johdatus_amk_matematiikkaan_v_1_0

(1)

Tommi Kortelainen: Johdatus -matematiikkaan

Versio: 1.0

Lisenssi: CC BY-NC-SA 4.0

(2)

Alkusanat & Johdanto ... 5

Yleisiä ohjeita: Merkinnöistä ja laskinohjeita ... 6

1 Alkuosio 1: Peruslaskutoimitukset kokonaisluvuilla, neliöjuuri, laskujärjestys, positiivinen kokonaislukupotenssi ... 10

1.1 Alkuosio1: Linkit ... 10

1.2 Alkuosio 1: Tehtävät ... 11

1.3 Alkuosio 1: Vastaukset ... 14

2 Alkuosio 2: Murtoluvut ... 16

2.1 Alkuosio 2: Linkit ... 16

3 Alkuosio 3: Kirjainlaskentaa, Pythagoraan lause, lausekkeen arvon laskemista, yksinkertaisia yhtälöitä ... 23

4 Alkuosio 4: Pinta-aloja ja tilavuuksia... 32

5 Alkuosio 5: Sin, cos ja tan, koordinaatisto suoran piirto, kulmakerroin (nyt käsin ja Geogebra seuraavassa osiossa) ... 43

6 Alkuosio 6: Geogebra ... 54

6.2 Alkuosio 6: Georebran perusteita ... 54

7 Keskiosio 1: Peruslaskutoimitukset ... 60

7.1 Keskiosio 1: Linkit ... 60

7.2 Keskiosio 1: Tehtävät ... 60

7.3 Keskiosio 1: Vastaukset ... 63

(3)

9 Keskiosio 3: Potenssi ... 73

10 Keskiosio 4: Polynomit ... 79

11 Keskiosio 5: Polynomien summa ja erotus ... 81

12 Keskiosio 6: Polynomien kertolasku 1... 84

13 Keskiosio 7: Polynomien kertolasku 2... 88

14 Keskiosio 8: Ensimmäisen asteen yhtälöt ... 91

15 Keskiosio 9: Sanalliset yhtälöt ... 94

16 Keskiosio 10: Funktio ... 96

(4)

17 Keskiosio 11: Kirjainlaskentaa ... 103

17.1 Keskiosio 11: Tehtäviä ... 103

18 Keskiosio 12: Tulon nollasääntö ... 107

19 Keskiosio 13: Yksikönmuunnoksia ... 110

20 Loppuosio 1: Käsitteitä, potensseja, juuria ja lausekkeita ... 112

20.1 Loppuosio 1: Teoriaa ... 112

20.2 Loppuosio 1: Tehtävät ... 120

20.3 Loppuosio 1: Vastaukset... 126

21 Loppuosio 2: Yhtälöitä ... 129

21.1 Loppuosio 2: Linkit ... 129

22 Loppuosio 3: Vektoreista ... 140

22.1 Loppuosio 3: Linkit ... 140

22.2 Loppuosio 3: Komponentteihin jako ... 140

23 Loppuosio 4: Funktio ... 143

Lähdeluettelo ... 149

(5)

Alkusanat & Johdanto

Tämän työn tarkoitus on antaa opiskelijalle edes jonkunlaista perspektiiviä mitä tuleman pitää ja osaltaan auttaa alkuun haastavalla tiellä. Opettajille tämä vuorostaan voi toimia omien

pedagogisten ratkaisujen tukena.

Alla lainaus Karvin tutkimuksesta:

Matematiikan vähäinen osaaminen onkin tutkitusti yksi keskeisiä ongelmia ammatillisen koulutuksen kautta jatko-opintoihin tulleilla.

Oli suoristustapa/käyttötapa mikä tahansa, niin toivoisin, että jollain opettajalla olisi mahdollisuuksia katsoa opiskelijan etenemistä ja ohjata oikeaan suuntaan. Matematiikka kannattaa aina! : )

Mahdolliset virheet voi korjata itse. Hyödynnettyjä materiaaleja:

Alkuosa: Toivola ja Härkönen: Avoin yläkoulun matematiikka (CC BY 3.0) sekä Rantakaulion näkemystä (ks. viimeinen sivu). Keskiosa: Ville Aitlahden matskuja.

Loppuosa: Turun ammattikorkeakoulun materiaaleja (loppuosa 4 tehtävissä Toivola et al.) . Suuri kiitos Ari-Mikko Mäkelälle Hämeen ammattikorkeakouluun.

(6)

Yleisiä ohjeita: Merkinnöistä ja laskinohjeita

iPhonen perusnäkymä, iPhonessa syötetään ensin lukuarvo ja sitten toiminto

(7)

Androidin ensimmäinen näkymä, vaihtelee valmistajan mukaan

Androidin toinen näkymä INV näppäimestä vaihdettuna

Kokeile saada laskimellasi seuraavat tulokset. Osassa täytyy olla tarkkana järjestyksestä, millä tavalla syöttää laskimeen. Monesti on myös hyvä käyttää sulkuja. Katso, että saat laskimellasi sinillä seuraavat tulokset, niin silloin Rad/deg näppäin on astetilassa (deg).

sin(30^∘) Vastaus: 0,5 sin⁻¹(0,5) Vastaus: 30^∘

5 Vastaus: 10

(8)

2⁶ Vastaus: 64

√81 Vastaus: 9

4√16

Vastaus: 2 (eli mikä potenssiin neljä on 16)

100

10⋅10 Vastaus: 1 (huomaa sulut tai laskujärjestys..)

log₂(8) Vastaus: 3 (iphone! eli kaksi potenssiin mikäluku on 8)

Vinkki: Tee kaikki tehtävät vihkoosi merkitsemällä kappaleen numero ja tehtävänumero esim.

kappaleessa 1 merkitse kappaleen ensimmäinen tehtävä 1 .1 ja seuraavassa kappaleessa 2 ensimmäinen tehtävä 2 .1 jne. On monia tapoja edetä opiskelijan tilanteesta riippuen. Voi edetä luku luvulta tehtävä tehtävältä järjestyksessä tai katsoa missä kohtaa tiedoissa olisi

parannettavaa ja kerrattavaa. Lisäksi esim. opettaja voi tehdä oman tarkentavan listauksen.

Palautuskin onnistuu kappaleittain kuvina, jossa kuvatiedostot ovat kappaleesta riippuen 1_1...1_2...1_3... jne...tai 2_1... 2_2...jne...

Teos jakaantuu kolmeen osioon: Alkuosiossa pikakerrataan peruskoulun oppimäärää, keskiosiossa harjoitellaan lisää keskeisiä taitoja ja loppuosiossa asiasisältö menee teoreettisemmaksi. Yleisesti tee vastaukset selkeästi siten, että sinulla on lähtötiedot,

laskutoimitukset ja tarvittavat johtopäätökset jäsenneltynä siistiksi kokonaisuudeksi sekä selkeä vastaus järkevällä tarkkuudella. Lukujen alussa on pieni johdatus aiheeseen videoiden tai pienen teoriakatsauksen muodossa. Lukujen lopussa on vastauksia, joista on hyvä katsoa itsenäisestikin onko suunta oikea.

Esimerkiksi trigonometriassa merkitse sin(50^∘) = 0,77

sin⁻¹(0,25) = 14, 5^∘

Yhtälöissä selkeät merkinnät esim.

2𝑥 = 10 ∥ : 2 𝑥 =10

2 = 5 𝑥

5= 10 ∥ ⋅ 5 𝑥 = 10 ⋅ 5 = 50 sin(25^∘) = 𝑥

10∥⋅ 10 𝑥 =sin(25^∘) ⋅ 10 = 4,2

(9)

V=⁴

3𝜋𝑟³ = ⁴

3⋅ 𝜋 ⋅ 2³ = 33,5 cm³ eli merkitse vastauksiin selkeästi mitä yksikköä ne ovat.

Funktion f(x)=2x+1 arvo kohdassa x=2 f(2)=2 ⋅ 2+1=5

(10)

1 Alkuosio 1: Peruslaskutoimitukset kokonaisluvuilla, neliöjuuri, laskujärjestys, positiivinen kokonaislukupotenssi

1.1 Alkuosio1: Linkit

Kokonaislukujen laskutoimitukset

Laskutoimitukset ja laskujärjestys

Neliöjuuri (Khan Academy englanti) Laskulait

1. vaihdantalaki 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 Esimerkiksi 2 + 3 = 3 + 2 𝑗𝑎 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2

2. liitäntälaki 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐, 𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐 3. osittelulaki 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

4. nolla 0 + 𝑎 = 𝑎

5. vastaluku 𝑥 + 𝑎 = 0 (merkintä 𝑥 = −𝑎) 6. ykkönen 1𝑎 = 𝑎

(11)

1.2 Alkuosio 1: Tehtävät

1. Päättele puuttuva luku.

a) ⁻

3 = 4 b) ⁻

5 = 9

2. Juho suunnitteli itsekoottavan kirjahyllyn ostamista. Paljonko kirjahylly maksoi, kun se koostui seuraavista osista?

osa määrä yksikköhinta [€]

päätylevy 2 10,50

välilevy 3 9,60

hyllytaso 10 5,70

tv-taso 1 39,00

laatikosto 2 27,00

kaapisto 2 32,00

3. Henkilö osti asunnon, jonka pinta-ala oli 113 m² ja neliöhinta oli 1330 € / m². Osan kauppahinnasta muodosti hänen vanha asuntonsa, jonka pinta-ala oli 80 m² ja neliöhinta 1350 € / m². Kuinka suuri summa jäi rahalla maksettavaksi?

4. Maalajit luokitellaan rakeiden läpimitan 𝑑[ mm] mukaan:

Maalaji Läpimitta d[mm]

Savi 𝑑 ≤ 0,002

Siltti 0,002 < 𝑑 ≤ 0,06

Hiekka 0,06 < 𝑑 ≤ 2,0

Sora 2,0 < 𝑑 ≤ 60,0

Kivet 60 < 𝑑 ≤ 600

Lohkareet 𝑑 > 600

Mihin luokkaan kuuluu maalaji, jonka rakeiden läpimitta on a) 0,001 mm

b) 0,04 mm c) 0,5 mm d) 4 mm

(12)

5. Jos Matti työskentelee urakkapalkalla laatikkotehtaassa, saa hän 0,90 € jokaisesta

valmiista laatikosta. Jos hän ei työskentele urakkapalkalla, on tuntipalkka 8,30 € . Kuinka monta laatikkoa Matin tulee viikossa saada valmiiksi, jotta hänen kannattaa työskennellä urakkapalkalla? (Viikossa on 40 työtuntia.)

6. Mitä on...

luku vastaluku itseisarvo

75

23 -6

-34 -(-4)

7. Mikä lämpötila on 9 astetta enemmän kuin a) −9^∘C

b) 2^∘C c) −10^∘C d) −6^∘C?

8. Laske

a) −4 + 3 − 8 b) 1 + 6 − 9 c) −7 + 4 + 2 d) 9 − 1 + 3

9. Taulukossa on planeettojen lämpötiloja Planeetta Lämpötila [^∘C]

Jupiter -130

Maa +20

Mars -50

Neptunus -220

Pluto -230

Saturnus -170

(13)

Laske lämpötilaero

a) lämpimimmän ja kylmimmän planeetan välillä.

b) kahden kylmimmän planeetan välillä.

c) kahden lämpimimmän planeetan välillä.

10. Laske.

a) 3 − (−2) b) 9 − (−12) c) 14 − (−8) d) 1 − (−1) 11. Laske

a) −2 + (−1) − (−10) − 2 + (−6) b) 18 − (+3) + (−9) − (−5) + 2

c) −17 − (−12) − (+3) + (+15) − 3 − (−2) + (−9) 12. Laske

a) (−5)² b) −5² c) (−5)³ d) −(−5)³

13. Päättele, mikä luku sopii 𝑥: n paikalle.

a) 7^𝑥 = 49 b) 10^𝑥 = 10000 c) 𝑥² = 100 d) 2^𝑥 = 8 14. Laske.

a) 18 + [15 − (4 − 2 ⋅ 3)]

b) 18 + 15 − 4 − 2 ⋅ 3 c) 18 + (15 − 4 − 2) ⋅ 3 d) [18 + 15 − (4 − 2)] ⋅ 3

15. Montako ruudun sivua on neliön sivun pituus, jos sen pinta-ala on a) 9 ruutua

b) 36 ruutua c) 49 ruutua 16. Laske

a) √1 b) √0 c) √49

(14)

17. Laske ja ilmoita vastaus murtolukuna.

a) √⁹

25

b) √⁴

81

c) √¹

16

d) √¹

36

e) √⁴⁹

100

f) √2¹

4

1.3 Alkuosio 1: Vastaukset

1. a) 12 b) 45 2. 263,80 € 3. 42290 €

4. a) Savi b) Siltti c) Hiekka d) Sora e) Kivet 5. Vähintään 369 laatikkoa.

6. Vastaus

luku vastaluku itseisarvo

75 -75 75

-23 23 23

-6 6 6

34 -34 34

-(-4) -4 4

7. a) 0^∘C b) 11^∘C c) −1^∘C d) 3^∘C 8. a) -9 b) -2 c) -1 d) 11

9. a) 710^∘C b) 10^∘C c) 460^∘C 10. a) 5 b) 21 c) 22 d) 2 11. a) -1 b) 13 c) -3

(15)

14. a) 35 b) 23 c) 45 d) 93 15. a) 3 b) 6 c) 7

16. a) 1 b) 0 c) 7 17. a) ³

5 b) ²

9 c) ¹

4 d) ¹

6 e) ⁷

10 f) 1¹

2

(16)

2 Alkuosio 2: Murtoluvut 2.1 Alkuosio 2: Linkit

Murtoluvut sekä murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Murtolukujen kerto- ja jakolasku

Prosentit ja prosenttiosuus

2.2 Alkuosio 2: Tehtävät

1. Merkitse tummennettu alue murtolukuna (Kuva 2.4).

(17)

2. Lavenna samannimisiksi.

a) ¹

3 ja ¹

2

b) ³

5 ja ⁴

15

c) ¹

2 ja ⁴

9

d) ⁵

7 ja ⁹

11

3. Lavenna samannimisiksi.

a) ¹

2 ja ³

2𝑎

b) ²

3𝑏 ja ⁴

𝑏

c) ¹

𝑎 ja ¹

𝑏

d) ³

2𝑎 ja ⁵

𝑏

4. Kopioi kuviot vihkoosi ja anna vastaus varjostamalla oikea määrä ruutuja (Kuva 2.5).

5. Laske.

a) ¹

2+¹

6

b) ³ +¹

(18)

c) ⁵

6−¹

3

d) ¹

4−¹

8

6. Pähkinäkakkuun tarvitaan 6²

3 kahvikupillista maapähkinöitä ja 4¹

3 kavikupillista saksanpähkinöitä. Montako kupillista pähkinöitä kakkuun tarvitaan kaikenkaikkiaan?

7. Laske.

a) ²

5⋅⁵

2

b) ⁹

10⋅¹⁰

9

c) ⁸

9⋅⁹

8

d) ¹⁰⁰

105⋅¹⁰⁵

100

8. Laske, paljonko on a) neljäsosa 48 eurosta b) viidesosa 950 eurosta

c) kaksi kolmasosaa 825 grammasta

d) kolme seitsemäsosaa 54 kilogrammasta?

9. Laske.

a) 2:¹

2

b) 3:¹

2

c) 5:¹

2

d) 9:¹

2

10. Laske a)

1 2−¹₃ 1 2+¹

3

b)

5 6 1+⁵₆

(19)

11. Kirjoita murtolukumuodossa.

a) 0,2 b) 0,45 c) 1,5 d) 0,007

12. Pyöristä yhden desimaalin tarkkuuteen.

a) 0,741 b) 0,652 c) 6,55 d) 5,916 e) 3,45 f) 9.05

13. Kirjoita prosenttiluvut desimaalilukuina.

a) 10%

b) 45%

c) 80%

d) 1,5%

e) 0,2%

f) 125%

14. Jäljennä kuviot vihkoosi ja väritä niistä pyydetty prosenttiosuus (Kuva 2.6).

15. Montako prosenttia

a) 62 päivää on 530 päivästä b) 7 ihmistä on 112 ihmisestä c) luku 82,25 on luvusta 324,5 d) 11300 puuta on 19130 puusta e) 0,012 grammaa on 0,77 grammasta?

16. Ylämäkeä varoittavassa liikennemerkissä prosenttiluku 7% kuvaa mäen jyrkkyyttä (eli jokaisella 100 metrillä on nousua 7 metriä). Mikä on mäen jyrkkyys prosentteina, jos a) 200 metrillä on nousua 30 m ?

b) 150 metrillä on nousua 18 m ? c) 500 metrillä on nousua 500 metriä?

(20)

17. Ihmisen kehossa on vettä keskimäärin 64%. Montako kilogrammaa on vettä henkilössä, joka painaa

a) 49 kg b) 65 kg c) 82 kg d) 110 kg ?

Laske myös montako kilogrammmaa sinussa on vettä.

18. Laske

a) 200% luvusta 30 b) 120% luvusta 410 c) 320% luvusta 23 d) 413% luvusta 150.

19. Hinnat alenevat 5%, laske uudet hinnat.

a) 18 € b) 540 € c) 5,8 € d) 10 snt

e) 3,5 miljoonaa euroa

20. Jäljennä taulukko vihkoosi ja merkitse siihen puuttuvat tiedot.

tuote

alkuperäine n hinta

alennus prosent teina

alennus euroina

alennett u hinta

hyppynaru 9€ 25%

nyrkkeilyhansk

at 62€ 10%

shortsit 9,6€ 6,4€

maastopyörä 131€ 524€

makuupussi 23,7€ 134,3€

2.3 Alkuosio 2: Vastaukset

1. a) ³

8 b) ⁷

8 c) ⁵

16

2. a) ²

6ja³

6 b) ⁹

15ja ⁴

15 c) ⁹

18ja ⁸

18 d) ⁵⁵

77ja⁶³

77

(21)

4. Kuva 2.7

5. a) ²

3 b) ²

5 c) ¹

2 d) ¹

8

6. 11 kupillista 7. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1

8. a) 12 € b) 190 € c) 550 g d) 23¹

7 kg 9. a) 4 b) 6 c) 10 d) 18

10. a) ¹

5 b) ⁵

11

11. a) ¹

5 b) ⁹

20 c) ³

2 d) ⁷

1000

12. a) 0,7 b) 0,7 c) 6,6 d) 5,9 e) 3,5 f) 9,1

13. a) 0,10 b) 0,45 c) 0,80 d) 0,015 e) 0,002 f) 1,25 14. Kuva 2.8

15. a) 11,7% b) 6,3% c) 25,3% d) 59,1% e) 1,56%

16. a) 15% b) 12% c) 100%

(22)

17. a) 31 kg b) 42 kg c) 52 kg d) 70 kg 18. a) 60 b) 492 c) 73,6 d) 619,5

19. a) 17,1 € b) 513 € c) 5,51 € d) 9,5 snt e) 3325000 € 20. Vastaus

tuote alkuperäine

n hinta

alennus prosent

teina alennus

euroina alennett u hinta

hyppynaru 9€ 25% 2,25€ 6,75€

nyrkkeilyhansk

at 62€ 10% 6,2€ 55,8€

shortsit 16€ 60% 9,6€ 6,4€

maastopyörä 655€ 20% 131€ 524€

makuupussi 158€ 15% 23,7€ 134,3€

(23)

3 Alkuosio 3: Kirjainlaskentaa, Pythagoraan lause, lausekkeen arvon laskemista, yksinkertaisia yhtälöitä

3.1 Alkuosio 3: Linkit

Polynomien yhteen- ja vähennyslasku

Polynomien kertolasku

Pythagoraan lause esimerkkejä

Prosenttikertoimet ja perusarvo

(24)

3.2 Alkuosio 3: Tehtävät

1. Kun halutaan muuntaa fahrenheitasteet celsiusasteiksi, käytetään lauseketta 𝐶 =^5(𝐹−32)

9 . Muunna lämpötilat celsiusasteiksi.

a) 90^∘F b) 0^∘F c) −18^∘F

2. Kirjoita matemaattisena lausekkeena.

a) Vähennä lukujen 𝑎 ja 𝑏 tulosta luku 9 . b) Lisää lukujen a ja 𝑏 osamäärään luku 3.

c) Jaa lukujen 𝑎 ja 𝑏 summa lukujen 𝑎 ja 𝑏 erotuksella.

d) Jaa lukujen 9 ja 𝑎 erotus luvulla 𝑏.

3. Jäljennä taulukko vihkoosi ja laske polynomin −2𝑥 + 4 arvo taulukossa olevilla 𝑥: 𝑛 arvoilla.

𝑥 −2𝑥 + 4 2

1 0 -1

2

4. Muodosta ja sievennä suorakulmion piirin lauseke (Kuva 3.5)

(25)

5. Laske kuvioiden piirit (Kuva 3.6).

6. Sievennä

a) (4𝑎 + 3) + (8𝑎 + 5) b) 10𝑎 + (5𝑎 + 4)

c) (15𝑎 + 6) + (−14𝑎 + 2) d) (−𝑎 − 7) + (−2𝑎 − 1)

7. Poista sulkeet ja yhdistä samanmuotoiset termit.

a) (5𝑏 − 4𝑎) − (7𝑎 + 6𝑏) + (2𝑏 + 5𝑎) b) (5𝑥 − 2𝑦) − (7𝑥 + 7𝑦) + (3𝑥 + 8𝑦) c) (12𝑥 − 7) + (3𝑥 − 𝑦) − (2 − 𝑥) 8. Laske suorakulmion (Kuva 3.7)

a) piiri b) pinta-ala.

9. Mikä on tummennetun alueen pinta-ala (Kuva 3.8)?

(26)

10. Sievennä käyttäen apuna suorakulmion pinta-alamallia (Kuva 3.9).

11. Muodosta pinta-alojen lausekkeet ja sievennä ne (Kuva 3.10).

12. Laske edellisen tehtävän pinta-alojen arvot, kun 𝑥 = 2 ja 𝑦 = 3.

13. Kuvaa vaakaa yhtälöllä (Kuva 3.11).

14. Ratkaise edellisen tehtävän yhtälöt päättelemällä.

15. Ratkaise yhtälöt päättelemällä.

a) 𝑥 ⋅ 4^∘C = 36^∘C b) ^{16 dl}

𝑥 = 2

c) 150 kg − 𝑥 = 23 kg

(27)

16. Vaa’at ovat tasapainossa. Ratkaise 𝑥: llä merkityn kappaleen massa, kun pienen kuution paino on 1 kg. (Kuva 3.12)

17. Määritä kolmioista sivun 𝑥 pituus (Kuva 3.13).

18. Paljonko polku oikaisee, kun kuljetaan Keskuskatua pitkin Rantakadulle (Kuva 3.14)?

(28)

19. Laske kolmion korkeusjanan ℎ pituus (Kuva 3.15).

20. Laske talon ullakon korkeus (Kuva 3.16).

21. Maanviljelijällä on puolisuunnikkaan muotoinen pelto. Monenko hehtaarin alueella hän voi viljellä siinä vehnää (kokeile ainakin laskea puolisuunnikkaan korkeus) (Kuva 3.17)?

22. Laske kuvan mukaisen leijan pinta-ala. (pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen, kevät 1992 ) (Kuva 3.18)

(29)

23. Millä desimaaliluvulla hinta on kerrottava, jos sitä korotetaan a) 50%

b) 10%

c) 3%

d) 150%

e) 0,9% ?

24. Montako prosenttia hinta laskee tai nousee, kun se kerrotaan luvulla a) 0,95

b) 1,17 c) 0,7 d) 1,5 e) 2 f) 1,02 g) 0,991?

25. Hinnat nousevat 20%, laske uudet hinnat. (käytä prosenttikerrointa) a) 5 €

b) 16 € c) 210 € d) 18,5 € e) 60 snt

26. Lisää (käytä prosenttikerrointa esim 1,03) a) 3% lukuun 1540

b) 21% lukuun 72,5 c) 12,6% lukuun 2853 d) 0,5% lukuun 1900 e) 130% kilogrammaan f) 1,3%345 euroon.

27. Vähennä (Käytä prosenttikerrointa esim 0,98) a) 2%8,50 eurosta

b) 25% luvusta 199 c) 6,5% luvusta 5640 d) 74% luvusta 62500

28. Jos korotat jotain rahamäärää 20%, niin saat 150 €, mikä on alkuperäinen rahamäärä. Tee yhtälö.

3.3 Alkuosio 3: Vastaukset

1. a) 32^∘C b) −18^∘C c) −28^∘C 2. a) 𝑎𝑏 − 9 b) ^𝑎

𝑏+ 3 c) ^𝑎+𝑏

𝑎−𝑏 d) ^9−𝑎

𝑏

(30)

3. Vastaus

𝑥 −2𝑥 + 4

2 0

1 2

0 4

-1 6

2 8

4. 2𝑏 + 2𝑏 + 3𝑎 + 3𝑎 = 6𝑎 + 4𝑏

5. a) 4𝑠 + 8𝑡 b) 𝑎 + 3𝑏 c) 12𝑚 + 2𝑛 d) 16𝑥 6. a) 12𝑎 + 8 b) 15𝑎 + 4 c) 𝑎 + 8 d) −3𝑎 − 8 7. a) −6𝑎 + 𝑏 b) 𝑥 − 𝑦 c) 16𝑥 − 𝑦 − 9

8. a) 16𝑥 b) 15𝑥² 9. a) 22𝑥² b) 55𝑥²

10. a) 3𝑥 + 9 b) 4𝑦 + 20 c) 𝑧²+ 2𝑧

11. a) 6(3𝑥 + 5) = 18𝑥 + 30 b) 4(𝑥 + 2𝑦 + 5) = 4𝑥 + 8𝑦 + 20 c) 3𝑦(𝑥 + 4𝑦) = 3𝑥𝑦 + 12𝑦² 12. a) 66 b) 52 c) 126

13. a) 𝑥 + 𝑥 = 2 + 2 + 𝑥 b) 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 10 = 20 + 20 + 𝑥 c) 2𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 = 2𝑥 + 100 14. a) 𝑥 = 4 b) 𝑥 = 15 c) 𝑥 = 25

15. a) x=9 b) x=8 dl c) x=127 kg 16. a) 5 kg b) 3 kg c) 2 kg d) 3 kg 17. a) 8 b) 3,6 c) 13

18. 140 m 19. 26 cm 20. 3,6 m 21. 18 ha

22. Nelikuomio muodostuu kahdesta yhtenevästä kolmiosta Kolmion toisen kateetin pituus on 𝑝𝑖𝑡𝑢𝑢𝑠 = √0, 95²− 0, 50² = 0,80777 … Nelikulmion alaksi tulee tällöin kaksi kertaa

(31)

23. a) 1,5 b) 1,1 c) 1,03 d) 2,5 e) 1,009

24. a) laskee 5% b) nousee 17% c) laskee 30% d) nousee 50% e) nousee 100% f) nousee 2%

g) laskee 0,9%

25. a) 6 € b) 19,2 € c) 252 € d) 22,2 € e) 72 snt

26. a) 1586,2 b) 87,7 c) 3212,5 d) 1909,5 e) 2,3 kg f) 349,5 € 27. a) 8,33 € b) 149,25 c) 5273,4 d) 16250

28. 1,2x=150

x=150/1,2=125 €

(32)

4 Alkuosio 4: Pinta-aloja ja tilavuuksia 4.1 Alkuosio 4: Linkit

Yksikönmuunnokset

Kolmion pinta-ala

Ympyrän pinta-ala

Ympyrälieriön pinta-ala

(33)

Pallon pinta-ala

Lieriön tilavuus

Pallon tilavuus Neliö:

Pinta-ala: A=a², missä a on neliön sivu Piiri: p=4a

Suorakulmio:

Pinta-ala A=a⋅h, eli kanta kertaa korkeus Suunnikas:

Pinta-ala A=a⋅h, eli kanta kertaa korkeus Puolisuunnikas:

Pinta-ala A=^𝑎+𝑏

2 ⋅ ℎ, eli yhdensuuntaisten sivujen keskiarvo kertaa korkeus Kolmio:

A=^𝑎⋅ℎ, eli kanta kertaa korkeus jaettuna kaksi

(34)

Ympyrä:

Kehä: p=2 𝜋 r, eli kaksi kertaa pii kertaa säde A= 𝜋𝑟², eli pii kertaa säde potenssiin kaksi Pallo:

A= 4𝜋𝑟², eli neljä kertaa pii kertaa säde potenssiin kaksi V=⁴

3𝜋𝑟³, eli neljä jaettuna kolme kertaa pii kertaa säde potenssiin kolme Kuutio:

V=a³, eli sivu potenssiin kolme

A=6a², eli kuusi kertaa sivutahkon pinta-ala Suorakulmainen särmiö:

V=𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐, eli pituus kertaa leveys kertaa korkeus

Lieriö yleisesti: (oli ympyrälieriö, suorakulmainen särmiö..särmiö jne..) V=𝐴_𝑝ℎ, missä 𝐴_𝑝 on pohjan ala ja h korkeus

Kartio yleisesti:

V=^𝐴^𝑝^ℎ

3 , eli vastaavan lieriön tilavuus jaettuna kolme

4.2 Alkuosio 4: Tehtävät

1. Laske kuvioiden piirit (Kuva 4.8).

(35)

2. Laske suorakulmioiden pinta-alat (Kuva 4.9).

3. Laske kolmioiden pinta-alat (Kuva 4.10).

4. Laske kuvan ympyröiden kehän pituudet (Kuva 4.11).

(36)

5. Täydennä taulukko.

säde [cm] halkaisija [cm] kehän pituus [cm] pinta-ala [cm² ] 11,0

19,8

128,0

198 1500 6. Muunna neliömetreiksi.

a) 5 km² b) 6 ha c) 9 a d) 230dm² e) 30000 cm² f) 140000 mm²

7. Muunna sulkeissa mainituksi yksiköksi.

a) 5 km² (ha) b) 100ha(m²) c) 23a(m²)

d) 15,7dm²( cm²) e) 56000 mm²(dm²) f) 250 m² (a)

8. Paljonko muovia tarvitaan kasvihuoneen kattamiseen (päädyt mukaan lukien) (Kuva 4.12)?

(37)

9. Kolme erimuotoista lieriötä ovat pituudeltaan 12 cm. Laske lieriöiden kokonaispinta-alat kolmen numeron tarkkuudella (Kuva 4.13).

10. Laske teltan kokonaispinta-ala (Kuva 4.14).

11. Suorakulmion muotoinen lasinen astia, jonka mitat löytyvät kuvasta, täytetään vedellä ja pakastetaan. Vesi laajenee jäätyessään 10%. Kuinka korkealle vettä voi kaataa, jotta astia ei hajoa pakkasessa (Kuva 4.15)?

(38)

12. Jäljennä taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat tiedot lieriön pohjan pinta-ala

[cm²] lieriön korkeus [cm] lieriön tilavuus [cm³]

150,0 31,0

12,0 804,0

18,0 360,0

500 1425000

102,0 4080,0

13. Laske suklaakakkujen tilavuudet (Kuva 4.16).

14. Laske lieriön tilavuus (Kuva 4.17).

(39)

15. Laske kappaleiden tilavuudet (Kuva 4.18).

16. Laske 𝑥:llä merkityn sivun pituus, kun kappaleen tilavuus on annettu (Kuva 4.19).

17. Laske pallojen pinta-alat (Kuva 4.20).

(40)

18. Kummalla kappaleista on suurempi (Kuva 4.21) a) tilavuus

b) pinta-ala?

19. Paljonko lunta tarvitaan kuvan lumiukon tekemiseen (Kuva 4.22)?

(41)

20. Laske, montako desilitraa jäätelöä mahtuu kuvan jättitötteröön, kun vohvelin sisäosakin on täynnä jäätelöä (kuoren paksuutta ei oteta huomioon) (Kuva 4.23).

4.3 Alkuosio 4: Vastaukset

1. a) 24,0 m b) 14,4 m c) 24 m 2. a) 12 cm² b) 7,2 cm² c) 23 cm²

3. a) 25 cm² b) 36 cm² c) 66 cm² d) 14 cm² 4. a) 38 cm b) 50 m c) 38 cm

5. Vastaus

säde [cm] halkaisija [cm] kehän pituus [cm] pinta-ala [𝑐𝑚²]

11,0 22,0 69,1 380

9,9 19,8 62,2 308

20,4 40,7 128,0 1300

7,9 15,8 49,6 198

21,9 43,8 137,6 1500

6. a) 5000000 m² b) 60000 m² c) 900 m² d) 2,3 m² e) 3 m² f) 0,14 m² 7. a) 500ha b) 1000000 m² c) 2300 m² d) 1570 cm² e) 5,6dm² f) 2,5 a 8. 1590 m²

9. a) 520 cm² b) 330 cm² c) 360 cm² 10. 11 m²

(42)

11. Astia voidaan täyttää 9 cm:n korkeuteen.

12. Vastaus

lieriön pohjan pinta-ala

[𝑐𝑚²] lieriön korkeus [cm] lieriön tilavuus [𝑐𝑚³ ]

150,0 31,0 4650

67,0 12,0 804,0

18,0 20,0 360,0

2850 500,0 1425000

102,0 40,0 4080,0

13. a) 1490 cm³ b) 2980 cm³ 14. a) 105 cm³ b) 6 cm³ c) 200 cm³ 15. a) 86100 cm³ b) 0,63 m³ c) 470 cm³ 16. a) 12 cm b) 12 cm c) 9 cm

17. a) 50 cm² b) 110 cm² c) 13 cm² 18. a) kuutiolla b) kuutiolla

19. 120dm³ 20. 5,4 dl

(43)

5 Alkuosio 5: Sin, cos ja tan, koordinaatisto suoran piirto, kulmakerroin (nyt käsin ja Geogebra seuraavassa osiossa)

5.1 Alkuosio 5: Linkit

Suoran piirtäminen

Suoran piirtäminen 2

Suorakulmaisen kolmion sini, kosini ja tangentti

Lisää: Sini, kosini ja tangentti

(44)

5.2 Alkuosio 5: Tehtävät

1. Sijoita pisteet (-2,-3) ja (0,1) koordinaatistoon piirrä niiden kautta suora.

2. a) Laske lausekkeen 𝑦 = 2𝑥 − 3 arvot annetuilla 𝑥: n arvoilla.

𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 3 0

1 2 3

3. Sijoita saadut pisteet koordinaatistoon ja piirrä suoran 𝑦 = 2𝑥 − 3 kuvaaja.

4. Piirrä suorat samaan koordinaatistoon.

a) 𝑦 = 𝑥 + 1 b) 𝑦 = 2𝑥 + 1 c) 𝑦 = −𝑥 + 1 d) 𝑦 = −2𝑥 + 1

5. Päättele edellisen tehtävän avulla, miten suoran yhtälössä 𝑥: 𝑛 kerroin (edessä oleva luku) vaikuttaa suoran kuvaajaan.

(45)

6. Kirjoita yhtälönä sääntö, miten 𝑦: 𝑛 arvo riippuu 𝑥: 𝑛 arvosta a)

𝑥 𝑦

2 4

3 6

4 8

5 10

b)

𝑥 𝑦

0 1

1 2

2 3

3 4

7. Määritä piirtämällä suorien 𝑦 = 𝑥 + 3 ja 𝑦 = −𝑥 + 5 leikkauspiste.

8. Määritä kuvan suorien kulmakertoimet (Kuva 5.6)

9. Määritä kuvan suorien kulmakertoimet (Kuva 5.7)

(46)

10. Määritä annettujen pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin.

a) (0,0) ja (1,3) b) (-2,5) ja (-1,0) c) (4,-2) ja (-3,7)

11. Oheinen kuvaaja kuvaa tomaattien hinnan ja määrän välistä yhteyttä. Määritä kulmakertoimen perusteella tomaattien kilohinta (Kuva 5.8).

12. Yhdistä suoran yhtälö ja sen kuvaaja, kun 𝑥 saa positiivisia arvoja (Kuva 5.9).

a) 𝑦 = 𝑥 b) 𝑦 = 𝑥 + 3 c) 𝑦 = 4 d) 𝑦 = −𝑥 + 5 e) 𝑦 = 2𝑥 − 2 f) 𝑥 = 4

(47)

13. Määritä kuvaajan perusteella kappaleen nopeus. Ilmoita vastaus myös kilometreinä tunnissa (Kuva 5.10).

14. Kuvan kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Laske (Kuva 5.11) a) kulman 𝛼 suuruus

b) kulman 𝛽 suuruus c) sivun 𝑎 pituus d) sivun 𝑏 pituus.

(48)

15. Ratkaise yhtälöt yhden desimaalin tarkkuudella.

a) tan21^∘ = ^𝑥

11

b) tan46^∘=²⁰

𝑥

16. Laske, kuinka korkealla lentokone on (Kuva 5.12).

17. Laske kulman 𝛼 suuruus (Kuva 5.13).

18. Laske purjeen korkeus (Kuva 5.14).

(49)

19. Laske kolmion kulmien 𝛼 ja 𝛽 suuruudet (Kuva 5.15).

20. Kuinka pitkä mäki on (Kuva 5.16)?

21. Kuinka korkea on torni, joka näkyy 60,0 metrin päässä tornin juuren korkeudelta kulmassa 51, 5^∘? (pääsykoetehtävä insinöörikoulutukseen, kevät 1990)

22. Mikä on 𝑥 :llä merkityn sivun pituus (Kuva 5.17)?

(50)

23. Kuinka pitkät tikapuut ovat (Kuva 5.18)?

24. Laske laskimella lausekkeiden arvot.

a) _sin14^sin37_∘^∘_+2⋅cos5^−cos37^∘_∘ b) ^5⋅sin11^∘_cos0^{−sin(3⋅10}_∘ ^∘⁾

c) sin4^∘⋅ (22.5 +cos55^∘)

25. Kuinka korkealla ilmapallo on (Kuva 5.19)?

26. Mikä on kuvion pinta-ala (Kuva 5.20)?

(51)

5.3 Alkuosio 5: Vastaukset

1. Kuva 5.21

2. Vastaus

𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 3

0 -3

1 -1

2 1

3 3

3. Kuva 5.22

4. Kuva 5.23

(52)

5. Kerroin määrittää nouseeko suora vai laskeeko ja kuinka jyrkästi eli kertoo suoran kulmakertoimen.

6. a) 𝑦 = 2𝑥 b) 𝑦 = 𝑥 + 1 7. (1,4)

8. a) 1 b) ¹

2 c) 2 9. a) -2 b) -1 c) −¹

4

10. a) 3 b) -5 c) −⁹

7

11. 4 €/kg

12. a) C b) D c) E d) B e) A f) F

13. 2 m/s = 7,2 km/h (kerro 3,6:lla) ,33 m/s = 4,8 km/h 14. a) 18, 4^∘ b) 71, 6^∘ c) 3,0 cm d) 6,0 cm

15. a) x=4,2 b) x=19,3 16. 6,2 km

17. a) 26, 6^∘ b) 26, 6^∘ 18. 13 m

(53)

20. 21,2 m 21. 75,4 m

22. a) 18 cm b) 37 cm c) 47 cm 23. 8 m

24. a) -0,088 b) 0,45 c) 1,6 25. 5,8 m

26. 26 cm²

(54)

6 Alkuosio 6: Geogebra 6.1 Alkuosio 6: Linkit

Mene osoitteeseen: https://www.geogebra.org/download Asenna mieluiten GeoGebra Classic 5 Tai mene (selainversio) https://www.geogebra.org ja valitse GeoGebra Classic

6.2 Alkuosio 6: Georebran perusteita

1. Sijoita pisteet (-2,-3) ja (0,1) koordinaatistoon piirrä niiden kautta suora (Kuvat 6.1, 6.2, 6.3 ja 6.4).

Koordinaatit syötetään muodossa (x,y) syöttökenttään, esim. (-2,-3).

(55)

Valitse kaksi pistettä, algebraikkunassa näet suoran yhtälön.

Suoran asetuksista (algebra) voi valita, että se näkyy muodossa y=kx+b eli kulmakerroin k ja vakiotermi b.

2. Määritä piirtämällä suorien 𝑦 = 𝑥 + 3 ja 𝑦 = −𝑥 + 5 leikkauspiste. (Kuvat 6.5, 6.6, 6.7 ja 6.8)

(56)

Voit kirjoittaa syöttökenttään muodossa y=kx+b, Geogebra nimeää automaattisesti eri yhtälöksi.

Valitse leikkauspistetyökalu ja määritä leikkauspiste...

(57)

Geogebra antaa algebraikkunaan tietoja toimituksista.

Voit myös kirjoittaa suoran yhtälöt funktiomuotoon ks. esimerkki.

3. Määritä annettujen pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin. (Kuvat 6.9, 6.10 ja 6.11)

a) (0,0) ja (1,3) b) (-2,5) ja (-1,0) c) (4,-2) ja (-3,7)

(58)

Piirrä ensin pisteet ja piirrä suorat pisteiden kautta, halutessasi voit taas asetuksista muuttaa (Algebra) yhtälön muodoksi y=kx+b.

Geogebrassa on myös kulmakerrointyökalu.

(59)

Kulmakerroin määritetään pystyakselin muutos jaetuna vaaka-akselin muutoksella.

(60)

7 Keskiosio 1: Peruslaskutoimitukset 7.1 Keskiosio 1: Linkit

Lukujoukot ja luvuilla laskeminen Laskujärjestys

1. Sulkulausekkeet 2. Potenssit ja juuret

3. Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle

4. Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle Merkkisäännöt

7.2 Keskiosio 1: Tehtävät

Laske kaikki tehtävät välivaiheineen ilman laskinta!

1. a) −2 + 5 b) 5 − 2 c) −5 − 2 d) −5 − (−2) 2. a) 3 − 7

b) 7 − 3 c) −(−7) − 2 d) 7 − (−2)

3. Laske päässä vierekkäisten lokeroiden lukujen summa ja merkitse se aina niiden yläpuoliseen lokeroon (Kuva 7.2)

(61)

4. Laske päässä vierekkäisten lokeroiden lukujen erotus ja merkitse se aina niiden yläpuoliseen lokeroon (Kuva 7.3)

5. Laske päässä vierekkäisten lokeroiden lukujen tulo ja merkitse se aina niiden yläpuoliseen lokeroon (Kuva 7.4)

6. a) 3 ⋅ (−2) b) −2 ⋅ 3 c) −2 ⋅ (−3) d) −(−3) ⋅ (−2) 7. a) 2𝑎 − 5𝑎

b) −𝑎 − 2𝑎 c) 𝑎 + (−𝑎)

d) 3𝑎 − 𝑏 − 4𝑎 + 2𝑏 8. a) −2 ⋅ (−3) ⋅ (−4)

b) 4 ⋅ (−3) c) −3 ⋅ (−5) d) −(−3) ⋅ (−3) 9. a) ⁶

2

b) ⁶

−2

c) ⁻⁶

2

d) ⁻⁶

(62)

10. a) 1 − (−1)

b) −1 − (−1) c) −8 − (−6) d) −6 − 8 11. a) 3 − 5 ⋅ 2

b) (3 − 5) ⋅ 2 c) 8: (4 − 2) d) 8: 4 − 2

12. a) 3 ⋅ 4 − 8: 4 − 2 b) (5 + 2) ⋅ 7 ⋅ (−3) c) −3 ⋅ 4 − (−6): 3 d) (−2 + 2) ⋅ 87 ⋅ 38 13. a) −(−4 − 5)

b) 3 − (2 − 5) c) 12 − 2 ⋅ (−4) d) −5 − 5 ⋅ (−5) − 5 14. a) 8:(-2)

b) -8:(-2) c) -8: 2 d) −8 − 2: 2

15. a) 689 ⋅ 4 + 689 ⋅ 6 b) 816 + 578 + 84 c) 4 ⋅ 78 ⋅ 25 16. a) 2,14 + 9,18

b) 6,56 − 10,23 c) −3,6 − 3,6 17. a) −7 ⋅ 4 + 13

b) −7 + 4 ⋅ 13 c) −3 ⋅ (2 − 2 ⋅ 2) 18. Laske lukujen 3 ja -5

a) summa b) erotus

c) vastalukujen erotus 19. Laske lukujen 12 ja -3

a) tulo b) erotus c) osamäärä

(63)

20. Laske

a) 2 ⋅ 4² b) (2 ⋅ 4)² c) (2 − 5 ⋅ 2)² 21. Laske

a) 3 − (6 − 2): 2 + 1 b) (3 − (6 − 2)): 2 + 1 c) 3 − (6 − 2): (2 + 1) 22. Laske

a) −5 + 8 ⋅ 2 − 3 b) −5 + 8 ⋅ (2 − 3) c) (−5 + 8) ⋅ 2 − 3 23. Laske

a) 6: (3 ⋅ 2) b) 6: 3 ⋅ 2 c) 6 ⋅ 3: 2 24. Laske

a) (3 ⋅ (2 + (4 + 5 ⋅ (1 + 2)))) b) 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ (3 + 3)

c) 2 ⋅ (2 + 3 ⋅ (3 + 4))

7.3 Keskiosio 1: Vastaukset

1. a) 3 b) 3 c) -7 d) -3 2. a) -4 b) 4 c) 5 d) 9 3. (Kuva 7.5)

(64)

4. (Kuva 7.6)

5. (Kuva 7.7)

6. a) -6 b) -6 c) 6 d) -6

7. a) −3𝑎 b) −3𝑎 c) 0 d) −𝑎 + 𝑏 8. a) -24 b) -12 c) 15 d) -9 9. a) 3 b) -3 c) -3 d) 3 10. a) 2 b) 0 c) -2 d) -14 11. a) -7 b) -4 c) 4 d) 0 12. a) 8 b) -147 c) -10 d) 0 13. a) 9 b) 6 c) 20 d) 15 14. a) -4 b) 4 c) -4 d) -9 15. a) 6890 b) 1478 c) 7800 16. a) 11,32 b) -3,67 c) -7,2

(65)

19. a) -36 b) 15 c) -4 20. a) 32 b) 64 c) 64 21. a) 2 b) ¹

2 c) ⁵

3 = 1²

3

22. a) 8 b) -13 c) 3 23. a) 1 b) 4 c) 9 24. a) 63 b) 27 c) 46

(66)

8 Keskiosio 2: Murtoluvut 8.1 Keskiosio 2: Linkit

Murtoluvuilla laskeminen

8.2 Keskiosio 2: Tehtävät

1. "Otsa osoittaja, nenä nimittäjä" Nimittäjä antaa murtoluvulle "nimen" eli, minkä nimisiä osia... Mitkä ovat murtoluvun ^𝑎

𝑏 nimittäjä ja osoittaja?

2. a) Mikä osa kuviosta on viivoitettu? (Kuva 8.3) b) Mikä osa kuviosta on viivoittamatta?

c) Mikä osa viivoitetuista neliöistä on keskimmäisellä vaakarivillä?

d) Mikä osa valkoisista neliöistä on alimmalla vaakarivillä?

(67)

3. Ilmaise sekä supistamattomassa että supistetussa muodossa murtolukuna viivoitettu osa kuviosta (Kuva 8.4)

4. Supista murtoluvut a) ³

9

b) ¹²

36

c) ¹⁰⁰

150

d) − ³

24

5. Ilmaise sekaluvut murtolukuina a) 1¹

5

b) 2¹

5

c) 2³

7

d) −3²

3

6. Ilmaise murtoluvut sekalukuina a) ⁸

5

b) ¹¹

3

c) −²¹

7

d) −³

2

7. Kumpi luvuista on suurempi? Muista perustella ilman laskinta!

a) ³

4 ja ⁴

5

b) ⁸

5 ja ⁷

4

(68)

c) 2¹

5 ja 2²

7

d) −³

5 ja −⁵

7

8. Ilmaise desimaaliluvut murtolukumuodossa a) 0,3

b) 0,05 c) 1,15 d) 2,1

9. Ilmaise murtoluvut desimaalilukumuodossa a) ²

100

b) ²

5

c) ¹⁵

6

d) ³

25

10. Laske a) ³

7+²

7

b) 1²

5+⁴

5

c) ³

8+¹

4

11. Laske a) ²

5+²

3

b) 1¹

5+²

7

c) ³

7+¹

3

12. Laske a) ⁴

5−³

5

b) ²

3−²

5

(69)

13. Laske

a) 2³

4−⁵

8

b) −²

3−¹

6

c) −1³

5+¹

2

14. Laske a) ²

3⋅¹

2

b) ³

5⋅²

5

c) ²

3⋅¹

3

15. Laske a) ²

3⋅ 2 b) 3 ⋅²

7

c) ¹

2⋅¹

2

16. a) ²

3:¹

3

b) ³

4:²

5

c) ¹

2:¹

4

17. Laske a) ²

3: 2 b) 3:¹

3

c) ²

5: 7 18. Laske

a) 2²

3:²

5

2 2

(70)

c) −²

5: (−2) 19. Laske

a) ²

𝑎+¹

𝑎

b) ²

𝑎+²

3

c) ²

𝑎: ⁵

2𝑎

20. Laske a) 2 +¹

3−⁵

6

b) 2 ⋅¹

3−⁵

6

c) 2 +¹

3:⁵

6

21. Laske a) ¹

2+³₄

b) ²3 4

c)

2 3 4

22. Laske a) (−²

5+¹

4) ⋅²

3

b) 2 ⋅ (¹

3−⁵

6:¹

3) c) ³

7: 2 −¹

4

23. Laske a) ³

2𝑎+⁵

𝑎

b) ³

3𝑎 5𝑎

(71)

24. Metrin mittaisesta metrilakusta leikataan ¹

3 Antille ja jäljelle jääneestä palasta ¹

6 Bellalle.

Cecilia saa loput. Paljonko?

25. Laske (13 ³

10− 3²

5) ⋅ 3 ⁷

11

26. Laske [(³

4− 3) ⋅ 6 +¹

7: (¹

2−¹

7)] ⋅ 2¹

2−¹

4

27. Laske ⁽²

1 2−¹

3):6¹ 2 (1−2¹

3)²

28. Laske tulo (1 +¹

1) ⋅ (1 +¹

2) ⋅ (1 +¹

3) ⋅ (1 +¹

4) ⋅ (1 +¹

5) ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ (1 + ¹

98) ⋅ (1 + ¹

99).

29. Sievennä ¹

𝑎+¹

𝑏−^𝑎−𝑏

𝑎𝑏. 30. Laske ¹⁻

1 2 1− ¹ 1− 1

1− 1 1−1

2

8.3 Keskiosio 2: Vastaukset

1. nimittäjä = 𝑏, osoittaja = 𝑎 2. a) ⁴

9 b) ⁵

9 c) ³

4 d) ³

5

3. a) ²

8=¹

4 b) ⁴

8 =¹

2 c) ⁶

8 =³

4 d) ⁸

8 = 1 4. a) ¹

3 b) ¹

3 c) ²

3 d) −¹

8

5. a) ⁶

5 b) ¹¹

5 c) ¹⁷

7 d) −¹¹

3

6. a) 1³

5 b) 3²

3 c) -3 d) −1¹

2

7. a) ⁴

5 b) ⁷

4 c) 2²

7 d) −³

5

8. a) ³

10 b) ⁵

100= ¹

20 c) ¹¹⁵

100= ²³

20 d) ²¹

10

9. a) 0,02 b) 0,4 c) 2,5 d) 0,12 10. a) ⁵

7 b) ¹¹

5 = 2¹

5 c) ⁵

8

11. a) ¹⁶

15 b) ⁵²

35 c) ¹⁶

21

12. a) ¹

5 b) ⁴

15 c) − ³

20

(72)

13. a) ¹⁷

8 b) −⁵

6 c) −¹¹

10

14. a) ¹

3 b) ⁶

25 c) ²

9

15. a) ⁴

3 b) ⁶

7 c) ¹

8

16. a) 2 b) ¹⁵

8 c) 2 17. a) ¹

3 b) 9 c) ²

35

18. a) ²⁰

3 b) ³

20 c) ¹

5

19. a) ³

𝑎 b) ^6+2𝑎

3𝑎 c) ⁴

5

20. a) ³

2 b) −¹

6 c) ¹²

5

21. a) ⁴

11 b) ⁸

3 c) ¹

6

22. a) − ¹

10 b) −¹³

3 c) − ¹

28

23. a) ¹³

2𝑎 b) ¹

𝑎 c) 5 24. ⁵

9 m 25. 36 26. -33 27. ³

16

28. 100 29. ²

𝑎

30. 1

(73)

9 Keskiosio 3: Potenssi 9.1 Keskiosio 3: Linkit

Potenssi

Potenssi 2

𝑎^𝑚𝑎^𝑛 = 𝑎^𝑚+𝑛 samankantaisten potenssien tulo

𝑎^𝑚

𝑎^𝑛 = 𝑎^𝑚−𝑛 (𝑎 ≠ 0) samankantaisten potenssien osamäärä (𝑎𝑏)^𝑛 = 𝑎^𝑛𝑏^𝑛 tulon potenssi

(^𝑎

𝑏)^𝑛 = ^𝑎^𝑛

𝑏^𝑛 (𝑏 ≠ 0) osamäärän potenssi (𝑎^𝑚)^𝑛 = 𝑎^𝑚𝑛 = (𝑎^𝑛)^𝑚 potenssin potenssi 𝑎⁰ = 1 𝑎 ≠ 0, 0^∘ ei määritelty

𝑎^−𝑝 = 1

𝑎^𝑝 𝑎 ≠ 0, (𝑎 𝑏)

−𝑝

= (𝑏 𝑎)

𝑝

(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² binomin neliö (𝑎 − 𝑏)² = 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²

Murtopotenssi kun a > 0 ja n=2,3,4,...

𝑎^𝑛¹ = √𝑎^𝑛 eli n:s juuri a:sta esim.

8¹³ = √8³ = 2 25¹² = √25 = 5

9.2 Keskiosio 3: Tehtävät

(74)

1. a) 2⁴

b) 4² c) 2⁵ d) 5²

2. Ilmaise potenssimerkinnällä seuraavat luvut a) 9

b) 8 c) 100 d) 400 3. Laske

a) 3⁴ b) 3 ⋅ 4 c) 10⁵

d) 1,2345 ⋅ 10⁶ 4. a) −3²

b) (−3)² c) −3³ d) (−3)³ 5. a) −(−2)³

b) −2³ c) (−2)³

d) −2⁴+ (−2)⁴ 6. a) 7²

b) 7¹ c) 7⁰

(75)

7. a) 5²

b) −5² c) (−5)² d) (−5)³ 8. a) 1¹+ 1²+ 1³

b) (−1)⁹⁹⁹ c) (−1)¹⁰⁰⁰ d) 1¹⁰⁰⁰⁰ 9. a) 2²³

b) 2³² c) (2²)³ d) (2³)² 10. a) ²⁵

2³

b) ²⁸⁰

2⁷⁷

c) ²^𝑚

2^𝑛

d) ^𝑎^𝑚

𝑎^𝑛

11. a) 2²⋅ 2³− 2⁵ b) 2³⋅ 2⁴ c) 2^𝑚⋅ 2^𝑛 d) 𝑎^𝑚⋅ 𝑎^𝑛 12. a) (2²)³

b) (2⁴)²

(76)

d) (𝑎^𝑚)^𝑛

13. Ilmaise luvun 3 potenssina (3^𝑥) a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 9

b) 27 ⋅ 3 c) 3⁸⋅ 3⁹ d) 27 ⋅ 27

14. Ilmaise luvun 3 potenssina (3^𝑥) a) ³⁴

3²

b) ²⁷

9

c) ³⁵⁰

3⁴⁵

d) ^27⋅9⋅3

3⁴

15. Ilmaise luvun 3 potenssina (3^𝑥) a) (3²)⁵

b) (27)⁴ c) (9³⋅ 27²)⁴ d) 1

16. Laske

a) (2 + 3)²− 2² − 3² b) (4 + 5)²

c) päteekö kaava (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎²+ 𝑏² kaikilla luvuilla?

17. Anna jokin esimerkki, joka osoittaa, että "kaava" (𝑎 − 𝑏)² = 𝑎² − 𝑏² ei päde.

18. Laske

(77)

b) (2 ⋅ 3)³

c) päteekö kaava (𝑎 ⋅ 𝑏)² = 𝑎²⋅ 𝑏²? 19. Laske

a) ²

3⋅²

3

b) ²³

3³

c) päteekö kaava (^𝑎

𝑏)^𝑛 = ^𝑎^𝑛

𝑏^𝑛? 20. Laske ²²

3 − (²

3)² 21. Laske

a) (3𝑎)²+ 3𝑎² b) (−𝑎)²− 𝑎² c) ^4𝑎⁵

2𝑎³

22. Päättele yhtälön ratkaisu 𝑥 a) 2^𝑥 = 16

b) 𝑥² = 36 c) 𝑥³ = 8

23. Päättele yhtälön ratkaisu 𝑥 a) 10^𝑥 = 10

b) 10^𝑥 = 100 c) 10^𝑥 = 100000

24. Laske lausekkeen arvo, kun 𝑥 = 2 a) 𝑥³+ 3^𝑥+ 3𝑥

b) −𝑥² c) (−𝑥)²

25. Laske 3⁻¹+ (¹)²− 2⁻²