x  13 x 1.1. Itseisarvo

1.1. Itseisarvo

* luvun etäisyys nollasta ^

 



 

0 kun x

, x -

0 kun x

, x x

E.2. Poista itseisarvot lausekkeesta

 1 x

x – 1 ≥ 0 x ≥ 1

 1

x   







 

1 x 1

x -

1 x

, 1 x

x

2

E.3. a)

= x

²

1 3 x

²



b)

= 3x

²

+ 1

koska

3x

²

+ 1 ≥ 0 + 1 > 0

1.1.3. Itseisarvofunktio 1.1.3. Itseisarvofunktio

E.7. Piirrä funktion y  x  1 kuvaaja

x

y  x  1

-3

-2

-1

0

1

2 1

3  



1 1

2  



0 1

1  



1 1

0   2 1

1  

1.2. Itseisarvoyhtälöt

1) 1) E.2.

3 1 

 x

x +1 = 3 tai x+1 = -3

x = 3 -1 tai x = -3 - 1

x = 2 tai x = -4

x x  1  2

 x - 1 = 2x tai x - 1 = -2x

 x - 2x = 1 tai x +2x = 1  -x = 1 tai 3x = 1  x = -1 tai x =1/3 Vastaus: x = 1/3

x  0

2) 2)

E.4.

x x  6  2

x - 6 = 2x tai x - 6 = -2x x - 2x = 6 tai x +2x = 6 -x = 6 tai 3x = 6 | : 3 x = -6 tai x = 2

Vastaus: x

₁

= -6, x

₂

= 2 4) 4)

x x  6  2 (x - 6)

²

= (2x)

²

x

²

– 12x + 36 = 4x

²

3x

²

+ 12x - 36 = 0 x

²

+ 4x – 12 = 0

Vastaus: x = -2, x = -6 2

) 12 (

1 4 4

4 

²

   

  x

2 8 4 

 

x

| 3x + 12 | < 3 -3 < 3x + 12 < 3 -15 < 3x < -9 -5 < x < -3

E.1. E.2.

| 3x -7 | > 2

3x - 7 > 2 tai 3x - 7 < -2

3x > 9 tai 3x < 5

x > 3 tai x < 5/3

2.

E.3.(46a) E.4.(46b)

3.

E.5.

8 2

3 8 4 )

10 (

10

²











 

x

Nollakohdat:

16 2 10 

 2

x 1 4

3

2

1

 

x

Pisteen P(x,y) etäisyys x- tai y-akselista xy-koodinaatistossa

Etäisyys x-akselista = | y | . Etäisyys y-akselista = | x |

E.1. Mikä on pisteen (4,-5) etäisyys

a) x-akselista b) y-akselista c) origosta?

a) |-5| = 5

|-5| = 5

b) |4| = 4

|4| = 4

2 2 2  4 5 d

2  41 d

 41 d

c)

Janan pituus yleisesti P₁P₂ =

(

x₂



x₁

)

²

 (

y₂



y₁

)

²

E.2. Mikä on pisteiden a) (2,3) ja (5,-1) etäisyys

P₁= (x₁,y₁)

P₂= (x₂,y₂)

2 2 ( 1 3) )

2 5

(    



d  3² (4)²  25 = 5

Janan keskipiste

E.3. Laske janan keskipisteet, kun päätepistee ovat (4,0) ja (-2,-8) Pisteiden (x₁,y₁) ja (x₂, y₂) välisen janan keskipiste on

2 ) 2 ,

(x¹  x² y¹  y²

2 ) 8 ,0 2

2

(4  = (1, -4)

Tutkiminen, onko piste jollakin yhtälön avulla määritellyllä käyrällä

E.4. Onko piste (3½,4) suoralla y = 2x - 3?

4 = 2  3½ - 3 4 = 4

tosi

V: Piste on suoralla

E.5. Mikä on a, kun piste (2,3) on käyrällä 3x - ay + 6 = 0?

3  2 – 3a + 6 = 0 6 – 3a + 6 = 0 -3a = -12

a = 4

2.2 Suora y = kx + b

E.1.

Piirrä suora y = 2x + 4

2.2.1 Suoran piirtäminen

TAPA I

x y . -1 2  (-1) + 4 = 2

0 4

1 6

y = 2x + 4

TAPA II

Koordinaattiakselien leikkauspisteet:

y-akseli, x = 0: y = 2  0 + 4 = 4 x-akseli, y = 0: 0 = 2x + 4

 2x = - 4  x = -2

2.2 Suora y = kx + b

2.2.1 Suoran piirtäminen

1 2

1 2

x x

y y

x k y



 



 

_x

1 ≠ x₂

E.3. Määritä pisteiden (1,2) ja (3,8) kautta kulkevan suoran kulmakerroin

1 3 3

2

8 



 

k ³

3 1

8

2 



  k

KULMAKERROIN KULMAKERROIN

2.2.3 Suoran suuntakulma 2.2.3 Suoran suuntakulma

x k x

y

y 





²



¹

tan 

E.4. Mikä on suoran kulmakerroin , kun suuntakulma on

a) 45° b) - 30 ° a) k = tan 45° = 1

b) k = tan -30° = -tan30°=

E.5. Mikä on suoran suuntakulma, kun kulmakerroin on 2 tan  = 2

  63,4

E.6. Mikä on suoran y = 4x + 5 suuntakulma?

k = 4

tan  = 4   76,0

y - y

y - y

₀₀

= k(x - x = k(x - x

₀₀

) )

missä

(x₀, y₀) suoralla oleva piste ja k suoran kulmakerroin

Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, niin suora on y-akselin suuntainen ja sen yhtälö on

x = x

x = x

₀₀

E.1.

Kulmakerroin on 4

suoralla on piste (2, -3).

Mikä on suoran yhtälö?

y - (-3) = 4(x - 2) y + 3 = 4x - 8

y = 4x - 8 -3 y = 4x - 11

E.2. Mikä on pisteiden (2,-3) ja (5,1) kulkevan suoran yhtälö?

3 4 2

5

) 3 (

1

1 2

1

2 





 



 

x x

y k y

y – y

y – y₀₀ = k(x – x = k(x – x₀₀) )

) 5 3 (

1  4 



 y x

3 20 3

1  4 



 y x

20 4

3

3y   x 

0 17

3

4   

 x y

E.1. Missä pisteessä -3x + 4y = 12 leikkaa koordinaattiakselit?

Suoran ja x-akselin leikkauspiste:

y=0:

-3x + 4  0 = 12

-3x = 12 |:(-3)

x = -4 V: (-4,0)

Suoran ja y-akselin leikkauspiste:

x=0:

-3  0 + 4  y = 12

4y = 12 ^|:4 y = 3

V: (0,3)

Kirjan E.2. – s. 53

Määritä sen suoran yhtälö, joka on suoran 2x – 3y + 5 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-2, 3) kautta.

2x – 3y + 5 = 0

3 5 3

2

5 2

3













x y

x y

)) 2 (

3 (

3  2  

 x

y

3 4 3

3  2 

 x

y

4 2

9

3y   x 

0 13

3

2x  y  

TAITAI

2x – 3y + c = 0 sijoitus

-4 – 9 + c = 0

c = 13

2x – 3y + 13 = 0

E.1. Määritä suoran y = 3x + 4 suuntaisten suorien parvi.

y = 3x + c

E.3. Muodosta pisteen (2,3) kautta kulkevien suorien parvi.

y – 3 = k(x – 2) tai x = 2 y = kx – 2k + 3 tai x = 2

E.4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2x+ 3y + 4= 0 suuntainen ja se kulkee pisteen (7,-8) kautta

2x + 3y + c = 0

2  7 + 3  (-8) + c = 0

c = 10

V: 2x + 3y + 10 = 0

Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta Suoran yhtälö on oltava yleisessä muodossa

ax + by + c = 0 ja olkoon piste (x

₀

,y

₀

) (a ≠ 0 tai b ≠ 0)

2 2

0 0

b a

c by

d ax





 

E.2. Laske pisteen (1,2) etäisyys suorasta 3x - 4y = 5 3x – 4y = 5

3x – 4y – 5 = 0

5 2 4 1

3    

d

 3  8  5 10

E.1. Mikä on pisteen

a) (1,2) etäisyys suorasta y = 4?

b) (5,6) etäisyys suorasta x = -3?

a) d = | 2 - 4 | = 2 a) d = | 2 - 4 | = 2

b) b) d = | 5 – (-3) | = 8d = | 5 – (-3) | = 8

E.1.

Tutki suorien y = 3x - 4 , 6x + 2y = 3 ja

6x - 2y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta

y = 3x – 4 k₁ = 3

6x + 2y = 3

2y = -6x + 3 y = -3x + 3/2

k₂ = .3 6x - 2y + 3 = 0 -2y = -6x – 3 y = 3x + 3/2 k₃ = 3

V: Suorat y = 3x – 4 ja 6x + 2y = 3 ovat yhdensuuntaisia

E.2.

E.2.

Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö?

k = 3

y – y₀ = k(x – x₀) y – 2 = 3(x – 1) y – 2 = 3x – 3 y = 3x - 1y = 3x - 1

TAITAI

Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö?

3x – y + 4 = 0

b

k

 

a

3

1 3 

 



Kuten edellä…

TAI

3x – y + c = 0 3  1 – 2 + c = 0 c = -1 3x – y – 1 = 0

3.1.2. Suorien kohtisuoruus 3.1.2. Suorien kohtisuoruus

E.1. Mikä on normaalin kulmakerroin, kun suoran kulmakerroin on a) k = 3 b) -4

3

 1

N



k 4

1 4

1 

 

N

 k

E.2. Tutki suorien L

₁

:y = 2x + 3 , L

₂

:y = ½x - 1 ja L

₃

:y = -½x + 2 kohtisuoruutta.

k

₁

= 2 k

₂

= ½ k

₃

= -½ L

₁

 L

₃

, koska

k

₁

 k

₃

= 2  (-½)= -1

E.3. Laske pisteen (1,2) kautta kulkevan suoran y = 2x + 3 normaalin yhtälö.

k = 2

2

 1

N



k y - 2 = -½(x - 1)

y – 2 = -½x + ½

3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA 3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA

2 1

1 2

tan 1

k k

k k



 

 Olkoon

y = k₁x + b₁ y = k₂x + b₂

 = suorien välinen kulma Kun  < 90, niin

E.x. (t. 198) Laske suorien

a) 2x – 8y + 1 = 0 ja 2x + y – 2 = 0

3.2.1 Suorien leikkauspiste

E.1. (t. 220)

Laske suorien x + y + 2 =0, y = 2x + 1 ja x – 2 = 0 rajoittaman kolmion ala.

x + 2x + 1 + 2 = 0 3x = -3 x = -1 y = 2  (-1) + 1 = -1















1 2x y

0 2 y x











 2 x

0 2 y

x 2 + y + 2 = 0

y = -4

leikkauspiste B = (2, -4)









 2 x

1 2x

y y = 2 2 + 1

y = 5

leikkauspiste C = (2, 5)

Kirjan E.3., s. 78

E.1. Missä sijaitsevat ne tason pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön x + y  1

1) x + y = 1

y = -x + 1

3) Valitaan piste suoran yläpuolelta: (1,2)

Sijoitetaan piste yhtälöön:

1 + 2 = 3 ≥ 1, tosi

4) Valitaan piste suoran alapuolelta (0,0)

Sijoitetaan piste yhtälöön:

0 + 0 = 0 ≥ 1, epätosi 5) Vastaus: Epäyhtälö

toteutuu suoralla x + y = 1 ja

2)

E.2.

Piirrä epäyhtälöiden x2, y  1, x+y  6 ja x +2y  8 rajaama alue

x2 y  1

x+y  6 x+y = 6

y = -x + 6 Piste yläpuolelta:

(5,5)

5 + 5 = 10 > 6 tosi

Piste alapuolelta:

(0,0)

0 + 0 = 0 > 6

epätosi

x +2y  8 2y = -x + 8

y = -0,5x + 4 Piste yläpuolelta:

(4,5)

4 + 2*5 = 14 > 8 tosi

Piste alapuolelta:

(0,0)

0 + 0 = 0 > 8

epätosi

Yhdistetään tulokset

x+y  6

x +2y  8 y  1,

x2,

E.1. Ratkaise yhtälöpari

 











7 4

10 2

4

y x

y

x

_{| 2}

| 1

 







 7 4y

x

20 4y

- 8x

9x = 27 x = 3

V: x = 3, y = 1

y sijoittamalla 3 + 4y = 7

4y = 7 – 3 4y = 4

y = 1

Tarkistus:

4  3 – 2  1 = 10 ./.

3 + 4  1 = 7 ./.

E.2.

































5 2

13 3

2

17 4

c b

a

c b

a

c b

a























5 2

17 4

c b

a

c b

a





















13 3

2

17 4

c b

a

c b

a

|

^

1

|(-1) |

^

1

|

^

(-1)





















13 c

3b

2a

17 c

b 4a



















5 2

17 4

c b

a

c b

a

2a - 4b = -4 6a -2b = -12

















12 - b 2 a 6

(-3)

4

b 4 2a













12 - b 2 a 6

12

12b

6a -

10b = 0 |:10

Sijoittamalla 2a - 4

^

0 = -4 2a = -4 a= -2

Ratkaise:

c: 4

^

(-2) - 0 + c = -17 => c = -9 b = 0

t t

a a

r r

k k

i i

s s

t t

u u

s s

Kirjan esimerkki 2, sivu 96

3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia 3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia E.1. (t. 260)

Ratkaise yhtälöryhmät a)

 



















0 3 2

0 3 2

x z y

z y x

(-1)

 



















0 3 2

0 3 2

z y x

z y x

V: kaikki (x, y, z), joille x – 2y + z – 3 = 0

b)

 



















0 5 2

3

0 4 5

3 2

z y

x

z y

x



3

 

















5 2

3

4 5

3 2

z y

x

z y

x

 



















15 6

3 9

4 5

3 2

z y

x

z y

x

11x = -11z + 11

| :11

x = -z + 1 Sijoitus:

3(-z + 1) + y + 2z = 5 -3z + 3 + y + 2z = 5

y = z + 2

x = 1 – z, y = z +2, z  R

c)

 



















0 5 2

0 4 2

x y z

z y x

(-1)

 



















0 5 2

0 4 2

z y x

z y x

V: Ei ratkaisua

 



















5 2

4 2

z y x

z y x

3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia 3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia E.1. (t. 264)

Ratkaise yhtälöryhmä

 



 





































0 1 3

4

0 4 2

3

0 7 2

0 6 4

3 5

z y

x

z y

x

z y x

z y

x Valitaan osaryhmä

 

 



























0 1 3

4

0 4 2

3

0 7 2

z y

x

z y

x

z y x

 



















0 4 2

3

0 7 2

z y

x

z y x

 



















0 1 3

4

0 4 2

3

z y

x

z y

x

5x - z + 3 = 0 7x - 5z - 3 = 0

 













3 5

7

3 5

z x

z

x ^(-5)

 













3 5z 7x

15 5z

25x

-18x = 18 x = -1 z: 5  (-1) – z = -3

z = -2

y: 3  (-1) + y – 2  (-2) – 4 = 0

Tutkittava toteuttaako, osaryhmän ratkaisu 4. yhtälön 5x – 3y – 4z + 6 = 0

Sijoitus:

5  (-1) – 3  3 – 4  (-2) + 6 = 0 0 = 0

tosi

V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2

*************

4.1 YMPYRÄ 4.1 YMPYRÄ

Yhtälö keskipistemuodossa (x - x

₀

)

²

+ (y - y

₀

)

²

= r

²

,

missä keskipiste on (x

₀

,y

₀

) ja säde on r

^.

P₀(x₀,y₀)

E.1. Mikä on ympyrän yhtälö, kun K = (2,3) ja r = 4 ?

(x – 2)² + (y – 3)² = 4² (x – 2)² + (y – 3)² = 16

E.2. Mikä on ympyrän (x - 1)² + (y - 3)² = 4 keskipiste ja säde?

(1, 3)

Yhtälön muodostamisia eri tilanteissa Yhtälön muodostamisia eri tilanteissa

* Lasketaan annetuista tiedoista keskipiste ja säde.

E.3. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2,3) ja joka kulkee pisteen (5,-1) kautta?

2

2

( 1 3 )

) 2 5

(    

 r

E.4. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (3,-4) ja joka sivuaa y-akselia?

5 25 



(x – 2)² + (y – 3)² = 5² (x – 2)² + (y – 3)² = 25

r = 3

(x – 3)² + (y – (-4))² = 3² (x – 3)² + (y + 4)² = 9

E.5. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka halkaisijan päätepisteet ovat

´ (1,2) ja (-3,4)?

2 2

( 4 2 ) )

1 3

(    



d  20  2 5

2 5 5

2 

 r

2 3 4 2

2 1 ) 3 ( 1

0 0

 





 

  y

x

( x  (  1 ))

²

 ( y  3 )

²

 ( 5 )

²

5

) 3 (

) 1

( x 

²

 y 

²



4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa 4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa

x² + y² + ax + by + c = 0

E.6. Esitä ympyrän (x - 1)² + (y - 2)² = 3 yleisessä muodossa.

x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 3 x² + y² – 2x – 4y + 2 = 0

E.7. Mikä on ympyrän x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0 keskipiste ja säde?

x² – 2x + y² + 4y = 4

x² – 2x + 1+ y² +4y + 4 = 4 + 1 + 4 (x – 1)² + (y + 2)² = 9

V: K = (1,-2) , r = 3

Yleisen yhtälön x

Yleisen yhtälön x

²²

+ y + y

²²

+ ax + by + b = 0 kuvaajat + ax + by + b = 0 kuvaajat

E.8. Mikä on yhtälön a) x² + y² - 4x + 8y + 20 = 0

b) x² + y² - 10x + 12y + 62 = 0 kuvaaja?

a) x² – 4x + 4 + y² + 8y + 16 = - 20 + 4 + 16

(x – 2)² + (y + 4)² = 0 Kuvaaja piste (2, -4) b) x² – 10x + 25 + y² + 12y + 36 = -62 + 25 + 36

(x – 5)² +(y + 6)² = -1 Ei kuvaajaa

E.9. Millä a:n arvoilla yhtälön x² + y² + 2x - 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä?

x² +2x + 1 + y² – 4y + 4 = -a + 1 + 4 (x + 1)² + (y – 2)² = - a + 5

Ympyrä, jos - a + 5 > 0 a < 5

Suoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminen Suoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminen

Ratkaistaan suoran ja ympyrän yhtälöiden muodostama yhtälöpari.

E.10. Laske suoran x - y = 4 ja ympyrän x² + y² = 16 leikkauspisteet.

 











16 4

2

2

y

x y x

 











16 4

2

2

y

x

x y

x² + (x – 4)² = 16

x² + x² – 8x + 16 = 16 2x² – 8x = 0

2x(x – 4) = 0

x = 0 tai x – 4 = 0

x = 4 y sijoittamalla:

y = 0 – 4 = -4 y = 4 – 4 = 0

V: (0, -4) ja (4, 0)

E.11. Laske ympyröiden x² + y² = 5 ja x² + y² - 2x - 6y + 5 = 0 leikkauspisteet.

V: (2,1) , (-1,2)





















0 5 6

2 5

2 2

2 2

y x

y x

y x

 (-1) 





















0 5 6

2 5

2 2

2 2

y x

y x

y x

2x + 6y – 5 = 5 2x + 6y = 10













5 10 6

2

2

2 y

x

y x















5 5 3

2

2 y

x

y x

5 )

5 3

( y  ²  y²  9y² 30y 25 y²  5 10y² 30y 20  0 0

2

2 3y  

y Ratkaisukaavalla: y₁ = 1 y₂ = 2

x₁ = -3  1 + 5 = 2 x₂ = -3  2 + 5 = -1

4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti 4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti

Sekantti = suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä

Tangentti = suora, jolla yksi yhteinen piste ympyrän kanssa

* tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteen kautta kulkevaa sädettä vastaan

* keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista

E.12. Mikä on ympyrän (x - 1)² + (y - 2)² = 10 pisteeseen (4,3) piirretyn tangentin yhtälö?

Piste (4, 3) on ympyrällä, sillä (4 – 1)² + (3 – 2)² = 10

(x₀, y₀) = (1, 2)

Ympyrän keskipisteen (1, 2) ja pisteen (4, 3) määräämän suoran kulmakerroin:

3 1 1

4 2

3 



 

k k_T

  3

tangentin yhtälö:

y - 3 = -3(x – 4) 3x + y – 15 = 0

E.13. Mikä on ympyrän x² + y² = 5 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = 2x suuntainen?

K = (0, 0)

r  5

tangentin yhtälö y = 2x + c

2x – y + c = 0

) 5 1 ( 2

0 1 0 2

2

2















c

5

5 



c

5

 5

c



c

 5

 5



c V: y = 2x  c

E.14.

Laske pisteen (0,-5) kautta kulkevien ympyrän x² + y² = 5 tangenttien yhtälöt 0² + (-5)² = 25 > 5, joten piste suoran ulkopuolella

tangentti kulkee pisteen (0, -5) kautta, joten sen yhtälö on y + 5 = k(x – 0)

kx – y – 5 = 0

x₀, y₀ = (0, 0) ja säde r

 5

Keskipiste säteen etäisyydellä tangentista:

) 5 1 (

5 0 1 0

2

2















k

k

5

1 5

2



 

k

1

5

5 

k²

  5  5

k²

 5  25  5

k²

 5 20

5

k²

 

k²

 4 

k

  2

Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin suuntainen

suuntainen

Yhtälön

y - y

₀

= a(x - x

₀

)

² kuvaaja on paraabeli, jonka huippu on pisteessä (x₀,y₀) ja

joka on yhtenevä paraabelin y = ax² kanssa akseli on y-akselin suuntainen, x = x₀

E.1. Esitä huippumuodossa yhtälö paraabelille a) y = x² + 3 b) y = x² + 2x a) y – 3 = x²

y – 3 = (x – 0)² b) y = x² + 2x

y + 1 = x²+ 2x + 1 y + 1 = (x + 1)²

Huipun laskeminen Huipun laskeminen

Sievennä yhtälö huippumuotoon ja katso siitä huippu.

E.2. Laske paraabelin y = x² - 4x + 5 huippu y – 5 = x² – 4x

y – 5 + 4 = x² – 4x + 4 y – 1 = (x – 2)²

Huippu pisteessä (2, 1)

Jos paraabeli leikkaa x-akselin, niin huippu voidaan laskea myös paraabelin ja x-akselin leikkauspisteiden avulla:

x₀ on leikkauspisteiden keskiarvo

y₀ saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön

Suoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminen Suoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminen

E.3. Laske paraabelin y = x² - 2x - 3 ja suoran y = x - 5 leikkauspisteet.















3 2

5

2 x

x y

x y

3 2

5 

²

 

 x x

x

0 2

2

 3

x

 

x

2 1 3 2

2 1 4 )

3 (

3  ²     

 x

x₁ = 2 , x₂ = 1

y sijoittamalla:

y₁ = 2 – 5 = -3 y₂ = 1 – 5 = -4

V: (2, -3) ja (1, - 4)

Paraabelin tangentin laskeminen Paraabelin tangentin laskeminen

E.4. Mikä on a, kun suora y = x + a sivuaa paraabelia y = x² - 3x + 1?

 













1

2

3 x

x y

a x y

1

2

 3 



 a x x x

0 1

2

 4 x   a  x

D = (-4)² – 4  1  (1 – a) = 16 – 4 + 4a = 12 + 4a

D = 0: 12 + 4a = 0  4a = -12 a = -3 V: y = x - 3