3.3. Käyrän tangentti ja normaali 3.3. Käyrän tangentti ja normaali

(1)

3.3. Käyrän tangentti ja normaali 3.3. Käyrän tangentti ja normaali

3.1. Käyrän pisteestä piirretty tangentti ja normaali Käyrän tangentti

Tangentin kulmakerroin, kun tunnetaan sivuamispiste (x₀,y₀)

k_t = f ´(x₀) eli tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamispisteen x-koordinaatin kohdalla

E.13.

Mikä on käyrän y = x² - 3x + 4 kohtaan x = 5 piirretyn tangentin kulmakerroin?

y’ = 2x -3

k_t = y’(5) = 10 – 3 = 7

(2)

Tangentin yhtälön laskeminen, kun tunnetaan sivuamispiste

Lasketaan kulmakerroin tiedosta k_t = f ´(x₀) ja tangentin yhtälö kaavalla y - y₀ = k_t(x - x₀)

E.14. Mikä on käyrän y = x² + 2x - 3 pisteeseen (2,5) piirretyn tangentin yhtälö?

y’ = 2x + 2

k_t = y’(2) = 4 + 2 = 6 y – 5 = 6(x – 2)

y = 6x – 7

(3)

Normaalin yhtälön laskeminen, kun tunnetaan normaalin ja käyrän Normaalin yhtälön laskeminen, kun tunnetaan normaalin ja käyrän

leikkauspiste leikkauspiste

Lasketaan ensin tangentin kulmakerroin k_t = f ´(x₀)

Normaalin kulmakerroin on tämän käänteisluvun vastaluku k_n = - 1 / k_t Yhtälö muodostetaan sitten pisteestä ja saadusta kulmakertoimesta

E.´15. Mikä on käyrän y = 2x² - 3x - 4 kohtaan x = 2 piirretyn normaalin yhtälö?

y’ = 4x – 3 y’(2) = 5 = k_t

5y + 10 = -x + 2 x + 5y + 8 = 0

x + 5y + 8 = 0 5

 1



 k_n

y = 2 2² – 3  2 – 4 = -2

) 2 5 (

2   1 

 x

y

5 2 5

2   1 

 x

y

(4)

3.3.3. Käyrän ulkopuolisesta pisteestä piirretty tangentti

(5)

E.18. Mikä on paraabelin y = x² - 3x + 4 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = x suuntainen?

k_t = 1 (y =x)

y’ = 2x – 3 2x – 3 = 1 2x = 4 x = 2

y = 2² – 3  2 + 4 y = 2

y – 2 = 1(x – 2) y – 2 = x – 2 y = x

(6)

E.19. Mikä on paraabelin y = x² - 2x + 2 sen tangentin yhtälö, joka kulkee pisteen (0,1) kautta?

Olkoon sivuamispiste (x₀, y₀):

y₀ = x₀² – 2x₀ + 2 y’ = 2x – 2

y’(x₀) = 2x₀ – 2

Kulmakerroin myös:

(suoralla pisteet (x₀, y₀) ja (0,1))

0 0 2

0 0

0 2

0 0

0

2 2 1 2 1

0 1

x x x

x

k_t y

      



 

0 0 2

0 0

1 2 2

2

x

x x

 



  2

x₀²

 2

x₀



x₀²

 2

x₀

 1 

x₀²

 1 

x₀

  1

1) x = 1: y = 1² – 2  1 + 2 = 1 k = 2  1 – 2 = 0 2) x = -1: y = (-1)² – 2  (-1) + 2 = 5 k = 2  (-1) – 2 = -4

1) y – 1 = 0(x – 1)  y = 1

2) y – 5 = -4(x + 1) y – 5 = -4x – 4 y = -4x + 1

Vastaus: y = 1 tai y = -4x + 1