Aalto-yliopiston perustieteidel korkeakoulu Alestalo Matematiikan ja systeernianalyysin laitos
Mat-1.1332 Matematiikan peruskurssi KP3-II Tentti 17.12.2Ot2.
Tiiytii selviisti jokaiseen uastauspalteri'in kaikki otsaketiedot. Kokeessa ei saa kiiyttiiii laskimia eikd, erillisiii taulukoita.
1. Olkoon
^_lt zl
^- lz r)
a) ivliiiiritii hajotelmau A : LU matriisit .L ja U.
b) Orrko matriisilla A Cholesky-hajotelmaa? Perustele vastauksesi!
2. a) Pisteisiin (rr,yt), (rr,yr), (rs,ys) halutaan sovittaa pienimmiin nelirisumman suora g : a * bz. Merkittil;1t s: la,blT, joka on tuntematon. Selitii, miten tiima ougelma johtaa yhttil6ryhmiiS.n Ac : y, ja rnuodosta siin6, esiintyvii matriisi ,4.
b) Laske ylrtiilor'5'hrneir.
( x : o
I
{v:o l'+Y:z
pienimmiin neli<isumman ratkaisu.
3. a) Miiiirite differentiaaliyhtiildryhrniidn
( ,
) A t : r h + z A z
l u L - 2 n + 3 u z
liittywiin alkuarvotehtiiviin gr (0) : 2, Ur@) : -2 ratkaisu.
b) Mike on tasapainotilau (0,0) tylppi ja stabiilisuus?
4. Muurra differerrtiaaliyht alo ytt + A' - g2 - 0 ensirnnrliserr kertaluvutr rvhnrdksi ja laske luvun g(0,1) approksiniaatio kiiy'ttrimZillii Eulerin meneteln-riiii yhdellti, askeleella ja alkuarvoilla y(0) : 1, U'@) :2.
5. Muodosta seuraavien lausekkeiden Laplace-kiiiinteismuunnokset:
, s + l , . s
" ' ( s - 2 ) ( s
t 3 ) ' " ' s 2 + 8 s * 2 0 ' 6. Ratkaise Laplace-muunnokseu avulla differertiaaliyhtiilt)
y ' + 3 a : u ( t - 2 ) . k u n y ( 0 ) = S .
Td,ssd, Tz on Heavisidel askelfunktio.
Kiiiintiipuolella Laplace-rnuunnokseen liittyviri kaavoja
Laplace-muunnoksiin liittyviii kaavoja Miiiiritelmii: Annettu /(t), muunnos
F(s) : f,/(s) : [* f Q)"-": ar.
J o
Merkitiiiin z(t) : 11"uuit16en askelfunktio ja d(t) : Diracin delta-funktio.
Piitee:
(Ll)@: sF(s) - /(0), (Lf")('): s'r(s) - s/(0) - //(0),
( f t ' l j
c 1 I f?) dr|(s)::P1";.
t J o J J
ft
L(f * s) : @f)G.d, missa (/ * s)(t) : I J(t - r)s(r) dr : (s * f)(t);
J o
L{e"t J (t)Xs) : F (s - a)' L{u(t - a) f (t - o)X") : e-"" F (s).
Muunnoksia:
f(t
F s5 ( t - a
u l t - a e - ' l s
I
r / s
tn nll/ En+\
eo" I 1( " - a sin ol u f ( s " + w "
COS c.rf s
