Lyhintä reittiä pitkin suurimpaan kulmaan – matkakertomus
Jaska Poranen
Johdanto
Matemaattisen ongelmanratkaisuperinteen perushah- mon G. Polyan (1887–1985) teoksesta (1973, 122–123) löytyy seuraava kysymys (suomennos kirjoittajan):
Olkoot annettuina kaksi pistettä ja suora, kaikki samas- sa tasossa, ja molemmat pisteet samalla puolella suo- raa. Etsi annetulta suoralta piste, josta annettujen pis- teiden määräämä jana näkyy suurimmassa mahdolli- sessa kulmassa.
Hieman myöhemmin (emt., 142–144) mainitaan toinen ongelma, joka lienee monille lukijoille tutumpi (suo- mennos kirjoittajan):
Olkoot annettuina kaksi pistettä ja suora, kaikki sa- massa tasossa, ja molemmat pisteet samalla puolella suoraa. Etsi annetulta suoralta piste, josta annettuihin pisteisiin määritettyjen etäisyyksien summa on pienin mahdollinen.
Yllä esitetty ensimmäinen kysymys (merkitäänq1) oli kirjoittajalle entuudestaan tuntematon; toinen kysy- mys (merkitäänq2) oli puolestaan jo melko tuttu. Kir- joittaja oli miettinyt ns. prosessinäkökulmaa matema- tiikkaan (ks. esim. Pehkonen 1999) ja sen mahdollista merkitystä kouluopetuksessa ja opettajainkoulutukses- sa. Selventääkseen tätä asiaa kirjoittaja päätti ottaa tutkittavakseen jonkin aidon kysymyksen, jonka rat- kaisemisesta hänellä ei ollut etukäteen mitään käsitys- tä – ja kirjoittaa siitä.
Kuva 1. Kysymys Q: Hypoteesi ongelmien q1 ja q2 eli pisteiden K ja X välisestä eräästä konstruktiivisesta yhteydestä.
G. Polya kuvaa teoksessaan (1973, 143) kysymyksiä q1 ja q2 vielä siten, että niissä molemmissa on sa- ma lähtötilanne ja että itse tuntemattomat ovat sa- man tyyppiset: annetulta suoralta etsitään tietyn ää- riarvon toteuttavaa pistettä; ääriarvojen luonteet ovat
vain erilaiset: ensimmäisessä (q1) etsitään maksimikul- maa, toisessa (q2) minimisummaa. Kirjoittajan havain- tojen mukaan Polya ei sano näistä kysymyksistä yh- dessä tämän enempää. Näin kirjoittajalle syntyi aja- tus ”omasta ongelmasta” (merkitäänQ), jossa pyritään selvittämään, onko näiden kysymysten (q1, q2) välillä jokin syvempi yhteys. Hän oletti, että tuon mahdolli- sen yhteyden olemassaolo – tai ei-olemassaolo – olisi ai- ka nopeasti selvitettävissä. Näin ei kuitenkaan käynyt:
kirjoittaja oli kuin olikin löytänyt (ainakin itselleen) ai- don ongelman, joka vaivasi häntä pitkään. Tämän pro- sessin kuvailu johti kirjoitukseen (Poranen, 2020), jos- sa päädytään kuvan 1 hypoteesiin kysymyksestäQeli kysymyksienq1 jaq2 välisestä suhteesta.
Yllä (Kuva 1) suoralla L oleva piste X on kysymyk- senq2minimisummanAX+XB piste, ts. murtoviiva AXBon lyhin mahdollinen reitti pisteestäAsuoranL kautta pisteeseenB. PisteX voidaan määrittää yksin- kertaisesti peilaamalla ensin pisteAsuoran Lsuhteen pisteeksiA0 ja tarkastelemalla sitten suorienA0B jaL leikkauspistettä. Suoran L piste K on puolestaan on- gelman q1 vaatima piste, ts. siitä pisteestä jana AB näkyy suoralta L suurimmassa mahdollisessa kulmas- sa. Tämäkin piste on geometrisesti konstruoitavissa.
Voidaan nimittäin ensinnäkin osoittaa, että sen on ol- tava pisteidenA ja B kautta kulkevan ympyrän Γ(O) (Kuva 1) ja suoran L (ainoa) yhteinen piste. Tämän jälkeen ympyrän sekanttilauseen perusteella saadaan yhtälö P A·P B = (P K)2, missä piste P on suorien ABjaLleikkauspiste. Tällöin janaP K saadaan edel- leen janojenP AjaP Bgeometrisena, konstruoitavissa olevana keskiarvona – kuvassa 1 ympyränkaaren Γ(P) säteenä.
Menettelyihin, joilla pisteetX jaKlöydetään, ei näytä sisältyvän mitään vihjettä näiden pisteiden mahdolli- sesta keskinäisestä yhteydestä. Sellainen kuitenkin vai- kuttaa loppujen lopuksi löytyvän siten, että helposti määritettävissä olevan pisteen X avulla saadaan kon- struoitua myös piste K. Tätä hakuprosessia – ja sen mahdollista yleisempää merkitystä – on kuvattu ja ana- lysoitu edellä mainitussa kirjoituksessani (2020). Siinä jouduin tyytymään keksimääni lupaavaan hypoteetti- seen yhteyteen (Kuva 1) pisteidenX jaK välillä, jota pystyin perustelemaan vain ”laadullisesti” seuraavaan tapaan.
Konstruoidaan ellipsi (Kuvassa 1E(M)), jonka poltto- pisteet ovatA jaB ja jonka polttosäteiden vakiosum- ma =AX+XB(= minimimatka pisteestäAsuoranL kautta pisteeseenB). Erityisesti siis tämä ellipsiE(M) kulkee pisteenXkautta. Luonnollisesti janaABnäkyy tästä suoranLpisteestä eräässä kulmassaBXA, mut- ta piste K = piste X vain, jos AB k L, jolloin piste K(ja pisteX) voidaan konstruoida suoraan jananAB keskinormaalin ja suoranL leikkauspisteenä. Suora L on tietysti myös ellipsinE(M) tangentti kohdassaX.
Olkoon sittenX0ellipsin ”liikkuva piste”. KulmaBX0A kasvaa, kun pisteX0liikkuu ellipsillä pisteestäXkohti janan AB keskinormaalia M Y. Pisteestä C, joka on ellipsin E(M) ja keskinormaalin M Y kahdesta leik- kauspisteestä suoraa L lähempänä oleva piste, näkyy jana AB ellipsiltä E(M) suurimmassa mahdollisessa kulmassa. Tämän kulman BCA kyljet ovat yhtä suu- ret siten, ettäBC=AC= (AX+XB)/2.
Konstruoidaan edelleen pisteestä C suoran AB kans- sa yhdensuuntainen suoraT. Valitaan myös tältä suo- ralta ”liikkuva piste” K0 ja kuljetaan suoraaT pitkin kohti suoraaL. Tällöin kulmaBK0Apienenee. Olkoon suoranT ja suoranLleikkauspisteK00. Hypoteesi (ks.
Kuva 1) kuuluu nyt siten, että piste K = piste K00. Mainitussa kirjoituksessani (Poranen, 2020) en pysty- nyt todistamaan tätä, mutta siihen ryhdyn seuraavas- sa.
Seuraavassa jo alussa mainittujen pisteitä A ja B se- kä suoraaL koskevien perusoletusten lisäksi oletetaan ensin, että piste A on lähempänä suoraa L kuin piste B ja että näiden pisteiden määräämä suora ei leikkaa suoraa L kohtisuorasti (vrt. Kuva 1, Kuva 2), mikä ei rajoita yleisyyttä. ErikoistapauksetAB⊥LjaABkL käsitellään tämän jälkeen erikseen.
Hypoteesin todistus analyyttisen geo- metrian avulla
Otetaan käyttöön suorakulmainen xy-koordinaatisto siten, että piste A = A(0, a), B = B(b, c) ja suora L=x-akseli, ja missä edelleena,bjacovat positiivisia lukuja,a < c(Kuva 2).
Kuva 2. EllipsinE(M)välittämä yhteys pisteidenX ja K välille: osoitetaan, että M0K=M C.
Käyttämällä joitakin analyyttisen geometrian alkeistie- toja, Pythagoraan lausetta, ympyrän sekanttilausetta sekä eräiden kolmioiden yhdenmuotoisuutta saadaan melko helposti seuraavia tuloksia (vrt. Kuva 2):
1. SuoranAByhtälö:y= ((c−a)/b)·x+a.
2. P = (ab/(a−c),0); P O=ab/(c−a).
3. P A=c−aa p
(c−a)2+b2. 4. P D=P O+OD=bc/(c−a).
5. P B=c−ac p
(c−a)2+b2. 6. P K=√
P A·P B=q
ac(1 + (c−a)b2 2).
7. OK=P K−P O=P K−c−aab =q
ac(1 +(c−a)b2 2)− ab/(c−a).
8. K= (OK,0).
9. X= (ab/(a+c),0).
10. Y = ((c2+b2−a2)/2b,0).
11. AX+XB=p
(a+c)2+b2 (=d, merkitään).
12. Määritellään ellipsiE(M) yhtälöllä px2+ (y−a)2+p
(x−b)2+ (y−c)2=d, ts. sen polttopisteet ovatAjaB, sen pisteiden (x, y) etäisyyksien summa pisteistäAjaB =d, se kulkee pisteenX kautta ja symmetrian takia sillä on myös pisteC, missäAC=BC=d/2.
13. AB = p
(c−a)2+b2; AM = AB/2; M = (b/2; (c+a)/2).
14. M C=√
AC2−AM2=. . .=√
ac(= lukujenaja cgeometrinen keskiarvo).
Yhtälö (1) on yhtä pitävä sen ns. yleisen muodon kans- sa:
(c−a)·x−by+ab= 0, ja voimme soveltaa nyt kaavaa
e= (|Ax0+By0+C|)/p
A2+B2 (a) pisteen etäisyydelle suorasta laskeaksemme pisteen K etäisyyden suorasta AB (x0 = pisteen K x- koordinaatti,y0= 0). Merkitään vieläe0 = kaavan (a) jaettava,e00= kaavan (a) jakaja. Tällöin ensinnäkin
e0=|(c−a)·h s
ac(1 + b2
(c−a)2)− ab c−a
i−0 +ab|
=|√ ac·
s
(c−a)2(1 + b2
(c−a)2)−ab+ab|
=|√ ac·p
(c−a)2+b2|=√ ac·p
(c−a)2+b2; toiseksi
e00=p
(c−a)2+b2. Näin
e=e0/e00=M0K=√
ac=M C.
Yhteenvetoa yllä olevasta: On siis osoitettu, että pis- teestäP käsin konstruoitavissa olevan suoranLmaksi- mikulmapisteenK etäisyys suorastaAB onM C. Toi- saalta pisteenC kautta kulkeva suora T (Kuva 2) on konstruoitu siten, että se on yhdensuuntainen suoran ABkanssa. Näin jokaisen sen pisteen etäisyys suorasta
ABonM C. Erityisesti siis suorienT jaLleikkauspis- teen K00 etäisyys suorasta AB onM C. On siis oltava K = K00, joten piste K saadaan näinkin selville – ja tässä menettelyssä on minimimatkan pisteelläX olen- nainen rooli.
Erikoistapaukset AB ⊥ L ja AB k L
Edellä suoritettu todistus analyyttisen geometrian avulla edellytti, että suora AB ei ole kohtisuorassa suoraanLnähden. Tarkastellaan tätä tilannetta ilman analyyttista geometriaa seuraavassa (Kuva 3).
Kuva 3. TapausAB⊥L.
Tapauksessa AB ⊥ L on lyhin reitti AXB selvästi
=AP+P A+AB= 2AP+AB, missä pisteP =X= suorien AB ja L leikkauspiste (Kuva 3). Näin AC (=BC) =AP+AB/2, ja (M C)2= (AC)2−(AB/2)2, ts. (M C)2=P A(P A+AB) =P A·P B, jotenM C= janojen P A ja P B geometrinen keskiarvo. Toisaalta myös P K on näiden janojen geometrinen keskiarvo, joten P K = M C. Pisteen C kautta kulkeva suora T kAB, joten se leikkaa suoranLkohdassa K.
Yllä olevassa tilanteessa (Kuva 3) jana AB näkyy suurimmassa kulmassa suoralta L pisteestä K, missä P K = janojenP AjaP B geometrinen keskiarvo. Toi- saalta tämä pisteK saadaan siis myös suoraan pisteen X avulla hyödyntämällä sen merkitystä lyhimmän rei- tin pisteenä jananABpisteestäAsuoranLkautta pis- teeseenB.
Tarkastellaan toiseksi tapaustaABkL(Kuva 4):
Kuva 4. Jos jana ABkL, niinX =Y =K.
Olkoon siis AB k L. Tutkitaan tilannetta tässäkin il- man analyyttista geometriaa. Piirretään janalle AB keskinormaali M F, olkoon sen ja suoran L leikkaus- piste =Y (Kuva 4). Osoitetaan ensin, että tällöin ly- himmän matkan pisteX =Y. Peilataan pisteAsuoran Lsuhteen ja olkoon näin saatu pisteA0. Tällöin lyhim- män matkan pisteX on suorienA0BjaLleikkauspiste (Kuva 4). Olkoon edelleen jananAA0 ja suoranLleik- kauspiste = A00 ja vastaavasti piste B00 = pisteen B kohtisuora projektiopiste suorallaL. Ristikulmina ovat kulmatA00XA0 jaB00XByhtä suuret. KolmiotAXA00 ja A0XA00 ovat yhtenevät (sks), joten yhtenevien kol- mioiden vastinosina kulmatAXA00jaA0XA00ovat yhtä suuret. Siis kulma AXA00 = kulmaBXB00, joten kol- miot AXA00 ja BXB00 ovat yhtenevät (skk); yhtene- vien kolmioiden vastinsivuina AX =BX, mistä edel- leen seuraa, että piste X = keskinormaalin M F piste Y.
Osoitetaan toiseksi, että myös maksimikulman piste K=Y. Konstruoidaan ympyrä Γ(C), joka kulkee pis- teidenA, Y ja B kautta. Jana (ympyrän Γ(C) jänne) ABnäkyy tältä ympyrältä pisteessäY kulmassaBY A ja tunnetusti edelleen samassa kulmassa jokaisesta sen jananABalapuolella olevasta ympyrän pisteestä. Eri- tyisesti suoranLpisteY = maksimikulmapisteK. Ol- koon nimittäinK0 jokin toinen suoran L piste ja pis- teH suoranK0Aja ympyrän Γ(C) leikkauspiste (Ku- va 4). Nyt kolmionBK0H kulmanK0HBvieruskulma BHAon suurempi kuin kulmaBK0H(vrt. esim. Lehti- nen, Merikoski, & Tossavainen, 2007, 29). Koska kulma BHA= kulmaBY A, on pisteY = maksimikulmapiste K.
Kouluun kenties sopivia havaintoja
Lyhimmän matkan ongelma (q2) sopii monin tavoin käsiteltäväksi eri kouluasteilla. On esimerkiksi help- po osoittaa, oikeastaan jo alakoulun tiedoilla, että täl-
löin ”tulokulma” = ”lähtökulma”. Kuvan 1 merkintöjä käyttäen kulma AXP = kulma Y XB. Fermat’n pe- riaatteen (yhden niistä) mukaan valo käyttää kahden pisteen välillä reittiä, johon kuluu mahdollisimman vä- hän aikaa. Yhdistämällä edellä mainitut asiat (mene- mättä tässä sen syvemmälle optiikkaan) saataneen yksi perustelupaljon käytetylle valo-opin heijastuslaille: va- lon lähtökulma = tulokulma. Jos esimerkiksi halutaan pisteestäA osoitetun laservalon heijastuvan ”peilisuo- raltaL” pisteeseenB, on valosäde lähetettävä kohtaan X. Valo kulkee siis tällöin paitsi lyhintä reittiäAXB pitkin, niin myös siten, että sen lähtökulma = tulokul- ma.
Tästä saataisiin yksinkertainen koulusovellus esimer- kiksi jonkin seinän tms. korkeuden B00B määrittämi- seksi. Laitetaan laserosoitin jonkin lattiaan nähden kohtisuoran ja lattiassa kiinni olevan mittakepin A00A päähän. Kokeillaan, mihin kohtaan (X) lattiaan pitää asettaa peili siten, että valo heijastuu siitä katonrajaan.
Koska nyt valon heijastuskulma = tulokulma, ovat suo- rakulmaiset kolmiot AA00X ja BB00X yhdenmuotoiset (kk). Mitataan lattiassa olevat matkat A00X ja B00X ja ratkaistaan verrantoAA00/A00X=BB00/B00X janan pituuden BB00 suhteen. Samalla saa ratkaisunsa eräs ääriarvotehtävä (Kuva 5):
Kuva 5. Korkeuden B00B määritys laserosoittimen avulla hakemalla ensin kokeellisesti peilin paikka X.
Olkoon sitten kääntäen piste X0 suoralla L sellainen, että tulokulma siihen pisteestä A = lähtökulma siitä pisteeseenB. Tällöin on edelleen helppo osoittaa, että pisteenX0on oltava lyhimmän matkan pisteX. Monis- sa peleissä syötetään hyvillä kimmoisuusominaisuuk- silla varustettua pelivälinettä (jääkiekkoa, biljardipal- loa, koripalloa tms.) massiivisen, tasaisen seinämän tai lattian kautta esimerkiksi toiselle pelaajalle. Tällöinkin ilmeisesti sovelletaan tulokulman ja lähtökulman yhtä suuruuden lainalaisuutta – ja samalla myös minimimat- kan periaatetta. Tältä pohjalta on vaivatonta ideoida
ja toteuttaa kaikille kouluasteille sopivia pelillisiä ää- riarvotehtäviä ongelmanq2hengessä.
Jo aiemmin todettiin, että suora L on ellipsin E(M) tangentti, joka sivuaa ellipsiä kohdassa X (Kuva 1).
Kuvaa 1 tarkastelemalla nähdään helposti, että ellip- sin normaali pisteessäX puolittaa polttosäteiden XA jaXB välisen kulman. Tämä seikka liittyy oleellisesti siihen, että piste X on suoralla L oleva minimimat- kapiste. Olkoon X0 jokin toinen ellipsin E(M) piste.
Piirretään polttosäteidenX0A ja X0B välisen kulman puolittaja ja konstruoidaan tälle normaali eli ellipsin tangentti L0 kohtaan X0. Tällöin nähdään, että ”tulo- kulma” P0X0A = ”lähtökulma” BX0P00 (Kuva 6), jo- tenX0 on myös (suoraanL0) liittyvä minimimatkapis- te. Voidaan myös edelleen peilata piste A suoran L0 suhteen pisteeksiP. Tällöin kulmatP0X0A jaP X0P0 ovat yhtä suuret; näin myös kulma P X0P0 = kulma BX0P00, joten piste X0 on todella suoralla P B (Kuva 6).
Kuva 6. KulmaP0X0A=kulmaBX0P00, joten myös el- lipsin E(M) mielivaltainen pisteX0 on minimimatka- piste (ellipsin siihen pisteeseen asetettuun tangenttiin L0 liittyen).
Siis ilmeisesti jokainen ellipsin E(M) piste X0 voi- daan tulkita myös minimimatkapisteeksi, mistä seuraa muun muassa erikoinen ”peliominaisuus”: jos vaikkapa jääkiekkoa pelattaisiin ellipsin muotoisessa kaukalos- sa, niin syöttö pisteestä A kaukalon seinämän kautta menisi aina perille toiselle pelaajalle, mikäli hän olisi kohdassaB.
Jo alakoulussa voisi ellipsiä ainakinmuotonatutkia toi- minnallisesti Kuvan 1 pohjalta siten, että ensin laite- taan kaksi pistettä (AjaB) sopivalle alustalle ja niiden alapuolelle jokin suora (L); sitten peilataan pisteAsuo- ranLsuhteen pisteeksiA0ja mitataan narulla tms. pis- teidenA0 jaB välinen matka; tämän jälkeen kiinnite- tään mittanarun toinen pää kohtaanA, toinen kohtaan B, kiristetään naru mielivaltaisesta kohdasta jollakin sopivalla piirtämisvälineellä – ja kireys säilyttämällä piirretään koko ellipsi. Luonnollisesti pisteidenAja B
sekä suoranLkeskinäisiä suhteita voitaisiin muunnella loputtomiin. Näin saatujen kokemuksien tutkimista oli- si helppo jatkaa Geogebraa käyttäen. Muotona ellipsi esiintyy jo alakoulussa esimerkiksi joissakin geometrian kuvioissa sekä tietysti aurinkokuntamme mallitukses- sa, joten sen alustava tarkastelu – ilman raskaanpuo- leista laskennollista välineistöä – sopisi hyvin myös sin- ne. Toisaalta mikään ei estä hyödyntämästä laajemmin tässä kirjoituksessa ellipsiin liitettyjä asioita.
Maksimikulman kohdalla G. Polya (1973) mainitsee so- tilaalliset sovellukset ampumasektoriin yms. liittyen.
Mutta mahdollinen lukija voinee keksiä itse runsaasti rauhanomaisempia käyttömahdollisuuksia.Solmunon- gelmapalstoilla (3/2016 & 1/2017) oli esimerkiksi taan- noin jalkapalloon ja maksimikulmaan liittyviä kysy- myksiä.
Huomionarvoista voisi olla myös geometrisen keskiar- vo sekä sen geometrinen konstruointi; sehän putkah- taa esiin useassa kohdassa tässäkin kirjoituksessa. Sa- moin tuiki tavallisen tasakylkisen kolmion voi hahmot- taa ääriarvotehtävänäkin, jopa kahdella tavalla: jos kol- mion kanta sekä kahden muun sivun pituuksien sum- ma on kiinnitetty, niin juuri tasakylkisessä kolmiossa kanta näkyy kolmion kärjestä suurimmassa mahdolli- sessa kulmassa (vrt. esim. Kuva 1; samoin tämä muoto maksimoi kolmion pinta-alan).
Ääriarvotehtäviä on tapana tutkia koulussa vasta dif- ferentiaalilaskennan keinoin. Tällöin yksinkertaisetkin kysymykset voivat ”teknistyä” liikaa ja samalla estää niiden monipuolisen ymmärtämisen. Tässä kirjoituk- sessa käsitelty lyhimmän matkan (q2) ongelma sopisi hyvin myös ääriarvotehtäväksi, kun on käsitelty ensin juurifunktioita ja niiden derivoimista. Mutta tällöin pa- rempi ymmärrys asiasta voitaisiin saavuttaa käsittele- mällä rinnalla myös tuon ongelman geometrista tulkin- taa ja ratkaisua. Differentiaalilaskennan ääriarvotehtä- vänä kysymys maksimikulmasta (q1) olisi luultavasti vaativa. Mutta ainakin toiminnallisesti voidaan tässä kirjoituksessa esitetty yhteys pisteiden X ja K välillä käydä läpi millä tahansa kouluasteella.
Kysymyksien q1 ja q2 käsittelyä on mahdollista mo- nin tavoin muunnella, esimerkiksi tutkivan opiskelun ja ”ilmiöoppimisen” mielessä. Suoran L voisi korvata esimerkiksi ympyränkaarella tms. Lyhimmän matkan ongelmaa voisi olla kiintoisaa edelleen yleistää vaikka- paFermat’n pisteenhakemiseen kolmion sisältä. Tämä on tutkittavissa tyylikkäästi geometrisesti, jolloin rat- kaisua voisi ensin hakea kokeellisesti Geogebran avul- la. Kenties hieman yllättävästi Fermat’n piste löytyy myös tekemällä melko yksinkertainen koe saippualiuok- sella – tai peräti punnitsemalla (ks. esim. Park, & Flo- res, 2015); näissä järjestelyissä luonto ratkaisee näyt- tävästi matemaattisesti melko vaativan ääriarvotehtä- vän. Toisena monitasoisena kysymyksenä mainittakoon ns.Fagnanon ongelma: Millä teräväkulmaisen kolmion
sisään piirretyllä kolmiolla (jonka kärjet ovat kolmion sivuilla) on pienin piiri (ks. esim. Lehtinen ym., 2007, 95). Lyhin matka sinänsä, samoin kulma, ovat luonnol- lisesti mukana lukuisissa muissakin yhteyksissä, myös arkisissa.
Lopuksi . . .
Matematiikan kouluopettajalla Suomessa on oltava varsin runsaasti tieteensä opintoja, mikä ilman muuta on erinomainen asia. Opettaminen koulussa vaatii sil- ti opettajalta muutakin. Jollakin konstilla ainakin osa oppilaista pitäisi saada kiinnostumaan ja sitoutumaan opiskeluun pintaoppimista syvällisemmin. Olennaista tässä lienee kunnolliset ajattelukokemukset; oppilaiden olisi päästävä joskus aidosti myös tekemään matema- tiikkaa, osallistumaan sen käsitteiden ja niiden välis- ten yhteyksien muodostamiseen tavanomaisemman val- miiden oppisisältöjen omaksumisen ohella. Opettajilla olisi tässä asiassa epäilemättä keskeinen rooli: heidän olisi kyettävä ideoimaan ja toteuttamaan aktiviteette- ja, joiden kautta edellä sanottua voitaisiin toteuttaa.
Tämä saattaa vaatia aluksi omien ajatustottumusten avartamista, ja kenties uskaltautumista myös jonkinlai- sille epämukavuusalueille. Kirjoitukseni (2020) on yksi kertomus tämän tyyppisestä seikkailusta tuntematto- maan maastoon.
Pyrin siinä ikään kuin kantapään kautta perehtymään ns. prosessinäkökulmaan matematiikassa. Didaktiikan piirissä tätä puolta on haluttu nostaa esiin juuri sy- vempien oppimistuloksien aikaansaamiseksi. (Tämä ei tarkoita millään muotoa matematiikan muiden puolien väheksymistä.) Tällöin ei etukäteen ole tiedossa, mitä voi tulla eteen ja mitä tietoja voidaan tarvita. On myös mahdollista, että silloin pitää luoda jotakin uutta tai sattumoisin tullaan luoneeksi jotain sellaista – suhtees- sa omaan tuttuun tietorakenteeseen – jotta asiat ete- nisivät. Jotakin tällaista todella tapahtui tässä vaati- mattomassa ”prosessissani” (2020). Mutta ennen kaik- kea tähän liittyi merkillinen sitoutuminen, joka taisi ainakin osittain johtua siitä, että koin käsittelemäni kysymyksen omakseni. Yhtä poikkeusta lukuun otta- matta en alussa mainitussa kirjoituksessani pyytänyt keneltäkään apua, enkä myöskään käyttänyt Googlea tms., koska siten olisin sotkenut tämän vaellukseni mie- lenmaisemat. Tällainen menettely on nähdäkseni lä- hellä myös didaktiikan piirissä esiintuotua kehityksel- listä lähestymistä (vrt. esim. Haapasalo & Kadijevich, 2000; 2004). Tavanomaisempaan opetukseen koulussa, yliopistossa jne. voidaan silloin viitata käsitteelläkou- lutuksellinen lähestyminen. Mahdollinen lukija voinee havainnollistaa näiden lähestymisien eroja esimerkik- si vertailemalla tässä nyt käsillä olevassa kirjoituksessa esitettyjä todistuksia, niiden ”pelkistettyjä tarinoita”
– ja ihan lopun vielä paljon pelkistetympää hienoa to- distusta – ja muuta samaa asiaa koskevaa, enemmän
laadullista ja havainnollista järkeilyä, jota käsiteltiin tämän kirjoituksen alkupuolella (vrt. Kuva 1).
Kokemukseni valossa rohkenen suositella opettajille omien avoimien kysymyksien asettamista ja tutkimis- ta, ainakin joskus. Tätä kautta paljastuu niin oman ajattelun avaruus kuin ahtauskin. Ainoastaan mieli- kuvitus voi rajoittaa kysymysten valintaa, ja maailma kyllä vastaa niihin, ennemmin tai myöhemmin. Tällais- ten kokemuksien kautta oppisisällöille ja yleisemmin matemaattisille toimintatavoille saadaan luotua mer- kityksellisyyttä, jonka myötä myös sitkeä työnteko ja ajattelu sekä monet muut matemaattiset hyveet olisi- vat luonnollisia ja laajasti hyödyllisiksi koettuja asioi- ta. Yksi kiintoisa konkreettinen sivuvaikutus prosessi- näkökulmasta on se, että opettaja huomaa pystyvänsä kehittämään itse luontevasti uusia toiminnallisia työta- poja, harjoitustehtäviä sekä jopa uusia matemaattisia väitteitä.
. . . Tai ei ihan vielä
Matematiikan professori emeritus Jorma Merikoski esitti hypoteesilleQ(vrt. Kuva 1) lyhyen todistuksen.
(Kävimme asian tiimoilta aikoinaan kirjeenvaihtoa; tä- män kirjoittajan ”puolustukseksi” voitaneen sanoa, et- tei hänkään ilmeisesti todistusta esittämälleni hypotee- sille noin vain keksinyt, vaan se vaati hiukan työtä myös häneltä; myös itse kysymys eli hypoteesi Q, vrt. Ku- va 1, oli hänellekin entuudestaan tuntematon.) Siinä ei ensimmäiseksi kiinnitetä pistettäX lyhimmän matkan pisteenä, vaan annetaan sen olla alussa suoranLmieli- valtainen piste. SuoranLpisteKon sitten se piste, jo- ka saadaan kuvion 1 mukaisella konstruktiolla pistees- täX keskinormaalinM Y pisteenCkautta (suorienT jaL leikkauspisteenä). Olkoot sitten X1 jaX2 suoran Lpisteitä, ja olkootK1jaK2vastaavat konstruktiolla saadut suoran L pisteet, joita vastaavat konstruktion mukaiset keskinormaalinM Y pisteetC1jaC2. Jos nyt X1A+X1B < X2A+X2B, niin C1M < C2M, mistä seuraa edelleen, että piste K2 on pisteen K1 oikealla puolella. Tällöin kulmaBK2A <kulmaBK1A, joten K2 ei ole maksimikulmapiste. Jos siis X ei ole mini- mimatkapiste, niin K ei ole maksimikulmapiste, sillä pienentämällä summaa XA+XB saadaan suurempi kulmaBXA. Maksimikulmapiste on olemassa. Näin se saadaan valitsemalla pisteeksi X minimimatkapiste – ja vain siten.
Lähteet
Haapasalo, L. & Kadijevich, Dj. (2000). Two types of Mathematical Knowledge and Their Relation. Journal für Mathematikdidaktik 21 (2), 139–157.
Haapasalo, L. (2004). Pitääkö ymmärtää voidakseen tehdä vai pitääkö tehdä voidakseen ymmärtää? Teok- sessa Matematiikka – näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen, Räsänen-Kupari-Ahonen-Malinen (toim.).
Niilo Mäki Instituutti. Jyväskylä.
Lehtinen, M., Merikoski, J., & Tossavainen, T. (2007).
Johdatus tasogeometriaan. WSOY Oppimateriaalit Oy.
Park, J., & Flores, A. (2015). Fermat’s point from fi- ve perspectives. International Journal of Mathematical Education 46(3).
Pehkonen, E. (1999). Professorien matematiikkakäsi- tyksistä. Kasvatus 30 (2), 120–127.
Polya, G. (1973). Induction and Analogy in Mathema- tics. Volume I of Mathematics and plausible reasoning.
Princeton University Press. Princeton, New Jersey.
Poranen, J. (2020). On the process aspect in mathema- tics through genuine problem-solving. Teoksessa Sub- ject Teacher Education in Transition. Educating Teac- hers for the Future. Edited by Ropo, E., & Jaatinen, R. Tampere University Press. ISBN 978-952-359-016-8 (PDF).
