännöllisiä ja normaale- ja. Ja koska yleisesti Hausdorffin avaruudet ovat T1-avaruuksia (ja sen myö- tä T0-avaruuksia), kompaktit Hausdorffin avaruudet ovat jopa T3- ja T4- avaruuksia. Kompakteissa avaruuksissa Hausdorffius on vahvin tässä työssä esitetyistä separaatioaksioomista.
Määritellään seuraavaksi äärellisen leikkauksen ominaisuus, jonka avulla saadaan vaihtoehtoinen tapa kompaktiuden toteamiselle.
Määritelmä 4.20. [3, Definition 4.14, sivu 213] Perheellä {Aα :α∈ △} on äärellisen leikkauksen ominaisuus jos jokaisella äärellisellä osakokoelmalla {Aα1, Aα2, ..., Aαn} on ominaisuus, että ⋂n
k=1Aαk ̸=∅.
Määritelmästä seuraa suoraan, että tyhjä joukko ei voi kuulua perheeseen, jolla on äärellisen leikkauksen ominaisuus.
Lause 4.21. Avaruus X on kompakti, jos ja vain jos jokaisella perheellä X:n suljettuja osajoukkoja {Aα : α ∈ △}, jolla on äärellisen leikkauksen ominaisuus, on epätyhjä leikkaus.
Lause 4.21 on todistettu lähteessä [2, Theorem 5.7, sivu 79].
Osoitetaan Lauseen 4.21 menetelmällä uudestaan, että Esimerkin 2.5 ava- ruus (X,Tk)on kompakti.
Esimerkki 4.22. Olkoon {Aα : α ∈ △} perhe suljettuja joukkoja avaruu- dessa(X,Tk), jolla on äärellisen leikkauksen ominaisuus. Avaruuden jokainen epätyhjä suljettu joukko sisältää pakosti vähintään yhden alkioista c1, c2 ja c3. Muutoin vastaava avoin joukko muodostaisi avaruudelle peitteen, jolloin suljettu joukko olisi tyhjä.
Pyritään osoittamaan hypoteesi H, että vähintään jokin alkioista c1, c2 tai c3 kuuluu kaikkiin perheen {Aα :α∈ △} joukkoihin. Valitaan perheestä joukot A1 ja A2, joiden leikkaus on suljettu ja äärellisen leikkauksen ominai- suuden ansiosta epätyhjä. Oletetaan, että alkioc1 ∈A1∩A2. (Alkion valinta on tässä mielivaltainen.) Jos perheen kaikki epätyhjät joukot sisältävät c1:n, H pätee.
Oletetaan seuraavaksi, että perhe sisältää vähintään yhden joukon A3, joka ei sisällä c1:tä. Nyt leikkauksen A2 ∩A3 on pakko sisältää joko c2 tai c3. Voidaan tehdä oletus, että se sisältää c2:n. Jos perheen kaikki joukot sisältävät c2:n, H pätee.
Oletetaan siis, että perhe sisältää joukonA4, joka ei sisälläc2:ta. JosA4ei sisällä myöskäänc3:ta, niin leikkausA4∩A3 on epätyhjä suljettu joukko, joka ei sisällä yhtään alkioista c1, c2 tai c3. Tämä on mahdotonta, eli A4 sisältää pakosti c3:n. Jos perheen kaikki joukot sisältävät c3:n,H pätee.
Oletetaan siis vielä, että perhe sisältää joukonA5, joka ei sisälläc3:a. Nyt A3 ∩A4 ∩A5 on epätyhjä joukko, joka ei sisällä ainuttakaan alkiota c1, c2 tai c3. Tämä on mahdotonta, joten hypoteesi H pätee kaikissa mahdollisissa tapauksissa.
Nyt kaikilla perheen {Aα : α ∈ △} joukoilla on yhteinen alkio. Tällöin leikkaus ⋂
α∈△Aα̸=∅ ja avaruus(X,Tk) on kompakti.
Lauseen 4.21 menetelmä kompaktiuden toteamiseksi voi olla hyödyllinen erityisissä tilanteissa. Esimerkiksi lähteessä [4] äärellisen leikkauksen omi- naisuutta on hyödynnetty mutkan kautta Tihonovin (Tychonoffin) lauseen
(tässä työssä Lause 4.23) todistuksessa. Avoimien, äärellisten osapeitteiden olemassaolo on kuitenkin vakiintunut kompaktiuden määritelmäksi ja se var- mastikin on yleensä kätevin tapa tarkastella asiaa. Ainakin Esimerkkien 4.6 ja 4.22 tapauksessa tarkastelu äärellisen leikkauksen ominaisuuden kautta oli paljon työläämpää.
Esitetään seuraavaksi mainittu Tihonovin lause. Cain kirjoittaa lausees- ta: "yksi kaikkein tärkeimmistä topologian tuloksista [2, sivu 97]". Lauseel- la on monia merkittäviä sovelluksia tämän työn skaalan ja aiheen ulkopuo- lella. Työn aikana Lause 4.23 osoittautuu hyödylliseksi tarkasteltaessa Rn- avaruuksia.
Lause 4.23. (Tihonovin lause.) Millä tahansa avaruuksien perheellä {Xα : α ∈ △}, ∏
α∈△Xα on kompakti jos ja vain jos jokainen Xα, α ∈ △ on kompakti.
Jo tässä vaiheessa on nähty, että kompakteilla avaruuksilla on hyödylli- siä ominaisuuksia, kuten se, että kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa ei koskaan tarvita ääretöntä määrä avoimia joukkoja suljetun osajoukon peit- tämiseksi. Joskus voi olla toivottavaa, että ei-kompakteista avaruuksista olisi kompaktit versiot, jotka säilyttävät mahdollisimman paljon alkuperäisestä avaruudesta. Ei-kompakteja avaruuksia voidaan kompaktisoida. Kompakti- soinnissa konstruoidaan uusi avaruus, joka on kompakti ja jossa alkuperäinen avaruus on tiheä. Kompaktisoinnin keinoja on useita ja seuraavaksi esitetään yksi, joka tunnetaan yhden pisteen kompaktisointina.
Olkoon (X,T) avaruus, joka ei ole kompakti. Valitaan piste a ̸∈ X ja muodostetaan joukko X∗ =X∪ {a}. Määritetään topologiaT∗ X∗:lle: U ∈ T∗ josU ∈ T tai josX∗\U onX:n suljettu, kompakti osajoukko. Merkitään jälkimmäistä ehtoa *:llä.
Tarkistetaan topologisuuden ehdot:
1. ∅on avoinX:ssä. KunU =X∗,X∗\U =∅.∅on suljettu ja kompakti, sillä tyhjän joukon ainut avoin peite on tyhjä joukko itse. On osoitettu, että ∅∈ T∗ ja X∗ ∈ T∗.
2. JosU, V ∈ T, niin U∩V ∈ T∗. Olkoon seuraavaksiU ∈ T ja toteutta- koonV ehdon *. Jotta X∗\V voisi olla joukkoX:ssä, täytyy{a} ⊂V. Ja jotta se voisi olla suljettu, täytyyV:n olla muotoa V′∪{a}, missäV′ on avoin X:ssä. Vaatimus X∗ \V:n kompaktiudesta asettaa lisäehto- ja V′:lle, mutta jo selvitetty tieto riittää leikkauksen tarkasteluun. Nyt U∩V =U∩(V′∪{a})on avoinX:ssä, eliU∩V ∈ T∗. Täyttäkööt vielä sekä U, ettäV ehdon *. NytU∩V on muotoa (U′∪ {a})∩(V′∪ {a}),
missä U′, V′ ∈ T. Leikkaus ei voi olla avoin X:ssä, joten tarkastel- laan, että onko X∗\(
U∩V)
suljettu ja kompaktiX:n osajoukko. Nyt X∗\(
U ∩V)
=X∗\U∪X∗\V. Tämän yhdisteen molemmat puolet ovat kompakteja ja suljettuja. Lauseen 4.7 perusteella yhdiste on myös kompakti ja suljettu. U∩V ∈ T∗ kaikissa tapauksissa.
3. Olkoon {Uα : α ∈ △} perhe X∗:ssä avoimia joukkoja. Tarkastellaan yhdistettä ⋃
α∈△Uα. Mikäli yhdiste sisältää vain joukossa X avoimia joukkoja, yhdiste on avoin. Olkoon yhdisteessä sitten vähintään yksi ehdon * täyttävä joukko U′. Tarkastellaan, että onko X∗ \ ⋃
α∈△Uα suljettu ja kompakti X:n osajoukko. Nopeasti nähdään, että joukko on suljettu X:n osajoukko. Nyt X∗ \⋃
α∈△Uα ⊂ X∗ \U′, kuten kaikilla yhdisteillä. X∗\U′ on ehdon * mukaisesti suljettu ja kompakti, joten myös sen suljetut osajoukot ovat kompakteja Lauseen 4.15 perusteella.
⋃
α∈△Uα ∈ T∗.
Tarkasti ottaen edellisessä yhdisteen tarkastelussa X∗\⋃
α∈△Uα on sul- jettu avaruudessa X. Mutta tällöin X∗ \⋃
α∈△Uα on suljettu myös aliava- ruudessa X∗\U′.
Lause 4.24. Ei-kompakti X on tiheä kompaktisoidussa X∗:ssä.
Todistus. Tarkastellaan sulkeumaa X. Ainoat X:n sisältävät joukot X∗:ssa ovat X ja X∗. Mikäli vain X∗ on suljettu, väite on todistettu. Tarkastellaan siis, että onko X suljettu X∗:ssa. X:n komplementti X∗:ssa on joukko {a}.
{a}ei ole avoinX:n topologiassa, joten tutkitaan joukkoa X∗\ {a}=X.X oli oletettu ei-kompaktiksi, joten {a}ei ole avoinX∗:n topologiassa. X ei ole suljettu joukko X∗:ssa, joten X =X∗.
Avaruudet voivat menettää alkuperäisiä ominaisuuksia kompaktisoinnin seurauksena, eivätkä kaikki kompaktisoinnin keinot olekaan yhtä hyviä tämän suhteen. Esimerkiksi hyvin yksinkertainen tapa kompaktisoida joukkoja on lisätä joukkoon yksi uusi alkio ja määritellä, että uuden topologian avoimia joukkoja ovat kaikki aiemmat avoimet joukot, sekä uusi perusjoukko. Mer- kitään uutta topologiaa T+. Esimerkiksi (N∪ {a},Tds+) on kompaktisointi, jonka kohteena on luonnollisten lukujen joukko diskreetillä topologialla. Nyt selvästi kaikkien avoimien peitteiden täytyy sisältää uusi perusjoukko, joka yksin muodostaa äärellisen osapeitteen. Kompaktius on hyvin helppo todeta verrattuna joukkoon (X∗,T∗). Mutta (N∪ {a},Tds+)on menettänyt alkupe- räisen avaruuden ominaisuuksista vähintäänkin Hausdorffiuden. Sen sijaan tietyin ehdoin yhden pisteen kompaktisointi säilyttää alkuperäisen avaruu- den Hausdorffiuden [1] (Lause 7.42., sivu 235).
Esimerkki 4.25. Yleinen yhden pisteen kompaktisointi on avaruus (R∪ {∞},Tts∗). Kyseessä on kompakti avaruus, joka sisältää kaikki reaaliluvut ja jonka jokainen avoin joukko sisältää reaalilukuja. Lisättyä pistettä on tapana merkitä äärettömyydellä, mikä on luontevaa, kuten ilmenee. Voidaan osoit- taa, että avaruus(R∪∞)on itseasiassa homeomorfinen ympyrän kanssa. Ku- vassa 4.1 on esitetty vihje, jonka perusteella sopiva homeomorfismi voidaan määrittää. Samalla se perustelee lisätyn pisteen kutsumista äärettömäksi.
Yksityiskohdat jätetään pohdittavaksi.
Kuva 4.1: Reaaliakselin yhden pisteen kompaktisointi on homeomorfinen ym- pyrän kanssa.
Esimerkissä 4.8 mainittiin sen erikoisuus, että kompaktin joukon pienen- täminen leikkauksella ei välttämättä säilytä kompaktiutta. Nyt vastaavasti on erikoista, että ei-kompaktin joukon suurentaminen tekee siitä kompaktin.
Luku 5
Kompaktius kuvauksissa
Tässä luvussa tarkastellaan kompaktien avaruuksien käyttäytymistä kuvauk- sissa. Havaitaan, että avaruuden kompaktius voi kertoa jotain funktion omi- naisuuksista ja funktion ominaisuudet voivat kertoa jotain avaruuksien kom- paktiudesta. Erityisesti havaitaan, että päätelmiä voidaan tehdä paljon jat- kuvista funktioista.
Tarkastellaan aluksi kahta erityistä funktiota, homeomorfismia ja projek- tiofunktiota.
Lause 5.1. Kompaktius on topologinen ominaisuus.
Todistus. Olkoot (A,TA) ja (B,TB) topologisia avaruuksia, joiden välillä on homeomorfismi h:A→B. Olkoon lisäksi A kompakti.
Tarkastellaan B:n avointa peitettä {Vα : α ∈ △}. Peitteen alkukuva {h−1(Vα) : α ∈ △} muodostaa peitteen kompaktille A:lle, joka on avoin homeomorfismin jatkuvuuden perusteella.
Nyt voidaan valita äärellinen osapeite {h−1(Vα1), h−1(Vα2), ..., h−1Vαn}.
Koska h on surjektio, joukot h(h−1(Vα1)) = Vα1, h(h−1(Vα2)) = Vα2,..., h(h−1(Vαn)) = Vαn muodostavat avoimen, äärellisen peitteen B:lle, joka on myös alkuperäisen peitteen osapeite. Tällöin B on myös kompakti, eli kom- paktius on topologinen ominaisuus.
Lause 5.2. Olkoon py : X×Y → Y projektiofunktio. Jos X on kompakti, niin py on suljettu.
Todistus. Olkoon C avaruuden X ×Y suljettu osajoukko. Tavoitteena on osoittaa, että py(C) on suljettu. Valitaan piste y0 ∈ Y \py(C) ja pyritään löytämään sille avoin ympäristö, joka ei leikkaa py(C):tä. Nyt piste (x, y0) kuuluu avoimeen joukkoonX×Y \Cmillä tahansax∈X. Kullekin pisteelle (x, y0)löytyy avoin joukkoU(x)×V(x)siten, että kaikillax,(U(x)×V(x))∩
C =∅.
X:ssä avoimet joukotU(x)muodostavat peitteen kompaktilleX:lle, joten niistä voidaan valita äärellinen osapeite {U(x1), U(x2), ..., U(xn)}. Tarkas- tellaan seuraavaksi Y:n avoimia joukkoja V(x1), V(x2), ..., V(xn). Avointen joukkojen äärellinen leikkaus on avoin, joten muodostetaanV =⋂n
i=1V(xi).
Nyt U(x)×V ei leikkaa C:tä millään x:n arvolla, joten py(C)∩V = ∅ ja y0 ∈ V. Tällöin suljetun joukon kuva on suljettu, eli projektiofunktio on suljettu.
Kuva 5.1: Lauseen 5.2 todistus.
Lauseessa 5.2 mielenkiintoista on se, että projektion kannalta niin sano- tusti turha dimensio vaikuttaa funktion luonteeseen. Tihonovin lauseen pe- rusteella projektiofunktioista tiedetään jo, että kompaktin joukon kuva on kompakti. Mutta miten tilanne on tavallisella jatkuvalla funktiolla? Lause 5.3 antaa vastauksen.
Lause 5.3. Olkoon f :X →Y jatkuva funktio ja A⊂ X kompakti. Tällöin f(A) on kompakti.
Todistus. Olkoon {Uα : α ∈ △} kuvajoukon f(A) avoin peite. Koska funk- tio on jatkuva, {f−1(Uα) : α ∈ △} on kompaktin A avoin peite. Tällöin on olemassa äärellinen osapeite {f−1(Uα1), f−1(Uα2), ..., f−1(Uαn)}. Näiden joukkojen kuvat muodostavat kuvajoukon f(A) avoimen peitteen äärellisen osapeitteen {Uα1, Uα2, ..., Uαn}, eli f(A) on kompakti.
Lause 5.3 on vahvempi versio Lauseesta 5.1. Nimittäin maalijoukon Y kompaktius voidaan todeta Lauseella 5.3, jos funktiof on surjektio. On kui- tenkin huomattava, että Lause 5.3 ja tieto, että on olemassa jatkuva surjektio f : X → Y, ei takaa, että jos Y on kompakti, niin myös X on kompakti.
Tarvitaan myös jatkuva surjektio g :Y →X, jotta se voidaan Lauseella 5.3 todeta. Homeomorfismin tapauksessa tarkastelua ei tarvitse tehdä molempiin suuntiin, sillä suunnan valinta on mielivaltaista. Lauseita on helpompi ver- tailla, jos muotoilee Lauseen 5.1 muotoon: "Kompaktius avaruuksien X jaY välillä säilyy, jos on olemassa jatkuvat funktiot h :X →Y ja h−1 :Y →X, missä funktiot ovat toistensa käänteisfunktioita."(Ehdoista automaattisesti seuraa, että hjah−1 ovat avoimia bijektioita.) Lause 5.3 antaa vapautuksen, että jatkuvien surjektioidenf jagei tarvitse olla toistensa käänteisfunktioita.
Lauseesta 5.3 seuraa Lause 5.4, sillä määrittelyjoukon suljettu joukko saadaan Lauseen 4.15 nojalla kompaktiksi, ja kompaktin joukon kompakti kuva saadaan Hausdorffin avaruudessa taas suljetuksi Lauseella 4.17.
Lause 5.4. Olkoon f : X → Y jatkuva funktio. Jos X on kompakti ja Y Hausdorffin avaruus, niin f on suljettu funktio.
Lause 5.5. Olkoon X kompakti ja Y Hausdorffin avaruus. Tällöin jatkuva bijektio f :X →Y on homeomorfismi.
Todistus. Bijektiivisyys ja jatkuvuus on annettu. Riittää osoittaa, ettäf on avoin.
OlkoonUavoin joukkoX:ssä, eliX\U on suljettu. Lauseen 5.4 perusteella f on suljettu, eli f(X\U)on suljettu. Koska f on surjektio,Y \f(X\U) = f(U). f(U) on siis avoin.
Edellisessä luvussa selvitettiin, että kompakteissa Hausdorffin avaruuk- sissa suljetut osajoukot ovat ekvivalentteja kompaktien osajoukkojen kanssa.
Nyt Lause 5.6 antaa näihin avaruuksiin jatkuvuuden määritelmälle vaihtoeh- don korvaamalla määritelmän avoimet joukot kompakteilla joukoilla.
Lause 5.6. Olkoot X ja Y kompakteja Hausdorffin avaruuksia. f :X →Y on jatkuva jos ja vain jos jokaisella kompaktillaM ⊂Y,f−1(M)on kompakti X:ssä.
Todistus. ⇒Seurauksen 4.18 nojalla kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa joukot ovat suljettuja jos ja vain jos ne ovat kompakteja. Nyt M on suljettu, eli Y \M on avoin. Funktion jatkuvuuden perusteella f−1(Y \M) = X \ f−1(M) on avoin, eli f−1(M) on suljettu ja siten kompakti, viitaten jälleen Seuraukseen 4.18.
⇐Olkoon V avoin joukko Y:ssä. Tällöin Y \V on suljettu ja kompakti.
Oletuksen perusteella f−1(Y \V) = X\f−1(V)on myös kompakti. KoskaX on Hausdorff-avaruus, X\f−1(V) on suljettu ja siten f−1(V) on avoin. On osoitettu, että f on jatkuva.
Lause 5.3 antaa tiedon, että jatkuvalla funktiolla kompaktin osajoukon kuva on kompakti. Lause 5.6 puolestaan antaa tiedon, että jatkuvalla funk- tiolla kompaktin osajoukon alkukuva on kompakti, mutta nyt vaaditaan li- säksi, että määrittelyjoukko on kompakti ja että maalijoukko on Hausdorff.
Tämän luvun tuloksissa Hausdorffin avaruudet ja jatkuvat funktiot ovat vah- vasti läsnä. Tämä johtuu siitä, että topologiassa toimitaan avoimilla ja sul- jetuilla joukoilla, joiden käsittelyyn avaruuksien välillä jatkuvat funktiot an- tavat hyvän keinon. Ja Seuraus 4.18 on se keino, jolla joukkojen kompaktius saadaan sidottua joukkojen sulkeisuuteen.
