Optioiden hinnoilla on yhteys edellä esitettyihin tuottokaavioihin. Tässä vussa esitellään perusteet option hinnan määrittämiselle, joka valmistaa lu-kijaa seuraavissa luvuissa olevaan syvempään tarkasteluun.
Oletetaan, että omistetaan osakkeen osto-optio, jonka lunastushinta on K. Olkoon osakkeen hinta option erääntymishetkelläST. On helppo huoma-ta, että josST < K, niin option arvo on nolla. Tässä tapauksessa osto-option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta halvemmalla hinnalla ST kuin
lu-nastamalla optio ja maksamalla osakkeesta hinta K. Jos taas ST > K, niin optiolla on arvoa. Nyt option omistaja voi lunastaa option ja ostaa osakkeen hintaan K. Hän voi samantien myydä osakkeen markkinoilla korkeammalla hinnalla ST, jolloin hänen voittonsa on ST −K. Vrt. [12, s. 322].
Yhdistämällä nämä kaksi tapausta option arvo voidaan esittää kaavana
C = max[ST −K,0]. (2.1)
Tämä tarkoittaa, että option arvo C on yhtä suuri kuin suurempi arvoista 0 ja ST −K. Kaava (2.1) antaa eksplisiittisen kaavan osto-option arvon mää-rittämiseen option erääntymishetkellä osakkeen hinnan ST funktiona. Osto-option lyhyessä positiossa kaava on vastaavasti
−max[ST −K,0] = min[K−ST,0].
Vrt. [12, s. 322] & [7, s. 9].
Myyntioption kohdalla tulos on vastakkainen, koska optio antaa omista-jalleen oikeuden myydä kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. Ole-tetaan, että omistetaan myyntioptio, jonka lunastushinta on K. Tässä ta-pauksessa, jos osakkeen hinta ST on suurempi kuin option lunastushinta K, siisST > K, niin optio on arvoton. Option omistaja voi lunastamalla option myydä osakkeen hintaan K, kun markkinoilla hän voi myydä sen suoraan korkeampaan hintaan ST. Toisaalta, jos ST < K, niin option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta hinnalla ST ja sitten lunastaa option ja myy-dä osakkeen korkeammalla hinnalla K. Hänen voittonsa on tällöin K−ST. Yleinen kaava myyntioption arvolle sen erääntymishetkellä on
P = max[K−ST,0], ja vastaava kaava myyntioption lyhyessä positiossa on
−max[K−ST,0] = min[ST −K,0].
Vrt. [12, s. 322–323] & [7, s. 10].
3 Optioiden hinnoittelu - binomimalli
Binomimalli on yksinkertaisin ja käytännöllisin optioiden hinnoittelumalli.
Binomimalli on itse asiassa yksinkertaistettu versio Black-Scholes-optiohin-noittelumallista ja kehitetty vasta tämän jälkeen. Sen luojat olivat Cox, Ross ja Rubinstein (1979).
3.1 Yhden askeleen binomimalli
Binomimallin rakentaminen alkaa diskreetin yhden askeleen binomimallin esittelemisellä. Olkoon osakkeen hinta S hetkellä t. Yhden askeleen jälkeen, hetkellät+1 osakkeen hinnan kehityksellä on kaksi mahdollista arvoa: toden-näköisyydellä q osakkeen hinta nousee arvoonuS, missä u >1 ja 0< q <1, tai todennäköisyydellä 1−q hinta laskee arvoon dS, missä 0 < d < 1. Vrt.
[3, s. 232]. Asia on havainnollistettu kuvassa 5.
PP
PP PP
PP PP
S
uS
dS q
1−q
Kuva 5: Osakkeen hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 232].
Binomimalliin kuuluu useita oletuksia. Korkokanta on vakio ja lainan an-taminen sekä lainaaminen ovat rajoituksettomia. Suurempaa varallisuutta pidetään parempana kuin pienempää, joten tuottavat riskittömät arbitraasi-mahdollisuudet käytetään välittömästi. Arbitraasi on mahdollisuus tuottoi-hin ilman riskiä. Tämä voidaan saavuttaa esimerkiksi hyödyntämällä osak-keen hintaeroja eri markkinoilla. Alla oleva todistus auttaa ymmärtämään arbitraasin käsitettä. Veroja, marginaalivaatimuksia sekä transaktioista ai-heutuvia kuluja ei oteta mallissa huomioon. Lyhyeksimyymisestä saatavat tuotot jäävät siis kokonaisuudessaan käyttöön. Binomimallia käyttäen, kun rakennetaan salkku, joka koostuu osakkeesta ja sen optiosta tietyillä pai-noilla, tarkastelujakson lopussa, hetkellä t+ 1, ei ole epävarmuutta salkun arvosta. Koska salkku on riskitön, täytyy tuoton olla yhtäsuuri riskittömän korkokannan kanssa ja täten pystytään laskemaan salkun rakentamisesta ai-heutuvat kustannukset sekä edelleen option hinta. Vrt. [3, s. 232–235] & [7, s. 201].
Olkoon r = 1 +rf, missä rf on riskitön korkokanta. Oletetaan lisäksi, että u > r > d. Jos yhtälö u > r > d ei päde, on olemassa arbitraasimah-dollisuuksia käyttäen ainoastaan osaketta ja riskitöntä lainan antamista ja lainanottoa. Vrt. [3, s. 232].
Todistetaan tämä väite käsittelemällä kaksi eri tapausta: d < u ≤ r ja r ≤ d < u. Olkoon d < u ≤ r. Tällöin osakkeen tuotto on kaikissa tapauk-sissa huonompi kuin lainan tuotto. Nyt arbitraasi muodostetaan myymällä osake lyhyeksi ja sijoittamalla myyntitulot riskittömään korkokantaan (esim.
valtion obligaatio). Tällöin tuotto on joko r−u tai r−d osakkeen loppuhin-nan mukaan. Vrt. [12, s. 327]. Tapaus r≤d < u käsitellään samalla tavalla.
Nyt osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa vähintään yhtä hyvä kuin lainan tuotto, joten arbitraasi muodostetaan ottamalla laina riskittömällä korolla r ja sijoittamalla rahat osakkeeseen. Tuotto on joko u−r tai d−r osakkeen loppuhinnan mukaan.
Seuraavaksi paneudutaan osto-option hinnoitteluun yhden askeleen bino-mimallin avulla. Oletetaan, että osakkeille ei makseta osinkoja, jolloin eu-rooppalaisen ja amerikkalaisen option käsittelyllä ei ole eroa. Optiotyyppien eroja on tarkasteltu tarkemmin lähteessä [12, s. 332-333]. Vaikka jatkossa keskitytään ainoastaan osto-optioon, pienillä muutoksilla käsittely voidaan laajentaa käsittämään useita muita johdannaisia. Oletetaan, että osto-optio erääntyy yhden periodin kuluttua. Tämän option kohde-etuutena on edel-lä mainittu osake, jonka hinta noudattaa edeledel-lä esitettyä mallia. Olkoon C osto-option arvo hetkellä t. Jos periodin lopussa osakkeen hinta on uS, ol-koon option arvoCuhetkellät+1. Jos osakkeen hinta on periodin lopussadS, olkoon option arvo Cd hetkellä t+ 1. Kun K on osto-option lunastushinta, option arvon kaavasta (2.1) seuraa
Cu = max[0, uS−K] ja (3.1)
Cd = max[0, dS−K]. (3.2)
Vrt. [3, s. 232–233]. Osto-option arvonmuutos on havainnollistettu kuvassa 6.
PP
PP PP
PP PP
C
Cu = max[0, uS−K]
Cd= max[0, dS−K] q
1−q
Kuva 6: Osto-option hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 233].
Kun arbitraasia ei ole, voidaan rakentaareplikoiva salkku, jonka loppuar-vo on sama kuin osto-option. Se sisältää ∆ osaketta ja B euron arvosta ris-kittömiä obligaatioita. Vrt. [12, s. 329]. Obligaatiota käytetään kuvaamaan sijoitusta riskittömään korkokantaan. Koska option ja salkun loppuarvot ovat yhtäsuuret, on oltava
∆uS+rB =Cu ja (3.3)
∆dS+rB =Cd. (3.4)
Seuraavaksi ratkaistaan muuttuja ∆ vähentämällä yhtälö (3.4) yhtälöstä (3.3).
∆uS+rB−(∆dS+rB) =Cu−Cd
∆(uS−dS) =Cu−Cd
∆ = Cu−Cd
(u−d)S. (3.5)
Sijoittamalla yhtälöstä (3.5) saatu muuttuja ∆ yhtälöön (3.3), joka on rat-kaistu muuttujalle B, saadaan
B = Cu−∆uS r
= Cu−uCuu−−Cdd r
=
u−d
u−dCu −uCuu−−Cdd r
=
uCu−dCu
u−d −uCuu−−uCd d
r
= uCd−dCu
(u−d)r . (3.6)
Kun ∆ ja B valitaan tällä tavoin, kutsutaan salkkua suojautumissalkuksi (hedging portfolio). Vrt. [3, s. 233–234].
Koska arbitraasia ei ole, on oltava
C = ∆S+B (3.7)
= Cu−Cd
u−d +uCd−dCu
(u−d)r
=
r r
Cu−Cd
u−d +uCd−dCu
(u−d)r
= rCu−rCd+uCd−dCu
(u−d)r
= rCu−dCu+uCd−rCd
(u−d)r
= pCu+ (1−p)Cd
r , (3.8)
missä p= ur−−dd, 1−p= uu−−dr ja r >1. Vrt. [3, s. 234]. Yhtälö 3.8 on binomi-mallilla johdettu yhden askeleen optiohinnoittelukaava.
Jos yhtälö (3.7) ei olisi voimassa, arbitraasi olisi mahdollista. Jos C <
∆S+B, myymällä salkku ja ostamalla osto-optio saavutetaan riskitön tuotto ilman nettoinvestointia. Jos C >∆S+B, arbitraasi saavutetaan myymällä osto-optio ja ostamalla salkku. Vrt. [3, s. 233].
Mielenkiintoinen seikka yllä esitellyssä optioiden hinnoittelukaavassa on sen yhteysriskineutraaliin hinnoitteluun. Optioiden hinnoittelukaava ei sisäl-lä todennäköisyyttä q. Tämä voi tuntua logiikan vastaiselta, mutta tarkem-min ajateltuna osto-option arvo on saatu sovittamalla täydellisesti yhteen option sekä riskittömän korkokannan ja osakkeen yhdistelmän tuotot, missä todennäköisyydellä q ei ole mitään roolia. Riippumatta yksittäisten sijoitta-jien näkemyksestä osakkeen hinnannousun todennäköisyydestä, osto-option hinta C voidaan siis perustaa muuttujiin S, u, d ja r. Option arvo ei riipu sijoittajan asenteesta riskiin vaan aiemmin esitetystä oletuksesta, että sijoit-tajat pitävät suurempaa varallisuutta pienempää parempana ja tästä johtuen hyödyntävät riskittömät arbitraasimahdollisuudet. Optioden hinnoittelukaa-van ainoa satunnaismuuttuja on osakkeen hinta S. Vrt. [3, s. 235] & [12, s. 330].
Huomataan kuitenkin, että 0< p <1, missä p= ru−−dd. Siis muuttujalla p on todennäköisyyden ominaisuudet. Itse asiassa p on arvo, jonka muuttuja q saisi, jos sijoittajat olisivat riskineutraaleja. Tässä tapauksessa osakkeen
odotettu tuotto vastaisi riskitöntä korkokantaa. Siis
Muuttujaa p kutsutaankin riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. On kuiten-kin hyvä huomata, että option tuoton ei odoteta olevan yhtäsuuri kuin ris-kittömän korkokannan tuotto, vaan luodun suojautumissalkun tuotto. Vrt.
[3, s. 235–236] & [12, s. 329–330].