Matematiikan perusmetodit/mat.

Matematiikan perusmetodit/mat.

Harjoitus 14 syksy 2009 A osa:

1. Integroi a)R

cos 6x dx, b)R

sin(4x+1)dx, c)R

sin⁵xcosx dx, d)R

tan²x dx.

2. Integroi a)R

sin²x dx, b)R

cos²x dx, c)R

cos³x dx, d)R

sin⁵x dx, e)R

cos⁴x dx.

3. Integroi a) R ₁

1+a²x² dx, b) R _dx

2+x², c) R _x²

x²+1dx, d) R _x+1

x²−x+1dx.

4. Integroi a)R

xsinx dx, b)R

x²sinx dx, c)R

(2x+1) sin 2x dx, d)R

xsinxcos³x dx.

5. Integroi a) R

xe^2xdx, b)R

xe^−x2 dx, c)R

x²e^2xdx, d) R

x³e^xdx.

6. Integroi a)R

xlnx dx, b)R

lnx dx, c)R

lnx²dx, d)R

x²lnx dx, e)R ln(1+x²) x² dx, f) R

ln(1 +x²)dx.

7. Integroi a) R

arctandx, b)R

arcsinx dx, c)R

cos(lnx)dx, d) R

e^xcosx dx.

Matematiikan perusmetodit/mat.

Harjoitus 14 syksy 2009 B osa:

1. Integroi suluissa annettua sijoitusta käyttäen a) R ₁

√9−x² dx, (x= 3 sint, −^π₂ < t < ^π₂), b) R ₁

1+√

x+1dx, (t =√

x+ 1), c) R ₁

1+√³

x+1dx, (t= √³

x+ 1), d) R _dx

√x+√³

xdx, (x=t⁶, t >0).

2. Integroi a) R _dx

x(x−1), b)R _1+x²

x(1+x)dx, c)R _2x²_+8x−2

(x−1)²(x+1)² dx.

3. Integroi a)R ₁

1+√

x−1dx, b)R √

2−x²dx, c)R _x

(3x−1)√

3x−1 dx, d)R _x

x+√ xdx, e) R ₄^x₊₁

2^x+1dx, f) R √

x²+ 2dx.

4. Johda osittaisintegroinnin avulla palautuskaavat a) R

sinⁿx dx=−_n¹ sinⁿ⁻¹xcosx+ ⁿ⁻¹_n R

sinⁿ⁻²x dx, n= 2,3, . . ., b) R

cosⁿx dx=−_n¹ cosⁿ⁻¹xsinx+ ⁿ⁻¹_n R

cosⁿ⁻²x dx,n = 2,3, . . ..