• Ei tuloksia

Osoita itseisarvon m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen, ett¨a kaikilla x∈Rp¨atee |x

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Osoita itseisarvon m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen, ett¨a kaikilla x∈Rp¨atee |x"

Copied!
1
0
0

Ladataan.... (näytä koko teksti nyt)

Lataa nyt ( 1 sivua )

Kokoteksti

(1)

Analyysi I

Harjoitus 1/2004

1. Kirjoita seuraavat funktiot ilman itseisarvoja paloittain m¨a¨ariteltyn¨a ja hahmottele kuvaajan kulkua:

(a) f(x) =| −x2+ 3x−2|, (b) g(x) = |x−3|+|x−4|.

2. Osoita itseisarvon m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen, ett¨a kaikilla x∈Rp¨atee

|x|=| −x| ja |x|2 =x2.

3. Osoita, ett¨a kaikilla x, y ∈R p¨atee (a) |xy|=|x||y|,

(b) |xy|= |x||y| jos lis¨aksi y6= 0.

Vihje! K¨ayt¨a hyv¨aksi Lemma 1.1.1 ja Teht¨av¨a¨a 2.

4. Mill¨a luonnollisilla luvuilla n∈N p¨atee n+ 2 n+ 1 < 13

11?

5. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o √

x+ 4>2x+ 2.

6. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o

|2x+ 1|

|x−1| <2.

7. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o

|x−2|<|x2−4|.

Viittaukset

Lataa nyt ( PDF - 1 sivua - 36.11 KB )

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Analyysi I Harjoitus 10/2002 1.

Osoita, ett¨a kotangentti cot on bijektio v¨alilt¨a ]0, π[ joukkoon R.. Ilmaise sin 2x ja cos 3x funktioiden sin x ja cos

Osoita, ett¨a (i) D(f(x) +g(x)) =Df(x) +Dg(x), (ii) D(af(x)) =aD(x) kaikilla a∈R

Mik¨a on teht¨av¨an yhteys

Osoita raja-arvon m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen, ett¨a lim x→0f(x) =b

Onko funktiolla varsinaista raja- arvoa origossa?. Onko funktiolla varsinaista

Analyysi III 2. harjoitus 2003 1. Olkoon A = {y ∈ R| y = 2x − 2 x + 1 , x > 0}. Osoita, ett¨a 2 on joukon A supremum. 2. Olkoon x

Osoita, ett¨a jono (x n ) on kasvava ja ylh¨a¨alt¨a rajoitettu.. Mik¨a on

Osoita, ett¨a jono (fn), fn(x

[r]

a) M¨a¨ar¨a¨a funktionf(x

Suorakulmion muotoisesta levyst¨ a, jonka sivut ovet 630 mm ja 480 mm, valmis- tetaan suorakulmaisen s¨ armi¨ on muotoinen astia leikkaamalla levyn nurkista pois yht¨ asuuret neli¨

M¨a¨aritelm¨a¨a apuna k¨aytt¨aen ratkaise seuraavat teht¨av¨at

Teht¨ av¨ at 1-3 ovat verryttely¨ a, teht¨ av¨ at 4-5 puolestaan liittyv¨ at luennolla k¨ aytyyn asiaan.. Venn-diagrammeja apuna k¨ aytt¨ aen totea seuraavien joukko-opin

Pitk¨a matematiikka 24.3.2006, ratkaisut: 1. a) 4x + 2 = 3 − 2(x + 4) ⇐⇒ 6x = −7 ⇐⇒ x = − 7 6. b)

Jos x = 0, on sarjan jokainen termi nolla, jolloin sarjan summakin