4.3 Black-Scholes-optiohinnoittelukaava
4.3.2 Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen bino-
Optioiden hinnoittelua binomimallin avulla käsittelevässä tieteellisessä ar-tikkelissaan Cox, Ross ja Rubinstein (1979) esittävät toisen tavan todistaa Black-Scholes-optiohinnoittelukaava. He johtavat Black-Scholes-hinnoittelu-kaavan binomimalliin perustuen. Tämän todistuksen läpikäyminen auttaa ymmärtämään näiden kahden mallin yhteistä perustaa. Todistuksen lähtö-kohtana on siis optioiden hinnoittelun binomimalli, johon täytyy kuitenkin lisätä muutama rajoittava ehto.
Olkoon h yhden askeleen aikana kulunut aika. Nyt h ≡t/n,
missä t on kiinnitetty voimassaoloaika ja n on askeleiden (ajanjaksojen) lu-kumäärä. Kun n → ∞, niin h → 0 ja malli suppenee jatkuva-aikaiseksi.
Askeleen pituudesta riippuvat muuttujat r, u ja d täytyy mukauttaa siten, että empiiriset tulokset pysyvät realistisina. Merkitköön r nyt arvoa yksi plus korkokanta yli kiinnitetyn ajanjakson ja ˆr arvoa yksi plus korkokanta yli ajanjakson, jonka pituus on h. Selvästi ˆr on nyt riippuvainen askeleiden lukumäärästä n ja kokonaistuotto yli n askeleen on ˆrn, missä n = t/h. Yli ajan t kokonaistuotto on rt, joten muuttujan ˆr riippuvuus muuttujasta n voidaan kirjoittaa muotoon
ˆ
rn=rt. (4.45)
Siis ˆr=rt/n. Nyt muuttujan ˆrriippuvuus muuttujastan on määritelty siten, että kokonaistuotto yli ajan ton riippumaton muuttujastan. Vrt. [3, s. 247].
Seuraavaksi määritellään muut askeleen pituudesta riippuvat muuttujat uja dmuuttujannsuhteen. Käsittelyn helpottamiseksi ”yksi plus korkokan-ta” -arvojen sijaan käytetään logaritmeja lnuja lnd, jotka antavat jatkuvasti maksettavan korkoasteen (continuously compounded rate of return). Toden-näköisyydet pysyvät arvoina q ja 1− q, kuten ne on aiemmin määritelty.
Nyt
ln(S∗/S) =jlnu+ (n−j) lnd
=jlnu−jlnd+nlnd
=jln(u/d) +nlnd,
missäj on hinnannousujen (satunnainen) lukumäärän askeleen aikana jaS∗ on osakkeen lopullinen hinta. Logaritmin ln(S∗/S) odotusarvo on
E [ln(S∗/S)] = ln(u/d)E (j) +nlnd
ja sen varianssi
var [ln(S∗/S)] = [ln(u/d)]2var (j).
Vrt. [3, s. 247-248].
Jokaisen mahdollisen hinnannousun todennäköisyys on q. Koska askelia on n kappaletta, odotusarvo E (j) = nq. Koska varianssi on joka askeleella q(1−q)2+ (1−q)(0−q)2 =q(1−q), niin var (j) =nq(1−q). Nyt saadaan
Seuraavaksi muuttujiau,d ja q muokataan siten, että osakkeen oletettu-jen hinnanmuutosten jatkuvasti maksettavan tuoton odotusarvo ja varianssi vastaavat itse osakkeen hinnan odotusarvoa ja varianssia, kun n→ ∞. Mer-kitään muuttujien ˆµn ja ˆσ2n todellisia empiirisiä arvoja muuttujilla µt ja σ2t. Nyt muuttujat u,d ja q tulee valita siten, että
[qln(u/d) + lnd]n→µt
q(1−q)[ln(u/d)]2n→σ2t , kunn → ∞. Tämä voidaan tehdä asettamalla
u=eσ√
t/n, d=e−σ√
t/n, ja q= 1 2+ 1
2(µ/σ)qt/n.
Nyt jokaisella muuttujan n arvolla ˆ
ja arvoilla. Vrt. [3, s. 249].
Vaikka odotusarvon ja varianssin vastaavuuden ehto on nyt tyydytetty, täytyy kuitenkin varmistaa, että jatkuvasti maksettavan tuoton todennä-köisyysjakauma on mielekäs. Odotusarvo ja varianssi kuvaavat vain tiettyjä jakauman ominaisuuksia. Käytetyssä mallissa jatkuvasti maksettava korko ajanjaksont yli onnriippumattoman satunnaismuuttujan summa. Jokainen satunnaismuuttuja voi saada arvon lnu todennäköisyydellä q ja arvon lnd todennköisyydellä 1−q. On tärkeää huomata, että kun muuttujan n arvo kasvaa, se ei vain lisää satunnaismuuttujien määrää summassa, vaan muut-taa jokaisen summan osan todennäköisyyksiä ja mahdollisia lopputuloksia.
Vrt. [3, s. 249–250].
Keskeinen raja-arvolause11, sovellettuna kyseiseen ongelmaan, sanoo, että kun n→ ∞, jos
missä N(z) on standardinormaalijakaumafunktio. Siis, jos askelten lukumää-rä lähestyy ääretöntä, todennäköisyys, että standardisoitu jatkuvasti mak-settava osakkeen tuotto yli voimassaoloajan ei ole suurempi kuin luku z, lähestyy standardinormaalijakaumaa. Vrt. [3, s. 250].
Alkuehto tarkoittaa karkeasti, että jakauman korkeamman asteen omi-naisuudet (vinous ja huipukkuus) menettävät suhteessa keskihajontaan mer-kityksensä, kunn → ∞. Tämä voidaan todeta tekemällä sopivat sijoitukset,
11Tarkemmin keskeisestä raja-arvolauseesta esimerkiksi lähteessä [13, s. 297].
jolloin saadaan
q|lnu−µˆ|3+ (1−q)|lnd−µˆ|3 ˆ
σ3√n = (1−q)2+q2
qnq(1−q) ,
joka lähestyy nollaa, kun n → ∞, koska q = 12 + 12(µ/σ)qt/n. Lognormaa-lijakauma voidaan nähdä osakkeen hinnan binomimallin yleistyksenä. Black ja Scholes käyttivät jatkuvaa kaupankäyntiä ja osakkeen hinnan lognormaa-lisuutta oletuksina omassa todistuksessaan. Vrt. [3, s. 250].
Seuraavaksi osoitetaan, että Black-Scholes-optiohinnoittelukaava voidaan johtaa binomimallilla saadusta optiohinnoittelukaavasta, kun askeleiden lu-kumäärä n kasvaa yhä suuremmaksi ja ˆr, u, d ja q valitaan kuten yllä. Bi-nomimallin optiohinnoittelukaava, yhtälö (3.19), on
C =SΦ[a;n, p′]−Krˆ−nΦ[a;n, p],
ja Black-Scholes-optiohinnoittelukaava samoilla termeillä kirjoitettuna on C =SN(x)−Kr−tNx−σ√
t, missä
x≡ ln(S/Kr−t) σ√
t +1 2σ√
t.
Nämä kaksi yhtälöä ovat hyvin samannäköisiä. Yhtälöstä (4.45) tiedetään, että ˆr−n = r−t. Tästä johtuen on siis tarpeellista osoittaa vain, että kun n → ∞
Φ[a;n, p′]→N(x) ja Φ[a;n, p]→Nx−σ√ t. Vrt. [3, s. 250–251].
Tarkastellaan tapausta Φ[a;n, p]. Tapaus Φ[a;n, p′] voidaan ratkaista sa-malla tavalla. Φ[a;n, p] on komplementäärisen binomijakauman kertymä-funktio. Se on todennäköisyys sille, että n satunnaismuuttujan, joista jo-kainen voi saada arvon 1 todennäköisyydelläpja arvon 0 todennäköisyydellä 1−p, summa on suurempi tai yhtä suuri kuina. Tämän summan satunnaisen arvon j odotusarvo on np ja keskihajonta qnp(1−p), joten
1−Φ[a;n, p] = Prob[j ≤a−1]
= Prob
j −np
qnp(1−p) ≤ a−1−np
qnp(1−p)
.
Vrt. [3, s. 251].
Tämä voidaan nyt yhdistää yllä esiteltyyn. Jos on olemassa sellainen osa-ke, joka jokaisella askeleella saa arvon uS todennäköisyydellä p tai dS to-dennäköisyydellä 1 −p, niin silloin ln(S∗/S) = jln(u/d) + nlnd. Tämän osakkeen jatkuvasti maksettavan tuoton odotusarvo ja varianssi ovat
ˆ
µp =pln(u/d) + lnd ja σˆp2 =p(1−p)[ln(u/d)]2. Nyt käyttämällä näitä yhtälöitä saadaan
j −np
Binomiyhtälöstä muistetaan, että a on pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin ln(K/Sdn)/ln(u/d). Siis
a−1 = ln(K/Sdn)/ln(u/d)−ǫ
Yhdistämällä kaikki nämä tulokset saadaan 1−Φ[a;n, p] = Prob
Ennen keskeisen raja-arvolauseen käyttöä täytyy tarkastella alkuehtoa
Koska alkuehto on voimassa, voidaan käyttää keskeistä raja-arvolausetta.
Ensin täytyy määrittää termit ˆµpn, σˆp2n ja ln(u/d), kunn→ ∞. Vastaavalla tavalla kuin todennäköisyydenqparametrisoinnissa sivuilla 39 ja 40 saadaan, että kun n → ∞, niin
keskeistä raja-arvolausetta käyttämällä saadaan 1−Φ[a;n, p]→N(z) = N
Lopullinen tulos saadaan käyttämällä standardinormaalijakauman symmet-riaominaisuutta, jonka mukaan 1−N(z) = N(−z). Nyt, kun n → ∞, Vastaavat argumentit sopivat tapaukseen Φ[a;n, p′], joten on todistettu, et-tä Black-Scholes-optiohinnoittelukaava voidaan johtaa useamman askeleen binomimallin optiohinnoittelukaavasta. Vrt. [3, s. 253–254].
Viitteet
[1] Benninga, S. & Wiener, Z. (1997). The Binomial Option Pricing Model.
Mathematica in Education and Research, 6, 3, 1-9.
[2] Bodie, Z., Kane, A. & Marcus, A.J. (2001). Investments (5th ed.). The McGraw-Hill/Irwin.
[3] Cox, J.C., Ross, S.A. & Rubinstein, M. (1979). Option Pricing: A Simpli-fied Approach. Journal of Financial Economics, 7, 229-264.
[4] Dupacova, J., Hurt, J. & Stepan, J. (2003). Stochastic Modeling in Eco-nomics and Finance. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[5] Fama, E.F. (1970). Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work.The Journal of Finance, 25, 2, 383-417.
[6] Forsyth, P.A. (2008). An Introduction to Computational Finance With-out Agonizing Pain. Noudettu 21.08.2009 osoitteesta http://www.cs.
uwaterloo.ca/∼paforsyt/agon.pdf.
[7] Hull, J.C. (2002). Options, futures, and other derivatives(5th ed.). Pren-tice Hall, New Jersey.
[8] Itô. K. (1951). On Stochastic Differential Equations.Memoirs of the Ame-rican Mathematical Society, 4, 1-51.
[9] Kunita, H. & Watanabe, S. (1967). On Square Integrable Martingales.
Nagoya Mathematical Journal, 30, 209-245.
[10] Lahtonen, J. (2012).Analyysi II. Noudettu 10.7.2012 osoitteesta http://
users.utu.fi/lahtonen/Analyysi2012Kevat/AnalyysiII2012.pdf.
[11] Lovas, L. (2012, January 18). Big Data in Finance, the Explosi-ve Growth of the Options Market. OneMarketData’s Blog. Noudet-tu 01.07.2012 osoitteesta http://onetick.wordpress.com/2012/01/18/big-data-in-finance-the-explosive-growth-of-the-options-market/.
[12] Luenberger D.G. (1998). Investment Science. Oxford University Press, New York.
[13] Mellin, I. (2006). Todennäköisyyslaskenta: Satunnaismuuttujat ja toden-näköisyysjakaumat. Noudettu 28.1.2012 osoitteesta http://math.aalto.fi/
opetus/sovtodb/oppikirja/TodLaskSatMuutjaJak.pdf.
[14] Merton, R. C. (1973). Theory of Rational Option Pricing.The Bell Jour-nal of Economics and Management Science, 4, 1, 141-183.
[15] Neftci, S.N. (2000). An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives (2nd ed.). Academic Press, New York.
[16] Olsson, U. (2005). Confidence Intervals for the Mean of a Log-Normal Distribution.Journal of Statistics Education, 13, 1. Noudettu 30.10.2011 osoitteesta www.amstat.org/publications/jse/v13n1/olsson.html.
[17] Shreve, S.E. (1997). Stochastic Calculus and Finance. Noudettu 02.08.
2011 osoitteesta http://www.stat.berkeley.edu/users/evans/shreve.pdf.
Julkaistu kirjana 2004. Stochastic Calculus for Finance. Springer - Verlag, New York.
[18] Sottinen, T. (2006). Todennäköisyysteoria - Teoria mitasta, mitalli-suudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Noudettu 02.08.2011 osoitteesta http://intmath.org/home/tsottine/?download=tnt.pdf.
Kuvat
1 Tuottokaavio - Osto-option pitkä positio . . . 4
2 Tuottokaavio - Osto-option lyhyt positio . . . 5
3 Tuottokaavio - Myyntioption pitkä positio . . . 5
4 Tuottokaavio - Myyntioption lyhyt positio . . . 6
5 Osakkeen hinta yhden askeleen binomimallissa. . . 8
6 Osto-option arvo yhden askeleen binomimallissa. . . 9
7 Osakkeen hinta kahden askeleen binomimallissa. . . 12
8 Osto-option arvo kahden askeleen binomimallissa. . . 13
9 Osakkeen hinta useamman askeleen binomimallissa. . . 15
Liite
A Black-Scholes-differentiaaliyhtälön vaihto-ehtoinen todistus
Alla esitellään vaihtoehtoinen tapa johtaa Black-Scholes-differentiaaliyhtälö.
Todistus jatkuu suoraan sivulta 29.
Luvussa 4.2 olevat yhtälöt (4.27) ja (4.28) ovat diskreetissä muodossa
δS =µSδt+σSδz. (A.1)
ja
δf = ∂f
∂S µS+∂f
∂t +1 2
∂2f
∂S2 σ2S2
!
δt+ ∂f
∂S σS δz, (A.2) missä δS ja δf ovat muutoksia prosesseissa S ja f lyhyellä aikavälillä δt.
Kuten aiemmin Itôn lemman yhteydessä luvussa 4.1.6 todettiin, prosessit f ja S sisältävät saman Wiener-prosessin. Toisin sanoen, yhtälöiden (A.1) ja (A.2) prosessit δz (=e√
δt) ovat samat. Nyt seuraa, että valitsemalla so-piva osakkeen ja johdannaisen sisältämä salkku, Wiener-prosessi pystytään eliminoimaan. Vrt. [7, s. 242–243].
Edellä mainittu salkku rakennetaan myymällä lyhyeksi yksi kappale joh-dannaisia ja ostamalla ∂f /∂S kappaletta (johdannaisen kohde-etuutena ole-vaa) osaketta. Tällaisen salkun haltijan positio on siis:
−1: johdannaiset, +∂f
∂S: osakkeet.
Olkoon Π salkun arvo. Määritelmän mukaan Π =−f + ∂f
∂SS. (A.3)
Salkun arvon muutos δΠ ajanjaksollaδt esitetään yhtälöllä δΠ =−δf + ∂f
∂SδS.
Sijoittamalla yhtälöt (A.1) ja (A.2) yllä olevaan yhtälöön (A.3) saadaan
Koska tämä yhtälö ei sisällä termiäδz, salkun täytyy olla riskitön ajan-jaksonδtaikana. Aiemmin listatuista Black-Scholes-differentiaaliyhtälön ole-tuksista seuraa, että salkun täytyy saada sama tuotto kuin muiden lyhyen ajan riskittömien arvopapereiden. Jos salkku tuottaisi enemmän kuin ris-kitön sijoitus, voisi arbitraasisijoittaja saada risris-kitöntä tuottoa lainaamalla rahaa ostaakseen salkun sisältämät tuotteet. Lainan koron voidaan olettaa vastaavan riskittömien arvopapereiden tuottoa. Jos salkku tuottaisi vähem-män kuin riskitön sijoitus, voisi riskittövähem-män tuoton saada myymällä salkun lyhyeksi ja ostamalla riskittömiä arvopapereita. Vrt. [7, s. 243].
Riskittömien arbitraasimahdollisuuksien puutteesta seuraa, että δΠ =rΠδt,
missär on riskitön korkokanta. Kun sijoitetaan tähän yhtälöt (A.3) ja (A.4), saadaan
Yhtälö (A.5) on Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Vrt. [7, s. 243].