Matematiikan perusmetodit I/soveltajat Harjoitus 5, syksy 2009 1. Radiumin m¨a¨ar¨a N

Matematiikan perusmetodit I/soveltajat Harjoitus 5, syksy 2009

1. Radiumin m¨a¨ar¨a N₀ pienenee puoleen ajassa 1580 vuotta. Kuinka kauan kest¨a¨a k.o. radiumin m¨a¨ar¨an pieneneminen kymmenesosaan?

2. Olkoot log₁₂9 = p ja log₁₂10 = q. M¨a¨ar¨a¨a lukujen p ja q avulla a) log₁₂2, b) log₁₂6, c) log₁₂15.

3. M¨a¨ar¨a¨a sinx,cosx ja tanx kun

a) x = ^5π₃ , x = ^101π₆ , c) x = −^67π

3 .

4. Laske sin ^x₂ ja cos ^x₂, kun tanx = ¹²₅ ja tiedet¨a¨an, ett¨a π < x < ³₂π.

5. Ratkaise yht¨al¨ot

a) sinx = sin 2x b) cos 2x = tanx+ 1

c) sinx =−cosx d) sinx = sin 5x−sin 3x.

6. Olkoot m ja n ∈ R kiinteit¨a. Osoita, ett¨a

a) sinmxsinnx = ¹₂[cos(m−n)x−cos(m+n)x]

b) sinmxcosnx = ¹₂[sin(m+n)x+ sin(m−n)x]

aina, kun x ∈ R.