1.2. Tuloperiaate ja permutaatiot
E.2. Äiti aikoo istuttaa puutarhaan 1 punaisen ja 1 keltaisen ruusun.
Kaupan on 25 lajiketta punaisia ja 8 lajiketta keltaisia ruusuja.
Montako erilaista istutusta hän voi tehdä?
A= {punaiset} B ={keltaiset}
N(A) = 25 N(B) = 8
N(A X B) = N(A) · N(B) = 25 · 8 = 200
Toistuvat valinnat
Jos A on äärellinen joukko ja k Z+ niin N(Ak) = N(A)k E.3. Noppaa heitetään kolme kertaa.
Montako eri tulosmahdollisuutta on?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
N(A) = 6 63 = 216
1.2.2. Permutaatiot Permutaatio
= jono, jossa joukon kaikki alkiot ovat jossakin järjestyksessä Kertoma
n! = 1 ·2 ·3 ·4 ·…. · n (n Z+) 0! = 1
E.4. a) 3!
= 6 b) 8!
= 40 320
Permutaatioiden lukumäärän laskeminen Jos joukossa on n alkiota,
on erilaisissa järjestyksissä olevia jonoja eli permutaatioita n! kpl E.5. a) Monessako eri järjestyksessä voi
15 oppilasta lähteä luokasta?
b) Montako eri lukua voidaan muodostaa numeroista 1, 2, 3, 4 ja 5, kun jokaista käytetään kerran?
c) Seitsemän veljestä istuu pitkälle penkille.
i) Monellako tavalla he voivat istua?
ii) Monellako tavalla he voivat istua,
jos nuorin ja vanhin on oltava vierekkäin?
a) 15! = 1,3 · 1012 b) 5! = 120
c) Seitsemän veljestä istuu pitkälle penkille.
i) Monellako tavalla he voivat istua?
ii) Monellako tavalla he voivat istua,
jos nuorin ja vanhin on oltava vierekkäin?
c) i) 7! = 5040
c) ii) 2! · 5! · 6 = 1440 Perusteluja ii:lle
Nuorin ja vanhin voivat istua vierekkäin 2! tavalla (tai 2 1) Viisi muuta veljestä voivat istua 5! tavalla
Punainen väri (vanhin / nuorin) – montako paikkaa - 6
E.6. Kuinka monella tavalla voidaan 8 henkilöstä valita järjestyksessä 5?
I: 8 ·7 ·6 ·5 ·4 = 6720 II:
! 6720 3
! 8 )!
5 8
(
!
8
2
6
3 10
k-kombinaatio
= osajoukko, jossa on k eri alkiota otettuna n-alkioisesta joukosta
k-kombinaatioiden lukumäärän laskemiskaava:
)!
(
!
! k n k
n k
n
E.7.
a) b)
(binomikerroin)
Laskin
)! 15 2 6
(
! 2
!
6
120
)!
3 10
(
! 3
!
10
3 56 8
243109
17
E.8. a) Montako 3 hengen komiteaa voidaan valita 8 henkilön joukosta?
b) Monellako tavalla voidaan 17 oppilaan ryhmästä valita 9 hengen pesäpallojoukkue?
a) b)
E.9. Lottorivien määrä vuosien saatossa
380 838
6 3
40
10 295 472
7
37
937 380
7 15 39
1971 -1980 1980-1986
1986-
E.10. Kirjan esimerkki 1, s. 28
Kuinka monella tapaa korttipakasta voidaan ottaa viisi korttia, joista a) Kolme on patoja ja kaksi herttoja
b) Kolme on samaa maata ja kaksi toista samaa maata c) Kaksi on samaa maata ja kaksi toista samaa maata
3 pataa:
3 13
2 herttaa:
2 13
Valintoja:
3
13
2
13
= 22 308Maa, josta 3 korttia voidaan valita 4:llä tavalla
Maa, josta 2 korttia 3:lla tavalla
Maat voidaan valita 4 3 tavalla
12
3
13
2
13
= 267 696c) Maa voidaan valita: tavalla
Viimeinen kortti voidaan valita kahdesta muusta maasta 26:lla tavalla
26
2
13
2
13
= 949 104
2 4
2
c) Kummankin maan kortit voidaan valita
