Mat-1.1210 Matematiikan peruskurssi S1

Aalto-yliopisto Talponen, Heikkinen, Harjula Matematiikan laitos

Mat-1.1210 Matematiikan peruskurssi S1

V¨ alikoe 2, 14.11.2011 klo 16-19

Ylioppilastutkinnossa hyv¨aksytyt laskimet on t¨ass¨akin sallittu.

Vastaa seuraaviin teht¨aviin. Kaikista teht¨avist¨a saa 6 pistett¨a.

Muista perustella selke¨asti ratkaisusi.

T1. Olkoon f: ]0, π[→R, f(x) = (sin(x))^x. Laske f⁰. (Vihje: Kannattaa kirjoittaa sin(x) = exp(ln(sin(x))).)

T2. Ratkaise seuraavat alkuarvoteht¨av¨at:

(a) y⁰⁰−3y⁰+ 2y= 0, y⁰(0) = 1, y(0) = 0. (3p)

(b) y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0, y⁰(0) = 0, y(0) = 1. (3p)

T3. N¨ayt¨a, ett¨a limx→0sin(x) x = 1

(a) Tutkien funktion sin(x) derivaatan m¨a¨aritelm¨a¨a. (3p) (b) K¨aytt¨aen funktion sin(x) Taylorin kehitelm¨a¨a. (3p)

T4. N¨ayt¨a m¨a¨aritelm¨ast¨a l¨ahtien, ett¨a funktiof: R→R, f(x) =x³ on jatkuva origossa.

oq )

^5y

K*,-*L+

yL -3r ^*L

+Ly ₌ 0

{

f ^{*\ J \^o} *^l

=0

3r1

LL1* ö

å L73^L

1

=1

) ^(-)

, Y'1 V ^r=

y'

t lnlc

y(Ö ^e

,J.),.

åYe 7

A\L.^erA,o ^{l- I}

f y'(o) 3 _L1+ L(t

1, ^{[o) =}

c1 + LL=Q Ho*o

3 ^e

eniseur all6"".r^ Hoo\lrlra\ a'^ '1lci''en

nalL,.lsi.^ \it',eoaÄLo-bii"'^olion{"

y ^{(^)} ' ^{Lrd + Cr*-}

tx

=) ^{y'(r) =} L."' ^{* tcre}

r, ^L*

Fo'tL..ls,'r

I

^{(^)}

b.) )" ^a +)'rq) ^-0,

VorhE*vc.gd:, YL '- qi +k

j

i(osL ^{L^,.ot+}

Sr-*t 'Po\)',.o*i'^

y (.) r (c. + LL^) :^

)'(n) ^'= L _Lgt* + (c.

{, _a-) '

*u

A\L* ^rrab:

[l'(o)

-- cL ^*

h ^{(o\ 7 L1}

' _L*\'Lqi

y'(*) ^-- (t

"o.f

l.nis:a

h ^It

^Jrn

,!

L1 LL'r= 1 + ^C1=-1 å _CL=1

L

CI'^ ^{L[r;^Le^r}

sn Öot

5eLa

eha b) -l'*i^J^såc"

- rs.^

^

'' _l( *r^

"\

I i*.^"gl

eF

YlC,sLn

4

€ _Q;Lrqt- , vc,\-ls[-' *lL* hr-\,olstq

1 _\ (L1+L(t-=1 -'/ ^å

I ^LL=-c1

rt

J*'^'t'

J.tL-v*-Jr^ ^(t,5)

n";änlel..^6;

F*.Lrio (,R+fr oh lntL-..rr, ^yistcessa ar

Jos jcL".lsell,r t>0

olc,,.-,agso. 5tO Eiheiarell-e yt*ise[", xeR yälce.:

lx*cil ^L $ + \((*)eft")l et.

!$It; h=0 'r,r _{J= {t,.)} ^o*3

"a

.

^{o*.^}

l

txl ^L å + \ ^{3l ur}

.j

lx\. ^å

i€ -) ^{lxls e} I ll ^{l*t' =} lrl

._l t

VAlhe

hlki\,. ^xell

sE'll

$Ålb^o^ : ! ^? tJt

)^ r^äLJää...

a _l*'i ^a L -) l{(")l ^c 1- , n

N ^{at" å}

ÄÄn

:,

ha L*^ .,^\ibåan

å {(4 = *' eh 'f\cr.rva Gn3olsc,\, il

å::"shc\*:

i.F

}*tt;rÅ; ^(t-

-.^a.Le\,^ä ^Ly

i.-

[[\

,"

L.r&n

€ Oil"åat

1u\^r-s

f

Fu\'s*l-

y

T"',1 ^,;

'-Es,tehy,atta lt*.t(*)s{(ö