• Ei tuloksia

ay - � = 0, ax + y + � = o. Osoita, että ratkaisupisteen (x, y) etäisyys origosta on a:sta riippumaton.

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "ay - � = 0, ax + y + � = o. Osoita, että ratkaisupisteen (x, y) etäisyys origosta on a:sta riippumaton. "

Copied!
1
0
0

Kokoteksti

(1)

YLIOPPILASTU TKIN TO 21.9.1988 MATEMATIIKKA, YLEINEN OPPIMAARA Tehtävissä 1, 2, 5, 6 ja 10 ratkaistaan joko kohta a) tai kohta b).

1. a) Tuotteen hintaa korotettiin 10 %, jolloin hinnaksi tuli 121 mk. Mikä oli tuotteen alkuperäinen hinta?

b) Millä x:n arvoilla tulon x(x + 1) derivaatta on 2 ? 2. a) Millä x:n arvoilla x3 on pienempi kuin x ?

b) Uima-altaan pituus on 25 m ja leveys 12 m. Sateen aikana altaan veden pinta nousee 3 mm. Kuinka monta litraa altaan vesimäärä tällöin lisääntyy?

3. Funktio, jonka derivaatta on 1- x, saa arvon 10, kun x = 10. Määritä funktion suurin arvo.

4. Määritä kaikki origosta lähtevät vektorit, jotka ovat vektorin 12, - 13} pituiset ja kohtisuorassa sitä vastaan.

5. a) Yrityksen liikevaihto kasvaa 10 % vuodessa. Kuinka monessa vuodessa liikevaihto on ylittänyt 10-kertaisen määrän?

b) Kuinka monta kilogrammaa ilmaa mahtuu ilmapalloon, jonka säde on 1,6 m? Litra ilmaa painaa 1,29 g.

6. a) Mikä on todennäköisyys, että neljää noppaa heitettäessä saadaan vähintään kaksi yhtä suurta silmälukua?

b) Saarella, jonka pinta-ala on 3,00 ha, on kahden talon välinen etäisyys 200 m. Voiko saari olla ympyrän muotoinen?

7. Suorakulmaisen kolmion kaksi sivua ovat 2 ja 3. Määritä näiden välinen kulma 0, 10 tarkkuudella. Kaikki ratkaisut!

8. Suoran ympyrälieriön korkeuden ja pohjan halkaisijan summa on 20. Määritä lieriön korkeus siten, että lieriö on tilavuudeltaan mahdollisimman suuri. Laske suurin tila­

vuus.

9. Laske paraabelin

y

= x2 sekä tämän pisteestä (1,0) piirrettyjen tangenttien rajoitta­

man alueen ala.

10. a) Kumpi luvuista 3-/2000000 ja 2-/3000000 on suurempi?

b) Ratkaise yhtälöpari x -

ay - �

= 0, ax +

y

+

= o. Osoita, että ratkaisupisteen (x,

y)

etäisyys origosta on a:sta riippumaton.

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Oletetaan, että annetulla yhtälöllä olisi jokin positiivinen kokonaislukurat- kaisu x, y, z.. Todetaan aluksi, että jos x, y ja z olisivat kaikki parittomia, niin yhtälön vasen

Olkoon piste I kolmion ABC sisäänpiirretyn ympyrän keskipiste, piste X ympyrän sivuamispiste janalla BC ja piste Y ympyrän sivuamispiste janalla CA.. Olkoon piste P suoran XY ja

Osoita, että jos kaksi vektoria on kohtisuorassa, niin ne ovat lineaari- sesti riippumattomia2. Miten määrittelisit useamman vektorin lineaarisen

Jos siirret¨ a¨ an origo kello 12 kohdalle (v 12 = 0) ja m¨ a¨ aritell¨ a¨ an vektorit edelleen origosta l¨ ahteviksi ja tasatunteihin p¨ a¨ atyviksi, niin mink¨ a

Jos siirret¨ a¨ an origo kello 12 kohdalle (v 12 = 0) ja m¨ a¨ aritell¨ a¨ an vektorit edelleen origosta l¨ ahteviksi ja tasatunteihin p¨ a¨ atyviksi, niin mink¨ a

Osoita, että kaikki ne avaruuden vektorit, jotka ovat kohtisuorassa vektoria vastaan, muodostavat kahden vektorin virittämän tason.. Mistähän yhtälön nimi

Luettu 5.3.2013. Kuution sisällä on pyramidi, jonka pohja yhtyy kuution pohjaan ja jonka korkeus on puolet kuution särmän pituudesta. Määritä pyramidin ja kuution tilavuuksien

publish('H2T10R','pdf') % Komentoikkunassa, älä tässä, tai ikuinen looppi.. Published with