Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma

Jonne Kuittinen

Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka

Elokuu 2012

Tampereen yliopisto

Informaatiotieteiden yksikkö

KUITTINEN, JONNE: Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Pro gradu -tutkielma, 46 s., 2 liites.

Matematiikka Elokuu 2012

Tiivistelmä

Optiot ovat yhä merkittävämpi osa rahoitusmarkkinoita, mutta niiden hin- noittelu nojaa edelleen pitkälti Black-Scholes-optiohinnoittelumalliin, joka esitettiin jo vuonna 1973. Rajoitteistaan huolimatta tämän mallin ymmärtä- minen on erittäin tärkeää rahoitusalasta kiinnostuneille.

Tämän tutkielman tavoitteena on avata Black-Scholes-optiohinnoittelu- mallin matemaattista taustaa. Mallin matematiikan ymmärtämistä yritetään helpottaa erityisesti tuomalla esiin sen yhteys myöhemmin julkaistuun bino- mimalliin, joka voidaan nähdä Black-Scholes-optiohinnoitelumallin yksinker- taistuksena.

Tutkielma etenee seuraavasti. Aluksi käydään läpi optioihin liittyviä kä- sitteitä ja perustietoja. Sitten siirrytään optioiden hinnoitteluun binomimal- lin avulla, jossa osakkeen hinnalle annetaan askeleittain kaksi mahdollista ar- voa ja tutkitaan askelmäärää nostaen miten option hinta käyttäytyy. Sen jäl- keen esitellään osakkeen hinnan prosessi ja muut tarvittavat esitiedot Black- Scholes-optiohinnoittelukaavalle, jonka kaksi eri todistusta päättävät tutkiel- man.

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Optiot 2

2.1 Option positiot . . . 3

2.2 Optioiden hinnoittelun perusteet . . . 6

3 Optioiden hinnoittelu - binomimalli 7 3.1 Yhden askeleen binomimalli . . . 8

3.2 Kahden askeleen binomimalli . . . 12

3.3 Useamman askeleen binomimalli . . . 14

4 Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli 16 4.1 Taustatiedot . . . 16

4.1.1 Martingaalit . . . 17

4.1.2 Markov-prosessi . . . 18

4.1.3 Wiener-prosessi . . . 20

4.1.4 Itô-prosessi . . . 22

4.1.5 Osakkeen hinnan prosessi . . . 22

4.1.6 Itôn lemma . . . 23

4.1.7 Osakkeen hinnan lognormaalisuus . . . 26

4.2 Black-Scholes-differentiaaliyhtälö . . . 28

4.3 Black-Scholes-optiohinnoittelukaava . . . 32

4.3.1 Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen . . . 32

4.3.2 Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen bino- mimallista . . . 38

Viitteet 44

A Black-Scholes-differentiaaliyhtälön vaihtoehtoinen todistus 47

1 Johdanto

Optiot ovat johdannaisinstrumentteja, jotka antavat haltijalleen oikeuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa tai myydä kohde-etuutena olevan hyödykkeen ennalta sovitulla hinnalla ja mahdollisesti määrättynä ajankohtana. Kohde- etuutena voivat olla esimerkiksi osakkeet, valuutat tai raaka-aineet. Optioi- den merkitystä rahoitusmarkkinoiden instrumentteina kuvastaa hyvin 40%

tasainen vuosikasvu amerikkalaisten listattujen optioiden määrässä, jonka uskotaan edelleen kaksinkertaistuvan vuoden 2012 aikana [11].

Optioiden hinnoitteluun on kehitetty useita malleja ja niitä on edelleen muokattu sopiviksi erilaisille optioille. Huolimatta sen paljon keskustelluista rajoitteista, tärkeimpänä on vielä tänä päivänäkin säilynyt Fisher Blackin ja Myron Scholesin vuonna 1973 esittämä malli, jonka kehittämiseen on rat- kaisevasti osallistunut myös Robert C. Merton samana vuonna julkaistulla artikkelillaan. Merton ja Scholes saivat työstään myös Nobelin taloustieteen palkinnon vuonna 1997. Black oli valitettavasti kuollut jo vuonna 1995.

Tämän tutkielman tavoitteena on esitellä optioiden hinnoittelun tärkein tulos, Black-Scholes-optiohinnoittelumalli, tiiviisti ja selkeästi. Hinnoittelu- mallin ymmärrystä pyritään selkeyttämään esittelemällä optioiden hinnoit- telussa käytetyn binomimallin (Cox, Ross ja Rubinstein, 1979) ja Black- Scholes-mallin välinen yhteys, joka usein jää oppikirjoissa vähemmälle huo- miolle. Hinnoittelukaavojen johtaminen on pyritty tekemään tarpeeksi yksi- tyiskohtaisesti, jotta lukija pystyy sitä seuraamaan. Vieraimpiin käsitteisiin on lisätty viittaukset lähteisiin, joista lukija löytää lisää tietoa.

Tutkielma jäsentyy seuraavasti. Luvussa 2 kerrotaan yleisesti optioista, sekä käydään läpi terminologiaa ja optiopositiot. Optioiden hinnoittelun kä- sittely aloitetaan kolmannessa luvussa binomimallilla. Ensin aloitetaan yksin- kertaisimmasta yhden askeleen mallista, josta jatketaan kahden askeleen mal- lin kautta useamman askeleen binomimalliin. Lisäämällä askeleiden lukumää- rää option hinnoittelun tarkkuus paranee. Luvun lopuksi saavutaan useam- man askeleen binomimallilla saatuun optiohinnoittelukaavaan. Luku 4 käsit- telee Black-Scholes-optiohinnoittelumallia. Ensimmäisen alaluku johdattaa lukijan aiheeseen tarvittavien taustatietojen kautta. Näistä tärkeimmät ovat osakkeen hinnan prosessi, sen lognormaalisuus sekä Itôn lemma. Seuraavassa alaluvussa johdetaan keskeinen tulos: Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Tut- kielma päättyy Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtamiseen kahdella eri tavalla.

Tutkielman päälähteinä on käytetty tunnettuja taloustieteen oppikirjo- ja Hull: Options, futures, and other derivatives ja Luenberger: Investment Science, hieman matemaattisempaa kirjaa Neftci: An Introduction to the

joittamaa tieteellistä artikkeliaOption Pricing: A Simplified Approach. Kaik- ki tutkielman teossa käytetyt lähteet on listattu tutkielman lopussa. Esi- tietoina lukijalla olisi hyvä olla perustiedot todennäköisyyslaskennasta sekä differentiaali- ja integraalilaskennasta.

2 Optiot

Optio on johdannaisinstrumentti, eli johdannainen, joka toimii sopimuksena kahden osapuolen välillä. Sen erityispiirteenä on, että se tarjoaa option os- tajalle (haltija) mahdollisuuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa (osto-optio) tai myydä (myynti-optio) sopimuksen kohteena oleva hyödyke (kohde-etuus) sovittuun hintaan (lunastushinta) ennalta määrättynä ajankohtana (lunas- tusajankohta). Vrt. [3, s. 229] & [12, s. 320]. Option ostaja maksaa option hinnan (preemio) option myyjälle edellä määritellystä oikeudesta. Jos optio voidaan lunastaa vain ennalta määrättynä lunastusajankohtana, on kysees- sä eurooppalainen optio. Sitä vastoin amerikkalainen optio voidaan lunastaa milloin tahansa sen voimassaoloaikana (juoksuaika, myös maturiteetti). Vrt.

[14, s. 142] & [1, s. 1].

Molemmilla optiotyypeillä, osto- ja myyntioptiolla, on kaksi näkökulmaa:

kumpikin optio voidaan joko ostaa (pitkä positio) tai myydä (lyhyt positio).

Pitkässä positiossa olevaa henkilöä kutsutaan option haltijaksi ja lyhyessä positiossa olevaa henkilöä option asettajaksi. Optioilla voi olla siis neljä eri positiota¹:

1. Osto-option pitkä positio: Maksamalla preemion option ostajalla, eli haltijalla, on oikeus hankkia kohde-etuus ennalta sovitulla lunastus- hinnalla.

2. Osto-option lyhyt positio: Option myyjällä, eli asettajalla, on velvol- lisuus luovuttaa kohde-etuus haltijan maksaessa ennalta sovittu lu- nastushinta. Asettaja saa velvollisuudestaan korvaukseksi option pree- mion.

3. Myyntioption pitkä positio: Preemion maksaminen antaa haltijalle oi- keuden myydä kohde-etuus option asettajalle ennalta sovittuun lunas- tushintaan.

4. Myyntioption lyhyt positio: Myyntioption asettaja on velvoitettu osta- maan kohde-etuus ennalta sovitulla hinnalla. Option preemio on kor- vaus asettajan ostovelvollisuudesta.

1Optiopositioista käytetään useasti myös niiden englanninkielisiä termejä: 1. Long Call, 2. Short Call, 3. Long Put ja 4. Short Put.

Vrt. [7, s. 8–9] & [2, s. 649–651].

Optio voi olla kolmessa asemassa voimassaolonsa aikana. Näin luokitel- tuna optiot voidaan jakaa plus-, tasa- ja miinusoptioihin. Option sanotaan olevan plusoptio, kun sen välitön lunastaminen johtaisi voittoihin haltijal- le. Osto-option tapauksessa tämä tarkoittaa, että lunastushinnan on oltava kohde-etuuden arvoa alemmalla tasolla. Vastaavasti tilanteessa, missä osto- option lunastushinta on korkeampi kuin kohde-etuuden arvo, optiota kutsu- taan miinusoptioksi. Kolmas mahdollinen asema optiolle on, kun sen lunas- tushinta on yhtäsuuri kuin kohde-etuuden arvo. Tällöin on kyseessä tasaop- tio. Vrt. [2, s. 649–651].

Option arvo voidaan jakaa kahteen osaan. Option perusarvo ilmaisee, kuinka paljon suurempi kohte-etuuden sen hetkinen arvo on verrattuna op- tion lunastushintaan. Se ei saa koskaan negatiivisia arvoja. Vastaavasti op- tion aika-arvo on option hinnan ja sen perusarvon välinen erotus. Se pe- rustuu osakkeen hinnan mahdollisiin tuleviin positiivisiin liikkeisiin option voimassaoloaikana. Se saa arvon nolla, kun option voimassaoloaika päättyy tai on optimaalinen hetki lunastaa optio välittömästi (amerikkalaisen option tapauksessa). Tarkastellaan yksinkertaista esimerkkiä, jossa osto-option hin- ta on 5 euroa ja juoksuaika kaksi kuukautta, osakkeen hinta on 40 euroa ja lunastushinta 37 euroa. Option perusarvo on 40−37 = 3 euroa ja aika-arvo 5−3 = 2 euroa. Vrt. [7, s. 154].

2.1 Option positiot

Kuten jo aiemmin mainittiin, optiolla voi olla neljä eri positiota: 1) osto- option pitkä positio, 2) osto-option lyhyt positio, 3) myyntioption pitkä po- sitio, sekä 4) myyntioption lyhyt positio. Eri positioiden ymmärtäminen aut- taa hahmottamaan optioiden dynamiikkaa ja siten ymmärtämään niiden hin- noittelua.

Osto-option ostajalla on osto-option pitkä positio. Osto-option pitkässä positiossa option haltija odottaa kohde-etuuden hinnan nousevan. Voimas- saolon päättyessä haltija lunastaa option, jos sillä on perusarvo. Osto-option pitkässä positiossa optio tuottaisi haltijalle voittoa, mikäli lunastushinnan ja option hinnan yhteenlaskettu summa on pienempi kuin kohde-etuuden sen hetkinen arvo.² Toisaalta, jos optiolla ei ole perusarvoa (kohde-etuuden ar- vo < lunastushinta) lunastuspäivänä, option haltijan tappio on maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 6–7].

2Tarkastellaan esimerkkiä. Oletetaan, että option voimassaolon loppuessa kohde- etuuden markkina-arvo on 12 euroa ja, että option lunastushinta on 7 euroa ja preemio 3 euroa. Nyt option perusarvo on 5 euroa (12-7). Tällöin optio tuottaisi haltijalleen voittoa

35 40 45 50 55 60 65

−10

−5 0 5 10 15 20

Kohde−etuuden hinta

Tuotto/Tappio

Osto−option pitkän position tuottokaavio

Kuva 1: Tuottokaavio - Osto-option pitkä positio

Yllä olevassa kuvassa 1 option lunastushinta on 50 euroa ja option hinta eli preemio 3 euroa. Osakkeen hinnan ollessa lunastushetkellä 53 euroa ei option haltija saa voittoa eikä koe tappiota. Hinnan ollessa alempi, option haltija kokee tappion, joka rajoittuu preemion hintaan, 3 euroa. Optio alkaa tuottamaan voittoa, kun osakkeen hinta on yli 53 euroa. Vrt. [7, s. 6–7].

Teoriassa option haltijan voitto voi olla rajaton, koska osakkeen hinta voi nousta rajattomasti, kun taas tappio on rajattu optiosta maksettuun hintaan. Vastaavasti osto-option myyjälle tappio on rajaton, koska jokainen osakkeen hinnan nousu kasvattaa hänen tappiotaan. Hänen voittonsa on taas rajattu optiosta saatuun hintaan. Osto-option myyjällä on osto-option lyhyt positio, jonka tuottokaavio on esitetty kuvassa 2. Osto-option lyhyen position ottaja odottaa siis osakkeen hinnan laskevan option voimassaoloaikana. Vrt.

[7, s. 6–10].

35 40 45 50 55 60 65

−20

−15

−10

−5 0 5 10

Kohde−etuuden hinta option maturiteettina

Tuotto/Tappio

Osto−option lyhyen position tuottokaavio

Kuva 2: Tuottokaavio - Osto-option lyhyt positio

35 40 45 50 55 60 65

−10

−5 0 5 10 15 20

Kohde−etuuden hinta option maturiteettina

Tuotto/Tappio

Myyntioption pitkän position tuottokaavio

Kuva 3: Tuottokaavio - Myyntioption pitkä positio

Kolmas mahdollinen positio on myyntioption pitkä positio, jossa option

tion ostaja maksaa preemion oikeudesta myydä osake ennalta sovitulla lu- nastushinnalla option voimassaolon päättyessä (eurooppalainen optio). Hä- nen voittonsa kasvaa sitä mukaa, kun osakkeen hinta laskee. Tuotto voi pe- riaatteessa olla rajaton, mutta osakkeen hinta ei voi kuitenkaan laskea alle nollan. Tämän position tuottokaavio on esitetty kuvassa 3. Vrt. [7, s. 7–10].

Myyntioption myyjä saa option ostajalta preemion, jota vastaan myyjällä on velvollisuus ostaa kohde-etuutena oleva osake ennalta sovitulla hinnalla option voimassaolon päättyessä. Tämä viimeinen mahdollinen positio on ni- meltään myyntioption lyhyt positio ja sen tuottokaavio on esitetty kuvassa 4. Myyntioption myyjän tappio kasvaa, kun osakkeen hinta laskee, mutta hänen voittonsa on enintään maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 7–10].

35 40 45 50 55 60 65

−20

−15

−10

−5 0 5 10

Kohde−etuuden hinta option maturiteettina

Tuotto/Tappio

Myyntioption lyhyen position tuottokaavio

Kuva 4: Tuottokaavio - Myyntioption lyhyt positio

2.2 Optioiden hinnoittelun perusteet

Optioiden hinnoilla on yhteys edellä esitettyihin tuottokaavioihin. Tässä lu- vussa esitellään perusteet option hinnan määrittämiselle, joka valmistaa lu- kijaa seuraavissa luvuissa olevaan syvempään tarkasteluun.

Oletetaan, että omistetaan osakkeen osto-optio, jonka lunastushinta on K. Olkoon osakkeen hinta option erääntymishetkelläST. On helppo huoma- ta, että josS_T < K, niin option arvo on nolla. Tässä tapauksessa osto-option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta halvemmalla hinnalla ST kuin lu-

nastamalla optio ja maksamalla osakkeesta hinta K. Jos taas ST > K, niin optiolla on arvoa. Nyt option omistaja voi lunastaa option ja ostaa osakkeen hintaan K. Hän voi samantien myydä osakkeen markkinoilla korkeammalla hinnalla ST, jolloin hänen voittonsa on ST −K. Vrt. [12, s. 322].

Yhdistämällä nämä kaksi tapausta option arvo voidaan esittää kaavana

C = max[ST −K,0]. (2.1)

Tämä tarkoittaa, että option arvo C on yhtä suuri kuin suurempi arvoista 0 ja ST −K. Kaava (2.1) antaa eksplisiittisen kaavan osto-option arvon mää- rittämiseen option erääntymishetkellä osakkeen hinnan ST funktiona. Osto- option lyhyessä positiossa kaava on vastaavasti

−max[ST −K,0] = min[K−ST,0].

Vrt. [12, s. 322] & [7, s. 9].

Myyntioption kohdalla tulos on vastakkainen, koska optio antaa omista- jalleen oikeuden myydä kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. Ole- tetaan, että omistetaan myyntioptio, jonka lunastushinta on K. Tässä ta- pauksessa, jos osakkeen hinta S_T on suurempi kuin option lunastushinta K, siisST > K, niin optio on arvoton. Option omistaja voi lunastamalla option myydä osakkeen hintaan K, kun markkinoilla hän voi myydä sen suoraan korkeampaan hintaan S_T. Toisaalta, jos S_T < K, niin option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta hinnalla ST ja sitten lunastaa option ja myy- dä osakkeen korkeammalla hinnalla K. Hänen voittonsa on tällöin K−ST. Yleinen kaava myyntioption arvolle sen erääntymishetkellä on

P = max[K−ST,0], ja vastaava kaava myyntioption lyhyessä positiossa on

−max[K−ST,0] = min[ST −K,0].

Vrt. [12, s. 322–323] & [7, s. 10].

3 Optioiden hinnoittelu - binomimalli

Binomimalli on yksinkertaisin ja käytännöllisin optioiden hinnoittelumalli.

Binomimalli on itse asiassa yksinkertaistettu versio Black-Scholes-optiohin- noittelumallista ja kehitetty vasta tämän jälkeen. Sen luojat olivat Cox, Ross ja Rubinstein (1979).

3.1 Yhden askeleen binomimalli

Binomimallin rakentaminen alkaa diskreetin yhden askeleen binomimallin esittelemisellä. Olkoon osakkeen hinta S hetkellä t. Yhden askeleen jälkeen, hetkellät+1 osakkeen hinnan kehityksellä on kaksi mahdollista arvoa: toden- näköisyydellä q osakkeen hinta nousee arvoonuS, missä u >1 ja 0< q <1, tai todennäköisyydellä 1−q hinta laskee arvoon dS, missä 0 < d < 1. Vrt.

[3, s. 232]. Asia on havainnollistettu kuvassa 5.

PP

PP PP

PP PP

S

uS

dS q

1−q

Kuva 5: Osakkeen hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 232].

Binomimalliin kuuluu useita oletuksia. Korkokanta on vakio ja lainan an- taminen sekä lainaaminen ovat rajoituksettomia. Suurempaa varallisuutta pidetään parempana kuin pienempää, joten tuottavat riskittömät arbitraasi- mahdollisuudet käytetään välittömästi. Arbitraasi on mahdollisuus tuottoi- hin ilman riskiä. Tämä voidaan saavuttaa esimerkiksi hyödyntämällä osak- keen hintaeroja eri markkinoilla. Alla oleva todistus auttaa ymmärtämään arbitraasin käsitettä. Veroja, marginaalivaatimuksia sekä transaktioista ai- heutuvia kuluja ei oteta mallissa huomioon. Lyhyeksimyymisestä saatavat tuotot jäävät siis kokonaisuudessaan käyttöön. Binomimallia käyttäen, kun rakennetaan salkku, joka koostuu osakkeesta ja sen optiosta tietyillä pai- noilla, tarkastelujakson lopussa, hetkellä t+ 1, ei ole epävarmuutta salkun arvosta. Koska salkku on riskitön, täytyy tuoton olla yhtäsuuri riskittömän korkokannan kanssa ja täten pystytään laskemaan salkun rakentamisesta ai- heutuvat kustannukset sekä edelleen option hinta. Vrt. [3, s. 232–235] & [7, s. 201].

Olkoon r = 1 +r_f, missä r_f on riskitön korkokanta. Oletetaan lisäksi, että u > r > d. Jos yhtälö u > r > d ei päde, on olemassa arbitraasimah- dollisuuksia käyttäen ainoastaan osaketta ja riskitöntä lainan antamista ja lainanottoa. Vrt. [3, s. 232].

Todistetaan tämä väite käsittelemällä kaksi eri tapausta: d < u ≤ r ja r ≤ d < u. Olkoon d < u ≤ r. Tällöin osakkeen tuotto on kaikissa tapauk- sissa huonompi kuin lainan tuotto. Nyt arbitraasi muodostetaan myymällä osake lyhyeksi ja sijoittamalla myyntitulot riskittömään korkokantaan (esim.

valtion obligaatio). Tällöin tuotto on joko r−u tai r−d osakkeen loppuhin- nan mukaan. Vrt. [12, s. 327]. Tapaus r≤d < u käsitellään samalla tavalla.

Nyt osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa vähintään yhtä hyvä kuin lainan tuotto, joten arbitraasi muodostetaan ottamalla laina riskittömällä korolla r ja sijoittamalla rahat osakkeeseen. Tuotto on joko u−r tai d−r osakkeen loppuhinnan mukaan.

Seuraavaksi paneudutaan osto-option hinnoitteluun yhden askeleen bino- mimallin avulla. Oletetaan, että osakkeille ei makseta osinkoja, jolloin eu- rooppalaisen ja amerikkalaisen option käsittelyllä ei ole eroa. Optiotyyppien eroja on tarkasteltu tarkemmin lähteessä [12, s. 332-333]. Vaikka jatkossa keskitytään ainoastaan osto-optioon, pienillä muutoksilla käsittely voidaan laajentaa käsittämään useita muita johdannaisia. Oletetaan, että osto-optio erääntyy yhden periodin kuluttua. Tämän option kohde-etuutena on edel- lä mainittu osake, jonka hinta noudattaa edellä esitettyä mallia. Olkoon C osto-option arvo hetkellä t. Jos periodin lopussa osakkeen hinta on uS, ol- koon option arvoC_uhetkellät+1. Jos osakkeen hinta on periodin lopussadS, olkoon option arvo Cd hetkellä t+ 1. Kun K on osto-option lunastushinta, option arvon kaavasta (2.1) seuraa

Cu = max[0, uS−K] ja (3.1)

C_d = max[0, dS−K]. (3.2)

Vrt. [3, s. 232–233]. Osto-option arvonmuutos on havainnollistettu kuvassa 6.

PP

PP PP

PP PP

C

Cu = max[0, uS−K]

Cd= max[0, dS−K] q

1−q

Kuva 6: Osto-option hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 233].

Kun arbitraasia ei ole, voidaan rakentaareplikoiva salkku, jonka loppuar- vo on sama kuin osto-option. Se sisältää ∆ osaketta ja B euron arvosta ris- kittömiä obligaatioita. Vrt. [12, s. 329]. Obligaatiota käytetään kuvaamaan sijoitusta riskittömään korkokantaan. Koska option ja salkun loppuarvot ovat yhtäsuuret, on oltava

∆uS+rB =Cu ja (3.3)

∆dS+rB =Cd. (3.4)

Seuraavaksi ratkaistaan muuttuja ∆ vähentämällä yhtälö (3.4) yhtälöstä (3.3).

∆uS+rB−(∆dS+rB) =Cu−Cd

∆(uS−dS) =Cu−Cd

∆ = Cu−Cd

(u−d)S. (3.5)

Sijoittamalla yhtälöstä (3.5) saatu muuttuja ∆ yhtälöön (3.3), joka on rat- kaistu muuttujalle B, saadaan

B = Cu−∆uS r

= Cu−u^Cu_u⁻₋^C_d^d r

=

u−d

u−dCu −u^Cu_u⁻₋^C_d^d r

=

uC^u−dC^u

u−d −^uCuu⁻−^uCd ^d

r

= uC_d−dC_u

(u−d)r . (3.6)

Kun ∆ ja B valitaan tällä tavoin, kutsutaan salkkua suojautumissalkuksi (hedging portfolio). Vrt. [3, s. 233–234].

Koska arbitraasia ei ole, on oltava

C = ∆S+B (3.7)

= Cu−Cd

u−d +uCd−dCu

(u−d)r

=

r r

Cu−Cd

u−d +uCd−dCu

(u−d)r

= rCu−rCd+uCd−dCu

(u−d)r

= rCu−dCu+uCd−rCd

(u−d)r

= pCu+ (1−p)Cd

r , (3.8)

missä p= _u^r−₋^d_d, 1−p= ^u_u−⁻_d^r ja r >1. Vrt. [3, s. 234]. Yhtälö 3.8 on binomi- mallilla johdettu yhden askeleen optiohinnoittelukaava.

Jos yhtälö (3.7) ei olisi voimassa, arbitraasi olisi mahdollista. Jos C <

∆S+B, myymällä salkku ja ostamalla osto-optio saavutetaan riskitön tuotto ilman nettoinvestointia. Jos C >∆S+B, arbitraasi saavutetaan myymällä osto-optio ja ostamalla salkku. Vrt. [3, s. 233].

Mielenkiintoinen seikka yllä esitellyssä optioiden hinnoittelukaavassa on sen yhteysriskineutraaliin hinnoitteluun. Optioiden hinnoittelukaava ei sisäl- lä todennäköisyyttä q. Tämä voi tuntua logiikan vastaiselta, mutta tarkem- min ajateltuna osto-option arvo on saatu sovittamalla täydellisesti yhteen option sekä riskittömän korkokannan ja osakkeen yhdistelmän tuotot, missä todennäköisyydellä q ei ole mitään roolia. Riippumatta yksittäisten sijoitta- jien näkemyksestä osakkeen hinnannousun todennäköisyydestä, osto-option hinta C voidaan siis perustaa muuttujiin S, u, d ja r. Option arvo ei riipu sijoittajan asenteesta riskiin vaan aiemmin esitetystä oletuksesta, että sijoit- tajat pitävät suurempaa varallisuutta pienempää parempana ja tästä johtuen hyödyntävät riskittömät arbitraasimahdollisuudet. Optioden hinnoittelukaa- van ainoa satunnaismuuttuja on osakkeen hinta S. Vrt. [3, s. 235] & [12, s. 330].

Huomataan kuitenkin, että 0< p <1, missä p= ^r_u⁻−^dd. Siis muuttujalla p on todennäköisyyden ominaisuudet. Itse asiassa p on arvo, jonka muuttuja q saisi, jos sijoittajat olisivat riskineutraaleja. Tässä tapauksessa osakkeen

odotettu tuotto vastaisi riskitöntä korkokantaa. Siis q(uS) + (1−q)(dS) =rS

qu+ (d−qd) =r (u−d)q=r−d

q= r−d u−d =p.

Muuttujaa p kutsutaankin riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. On kuiten- kin hyvä huomata, että option tuoton ei odoteta olevan yhtäsuuri kuin ris- kittömän korkokannan tuotto, vaan luodun suojautumissalkun tuotto. Vrt.

[3, s. 235–236] & [12, s. 329–330].

3.2 Kahden askeleen binomimalli

Seuraavaksi siirrytään yhden askeleen binomimallista useamman askeleen bi- nomimalliin. Askelien lisääminen parantaa option hinnoittelun tarkkuutta.

Aloitetaan yksinkertaisimmasta, eli kahden askeleen binomimallista, jossa option lunastusajankohta on kahden periodin kuluttua.

Kuvissa 7 ja 8 on määritelty osakkeen ja osto-option hintakehitys kahden askeleen binomimallissa. C_uu on option arvo, kun osakkeen hinta on kohon- nut molempina periodeina ja näin päätynyt hintaan u²S. Luvut Cdu ja Cdd

määritellään vastaavasti. Vrt. [3, s. 235–236].

PP

PP PP

PP PP

S

uS

dS

PP PP

PP PP

PP

PP PP

PP PP

PP

uuS =u²S

duS =udS

ddS =d²S

Kuva 7: Osakkeen hinta kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236].

Kahden askeleen binomimallissa osto-option arvo lasketaan yhden aske- leen binomimallissa käytetyllä tavalla. Kuitenkin option arvo hetkellä t saa- daan selville aloittamalla arvoista hetkellä t+ 2 ja etenemällä takaperin ar- voon hetkellä t + 1 ja edelleen hetkellä t. Hetkellä t + 2 option osakkeen

hintakehityksestä riippuvat arvot ovat

Cuu = max[0, u²S−K], (3.9)

C_du = max[0, duS−K] ja (3.10)

Cdd = max[0, d²S−K]. (3.11)

Osto-option arvot hetkellä t+ 1 voidaan laskea yhden askeleen binomimallin optioiden hinnoittelukaavan (3.8) avulla.

Cu = pCuu+ (1−p)Cud

r ja (3.12)

Cd= pCdu+ (1−p)Cdd

r , (3.13)

missä p on riskineutraali todennäköisyys. Option arvo hetkellä t lasketaan käyttämällä yhtälöä (3.8) vielä kerran. Näin saadaan

C = pCu+ (1−p)Cd

r . (3.14)

Vrt. [12, s. 330].

PP

PP PP

PP PP

C

Cu

C_d

PP PP

PP PP

PP

PP PP

PPP PP

P

Cuu = max[0, u²S−K]

Cdu = max[0, duS−K]

C_dd = max[0, d²S−K] Kuva 8: Osto-option arvo kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236].

Nyt osto-option nykyarvo hetkellätsaadaan sijoittamalla yhtälöön (3.14) option arvot hetkellät+ 1 yhtälöistä (3.12) ja (3.13), ja edelleen sijoittamalla

tähän option arvot hetkellä t+ 2 yhtälöistä (3.9) – (3.11).

C=pCu+ (1−p)Cd

r

=p^pCuu+(1_r^−p)Cud + (1−p)^pCdu+(1_r^−p)Cdd r

=p²Cuu+ 2p(1−p)Cdu+ (1−p)²Cdd

r²

=p²max[0, u²S−K] + 2p(1−p) max[0, duS−K]

r² +(1−p)²max[0, d²S−K]

r² .

(3.15)

Vrt. [3, s. 237–238].

Riskineutraali hinnoittelu toimii myös kahden askeleen binomimallissa.

Muuttujat p², 2p(1−p) ja (1− p)² ovat riskineutraalit todennäköisyydet option arvoille hetkellä t+ 2. Vrt. [7, s. 208].

Yhtälöön (3.8) liittyvät huomiot pätevät myös yhtälöön (3.15). Erona kahden askeleen binomimallin optioden hinnoittelu kaavassa on se, että uu- tena muuttujana huomioon on otettava myös option erääntymiseen jäljellä olevan periodien määrä n, jonka arvo on tässä tapauksessa 2. Kaikki option arvon C määräävät muuttujat ovat siis S, K, r, u, d ja n. Vrt. [3, s. 238].

3.3 Useamman askeleen binomimalli

Kahden askeleen binomimallista voidaan siirtyä useamman askeleen binomi- malliin käyttämällä rekursiivista päättelyä. Useamman askeleen binomimal- lista on esimerkki kuvassa 9. Replikoivan salkun arvo noudattaa option ar- voa. Aloittamalla option erääntymishetkestä ja etenemällä takaperin voidaan johtaa universaali optioden hinnoittelukaava jokaiselle muuttujan n arvolle:

C =

Pn

j=0(_j!(n^n!_−j)!)p^j(1−p)^n−jmax[0, u^jd^n−jS−K]

rⁿ . (3.16)

Vrt. [3, s. 238].

Useamman askeleen optiohinnottelukaava saadaan käyttökelpoisempaan muotoon muokkaamalla yhtälöä (3.16) hieman. Olkoonaminimimäärä hinn- annousuja, joka osakkeen on tehtävä seuraavann periodin aikana, jotta osto- optiolla olisi reaaliarvoa erääntymispäivänä, eli se olisi plusoptio. Tällöin a on pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, jolla on voimassa u^ad^n−aS > K. Ot-

tamalla luonnollinen logaritmi molemmilta puolilta epäyhtälöä, saadaan ln(u^ad^n−aS)>lnK

alnu+ (n−a) lnd+ lnS >lnK alnu−alnd+nlnd+ lnS >lnK a(lnu−lnd) + lnSdⁿ>lnK

alnu

d >lnK−lnSdⁿ a > ln_Sd^Kn

ln^u_d .

Nyt a voidaan kirjoittaa pienimpänä ei-negatiivisena kokonaislukuna, joka on suurempi kuin (ln_Sd^Kn)/(ln^u_d). Vrt. [3, s. 238].

HH

HHH HH

H HH

H HH

HH H

HH HH HH

HHH HH

HHH HH

H HH HH

HHH HH

HHH HH

HHH

S

uS

u²S

u³S

dS

d²S

d³S udS

ud²S u²dS

u²d²S u³dS u⁴S

ud³S

d⁴S

Kuva 9: Osakkeen hinta useamman askeleen binomimallissa. Vrt. [7, s. 394].

Jokaista j < a kohti,

max[0, u^jd^n−jS−K] = 0, ja jokaista j ≥a kohti,

max[0, u^jd^n−jS−K] =u^jd^n−jS−K.

Siis,

P_n

j=a( ^n! )p^j(1−p)^n−j(u^jd^n−jS−K)

Jos a > n, osto-optio on miinusoptio, eli sillä ei ole reaaliarvoa erääntymis- päivänä vaikka osake nousisi joka periodilla, joten osakkeen tämänhetkinen arvo täytyy olla nolla. Vrt. [3, s. 238–239].

JakamallaC kahteen termiin saadaan C=S





n

X

j=a

n!

j!(n−j)!

!

p^j(1−p)^n−j u^jd^n−j rⁿ

!



−Kr⁻ⁿ





n

X

j=a

n!

j!(n−j)!

!

p^j(1−p)^n−j



. (3.18)

Nyt jälkimmäinen suluissa oleva esitys on komplementäärinen binomijakau- mafunktio Φ[a;n, p] (binomijakaumafunktio tarkoittaa binomijakauman ker- tymäfunktiota). Ensimmäinen suluissa oleva esitys voidaan myös tulkita bi- nomijakauman kertymäfunktioksi Φ[a;n, p^′], missä

p^′ = u

rp ja 1−p^′ = d

r(1−p).

Koska 0< p^′ <1, niin p^′ on todennäköisyys. Huomaa, ettäp < _u^r ja p^j(1−p)^n−j u^jd^n−j

rⁿ

!

=

u rp

j d

r(1−p)

!n−j

=p^′j(1−p^′)^n−j. Vrt. [3, s. 239].

Siis useamman askeleen binomimallilla saatuoptiohinnoittelukaava on C =SΦ[a;n, p^′]−Kr⁻ⁿΦ[a;n, p], (3.19) missä

p= r−d

u−d , p^′ = u rp ja

a= pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin ln_Sd^Kn

ln^u_d .

Jos a > n, niin C = 0. Vrt. [3, s. 239].

4 Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli

4.1 Taustatiedot

Tässä luvussa esitellään taustatietoja Black-Scholes-optiohinnoittelumallin ja sen todistusten ymmärtämiseksi. Aluksi määritellään osakkeen hinnan

prosessi käyttäen apuna muiden prosessien määritelmiä. Kaiken pohjana on stokastinen prosessi, joka on diskreetti tai jatkuva indeksoitu satunnais- muuttujien kokoelma [15, s. 108]. Luvun lopussa esitellään Black-Scholes- differentiaaliyhtälön keskeinen aputulos, Itôn lemma, sekä osakkeen hinnan lognormaalisuus.

4.1.1 Martingaalit

Martingaalit ovat keskeinen osa modernia finanssiteoriaa. Martingaaliteorian laajuuden vuoksi tässä luvussa keskitytään käsittelemään ainoastaan tutkiel- man kannalta kiinnostavia tietoja.

Martingaaliteoria luokittelee havaitut aikasarjat niiden trendien mukaan.

Stokastinen prosessi käyttäytyy kuten martingaali, jos siinä ei esiinny ha- vaittavia trendejä tai jaksollisuutta. Vrt. [15, s. 120].

Oletetaan, että havaitaan satunnaismuuttujakokoelma, joka on indek- soitu aikaindeksillä t. Käsitellään jatkuvia stokastisia prosesseja. Olkoon {St, t ∈ [0,∞]} havaittu prosessi ja {It, t ∈ [0,∞]} kokoelma informaatio- joukkoja, jotka tulevat tietoon jatkuvasti ajan kuluessa. Käytännössä infor- maatiota It voidaan pitää esimerkiksi informaationa, joka on saatavilla fi- nanssimarkkinoiden hinnoista hetkellä t. Kun s < t < T, tämä informaatio- joukkokokoelma toteuttaa ehdon

Is⊆It⊆IT... (4.1)

Joukkoa {It, t ∈[0,∞]} kutsutaanfiltraatioksi. Vrt. [15, s. 120].

Valitaan sellainen jono {ti}, että

0 = t0 < t1 < ... < tk−1 < tk =T (4.2) kuvastaa aikajaksoja jatkuvalla aikavälillä [0, T]. Symbolilla t₀ kuvataan al- kupistettä ja symbolilla tk loppupistettä. Nyt kun k → ∞ja (ti−ti−1)→0 kaikilla i = 1, ..., k, aikaväli [0, T] jakautuu yhä pienempiin osiin. Vrt. [15, s. 120].

OlkoonSt satunnainen hintaprosessi äärellisellä aikavälillä [0, T]. Määrä- tyllä hetkellä ti hintaprosessin arvo on S_ti. Jos hintaprosessin arvo St kuu- luu informaatiojoukkoon I_t jokaisella t ≥ 0, niin sanotaan, että prosessi {St, t ∈ [0, T]} sopii filtraatioon {It, t ∈ [0, T]}. Siis arvo St tunnetaan, kun informaatiojoukko It on annettu. Vrt. [15, s. 120].

Käyttämällä eri informaatiojoukkoja voidaan tuottaa eri ennusteita pro- sessista {St}. Näiden ennusteiden ilmaisussa käytetään ehdollisia odotusar- voja. Erityisesti,

on muodollinen tapa merkitä tulevan arvon ennustetta käyttäen saatavissa olevaa informaatiota hetkellä t. Vrt. [15, s. 121].

Määritelmä 4.1. [15, s. 121] Prosessia {St, t ∈ [0,∞]} kutsutaan martin- gaaliksi filtraation {It}ja todennäköisyydenP suhteen, jos jokaisella luvulla t >0

1. St tunnetaan, kun It on annettu (St onIt-sopiva), 2. ehdottomat ennusteet ovat äärellisiä:

E [St]<∞, (4.4)

3. paras ennuste tulevista arvoista on viimeinen saatu arvoSt:

Et[ST] =St jokaisella t < T, (4.5) todennäköisyydellä 1.

Kaikki odotusarvot E [·], Et[·] lasketaan todennäköisyyden P suhteen.

Havainnollistetaan martingaalin määritelmää esimerkin avulla. OlkoonSt

martingaali ja

Et[St+u−St] = Et[St+u]−Et[St] (4.6) ennuste prosessin S_t muutoksesta välillä [t, t+u], missä u > 0. Koska mar- tingaalin määritelmän kohdan 1 mukaan St onIt-sopiva, Et[St] =St. Lisäk- si, martingaalin määritelmän kohdan 3 mukaan, jos St on martingaali, niin E_t[S_t+u] =S_t. Siis

Et[St+u−St] = 0. (4.7)

Vrt. [15, s. 121].

Edellisestä esimerkistä voidaan huomata martingaaliprosessien keskeinen ominaisuus: martingaalien liikettä on mahdotonta ennustaa. On hyvä muis- taa, että martingaalit määritellään aina suhteessa tiettyyn informaatiojouk- koon ja todennäköisyyteen. Näitä muuttamalla voidaan ei-martin-gaalista prosessista tehdä martingaali ja päin vastoin. Vrt. [15, s. 121–122].

4.1.2 Markov-prosessi

Markov-prosessi on sellainen stokastinen prosessi, jono satunnaismuuttujia, jossa muuttujan tulevat arvot riippuvat ainoastaan muuttujan tämänhetki- sestä arvosta. Aiemmat arvot ja aiempi arvon kehitys ovat prosessin kannalta merkityksettömiä. Vrt. [15, s. 109].

Osakkeiden hintojen oletetaan yleisesti noudattavan Markov-prosessia.

Eugene Faman muotoilema markkinoiden heikko tehokkuus (weak form of market efficiency) sanoo, että osakkeen tämänhetkinen hinta sisältää kaiken tiedon osakkeen menneistä hinnoista. Jos näin ei olisi, käyttämällä hyväksi osakkeen historiatietoja taitava analyytikko voisi jatkuvasti saavuttaa kes- kiarvoa parempia tuottoja. Tällaisesta toiminnasta ei kuitenkaan ole pitkä- kestoisia havaintoja. Vrt. [7, s. 216–217].

Seuraavaksi annetaan Markov-prosessin matemaattinen määritelmä. En- sin täytyy kuitenkin määritellä termit sigma-algebra sekä todennäköisyysa- varuus.

Määritelmä 4.2. [18, s. 9] Kokoelma F joukon Ω osajoukkoja on sigma- algebra, jos

1. Ω∈ F,

2. A∈ F ⇒A^c ∈ F,

3. A_n ∈ F kaikilla n∈N⇒ ∩A_n ∈ F.

Määritelmä 4.3. [17, s. 30]Todennäköisyysavaruus (Ω,F, P) sisältää kolme objektia

1. Ω on epätyhjä joukko, jota kutsutaanotosavaruudeksi. Se sisältää kaik- ki mahdolliset satunnaiskokeesta saadut ratkaisut.

2. F on otosavaruuden Ω osajoukkojen sigma-algebra.

3. P on parille (Ω,F) määriteltävä todennäköisyys (kutsutaan myös to- dennäköisyysmitaksi). P on siis funktio, joka antaa jokaiselle joukolle A∈ F luvun P(A)∈[0,1], joka edustaa todennäköisyyttä, että satun- naiskokeen ratkaisu sisältyy joukkoon A.

Määritelmä 4.4. [17, s. 70] Olkoon (Ω,F, P) todennäköisyysavaruus ja {F^k}ⁿk=0 filtraatio sigma-algebralla F. Olkoon lisäksi {Xk}ⁿk=0 todennäköi- syysavaruuden (Ω,F, P) stokastinen prosessi. Tämä prosessi on Markov³, jos

1. stokastinen prosessi{Xk}sopii filtraatioon {F^k}, ja

2. (Markov-ominaisuus) jokaisella k = 0,1, ..., n−1 satunnaismuuttujan X_k+1 jakauma ehdollaF_k on sama kuin ehdollaX_k.

3Markov-prosessiin liittyvä tekninen oletus: Käsitellään ainoastaan joukon R ja sen osajoukkojen funktioita, jotka ovat Borel-mitallisia. Siis käsitellään ainoastaan joukon R osajoukkoja A, jotka ovat joukossa B, ja funktioitag : R→ R, joillag⁻¹ : B → B. Vrt.

4.1.3 Wiener-prosessi

Wiener-prosessi⁴ on Markov-prosessi, jonka muutoksen odotusarvo on 0 ja yhdessä aikayksikössä tapahtuvan muutoksen varianssi 1. Muutoksen tiheys- funktio on φ(0,1), missä φ(µ, σ) on normaalijakauman tiheysfunktio odo- tusarvolla µ ja keskihajonnallaσ. Vrt. [7, s. 217–218].

Määritelmä 4.5. [15, s. 177]Wiener-prosessi z_t, filtraation{I_t}suhteen on sellainen stokastinen prosessi, jossa seuraavat ehdot täyttyvät.

1. Wiener-prosessi z_t on neliöintegroituva martingaali⁵ ja z₀ = 0. Lisäksi E [(zt−zs)²] =t−s, s ≤t.

2. Wiener-prosessin zt kuvaaja on jatkuva pisteessä t.

Käytettäessä martingaaleihin perustuvaa määritelmää Wiener-prosessin todennäköisyysjakauman normaalius seuraa määritelmän oletuksista Lévyn lauseen⁶ mukaan.

Wiener-prosessi voidaan myös määritellä sen ominaisuuksien mukaan.

Muuttuja z noudattaa Wiener-prosessia, jos sillä on seuraavat ominaisuu- det.

1. Muutosδz lyhyen ajanjakson δt aikana on δz=ǫt

√δt, (4.8)

missä ǫt on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta φ(0,1).

2. Muutoksen δz arvot millä tahansa kahdella eri lyhyellä aikavälillä δt ovat toisistaan riippumattomia.

Nyt ensimmäisestä ominaisuudesta seuraa, että muutoksella δz on normaa- lijakauma, jonka

odotusarvo on 0, keskihajonta on √

δt, varianssi on δt.

4Osa kirjallisuudesta käyttää Wiener-prosessista termiäBrownin liike. Lévyn lauseen mukaan näillä kahdella prosessilla ei ole tässä yhteydessä eroa. Lisää tietoa aiheesta löytyy esimerkiksi lähteestä [15, s. 177-178].

5Neliöintegroituvan martingaalin erityisominaisuus on, että sen varianssi on äärellinen.

Tarkempi käsittely löytyy esimerkiksi lähteestä [9].

6Esimerkiksi [4, s. 295–299] tarkastelee Lévyn lausetta tarkemmin.

Toisesta ominaisuudesta seuraa, että muuttuja z noudattaa Markov-proses- sia. Vrt. [7, s. 218].

Matematiikassa yleisesti edetään pienistä muutoksista, joita merkitään edellä symbolilla δ, raja-arvoihin, kun muutokset lähestyvät nollaa. Stokas- tisten prosessien kanssa voidaan menetellä samoin. Wiener-prosessi määri- tellään raja-arvona, kun δt → 0 yllä kuvaillussa prosessissa muuttujalle z.

Vrt. [7, s. 219].

Wiener-prosessi voidaan siis muodollisesti kuvata yhtälöllä dz =ǫt

√dt.

Satunnaismuuttujat ǫt ja ǫs ovat korreloimattomia aina, kun t6=s. Vrt. [12, s. 306].

Wiener-prosessin pohjalta voidaan rakentaa kokoelma yleisempiä proses- seja. Yksinkertaisin laajennus, yleistetty Wiener-prosessi, on muotoa

dx=adt+bdz, (4.9)

missä x on satunnaismuuttuja ja a ja b ovat vakioita. Lukua a sanotaan suuntakertoimeksi. Suuntakerroin kuvastaa muuttujan arvonkehityksen yleis- tä trendiä, kun taas varianssi on satunnainen muutos trendin ympärillä. Yllä kuvaillun Wiener-prosessindz suuntakerroin on nolla. Tämä on selvää, koska myös prosessin odotusarvo on nolla. Vrt. [7, s. 219].

Ensimmäinen termi yhtälön oikealla puolella kuvastaa suuntakerrointa ja toinen termi häiriöitä suuntakertoimen määräämällä reitillä. Koska tämä häiriö on b kertaa Wiener-prosessi ja Wiener-prosessin keskihajonta on 1 hetkellä 1, on häiriön keskihajontab hetkellä 1. Ilman häiriötekijää yhtälö on

dx=adt, mistä seuraa, että

dx dt =a.

Kun yhtälö integroidaan ajan suhteen, saadaan x=x0+at,

missä x0 on muuttujan x arvo hetkellä nolla. Jos ajanjakson pituus on T, kasvaa muuttujan x arvo summalla aT. Vrt. [7, s. 219].

Muuttujan x muutos δx lyhyellä aikavälillä δt seuraa yhtälöistä (4.8) ja (4.9):

√

Koska ǫt on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta, muutok- sella δz on normaalijakauma, jonka

odotusarvo on aδt, keskihajonta on b√

δt, varianssi on b²δt.

Yleistetyn Wiener-prosessin suuntakerroin on a ja sen varianssiparametri (häiriö) on b². Vrt. [7, s. 219–221].

4.1.4 Itô-prosessi

Rahoitusomaisuuden liikkeiden kuvaamisessa käytetään usein Itô-prosessia.

Se on yleistetty Wiener-prosessi, jossa parametritajabovat funktioita muut- tujan xja ajan t suhteen. Itô-prosessi voidaan ilmaista yhtälönä

dx=a(x, t)dt+b(x, t)dz. (4.10) Itô-prosessin suuntakertoimen sekä varianssiparametrin tulisi muuttua ajan kuluessa. Lyhyellä aikavälillä (t, t+δt) muuttuja x kehittyy arvoon x+δx, missä

δx=a(x, t)δt+b(x, t)dz.

Suuntakertoimena(x, t) ja varianssiparametrinb(x, t)² oletetaan pysyvän va- kioina aikavälillä (t, t+δt). Vrt. [7, s. 222] & [12, s. 308].

4.1.5 Osakkeen hinnan prosessi

Edellä esiteltyjen prosessien kautta päästään lopulta määrittelemään pro- sessi, jota käytetään osakkeiden hintojen kuvaamiseen. Esimerkiksi yleistet- ty Wiener-prosessi ei kykene ottamaan huomioon osakkeen hinnan kannalta tärkeää ominaisuutta, sijoittajan edellyttämää tuottoa. Jos sijoittaja edellyt- tää 10 prosentin tuottoa, kun osakkeen hinta on 10 euroa, edellyttää hän 10 prosentin tuottoa myös, kun osakkeen hinta on 100 euroa. Tästä johtuen ole- tus vakiona pysyvästä suuntakertoimesta on hylättävä. Uusi oletus on, että edellytetty tuotto (suuntakerroin jaettuna osakkeen hinnalla) on vakio. Vrt.

[7, s. 222].

Jos osakkeen hinnan volatiliteetti asetetaan (pysyvästi) nollaksi seuraa, että

dS=µSdt

tai dS

S =µdt.

Kun nyt otetaan integraali aikavälin [0, T] yli, saadaan

Z T 0

1 S dS =

Z T 0 µ dt

0

T

ln|S|=

0

T

µt ln|S_T| −ln|S₀|=µT −µ0

ln

ST

S₀

=µT S_T S0

=e^µT

ST =S0e^µT, (4.11)

missä S0 on osakkeen hinta hetkellä 0 ja ST on osakkeen hinta hetkellä T. Yhtälöstä (4.11) nähdään, että varianssin ollessa nolla osakkeen hinta kasvaa jatkuvasti maksettavalla korkoasteellaµaikayksikköä kohden. Vrt. [7, s. 222].

Koska käytännössä osakkeen hinta kuitenkin vaihtelee satunnaisesti, ole- tetaan, että prosentuaalisen tuoton stokastisen muutoksen odotusarvo ly- hyellä aikavälillä δt pysyy vakiona riippumatta osakkeen hinnasta. Muutok- sen keskihajonnan tulisi lyhyellä aikavälillä δt olla suoraan verrannollinen osakkeen hintaan. Tämä johtaa malliin

dS =µSdt+σSdz (4.12)

tai dS

S =µdt+σdz, (4.13)

missä muuttujaσon osakkeen hinnan volatiliteetti ja muuttujaµon osakkeen odotettu tuottoaste. Yhtälö (4.13) on suosituin osakkeen hinnan kuvaamiseen käytetty malli. Yleisesti tällaista mallia kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Vrt. [7, s. 223] & [12, s. 308–309].

4.1.6 Itôn lemma

Nyt tiedetään, että osakeoption hinta määräytyy ajan sekä kohde-etuutena olevan osakkeen hinnan funktiona. Johdannaisten hinnan voidaan yleistäen sanoa määräytyvän johdannaisen perustana olevien stokastisten prosessien

sekä ajan funktiona. Seuraavaksi tarkastellaan stokastisten funktioiden kan- nalta tärkeää tulosta, Itôn lemmaa⁷. Vrt. [7, s. 226].

Oletetaan, että muuttuja xnoudattaa Itô-prosessia

dx=a(x, t)dt+b(x, t)dz, (4.14) missä dz on Wiener-prosessi ja a ja b ovat muuttujan x ja ajan t funktioi- ta. Muuttujan x suuntakerroin on a ja varianssiparametri b². Itôn lemma osoittaa, että muuttujan xja ajan t funktioG noudattaa prosessia

dG= ∂G

∂x a+∂G

∂t +1 2

∂²G

∂x² b²

!

dt+ ∂G

∂x b dz, (4.15) missädz on sama Wiener-prosessi kuin yhtälössä (4.14). FunktioGnoudattaa siis Itô-prosessia. Sen suuntakerroin on

∂G

∂x a+ ∂G

∂t +1 2

∂²G

∂x² b² ja varianssiparametri

∂G

∂x

!2

b². Vrt. [7, s. 226].

Vaikka Itôn lemman yksityiskohtainen todistus ei ole option hinnan mää- rityksen kannalta tässä yhteydessä välttämätön, on sen idea hyvä ymmär- tää. Lemma voidaan nähdä differentiaalilaskennan tunnettujen tulosten laa- jennuksena. OlkoonGmuuttujanxjatkuva ja derivoituva funktio. Josδx on pieni muutos muuttujassa x ja δG on siitä seuraava pieni muutos funktiossa G, niin Taylorin⁸ sarjan approksimaation mukaan

δG≈ dG

dx δx. (4.16)

Tämän approksimaation virhe sisältää astetta δx² olevia termejä. Mikäli funktion δGarviota halutaan tarkentaa, voidaan käyttää Taylorin sarjakehi- telmää:

δG = dG

dx δx+ 1 2

d²G

dx² δx²+ 1 6

d³G

dx³ δx³ +· · · Vrt. [7, s. 232].

7Itôn lemman kehitti Kiyosi Itô vuonna 1951. Katso alkuperäinen julkaisu [8].

8Brook Taylor, englantilainen matemaatikko 1685–1731. Tarkemmin Taylorin sarjake- hitelmästä esimerkiksi lähteessä [10, s. 108].

Nämä tulokset voidaan myös laajentaa kahden muuttujan x ja y jatku- valle ja derivoituvalle funktiolle G. Yhtälöä (4.16) vastaava tulos on

δG≈ ∂G

∂x δx+ ∂G

∂y δy ja funktion δG Taylorin sarjakehitelmä

δG= ∂G

∂x δx+∂G

∂y δy+1 2

∂²G

∂x² δx²+ ∂²G

∂x∂y δxδy+1 2

∂²G

∂y² δy²+· · · (4.17) Kun δx ja δy lähestyvät nollaa, yhtälöstä (4.17) saadaan

dG= ∂G

∂x dx+ ∂G

∂y dy. (4.18)

Vrt. [7, s. 232].

Edellä esitetty yhtälö (4.18) voidaan nyt laajentaa kattamaan funktioi- ta, joiden muuttujat noudattavat Itô-prosesseja. Olkoon x muuttuja, joka noudattaa yhtälön (4.18) Itô-prosessia, siis

dx=a(x, t)dt+b(x, t)dz (4.19) ja olkoon G muuttujan x ja ajan t funktio. Vastaavasti kuin yhtälö (4.17), voidaan nyt kirjoittaa

δG = ∂G

∂x δx+ ∂G

∂t δt+ 1 2

∂²G

∂x² δx²+ ∂²G

∂x∂tδxδt+1 2

∂²G

∂t² δt²+· · · (4.20) Yhtälö (4.19) voidaan esittää epäjatkuvassa muodossa

δx=a(x, t)δt+b(x, t)ǫ√ δt tai jättämällä argumentit merkitsemättä muodossa

δx =aδt+bǫ√

δt. (4.21)

Vrt. [7, s. 232].

Tämä yhtälö paljastaa tärkeän eron yhtälöiden (4.20) ja (4.17) välillä.

Kun rajaavien muuttujien avulla siirryttiin yhtälöstä (4.17) yhtälöön (4.18), astetta δx² olevat termit sivuutettiin, koska ne olivat toisen asteen termejä.

Yhtälöstä (4.21) saadaan

2 2 2

Tästä huomataan, ettei yhtälön (4.20) termiä, jossa esiintyy δx² (siis termiä

1 2

∂²G

∂x² δx²) voida sivuuttaa, koska se sisältää ensimmäistä astetta olevan δt- termin. Vrt. [7, s. 232–233].

Standardinormaalijakauman varianssi on 1. Siis E (ǫ²)−[E (ǫ)]² = 1,

missä E tarkoittaa odotusarvoa. Koska E (ǫ) = 0, seuraa, että E (ǫ²) = 1.

Nyt

E (ǫ²δt) = E (ǫ²)δt=δt.

Siis termin ǫ²δt odotusarvo on δt. Voidaan osoittaa, että termin ǫ²δt va- rianssi on astetta δt² ja että sen seurauksena termiä ǫ²δt voidaan käsitellä ei-stokastisena. Se lähenee odotusarvoaan, δt, kun δt lähenee nollaa. Yhtä- löstä (4.22) seuraa, että termistä δx² tulee ei-stokastinen ja yhtäsuuri kuin b²dt, kun δt lähenee nollaa. Kun δx ja δt lähestyvät nollaa yhtälössä (4.20) ja käytetään viimeistä tulosta, saadaan

dG= ∂G

∂x dx+ ∂G

∂t dt+1 2

∂²G

∂x² b²dt. (4.23) Tämä on Itôn lemma. Se saadaan muokattua tutumpaan muotoon korvaa- malla termi dx yhtälöllä (4.19). Näin yhtälöstä (4.23) tulee

dG= ∂G

∂x dx+∂G

∂t dt+ 1 2

∂²G

∂x² b²dt

= ∂G

∂x(a dt+b dz) + ∂G

∂t dt+1 2

∂²G

∂x² b²dt

= ∂G

∂x a+∂G

∂t +1 2

∂²G

∂x² b²

!

dt+ ∂G

∂x b dz.

Vrt. [7, s. 233].

4.1.7 Osakkeen hinnan lognormaalisuus

Kuten aiemmin todettiin, osakkeen hinnan oletetaan seuraavan stokastista prosessia, jota kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Tästä oletuksesta seuraa, että osakkeen hinnan hajonta on lognormaali.

Olkoon osakkeen hinnan prosessi siis yhtälössä (4.12) esitetty dS =µSdt+σSdz.

Itôn lemmasta seuraa, että muuttujien S ja t funktioG noudattaa prosessia dG= ∂G

∂S µS +∂G

∂t +1 2

∂²G

∂S² σ²S²

!

dt+∂G

∂S σS dz, (4.24)