Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 12. harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1/2
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku
12. harjoitukset/Tehtävät
Aiheet: Regressioanalyysi Avainsanat:
Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi, Keskihajonta, Kokonaisneliösumma, Korrelaatio, Kovarianssi, Kriittinen arvo, Luottamuskerroin,
Luottamustaso, Luottamusväli, Mallineliösumma, Merkitsevyystaso, Painopiste, Parametri, p-arvo, Pienimmän neliösumman menetelmä, Regressiokerroin, Regressiosuora, Residuaali, Selitettävä muuttuja, Selittäjä, Selittävä muuttuja, Selitysaste, Sovite, Testi, Vakiotermi, Vapausasteet, Varianssianalyysihajotelma
1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat:
x 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
(a) Määrää yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin Yi = α + βxi + εi , εi ∼ N(0, σ2)
regressiokertoimien α ja β pienimmän neliösumman (PNS-) estimaatit.
(b) Määrää estimoidun mallin sovitteet ja residuaalit.
(c) Määrää estimoidun mallin jäännösvarianssin σ2 harhaton estimaatti.
(d) Määrää estimoidun mallin selitysaste.
2. Jatkoa tehtävälle 1.
Piirrä havaintoja (xi,Yi) esittävään pistediagrammiin tehtävässä 1 estimoitu regressiosuora.
Merkitse kuvioon sovitteita vastaavat pisteet (xi, ˆYi). Piirrä samaan kuvioon myös residuaaleja kuvaavat janat.
3. Jatkoa tehtävälle 1.
(a) Testaa tehtävän 1 regressiomallin kerrointa β koskevaa nollahypoteesia H0 : β = 0
Käytä 2-suuntaista vaihtoehtoista hypoteesia ja 5 %:n merkitsevyystasoa.
(b) Muodosta kertoimelle β 95%:n luottamusväli.
4. Eräässä 42:n kunnan otoksessa suhteellisen rikollisuuden (rikoksia per 1000 asukasta) ja asukastiheyden (asukasta per km2) välinen otoskorrelaatiokertoimen arvoksi saatiin r = 0.157.
Testaa nollahypoteesia, että ko. muuttujat ovat korreloimattomia. Käytä kaksisuuntaista vaihtoehtoista hypoteesia ja 5 %:n merkitsevyystasoa.
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 12. harjoitukset
TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2/2
5. Menestyminen opinnoissa saattaa vaikuttaa vastavalmistuneen alkupalkkaan.
Asiaa tutkittiin eräässä USA:n yliopistossa poimimalla vastavalmistuneiden joukosta
yksinkertainen satunnaisotos, jonka koko oli 15. Otokseen poimituilta opiskelijoilta kysyttiin heidän arvosanapisteidensä keskiarvoa (muuttuja X) ja alkupalkkaa (muuttuja Y, 1000 $).
Otosta kuvaavat perustunnusluvut olivat:
Ka(X) = 3.04 Ka(Y) = 18.05 s2(X) = 0.063 s2(Y)= 5.81 rXY = 0.848
(a) Määrää regressiokertoimien estimaatit lineaarisessa regressiomallissa Yi = α + βXi + εi
jossa alkupalkkaa Y selitetään arvosanapisteiden keskiarvolla X.
(b) Määrää regressiokertoimien estimaatit lineaarisessa regressiomallissa Xi = γ + δYi + εi
jossa arvosanapisteiden keskiarvoa X selitetään alkupalkalla Y (käänteisregressio).
(c) Testaa nollahypoteesia H0 : ρ = 0.8
(d) Määrää estimoidun regressiomallin selitysaste.
(e) Testaa nollahypoteesia H0 : β = 0
(f) Määrää kohdissa (a) ja (b) estimoitujen regressiosuorien leikkauspiste.
Vertaa tulosta X- ja Y-arvojen aritmeettisiin keskiarvoihin. Onko tulos sattuma?
Käytä testeissä 2-suuntaisia vaihtoehtoisia hypoteeseja ja 1 %:n merkitsevyystasoa.
