LOKA-/MARRASKUUN VALMENNUSTEHTÄVÄSARJA
Ratkaisuja kaivataan joulukuun alkuun mennessä osoitteeseen Anne-Maria Ernvall-Hytönen, Matematik och Statistik, Åbo Akademi, Domkyrkotorget 1, 20500 Åbo
Helpommat tehtävät
(1) Neliön sivun pituus on 60. Neliön sisällä on 121 eri pistettä. Osoita, että jotkin kolme pisteistä muodostavat kolmion, jonka ala on korkeintaan30.
(2) Joukko M koostuu kaikista luvuista, jotka ovat muotoa n2 + m5 joillakin kokonais- luvuilla 0≤m, n≤100. Mikä on joukon M alkioiden summa?
(3) Osoita, että luku m2−m+ 1 on aina joukonM ={n2+n+ 1 : n ∈N} alkio.
(4) Osoita, että jos pon neliö, niin on olemassa positiiviset kokonaisluvut r ja q, joilla p2+p+ 1 = (r2+r+ 1)(q2+q+ 1)
(5) Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut m, joilla {√
m}={√
m+ 2011}
(Huom:{x}=x− bxc, eli luvunx murto-osa.)
(6) Etsi kaikki nelinumeroiset neliöt, jotka ovat muotoa aabb (kymmenjärjestelmäesi- tys).
(7) Osoita, että kahden muotoaa2−5b2 olevan luvun tulo on myös tätä muotoa.
(8) Määritä yhtälöryhmän
(2a2−2ab+b2 =a 4a2−5ab+ 2b2 =b kaikki reaaliset ratkaisut.
(9) Suorakulmion sivut ja lävistäjät ovat kokonaislukuja. Osoita, että suorakulmion ala on luvulla12jaollinen kokonaisluku.
(10) Vladimir kirjoittaa luvut1ja2liitutaululle. Sitten hän toistaa uudestaan ja uudes- taan seuraavaa operaatiota: Hän kirjoittaa seuraavaksi luvuksi aina kahden edelli- sen luvun neliöiden summan. Todista, että Vladimir ei tule koskaan kirjoittamaan kolmella tai seitsemällä jaollista lukua taululle.
(11) Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut njam‚ joillan|(2m−1)ja m|(2n−1).
Vaikeammat tehtävät (1) Jos
x1
x1+ 1 = x2
x2+ 3 =· · ·= x1006 x1006+ 2011 ja
x1+x2+· · ·+x1006 = 5032,
1
2 LOKA-/MARRASKUUN VALMENNUSTEHTÄVÄSARJA
niin mitä onx1006?
(2) Säännöllisen monikulmionA1A2. . . Anulkopuolelta valitaan pisteBniin, ettäA1A2B on tasasivuinen kolmio. Määritä kaikki luvutn, joilla B,A2 jaA3 ovat jonkin sään- nöllisen monikulmion peräkkäiset sivut.
(3) Positiiviset kokonaisluvuta, b, c, dtoteuttavat ehdota+b=cja a+d= 2c. Osoita, että on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat kokonaislukuja, ja jonka ala onabcd.
(4) Polynomin P(x) = x3+ax2+bx−8 nollakohdat ovat reaalisia. Osoita, että a2 ≥ 2b+ 12.
(5) Määritä kaikki parametrina arvot, joilla yhtälöparilla (2|x|+|x|=x2+y+a
x2+y2 = 1 on yksikäsitteinen ratkaisu (x, y).
(6) Olkoot a, b, c keskenään erisuuria positiivisia kokonaislukuja, ja olkoon k positiivi- nen kokonaisluku, jolla
ab+bc+ca≥3k2−1.
Osoita, että
1
3 a3+b3+c3
≥abc+ 3k.
(7) 1000×1000-ruudukon jokainen ruutu on musta tai valkoinen. Mustien ja valkoisten ruutujen lukumäärän erotus on2012. Osoita, että on olemassa2×2-ruudukko, jossa on pariton määrä valkoisia ruutuja.
(8) Määritä kaikki funktiot f :R→R, joilla
f(x2+f(y)) =y−x2 kaikillax, y ∈R.
(9) Olkoonk epänegatiivinen kokonaisluku. Osoita, että voidaan löytää4·2kkeskenään erisuurta positiivista kokonaislukua, joista mikään ei ole suurempi kuin 5·3k, ja joista mitkään kolme eivät ole aritmeettisen jonon peräkkäisiä jäseniä.
(10) Kuinka monella tavalla luku 20112010 voidaan esittää kahden muotoa n+1n olevan luvun tulona, missänon positiivinen kokonaisluku, ja tekijöiden järjestyksellä ei ole väliä?
