Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi

(1)

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi

Panu Luosto

23. marraskuuta 2007

putki

keh¨a α α+1α+2α+3

K−4 K−3 K−2 K−1

0 1 2

3 4

(2)

Lähdeartikkeli

Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph theory helps self-stabilization.PODC ’04: Proceedings of the twenty-third annual ACM symposium on Principles of distributed computing, New York, NY, USA, 2004, ACM Press, sivut 150–159.

(3)

Sisältö

Määritelmät

Algoritmi

Lukkiutumattomuus ja parametriK

Vakautuvuus ja parametriα

(4)

Hajautettu järjestelmä

• äärellinen suuntaamaton yhtenäinen verkkoG= (V,E)

• jokaisella solmullapkellorekisterir_p

• solmunpnaapurien joukko onN_p

• naapurit näkevät toistensa muuttujat, ja laillisuusehdot ovat paikallisia

• ohjelma kokoelma ilmaisuja

ehto −→ toimenpide

• suoritusvuorot jakaa epäreilu demoni

(5)

Hajautettu järjestelmä

• äärellinen suuntaamaton yhtenäinen verkkoG= (V,E)

• jokaisella solmullapkellorekisterir_p

• solmunpnaapurien joukko onN_p

• naapurit näkevät toistensa muuttujat, ja laillisuusehdot ovat paikallisia

• ohjelma kokoelma ilmaisuja

ehto −→ toimenpide

• suoritusvuorot jakaa epäreilu demoni

(6)

Äärellinen askeltava järjestelmä

putki

keh¨a

α α+1 α+2 α+3

K−4 K−3 K−2 K−1

0 1

2 3

4

(7)

Äärellinen askeltava järjestelmä

• kellorekisterin arvot joukossa

X ={α, α+1, . . . ,0, . . . ,K−2,K−1}

• putkiϕ={α, α+1, . . . ,−1,0}

• putki^∗_ϕ=putkiϕ\ {0}

• keh¨aϕ ={0,1, . . . ,K−2,K−1}

(8)

Äärellinen askeltava järjestelmä

• kellorekisterin arvoa kasvattaa funktioϕ:X → X ϕ(x) =

( x+1, josx<K−1 0, josx=K−1.

putki

keh¨a

α α+1 α+2 α+3

K−4 K−3 K−2 K−1

0 1

2 3

4

(9)

Äärellinen askeltava järjestelmä

• paikallinen vähennysoperaattori

bla=







−1, josa≡b+1 (mod K) 0, josa=b

1, josb≡a+1 (mod K)

putki

keh¨a

α α+1 α+2 α+3

K−4 K−3 K−2 K−1

0 1

2 3

4

(10)

Verkkoteoriaa

• syklikanta (Kirchhoff 1847)

• lyhin syklikanta

• jänteetön sykli eli reikä

(11)

Prosessin p ohjelma

Totuusarvoiset makrot

ehto(p,q) prosessienpjaqsynkronointiehto kehällä(p,q) ≡ rp∈kehäϕ∧rq∈kehäϕ

askelehto(p,q) ≡ keh¨all¨a(p,q)∧

((ϕ(rp) =rq)∨((rp=rq)∧ehto(p,q))) pariehto(p,q) ≡ askelehto(p,q)∨askelehto(q,p)

naapurustoehto(p) ≡ ∀q∈ N_p:pariehto(p,q) keh¨aaskel(p) ≡ ∀q∈ N_p:askelehto(p,q)

palautusaskel(p) ≡ ¬naapurustoehto(p)∧(rp∈/ putkiϕ) putkiaskel(p) ≡ rp∈putki^∗ϕ∧

(∀q∈ N_p: (rq∈putkiϕ)∧(rp≤rq)) Ohjelma

keh¨aaskel(p) −→ tee jotakin; rp:=ϕ(rp) palautusaskel(p) −→ rp :=α

putkiaskel(p) −→ rp :=ϕ(rp)

(12)

Välttämättömät lisäoletukset

Jos määriteltäisiin esimerkiksiehto(p,q)identtisesti epätodeksi, algoritmissa ei olisi mitään mieltä.

O₁ : (askelehto(p,q)⇒askelehto(Ψ(p),Ψ(q)))

∧(askelehto(p,q)⇒pariehto(Ψ(p),q) O₂ : (r_p=r_q=0)⇒pariehto(p,q)

(13)

Tärkeitä käsitteitä

• palautusvaiheessaoleva solmu

• algoritmin tarkastelussa keskeinen käsite:kehälle vakiintunut

∀p∈V:naapurustoehto(p)

• kehälle vakiintuneessa järjestelmässä mikään prosessi ei ole palautusvaiheessa

(14)

Muutama esimerkki

• asynkroninen unisono:ehto(p,q)aina tosi

• geneerinen algoritmi:ehto(p,q)≡vpC vq

• keskinäinen poissulkeminen:ehto(p,q)≡idpC idq

• ryhmien keskinäinen poissulkeminen (naapuriprosessit eivät saa käyttää yhtäaikaisesti eri resursseja):

ehto(p,q)≡resurssi_p=resurssi_q ∨ id_pCid_q

(15)

Miten valitaan parametrit α ja K ?

• jos parametrit valitaan väärin, voi käydä huonosti

• liian pieniK:n arvo voi johtaa lukkiutuneeseen tilanteeseen (allaK=4)

3 0

2 1

3

2

(16)

Miten valitaan parametri α ja K ?

• josαon itseisarvoltaan liian pieni, toipuminen ei ehkä pääty koskaan (allaα =−1)

0 0

1 -1

0 1

1 -1

0 1

-1 -1

0 1

-1 0

(17)

Viiveen määritelmä

• oletuksena on, että järjestelmä on kehälle vakiintunut

• siis naapurisolmujen kellorekisterien arvot poikkeavat toisistaan enintään yhdellä pykälällä suuntaan tai toiseen

• polunµ=p₀p₁. . .p_k viive∆µmääritellään:

∆_µ=

k−1

X

i=0

rp_i+1lrp_i

(18)

Esimerkki viiveen laskemisesta

3 0

2 1

3 2

• yllä pitkän syklin viive on kiertosuunnasta riippuen4tai−4 jaK=4

(19)

Viiveen ominaisuuksia

• ∆µ=−∆_µ_˜, missäµjaµ˜ovat toistensa käänteispolkuja

• viiveen lineaarisuus:∆_µ₁_µ₂ = ∆_µ₁ + ∆_µ₂

• polullaµ=p₀p₁. . .p_k päteerp₀+ ∆_µ≡rp_k (mod K)

• syklissäµ=p0p1. . .p_kp0siis rp₀ + ∆_µ ≡ rp₀ (mod K)

⇔ ∆_µ ≡ 0 (mod K)

• on muistettava, että näissä tarkasteluissa järjestelmä on kehälle vakiintunut

(20)

Kohti johtopäätöksiä

• viive onrajoitettu⇐⇒viive on 0 jokaisessa syklissä

→nyt kahden prosessin välinen viive ei riipu polun valinnasta

• mielivaltaisen syklin viive on muuttumaton kehälle vakiintuneessa järjestelmässä

• erityisesti jos viive on jossakin vaiheessa rajoitettu, se myös pysyy rajoitettuna

• voidaan helposti todeta: jos viive on rajoitettu, kehälle vakiintunut järjestelmä ei voi lukkiutua

(21)

Kohti johtopäätöksiä

• viive onrajoitettu⇐⇒viive on 0 jokaisessa syklissä

→nyt kahden prosessin välinen viive ei riipu polun valinnasta

• mielivaltaisen syklin viive on muuttumaton kehälle vakiintuneessa järjestelmässä

• erityisesti jos viive on jossakin vaiheessa rajoitettu, se myös pysyy rajoitettuna

• voidaan helposti todeta: jos viive on rajoitettu, kehälle vakiintunut järjestelmä ei voi lukkiutua

(22)

Syklikantaa tarvitaan nyt

• lausutaan syklin viive syklikannan avulla:

∆(C_k) = ∆

km

X

i=1

a_k_iC_k_i

!

=

km

X

i=1

a_k_i∆(C_k_i)

• viive on rajoitettu järjestelmässä täsmälleen silloin, kun viive on 0 kaikissa verkon mielivaltaisen syklikannan sykleissä

• tarkastellaan seuraavaksi sitä syklikantaa, jonka pisin sykli on mahdollisimman lyhyt

(23)

Lukkiutumattomuustulos

• oletetaan, että verkossa on ainakin yksi sykli

• olkoon verkon minimaalisen syklikannan pisimmän syklin pituusC_G

• kuuluukoon sykliµminimaaliseen syklikantaan

• järjestelmä on kehälle vakiintunut, joten kahden

naapurisolmun välisen viiveen itseisarvo on korkeintaan 1

• siis|∆_µ| ≤CG

• muistetaan, että syklissä∆µ≡0 (modK)

• jos valitaanK>C_G, pätee∆µ=0

(24)

Lukkiutumattomuustulos

(25)

Lukkiutumattomuustulos

(26)

Lukkiutumattomuustulos

(27)

Lukkiutumattomuustulos

(28)

Lukkiutumattomuustulos

(29)

Lukkiutumattomuustulos

(30)

Mitä äsken näytettiinkään?

Jos valitaanK>CG,

• minimaalisen syklikannan kaikkien syklien viiveet ovat 0

• viive on 0 verkon kaikissa sykleissä

• koska viive on rajoitettu, järjestelmä ei voi lukkiutua ParametrinKarvo määräytyy siis ainoastaan verkon minimaalisen syklikannan pisimmän syklin mukaan.

putki

keh¨a

α α+1 α+2 α+3

K−4 K−3 K−2 K−1

0 1

2 3

4

(31)

Miten tästä eteenpäin?

• kun valitaan riittävän isoK, kehälle vakiintunut järjestelmä ei voi lukkiintua

• itse asiassa on helppo näyttää, että lukkiutunut järjestelmä on aina kehälle vakiintunut!

• tavoitteena on näyttää, että palautuksia ei olla äärettömän monta

• raapaistaan pintaa

(32)

Miten tästä eteenpäin?

• kun valitaan riittävän isoK, kehälle vakiintunut järjestelmä ei voi lukkiintua

• itse asiassa on helppo näyttää, että lukkiutunut järjestelmä on aina kehälle vakiintunut!

• tavoitteena on näyttää, että palautuksia ei olla äärettömän monta

• raapaistaan pintaa

(33)

Palautusverkko

• palautusverkon solmu on pari(p,t)

• solmuppalautetaan ajanhetkellät

• verkon särmä kuvaa palautuksen etenemistä järjestelmää kuvaavassa verkossa

• palautusverkko on suunnattu ja syklitön

• jos palautusverkko on äärellinen, algoritmi on vakautuva kehälle vakiintuneisuuden suhteen

(34)

Parametrin α valitseminen

• nähtiin, että itseisarvoltaan liian pieniαjohtaa ongelmiin

• puumaiset verkot nytkin ongelmattomia

• ratkaiseva asia on nyt verkon pisimmän reiän eli jänteettömän syklin pituusT_G

• valitsemalla|α| ≥TG−2algoritmi on vakautuva

(35)

Lopuksi

• äärellinen askeltava järjestelmä

• K:n täytyy olla suurempi kuin minimaalisen syklikannan pisimmän syklin pituus

• α:n itseisarvon täytyy vähintään yhtä suuri kuin verkon pisimmän reiän pituus−2

putki

keh¨a

α α+1 α+2 α+3

K−4 K−3 K−2 K−1

0 1

2 3

4