Olympiavalmennus: Kotitehtäviä epäyhtälöistä ja geometriasta
Lauri Hallila & Antti Honkela, Tammikuu 2016 Vastauksia voi lähettää osoitteeseen laurihallila@gmail.com tai Lauri Hallila, Jussaarenkuja 5 J 104, 00840 Helsinki 1. Olkoona, b, c >0. Osoita, että
a+b+c abc ≤ 1
a2 + 1 b2 + 1
c2. 2. Olkoonai ≥1, i= 1, . . . , n. Todista, että
(1 +a1)(1 +a2)· · ·(1 +an)≥ 2n
n+ 1(1 +a1+a2+· · ·+an).
3. Todista, että kaksi kolmiota, joiden sivut ovata, b, cja a1,b1,c1 ovat samanlaiset jos ja vain
jos √
aa1 +p
bb1+√
cc1 =p
(a+b+c)(a1+b1+c1).
4. Todista, että josa, b, c >0 ja a+b+c= 1, niin
a+1 a
2
+
b+1 b
2
+
c+ 1 c
2
≥ 100 3 . 5. Olkoonxi >0kaikille i= 1, . . . , n. Todista, että
xx11xx22· · ·xxnn ≥(x1· · ·xn)x1+···+xnn .
6. Näytä, että säännöllisen viisikulmion ympäri piirretyn ympyrän kaarellaBC sijaitsevalle pis- teelle P pätee
P A+P D =P B+P C +P E.
7. Esitä jännenelikulmion lävistäjien pituuksien suhde nelikulmion sivujen pituuksien avulla.
8. Suunnikkaan ABCD sisältä valitaan piste P siten, että kulmat AP B ja CP D ovat suple- menttikulmia. Todista, että
AB·AD =BP ·DP +AP ·CP.
9. OlkoonK suorakulmaisen kolmionABC hypotenuusan AB keskipiste ja olkoonM sellainen piste janalla BC, että |BM|= 2|M C|. Todista, että ∠M AB =∠M KC.
10. A-kärkisen terävän kulman α sivuilla on pisteet D ja E siten, että |AD| = m ja |AE| = n. Pisteiden D ja E kautta piirretään vastaavia kulman kylkiä vastaan kohtisuorat suorat.
Olettaen, että näiden leikkauspiste F sijaitsee kulman α sisällä, osoita että
|DF|
|EF| = n−mcosα m−ncosα.
11. Olkoon ABCDEF kupera kuusikulmio, jolle kolmioiden 4BCD, 4DEF ja 4F AB pinta- alat ovat yhtä suuret. Oletetaan, että AB=BC, CD =DE, EF =F Aja ∠B+∠D+∠F = 360◦. Näytä, että kuusikulmiolla on sisäpiste O ja kolme sellaista kärkeä, että pisteestä O näihin kärkiin piirretyt janat jakavat kuusikulmion kolmeen pinta-alaltaan yhtäsuureen osaan.
12. Tasossa on annettu tylppä kulma ∠AKS. Konstruoi kolmio 4ABC siten, että sen sivu BC sijaitsee suoralla KS keskipisteenään S, ja piste K on sivun BC ja vastakkaisen kulman
∠BAC puolittajan leikkauspiste.
