Matematiikan perusmetodit/mat.

Matematiikan perusmetodit/mat.

Harjoitus 13 syksy 2009 A osa:

1. Ratkaise yhtälö

a)e^−2x+1 = 2, b)log₂(log₂x) = −1, c)log₁₀(x²−1) = 1 + log₁₀(x−1), d)ln√

x−1+ln√

2x−1 = ln√

3, e)2^x2 = 3^2x, f)log₂2x= log₄3x.

2. Ratkaise epäyhtälö

a) 2·4^x−2^x >1, b)log¹

2(2x−1) + 2>log¹

2(3x−4), c) log¹

2 2x <log₂7, d)2^x2 <3^2x. 3. Olkoonf: R→R, f(x) = ln(√

1 +x²−x). Osoita, ettäf on pariton funktio.

4. Määrää raja-arvot a) lim

x→∞ 1 + ¹_x3x

, b) lim

x→∞ 1−_x¹x

, c) lim

x→∞ 1 + _x²x

, d) lim

x→∞

2x+1 2x

x

, e) lim

x→∞ 1 + _3x¹ 2x

, f) lim

x→∞

x+3 x−1

x+3

, g) lim

x→∞

2x+3 2x+1

x+1

, h) lim

x→∞x[lnx−ln(x+ 1)].

5. Derivoif(x), kun f(x) on a)xlnx−x, b)x⁵lnx, c)

q xp

x√

x, d)e^ex, e)2^x2−1, f)(lnx)^lnx, g)x^sinx, h)(arcsinx)², i)arcsin¹_x, j)arctan√

x, k)arctan√

e^x−1, l) arctan (lnx)

6. Määrää raja-arvot a) lim

x→0 sin 2x

e^3x−1, b) lim

x→0

e^x−e^−x−2x

x−sinx , c)lim

x→0(cosx)^cot2x

7. Olkoonf(x) =x³+ 5x+ 8. Merkitäänh(y) =e^f−1(y). Laske h⁰(2).

Matematiikan perusmetodit/mat.

Harjoitus 13 syksy 2009 B osa:

1. Funktiosinhx= ^ex−e₂^−x ja funktiocoshx= ^ex+e₂^−x. a) Osoita, että Dsinhx= coshx kaikillax∈R.

b) Osoita, että funktiolla f: R→R,f(x) = sinhx, on käänteisfunk- tio f⁻¹: R→R,f⁻¹(x) =arcsinhx.

c) Määrää funktion f⁻¹(x) = arcsinhx derivaatta.

2. Olkoonf(x) = arcsin(sinx),x∈R. Laskef⁰(x)ja piirrä funktionf(x) kuvaaja.

3. Olkoonf(x) =x−arctan(tanx), ∀x 6= ^π₂ +nπ, n ∈ Z. Laske f⁰(x) ja piirrä funktion f(x)kuvaaja.

4. Derivoi

a)f(x) = ^(x+1)(x+4)√

x(x+2) , b) f(x) = ^(x+1)2

√x−1 (x+4)³e^x . 5. Integroi

a) R ₁

√xdx, b) R 2x(√

x−1)dx, c) R x(√

x+ 2x√³ x)dx, d) R

(1− ¹_x)²dx, e) R ₁

x+3dx, f) R ₁

2x+3dx, g) R _x²

3+xdx, h) R _x

x²+8dx, i) R x√

1−x²dx, j) R _dx

√7x+5, k) R ₁

tanxdx, l) R _e^x

e^x+1dx, m) R _x

(1−x²)√

1−x²dx, n)R

(e^5x−√ e^x)dx, o) R _x³_−x

x²+1dx, p) R _x+3

x²+2x+1dx.

6. Kahdesti derivoituva funktio f: R→R toteuttaa ehdon f(x)−f(y) =f⁰(x+y

2 )(x−y) ∀x, y ∈R. Määrää funktio f.