Matematiikkalehti 3/2006 http://solmu.math.helsinki.fi/

3/2006

http://solmu.math.helsinki.fi/

Solmu 3/2006

ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) ISSN 1459-0395 (Painettu)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf H¨allstr¨omin katu 2b) 00014 Helsingin yliopisto

http://solmu.math.helsinki.fi/

P¨a¨atoimittaja:

Matti Lehtinen, dosentti, Maanpuolustuskorkeakoulu Toimitussihteerit:

Mika Koskenoja, tohtoriassistentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Antti Rasila, tutkija, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu

S¨ahk¨opostitoimitus@solmu.math.helsinki.fi Toimituskunta:

Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Aapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Ari Koistinen, FM, Helsingin ammattikorkeakoulu Stadia

Marjatta N¨a¨at¨anen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Tommi Sottinen, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Graafinen avustajaMarjaana Beddard

Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkil¨ot:

Virpi Kauko, yliopistonopettaja, virpik@maths.jyu.fi Jyv¨askyl¨an Avoin yliopisto

Jorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fi

Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopisto Jorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fi

Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopisto Kalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fi

Matematiikan laitos, Turun yliopisto

Matti Nuortio, opiskelija, mnuortio@paju.oulu.fi Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto Timo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fi

Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto

Numeroon 1/2007 tarkoitetut kirjoitukset pyyd¨amme l¨ahett¨am¨a¨an tammikuun 2007 loppuun menness¨a.

Kiit¨amme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.

Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sit¨a erikseen pyyt¨aneet. Toivomme, ett¨a lehte¨a kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.

Sis¨ allys

P¨a¨akirjoitus: Ajatuksia matematiikasta, sen opettamisesta ja soveltamisesta

(Lassi P¨aiv¨arinta ja Marjatta N¨a¨at¨anen) . . . . 4

Toimitussihteerin palsta: Matematiikkaa soveltamassa (Mika Koskenoja) . . . . 6

Maailman korkein vuori (Pekka Alestalo) . . . . 7

Fermat’n j¨aljill¨a (Timo Erkama) . . . . 10

Hypetyst¨a (Matti Lehtinen) . . . . 12

Mallinnusta ja tulvien ennustamista (Ari Koistinen) . . . . 15

Matematiikkaviikonlopun teht¨av¨at (Alex Hellsten ja Meeri Viljanen) . . . . 19

Pelej¨a ja teht¨avi¨a (Marjatta N¨a¨at¨anen). . . . 21

Survo-ristikot (Seppo Mustonen) . . . . 22

Vaikeita teht¨avi¨a Sloveniassa – Kansainv¨aliset matematiikkaolympialaiset 2006 (Matti Lehtinen) . . . . 24

Ratkaisu edellisen kerran teht¨av¨a¨an (Pekka Alestalo) . . . . 26

Ajatuksia matematiikasta, sen soveltamisesta ja opettamisesta

Lassi P¨aiv¨arinta, professori, jaMarjatta N¨a¨at¨anen, dosentti Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Helsingin yliopisto

Aina silloin t¨all¨oin tulee esiin kysymys siit¨a, miss¨a ja kenen toimesta matematiikan opettajien koulutus am- mattiinsa tulisi j¨arjest¨a¨a. Yhten¨aiseen peruskouluun siirtyminen on taas tuonut esiin vanhan ongelman siit¨a, onko opettajan parempi olla yleiskasvattaja vai opet- tamansa aineen asiantuntija.

Muutama vuosi sitten j¨arjestettiin LUMA-projektiin kuuluva kolmen maan yliopisto-opetuksen arviointi.

Hankkeeseen osallistuivat Suomi, Ruotsi ja Unkari, tar- koituksena oli arvioida opettajankoulutusta.

Unkari on perinteisesti tunnettu erinomaisena matema- tiikkamaana. Matematiikan opettajilla – ja heid¨an kou- luttajillaan – on ollut vahva matematiikan pohja. Ma- tematiikan didaktiikka on ollut oma arvostettu tieteen- haaransa, jolla on matematiikan erikoisesta luonteesta johtuvat erityispiirteens¨a. Kansainv¨aliset vertailut ovat viime aikoina kuitenkin osoittaneet matematiikan osaa- mistason selv¨a¨a laskua Unkarissa. Viel¨a vuonna 1991 IAEP-vertailussa Unkari ja Sveitsi olivat Euroopan parhaat maat, jotka eiv¨at j¨a¨aneet paljoa j¨alkeen Etel¨a- Koreasta ja Taiwanista. Viime vuosina on matematii- kan oppitunteja Unkarissa v¨ahennetty huomattavasti eik¨a matematiikan opettajiksi en¨a¨a ole yht¨a paljon ha- lukkaita opiskelijoita. Pisa-tutkimuksessa ker¨atyn taus-

tainformaation mukaan Unkari on maa, jossa yhteis- kunnallisista, taloudellisista ja kulttuuritekij¨oist¨a joh- tuva hajonta eri koulujen v¨alill¨a on suurimpia. Ha- jonta on kasvanut viime vuosina. Samanlainen koulu- tusj¨arjestelm¨an tason repe¨aminen on n¨akyviss¨a my¨os muissa ns. It¨a-Euroopan maissa. Syyn¨a ovat ensi sijas- sa resurssien leikkaukset.

Unkarilaisten perinteiselle matematiikan k¨aytt¨o- ja soveltamistaidolla on arvostusta. Esimerkiksi Nokia, Ericsson ja General Electric ovat perustaneet tutkimus- keskuksia Unkariin. Suomessakin on satoja unkarilaisia Nokialla t¨oiss¨a. Unkarin koulutusj¨arjestelm¨a on my¨os onnistunut, jos yhten¨a pyrkimyksen¨a on, ett¨a ainakin joku sen kasvateista saa korkeita tunnustuksia; Nobelin palkintoja on kahdeksan matemaattista pohjaa vaati- vissa luonnon- ja taloustieteiss¨a.

Unkarin nykysuuntaus tarjoaa varottavan esimerkin Suomelle siit¨a, miten helppoa ja nopeaa on p¨a¨ast¨a eroon korkeasta tasosta.

Suomessa matematiikan aineenopettajankoulutuksesta vastaavat yliopistojen ainelaitokset, k¨ayt¨ann¨oss¨a mate- matiikan laitokset, kun taas Ruotsissa opettajankoulu- tuslaitokset.Lassi P¨aiv¨arintakirjoitti opetusministeri-

P¨ a¨ akirjoitus

¨olle toimittamassaan Lundin yliopistoa koskevassa ar- vioinnissa, ett¨a h¨an pit¨a¨a Ruotsin k¨ayt¨ant¨o¨a ongel- mallisena. Ruotsin mallissa opettajaksi opiskelevan yh- teys matematiikan nykyp¨aiv¨an tilaan ja erityisesti sen uusiin merkitt¨aviin sovelluksiin katkeaa kokonaan.

Matematiikan sovellusten merkitys

Matematiikan sovellusten kirjo on viimeisten parin vuosikymmenen aikana r¨aj¨ahdysm¨aisesti laajentunut.

Vain uusimman tutkimuksen mukana pysyv¨at ainelai- tokset voivat antaa opettajiksi valmistuville edes vih- jauksen siit¨a, mihin kaikkiin ongelmiin matematiikkaa voidaan t¨an¨a p¨aiv¨an¨a soveltaa. Opettajat, joilla on t¨at¨a informaatiota, voivat v¨alitt¨a¨a uutta tietoa oppi- lailleen ja samalla merkitt¨av¨asti lis¨at¨a oppilaan moti- vaatiota opetella teoreettisia k¨asitteit¨a ja ty¨okaluja. On selv¨a¨a, ett¨a uusin kehitys erityisesti sovelletussa ma- tematiikassa luo my¨os aivan uusia haasteita yliopisto- opetuksessa, pari esimerkki¨a t¨ast¨a Lassi P¨aiv¨arinnan tutkimusalueelta:

Mikrokosmos ja makrokosmos

Ihmisen ikiaikaisiin toiveisiin on kuulunut n¨ahd¨a kauas ja syv¨alle – n¨ahd¨a esineiden ja asioiden sis¨alle. Mik- roskoopin ja kaukoputken keksiminen avasi ihmiselle kaksi uutta maailmaa – mikrokosmoksen ja makrokos- moksen. Tietokonetomografia, magneettikuvaus ovat mullistaneet l¨a¨aketieteellisen diagnostiikan. Toisin kuin mikroskooppi ja kaukoputki n¨am¨a uudet laitteet eiv¨at perustu en¨a¨a suoraan havaintoon vaan mittauksiin ja matemaattisiin teorioihin; niiss¨a kaikissa on kysymys ns. k¨a¨anteisist¨a eli inversio-ongelmista.

Inversio-ongelmat

Ongelmaa nimitet¨a¨an suoraksi, jos siin¨a edet¨a¨an luon- nonlakien mukaisesti syist¨a seurauksiin ja tehd¨a¨an ennusteita, kun l¨aht¨okohta tunnetaan. Inversio- ongelmissa edet¨a¨an toiseen suuntaan: inversio- ongelmassa tehd¨a¨an mittauksia, joiden avulla py- rit¨a¨an selvitt¨am¨a¨an, ”n¨akem¨a¨an”, tuntemattomat koh- teet. T¨am¨a vaatii aivan uudenlaisen matematiikan ke- hitt¨amist¨a.

Ensimm¨ainen esimerkki on edell¨a mainittu tietokone- tomografia. Siin¨a kohdetta valaistaan useista suunnas- ta tulevilla r¨ontgens¨ateill¨a ja mitataan kohteen l¨api tulleiden s¨ateiden voimakkuudet. T¨ast¨a tiedosta tulee m¨a¨ar¨at¨a kohteen rakenne. Ongelma johtaa matemaat- tiseen kysymykseen, jonka it¨avaltalainen Johann Ra- don (1887–1956) ratkaisi jo vuonna 1917. T¨am¨a on

yksi monista esimerkeist¨a siit¨a, miten hy¨odytt¨om¨alt¨a n¨aytt¨av¨a puhtaan matematiikan tutkimusty¨o johtaa my¨ohemmin v¨alitt¨om¨a¨an k¨ayt¨ann¨on hy¨otyyn.

Impedanssitomografia

Keuhkoveritulppa on esimerkiksi leikkausten yhtey- dess¨a esiintyv¨a yleinen ja usein vaarallinen j¨alkiseuraus.

Valitettavasti nykyinen diagnostinen menetelm¨a on monimutkainen ja perustuu siihen, ett¨a potilas ensin hengitt¨a¨a radioaktiivista kaasua. Sen j¨alkeen vereen ruiskutetaan viel¨a radioaktiivista nestett¨a. T¨all¨a me- netelm¨all¨a saadaan kuva niist¨a osista keuhkoja, joissa veri kiert¨a¨a ja toisaalta hengitysilma kiert¨a¨a. Alueet, joissa ilma kulkee, muttei veri, viittaavat veritulppaan.

Toinen tapa m¨a¨aritt¨a¨a kaasun ja veren virtaus keuh- koissa on pyrki¨a ulkoisin mittauksin m¨a¨ar¨a¨am¨a¨an (ajasta riippuva) keuhkojen s¨ahk¨oinen johtavuusjakau- ma. Ilma, veri ja lihaskudos eroavat merkitt¨av¨asti s¨ahk¨onjohtavuudeltaan. Veress¨a on mm. hemoglobii- nia, jossa on rautaa ja se on siten hyvin s¨ahk¨o¨a joh- tavaa. Menetelm¨an t¨allaisen tilanteen tutkimiseen tar- joaa s¨ahk¨oinen impedanssitomografia.

Matematiikan opetuksesta

L¨ansimaissa on matematiikan opetuksessa t¨all¨a het- kell¨a voimakkaana suuntauksena ongelmanratkaisu.

T¨am¨an suuntauksen soveltamisessa on mielest¨amme suurena vaarana, etteiv¨at ongelmat liity toisiinsa eik¨a n¨ain siis konstruoida matematiikan rakennetta. Vaara- na voi olla, ett¨a hypit¨a¨an aiheesta toiseen. Yksitt¨ainen ongelma voi olla sin¨ans¨a mielenkiintoinen ja sopia hy- vin vaikka kilpailuteht¨av¨aksi. T¨all¨oin oppilaalla on kyl- liksi aikaa mietti¨a ongelmaa.

Keskeisen n¨ak¨okohdan matematiikan opetuksessa muo- dostavat matematiikan sis¨aiset ja muihin oppiaineisiin liittyv¨at yhteydet. N¨aiden, sek¨a matematiikan sovellus- ten tunteminen on opettajalle eritt¨ain t¨arke¨a¨a, jotta h¨an voi perustella matematiikan merkityst¨a ja her¨att¨a¨a oppilaiden mielenkiintoa ainetta kohtaan.

Miten voimme taata, ett¨a Suomi pysyy mukana kehityksess¨a ja kenties jollain alalla jopa tieteen eturintamassa? Koulutuksen tason s¨ailytt¨aminen on v¨altt¨am¨at¨on edellytys, opettajankoulutus ja koulujen toimintaedellytysten turvaaminen ovat avainasemassa.

Emme n¨ae matematiikan opettajan koulutuspaikaksi muuta vaihtoehtoa kuin matematiikan kehityksen ja tutkimuksen tasalla pysyttelem¨a¨an pyrkiv¨at ainelaitok- set.

P¨ a¨ akirjoitus

Matematiikkaa soveltamassa

Solmun t¨am¨ankertaisen numeron useissa kirjoituk- sissa toistuva teema on matematiikan soveltaminen.

P¨a¨akirjoituksessa tuodaan esille matematiikan sovel- lusten tuntemisen t¨arkeys opettajan ty¨oss¨a. Ajanviet- teeksi tarkoitettujen Survo-ristikoiden ratkaiseminen edellytt¨a¨a k¨arsiv¨allisyyden lis¨aksi selke¨a¨a matemaat- tista ajattelua, ja Survo-ristikoiden laadinnassa ma- temaattiset ohjelmistot ovat korvaamaton apuv¨aline.

Maailman korkeimman vuoren selvitt¨aminen vaatii korkeampaa matematiikkaa ja vesist¨ojen tulvahuippu- jen ennustaminen matemaattisia malleja, kuten voitte lukeaPekka AlestalonjaAri Koistisenkirjoituksista.

Koska modernia matematiikkaa ja sen menetelmi¨a ei voi edes tyydytt¨av¨asti omaksua lyhyess¨a ajassa, muut tieteenalat ja muuten ulkopuoliset tahot voivat n¨ahd¨a matematiikan arvon usein vain sovellusten kautta. Ma- tematiikalle ja sen opetukselle onkin eritt¨ain t¨arke¨a¨a, ett¨a kuka tahansa voi saada kosketuksen matematiik- kaan itselleen tuttujen asioiden kautta.

On kuitenkin huolehdittava my¨os siit¨a, ettei suurelle yleis¨olle p¨a¨ase syntym¨a¨an v¨a¨ar¨a¨a mielikuvaa matema- tiikasta pelkk¨an¨a soveltamisena. Historia on osoitta- nut, ett¨a kauniille ja puhtaille teorioille l¨oytyy usein yll¨att¨avi¨a ja ennalta arvaamattomia sovelluksia, sel- laisiakin, joita teorioiden kehitt¨aj¨at eiv¨at ole voi- neet mitenk¨a¨an kuvitella (kuten vaikkapa lukuteorian k¨aytt¨o salausalgoritmeissa). Timo Erkaman kirjoitus

”Fermat’n j¨alkeen” on mainio esimerkki aiheesta, jo-

hon ei ensimm¨aiseksi tule liitt¨aneeksi vaatimuksia ar- kiel¨am¨a¨an soveltamisesta.

* * *

Viime viikkoina on sanomalehtien mielipideosastoil- la ollut useita kirjoituksia lahjakkaiden opetuksen j¨arjest¨amisest¨a. Omakohtaisen kokemuksen kautta hy- vin perustellun kannanoton aiheesta esitti Espoon Ola- rin koulun ja lukion matematiikka- ja luonnontiedelin- jan johtaja ja apulaisrehtoriMaija Flinkmankirjoituk- sessaan ”Nopeimmin oppiville heid¨an lahjakkuuttaan tukevia ryhmi¨a” (HS 20.9.2006, http://solmu.math.hel- sinki.fi/2005/erik/MaijaF.html). Keskustelua ovat jat- kaneet mm. professoriKari Uusikyl¨aHelsingin yliopis- tosta (”Emme tarvitse omia kouluja lahjakkaita var- ten”, HS 26.9.2006) ja dosentti George Malaty Joen- suun yliopistosta (”Matemaattisesti lahjakas lapsi kai- paa my¨os erityiskasvatusta”, HS 8.10.2006, http://sol- mu.math.helsinki.fi/2005/erik/GeorgeM.html).

European Council for High Ability (ECHA) j¨arjesti vastik¨a¨an Lahdessa kansainv¨alisen lahjakkuuskonfe- renssin, jonka puheenjohtaja professoriKirsi TirriHel- singin yliopistosta mainitsee lahjakkuuden kiinnosta- van, siit¨a kertoo konferenssin synnytt¨am¨a suuri artik- kelim¨a¨ar¨a. Konferenssin aiheisiin voi perehty¨a verkkosi- vulla http://www.palmenia.helsinki.fi/congress/echa/

tai Opettaja-lehden 40/2006 (6.10.2006) artikkelista

”Lahjakkuutta on voitava tukea”.

Mika Koskenoja

Toimitussihteerin palsta

Maailman korkein vuori

Pekka Alestalo Teknillinen korkeakoulu

Maailman korkein vuori on Mount Everest Nepalissa – kaikkihan sen tiet¨av¨at. Korkeus 8 848 m ja sill¨a selv¨a.

Olkoon niin – mutta mill¨a perusteella?

Vuorten ja muun maanpinnan korkeutta mitataan ylei- sesti hyv¨aksytyn periaatteen mukaisesti merenpinnan tasosta laskien. M¨a¨aritelm¨an mukaan merenpinta on siis korkeudella 0 m. Mutta miss¨a t¨am¨a kuuluisa me- renpinnan taso oikein sijaitsee, ja mit¨a merkityst¨a sill¨a on vuorten korkeuteen? Kysymys ei ole aivan yksinker- tainen, ja monille voi tulla yll¨atyksen¨a esimerkiksi se, ettei Mount Everestin huippu olekaan se Maan pinnan piste, joka on kauimpana Maan keskipisteest¨a!

Merenpinta

Miss¨a siis sijaitsee merenpinnan taso? Hankala kysy- mys: merivirrat ja tuuli ty¨ont¨av¨at vett¨a ep¨atasaisesti eri puolille Maapallon meri¨a, ne synnytt¨av¨at valta- via aaltoja, ja tilannetta sekoittaa viel¨a lis¨a¨a joissa- kin paikoissa yli kymmenmetrinen vuoroveden vaihte- lu. Lis¨aksi huomattava osa Maasta on merenpinnan yl¨apuolella, eik¨a merta ole kaikkialla edes n¨akyviss¨a.

Ongelman ydin ei kuitenkaan ole yll¨a mainituissa il- mi¨oiss¨a, joiden vaikutus muutenkin on korkeintaan pa- rikymment¨a metri¨a. Merenpinnan korkeutta voidaan mitata eri puolilla maailmaa s¨a¨ann¨ollisin v¨aliajoin, ja niist¨a keskiarvoja laskemalla satunnaisten (tuuli ja aal- lot) ja s¨a¨ann¨ollisten (merivirrat ja vuorovesi) ilmi¨oiden

vaikutus voidaan melko hyvin poistaa. N¨aiden toimen- piteiden j¨alkeen paljastuu kuitenkin ongelman todel- linen luonne: merenpinnan 0-tasoksi eri puolilla maa- ilmaa saatuja pisteit¨a ei voi sijoittaa pallon pinnalle, mik¨a est¨a¨a mm. jatkamasta merenpinnan tasoa yksin- kertaisella tavalla mantereiden kohdalle. Vaikka me- renpintaa yritett¨aisiin siit¨a huolimatta kuvata pallolla mahdollisimman hyvin (jossakin mieless¨a), niin osoit- tautuu, ett¨a tulos poikkeaa havainnoista jossakin p¨ain meri¨a yli 10 km. Kun korkeimmatkin vuoret ovat alle 10 km ”korkeita”, ei n¨ain suurta virhett¨a voida tietenk¨a¨an hyv¨aksy¨a.

Ellipsoidi

Tilanteen pelastaa pallon pintaa hieman monimutkai- sempi kolmiulotteinen olio: ellipsoidi. Ellipsoidin kak- siulotteinen vastine on ellipsi, joka saadaan ympyr¨ast¨a venytt¨am¨all¨a sit¨a tasaisesti kahteen toisiaan vastaan kohtisuoraan suuntaan. Jos siis l¨ahdet¨a¨an liikkeelle yk- sikk¨oympyr¨ast¨a

x²+y²= 1,

ja muuttujaaxvenytet¨a¨an kertoimellaa >0 ja vastaa- vasti muuttujaaykertoimellab >0, niin uusien muut- tujien X = ax, Y = by avulla lausuttuna ympyr¨an yht¨al¨ost¨a saadaan ellipsin yht¨al¨o

X² a² +Y²

b² = 1.

Samaa periaatetta voidaan soveltaa yksikk¨opallon pin- taan

x²+y²+z²= 1,

joka siis esitt¨a¨a niiden pisteiden (x, y, z) joukkoa, joi- den et¨aisyys origosta on t¨asm¨alleen 1. VenytystenX = ax, Y =by, Z=cz j¨alkeen tuloksena on yht¨al¨o

X² a² +Y²

b² +Z² c² = 1,

ja vastaava venytetty pallo on nimelt¨a¨an ellipsoidi. Ker- toimiaa, b, c kutsutaan (ellipsi¨a mukaillen) puoliakse- leiden pituuksiksi. Erikoistapauksessa a = b kyseess¨a on py¨or¨ahdysellipsoidi, joka syntyy tavallisenxz-tason ellipsin (puoliakselien pituudetajac) py¨or¨aht¨aess¨az- akselin ymp¨ari.

Osoittautuu, ett¨a nimenomaan py¨or¨ahdysellipsoidi kuvaa jossain mieless¨a parhaiten merenpinnan muotoa. Fysikaalinen syy liittyy tietysti Maan py¨orimisliikkeeseen, mutta sen tutkiminen ei kuulu t¨am¨an kirjoituksen piiriin. Alkuper¨ainen teht¨av¨amme–

merenpinnan tason m¨a¨ar¨a¨aminen–palautuu siihen, ett¨a on annettava mahdollisimman hyvin mittauksia vas- taavat lukuarvot puoliakseleiden pituuksilleajacsek¨a kiinnitett¨av¨a koordinaatisto. Merenpinnan taso on sil- loin, m¨a¨aritelm¨an mukaan, t¨am¨an ellipsoidin pinnal- la, ja sit¨a kutsutaan vertailuellipsoidiksi. T¨am¨ak¨a¨an seikka ei ole aivan yksinkertainen; eri aikoina ja eri puolilla maailmaa on ollut k¨ayt¨oss¨a monenlaisia valin- toja n¨aiden parametrien suhteen. Viime aikoina tilanne on kuitenkin standardisoitunut niin, ett¨a puoliakselin a pituudeksi on valittu a = 6378,1370 km ja toinen puoliakseli c m¨a¨ar¨aytyy ellipsoidin litistyneisyydelle f = 1−c/am¨a¨ar¨atyst¨a arvostaf = 1/297,257223563.

T¨all¨oin siis

c= (1−f)a≈6356,7523 km.

Suomessakin siirryttiin ¨askett¨ain t¨am¨an standardin pii- riin, mik¨a paransi mm. GPS-paikannuslaitteiden toi- mintatarkkuutta (tai ainakin helpotti tarkemman tu- loksen m¨a¨aritt¨amist¨a).

Huomaamme joka tapauksessa, ett¨a puoliakseleiden pi- tuudet erovat toisistaan yli 20 kilometrill¨a, joten napa- alueilla merenpinta on t¨am¨an verran l¨ahemp¨an¨a keski- pistett¨a kuin p¨aiv¨antasaajalla.

Korkeampaa matematiikkaa

Palataan maantieteeseen ja siihen, miten yll¨a oleva liittyy vuorten korkeuksiin. Haluamme erityisesti sel- vitt¨a¨a, mik¨a paikka Maapallolla on kauimpana keski- pisteest¨a, ja onko se samalla my¨os korkeimmalla me- renpinnasta. Vuorten korkeudet (merenpinnan tasos- ta!) l¨oytyv¨at kartastoista, mutta et¨aisyydet keskipis- teest¨a jodumme laskemaan itse.

Py¨or¨ahdyssymmetrian vuoksi tilanne palautuu kaksiu- lotteiseksi, ja laskemme aluksi, kuinka kaukana ellipsin piste on origosta, kun puoliakseleiden pituudet ovataja c, ja pisteen paikkavektori muodostaax-akselin kanssa kulmanα. Maapallon tapauksessa kulmaαtarkoittaa p¨aiv¨antasaajalta mitattua leveysastetta.

Tutkittava ellipsin piste (x, z) toteuttaa siis yht¨al¨oparin (

x²

a² +^z_c2² = 1 z=xtanα.

c

a

x

z z = x tanα

α r

Jos rajoitumme symmetrian vuoksi tapaukseen x ≥ 0, z ≥ 0, niin yht¨al¨olle saadaan yksik¨asitteinen rat- kaisu sijoittamalla z toisesta yht¨al¨ost¨a ensimm¨aiseen.

Tulokseksi saadaan

(x=x(α) =^√_c2+a^ac_2tan2α z=z(α) = ^√_c2^ac_+a^tan_2tan^α_2α.

Kyseisen pisteen et¨aisyys origosta on siis toiseen koro- tettuna

r(α)²=x(α)²+z(α)²=a²c²(1 + tan²α) c²+a²tan²α . K¨aytt¨am¨all¨a kaavaa 1 + tan²α= 1/cos²αsaadaan lo- pulta symmetriselt¨a n¨aytt¨av¨a muoto

r(α) = ac

pa²sin²α+c²cos²α.

Ja sitten vain laskemaan: Mount Everestilleα= 27^◦59⁰ N, joten sen huipun et¨aisyys keskipisteest¨a on suunnil- leen (vrt. teht¨av¨a 3 alla)

r(27,983^◦) + 8,848 km≈6382,3 km.

T¨am¨an j¨alkeen her¨a¨a kysymys, voisiko jonkin ”mata- lamman”, mutta l¨ahemp¨an¨a p¨aiv¨antasaajaa sijaitsevan vuorenhuipun et¨aisyys olla yll¨a laskettua suurempi?

Vastaus selvi¨a¨a vain kokeilemalla, ja esimerkiksi Equa- dorista l¨oytyy Chimborazo-niminen vuori, jonka kor- keus on 6 310 m ja leveysaste vain 1^◦27⁰ S. Huipun et¨aisyys keskipisteest¨a on siis

r(1,450^◦) + 6,310 km≈6384,4 km.

Mutta t¨am¨ah¨an on yli 2 km suurempi kuin Mount Eve- restin huipulle!

Lis¨atutkimukset eiv¨at muuta en¨a¨a tilannetta: maksimi saavutetaan Chimborazon kohdalla, ja t¨ass¨a mieless¨a sekin on siis ansainnut maailman korkeimman vuoren nimen. Itse asiassa Himalajan alue oli viel¨a kaksisa- taa vuotta sitten niin huonosti tunnettu, ett¨a v. 1802 Chimborazon valloitusta yritt¨aneen tutkimusmatkailija Alexander von Humboldtinaikoihin sit¨a pidettiin maa- ilman korkeimpana vuorena. Chimborazon huipun val- loitti ensimm¨aisen¨a (eurooppalaisena)Edward Whym- per v. 1880.

Chimborazo (Heikki Apiola2006)

Teht¨ avi¨ a

1. Kuinka paljon Haltin (1 328 m, 69^◦18⁰ N) etumat- ka kutistuu esim. Taivaskeroon (807 m, 68^◦04⁰ N) verrattuna, jos tarkastellaan huippujen et¨aisyytt¨a Maan keskipisteest¨a?

2. Vertaa Kilimanjaron (5 895 m, 3^◦04⁰ S) huipun et¨aisyytt¨a Chimborazon ja Mount Everestin arvoi- hin.

3. Kuinka paljon merenpinnan taso l¨ahestyy Maan kes- kipistett¨a, kun siirryt¨a¨an yksi aste pohjoiseen a) p¨aiv¨antasaajalta; b) Helsingist¨a (n. 60^◦ N)?

4. (Vaikeampi?) Vuorten korkeus mitataan kohtisuo- raan vertailuellipsoidin pinnasta, mutta Maan keski- pisteest¨a vertailuellipsoidille tuleva jana ei ole koh- tisuorassa ellipsoidia vastaan muualla kuin navoil- la ja p¨aiv¨antasaajalla. T¨am¨an vuoksi yll¨a lasketut et¨aisyyksien summat olisi pit¨anyt k¨asitell¨a tarkem- min kolmioiden avulla. Osoita esim. Mount Everes- tin tapauksessa, etteiv¨at tulokset poikkea olennai- sesti toisistaan.

5. (Pohdiskelua) Kun vuorikiipeilij¨oiden tavoitteena on kiivet¨a mahdollisimman korkeille (merenpinnasta mitattuna) vuorille, niin eik¨o liikkeelle pit¨aisi my¨os l¨ahte¨a k¨avellen meren rannalta? Onko Base Camp -kiipeily moraalisesti arvelluttavaa?

Fermat’n j¨ alkeen

Timo Erkama Professori

Fysiikan ja matematiikan laitos, Joensuun yliopisto Timo.Erkama@joensuu.fi

Tieteen popularisointi on joskus vaikeaa, ja matematii- kassa se on erityisen vaikeaa. Modernin matematiikan kieli on nimitt¨ain siin¨a m¨a¨arin mutkikasta, ett¨a alan ammattilaistenkaan ei ole aina helppoa ymm¨art¨a¨a tois- tensa tutkimustuloksia.

Silloin t¨all¨oin p¨a¨asev¨at tiedotusv¨alineet kuitenkin se- lostamaan yleis¨olle sellaista uutta matematiikkaa, jos- sa ainakin kysymyksenasettelun k¨asitt¨amiseen riitt¨av¨at pelk¨at peruskoulutiedot. Esimerkiksi viime vuosikym- menell¨a her¨atti laajaa huomiota ns. Fermat’n suuren lauseen todistus, jonka mukaan yht¨al¨oll¨a

aⁿ+bⁿ =cⁿ (1)

voi olla positiivisia kokonaislukuratkaisuja vain josn≤ 2. Tapausn= 2 liittyy Pythagoraan lauseeseen, jonka yhteydess¨a moni koululainen on tullut tarkastelleeksi suorakulmaista kolmiota, jonka sivujen pituudet ovat kokonaisluvut 3, 4 ja 5; t¨all¨oinh¨an yht¨al¨o (1) toteutuu muodossa 3²+ 4² = 5². Sen sijaan kysymys positii- visten kokonaislukuratkaisujen olemassaolosta arvoilla n≥3 oli askarruttanut matemaatikkoja yli 300 vuotta, kunnes mm. algebrallisessa geometriassa saavutettujen edistysaskelten ansiosta t¨am¨a jo 1600-luvulla esitetty ongelma lopulta ratkesi.

Ongelman esitt¨aj¨a ranskalainen Pierre de Fermat (1601–1665) oli matemaatikkona oikeastaan harrasteli-

ja, koska h¨an ansaitsi toimeentulonsa laki- ja virkamie- hen¨a. H¨anen j¨alkeens¨a sadat harrastelijat ovat turhaan yritt¨aneet keksi¨a ongelmalle sellaista ”ihmeellist¨a” rat- kaisua, jonka jo Fermat kirjoitti l¨oyt¨aneens¨a mutta jota ei ole s¨ailynyt j¨alkipolville. Into t¨allaisen alkeellisen rat- kaisun hakemiseen saattaa tosin olla hiipumassa, kos- ka itse ongelmaa pidet¨a¨an nyky¨a¨an jo ratkaistuna. Sen vuoksi haluaisin t¨ass¨a esitell¨a hypoteesin, joka on edel- leen todistamatta mutta joka monessa suhteessa muis- tuttaa Fermat’n ongelmaa tarjoamalla haasteen my¨os amat¨o¨orille.

Olkoon P(x) = x²+r toisen asteen polynomi, miss¨a vakiotermi r on jokin reaaliluku. Merkit¨a¨an yhdistet- ty¨a kuvaustaP◦P symbolillaP⁽²⁾, kuvaustaP◦P◦P symbolilla P⁽³⁾ jne; siis P⁽²⁾(x) = (x² +r)²+r on nelj¨annen asteen, P⁽³⁾(x) = ((x²+r)²+r)²+r kah- deksannen asteen polynomi jne.

Lukusuoran piste xon polynominP jaksollinen piste, jos on olemassa positiivinen kokonaislukunsiten, ett¨a P⁽ⁿ⁾(x) =x. Pienint¨a t¨allaista kokonaislukuankutsu- taanx:n jaksoksi, jolloin lukujen x, P(x),P⁽²⁾(x),. . . , P⁽ⁿ⁻¹⁾(x) joukko onP:n n-sykli.

Esimerkiksi luku 0 on polynomin P(x) = x²−1 jak- sollinen piste, sill¨a P(0) =−1 jaP(−1) = 0. Siis lu- vut 0 ja −1 muodostavat polynomin P 2-syklin. Vas- taavasti luvut ⁵₄, −¹₄ ja −⁷₄ muodostavat polynomin

P(x) =x²−²⁹₁₆3-syklin, sill¨aP(⁵₄) =−¹₄,P(−¹₄) =−⁷₄ jaP(−⁷₄) =⁵₄.

N¨aiss¨a kahdessa esimerkiss¨a syklin kaikki pisteet olivat rationaalilukuja, siis muotoa ^p_q miss¨a p ja q ovat ko- konaislukuja. T¨allaista sykli¨a kutsutaanrationaaliseksi sykliksi. Avoin ongelmamme kuuluu nyt seuraavasti.

Hypoteesi 1.Polynomilla P(x) =x²+rei ole ratio- naalisian-syklej¨a, josn≥4.

T¨am¨a hypoteesi on toistaiseksi todistettu vain arvoilla n = 4 ja n = 5. Todistukset julkaistiin viime vuosi- kymmenen lopulla, ja varsinkin arvollan= 5 k¨aytetyt menetelm¨at olivat syv¨allisi¨a.

Miten sitten matematiikan harrastelija voisi l¨ahesty¨a t¨am¨ankaltaista ongelmaa? Esimerkin tarjoaa seuraava lause, joka puolestaan on erikoistapaus er¨a¨ast¨a lukio- laisten matematiikkaolympialaisten teht¨av¨ast¨a. Luki- jamme voi kokeilla matemaattisia kynsi¨a¨an etsim¨all¨a lauseelle omaa todistustaan ennen kuin lukee kirjoitus- ta eteenp¨ain.

Lause 1.PolynomillaP(x) =x²+rvoi olla kokonais- luvuista koostuvan-sykli vain, josn≤2.

Todistus. Olkoon {x0, x1, . . . , xn−1} polynomin P n- sykli siten, ett¨a P(x0) = x1, P(x1) = x2, . . ., P(xn−1) = x0 ovat kokonaislukuja. Voidaan olettaa, ett¨an≥2, jolloinx1−x06= 0. Silloin

x2−x1=x²₁+r−(x²₀+r) = (x1+x0)(x1−x0)6= 0, x3−x2=x²₂+r−(x²₁+r) = (x2+x1)(x2−x1)6= 0 jne. Huomataan siis, ett¨ax2−x1=m1(x1−x0), miss¨a m1=x1+x0on kokonaisluku,x3−x2=m2(x2−x1), miss¨a m2 =x2+x1 on kokonaisluku jne. Kertomalla n¨am¨a yht¨al¨ot puolittain saadaan

(x2−x1)(x3−x2)· · ·(x0−xn−1)(x1−x0)

=m1m2· · ·mn(x1−x0)(x2−x1)· · ·(x0−xn−1), ja supistusten j¨alkeen m₁m₂· · ·m_n = 1. Koska m1, . . . , mn ovat kokonaislukuja, t¨am¨a on mahdol- lista vain jos mi = ±1 kaikille i. Lis¨aksi jollakin i:n arvolla tulee olla mi = −1, sill¨a muuten lu- vut x0, x1, . . . , xn−1, x0 muodostaisivat aritmeettisen jonon, jossa per¨akk¨aisten lukujen erotus on vakio.

T¨allaisen kasvavan tai v¨ahenev¨an jonon ensimm¨ainen ja viimeinen luku eiv¨at tietenk¨a¨an voi olla samoja. Siis

jollakin i:n arvollami =−1, josta seuraa xi+1−xi =

−(xi−xi−1) ja edelleenxi+1=xi−1. Kysymyksess¨a on

siis 2-sykli. ¤

Vaativamman haasteen amat¨o¨orille tarjoaa seuraava aiemmin julkaisematon lause, jonka todistus on liian pitk¨a t¨ass¨a esitett¨av¨aksi.

Lause 2. Olkoon {x0, . . . , xn−1} polynomin P(x) = x²+rrationaalinenn-sykli. Silloin on olemassa koko- naisluvutp0, . . . , pn−1 jaqsiten, ett¨a mill¨a¨an kahdella n¨aist¨a kokonaisluvuista ei ole yhteisi¨a alkutekij¨oit¨a ja x_i=p_i/q kaikillei= 0, . . . , n−1.

Mit¨a yhteist¨a sitten on hypoteesilla 1 ja Fermat’n probleemalla?Algebrallisella k¨ayr¨all¨atarkoitetaan sel- laista tason pistejoukkoa, jonka muodostavat jonkin kahden muuttujan polynominQ(x, y) nollakohdat. Esi- merkiksi yksikk¨oympyr¨a on algebrallinen k¨ayr¨a, sill¨a se koostuu polynomin Q(x, y) = x² +y² −1 nolla- kohdista. Samoin koulusta tutut ellipsi, paraabeli ja hyperbeli ovat t¨allaisia algebrallisia k¨ayri¨a; polynomia Q(x, y) =x²−y vastaa paraabeliy=x²jne. Algebral- lisen k¨ayr¨an pistett¨a (x, y) sanotaanrationaaliseksipis- teeksi, jos sen koordinaatit ovat rationaalilukuja.

Fermat’n ongelmassa on oikeastaan kysymys polyno- min Q(x, y) = xⁿ +yⁿ − 1 m¨a¨ar¨a¨am¨an algebralli- sen k¨ayr¨an rationaalisten pisteiden etsimisest¨a: jokai- nen yht¨al¨on (1) positiivisista kokonaisluvuista koostu- va ratkaisu m¨a¨arittelee nimitt¨ain t¨allaisen rationaali- sen pisteen (^a_c,^b_c). Tapauksessan= 2 rationaalisia pis- teit¨a l¨oytyy ¨a¨aret¨on m¨a¨ar¨a, ja ne sijaitsevat kaikki yk- sikk¨oympyr¨an keh¨all¨a. My¨os arvoilla n≥3 l¨oytyy ra- tionaalisia pisteit¨a x- ja y-akseleilta, mutta niist¨a ei saada yht¨al¨olle (1) positiivista kokonaislukuratkaisua.

Hypoteesissa 1 puolestaan etsit¨a¨an rationaalisia pis- teit¨a polynomin Q(x, r) = P⁽ⁿ⁾(x)−x m¨a¨ar¨a¨am¨alle algebralliselle k¨ayr¨alle, miss¨a muuttujan y paikalla on nyt polynominP vakiotermir. Teht¨av¨a n¨aytt¨a¨a aluksi hankalammalta kuin Fermat’n probleema, sill¨a suurilla n:n arvoilla polynominP⁽ⁿ⁾(x) lauseke on monimutkai- nen. Ongelman tarkempi analyysi paljastaa kuitenkin rakenteita, joiden systemaattinen tutkiminen on vasta alussa ja saattaa johtaa edistysaskeliin muillakin mate- matiikan tai sovelletun matematiikan osa-alueilla.

Tulevaisuus n¨aytt¨a¨a, tarvitaanko hypoteesin 1 ratkai- semiseen viel¨a 300 vuotta ja osallistuuko siihen kenties joku t¨am¨an lehden lukijoista.

Hypetyst¨ a

Matti Lehtinen Dosentti

Maanpuolustuskorkeakoulu

Funktiolaskimissa, esimerkiksi omistamassani korrup- tiolahjassa, l¨ahes kymmenen vuotta vanhassa ja uute- na vain noin 50 markan arvoisessa Shrap EL-531:ss¨a, on n¨app¨ain, joka on merkitty hyp. Kun sit¨a painaa ennen trigonometristen funktioiden sin, cos tai tan n¨app¨aily¨a, saa n¨ayt¨olle lukuja, jotka selv¨astik¨a¨an eiv¨at ole trigo- nometristen funktioiden arvoja. Esimerkiksi n¨app¨aily

”hyp”, ”sin”, ”π” tuottaa n¨ayt¨olle luvun 11,55, joka ei ainakaan ole sin(π).

M¨ a¨ aritelm¨ at

”Hyp-funktiot” ovathyperbolisia funktioita. Niiden ni- met ovat trigonometristen funktioiden kaltaisia, eteen vain laitetaan sanahyperbolinen. Funktiot eiv¨at ole mi- tenk¨a¨an eksoottisia. Itse asiassa nimitykset ovat tur- hia, sill¨a hyperbolisten funktioiden sijasta voidaan ai- na k¨aytt¨a¨a eksponenttifunktiotax7→e^xeli exp(x). Hy- perbolisen sinin, kosinin ja tangentin eli funktiot sinh, cosh ja tanh m¨a¨arittelev¨at kaavat

sinhx= 1 2

¡e^x−e^−x¢

, coshx= 1 2

¡e^x+e^−x¢ , tanhx= e^2x−1

e^2x+ 1.

– Jos hienostella halutaan, funktioden nimet voidaan lukea latinaksi: sinus hyperbolicus, cosinus hyperbo- licus, mutta tangens hyperbolica. Latinassa adjektiivin

muodon m¨a¨ar¨a¨a p¨a¨asanan suku, jatangens sattuu ole- maan feminiini.

K¨ a¨ anteisfunktiot

M¨a¨arittelykaavoista voidaan heti tehd¨a muutama ha- vainto. sinhx on pariton ja coshx parillinen funktio:

sinh(−x) =−sinhxja cosh(−x) = coshx. Koska 1

2(e^x+e^−x) =1 2

µ³

e^x/2−e^−x/2

´₂ + 2

¶ , coshx≥ 1 kaikilla x. Jos 0 ≤ x < y, niin 2(sinhy− sinhx) = (e^y−e^x) + (e^−x−e^−y). Koska eksponentti- funktio on kasvava, niin sinh on kasvava funktio positii- visten lukujen joukossa ja parittomuutensa takia koko reaalilukujen joukossa.

Jos edelleen oletetaan 0≤x < y, voidaan laskea 2(coshy−coshx) =e^y−e^x+e^−y−e^−x

= (1−e^−(x+y))(e^y−e^x)>0, koska e^−(x+y) < 1, kun x+y > 0. Funktio cosh on siis kasvava positiivisten lukujen joukossa. tanh- funktion m¨a¨arittelykaavasta n¨ahd¨a¨an heti, ett¨a funktio on kasvava ja ett¨a−1 <tanhx <1 kaikilla x. N¨aist¨a havainnoista seuraa, ett¨a funktioilla sinh ja tanh on k¨a¨anteisfunktiot ja ett¨a ei-negatiivisten lukujen jouk- koon rajoitetulla cosh-funktiolla on k¨a¨anteisfunktio.

K¨a¨anteisfunktioiden lausekkeet saadaan ratkaisemalla yht¨al¨ot

y= 1

2(e^x−e^−x), y=1

2(e^x+e^−x), y= e^2x−1 e^2x+ 1. Yht¨al¨oist¨a ensimm¨ainen sievenee muotoon

e^2x−2ye^x−1 = 0.

Yht¨al¨o on tuntemattomane^xtoisen asteen yht¨al¨o. Rat- kaisukaavan mukaan on siis

e^x=y±p y²+ 1.

Koskae^x>0, vain +-merkki tulee kyseeseen. Yht¨al¨on y= sinhxratkaisu on siis

x= ln

³ y+p

x²+ 1

´ .

Yht¨al¨o

y= coshx= 1

2(e^x+e^−x), y≥1 on vastaavasti sama kuin

e^2x−2ye^x+ 1 = 0.

Toisen asteen yht¨al¨on ratkaisukaava antaa nyt e^x=y±p

y²−1.

Olemme kiinnostuneita ratkaisuista, joissa x ≥ 0 eli e^x ≥ 1. Koska (y+p

y²−1)(y−p

y²−1) = y²− (y²−1) = 1, vain +-merkill¨a varustettu juuri voi olla

≥1 (josx >0). Valitsemme siis sen ja toteamme, ett¨a yht¨al¨ony= coshx,y≥1, positiivinen ratkaisu on

x= ln(y+p y²−1).

Viimein saamme samoin toisen asteen yht¨al¨o¨a ratkai- semalla, ett¨a yht¨al¨ony= tanhx, −1< y <1, ratkaisu on

x=1 2ln

µ1 +y 1−y

¶ .

Hyperbolisten funktioiden k¨a¨anteisfunktioita kutsu- taan areafunktioiksi. Niiden vakiintuneet merkinn¨at ovat arsinhy, arcoshy ja artanhy. N¨aiss¨a ”ar”

ei ole ”arkus”, kuten trigonometristen funktioiden arcsin, arccos ja arctan nimiss¨a, vaan ”area”. Tosin tiet¨am¨att¨omyyteen perustuvia merkint¨oj¨a ”arcsinh”

jne. n¨akee. Niin on kirjoitettu Sharp-laskimenikin kan- teen. Funktioiden nimet voi lukeaareasini, areakosini, areatangentti, tai sitten puhua latinaa: area sinus hy- perbolicus jne.

Kysymyksi¨ a ja vastauksia

Teemme nyt kolme yksinkertaista kysymyst¨a. Miksi tarkastelemillamme eksponentti- ja logaritmifunktiois- ta rakentuvilla funktioilla on trigonometristen funktioi- den nimien kaltaiset nimet, miksi niit¨a kutsutaan hy- perbolisiksi ja miksi niiden k¨a¨anteisfunktioiden nimiss¨a esiintyy sana area eli ala?

Ensimm¨aiseen kysymykseen voi vastata katsomalla analogisia kaavoja. Tied¨amme, ett¨a sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny ja cos(x+y) = cosxcosy − sinxsiny. Mit¨a on sinh(x+y)? Se on

1

2(e^x+y−e^−(x+y)).

Mit¨a on sinhxcoshy+ coshxsinhy? Se on 1

4

³

(e^x−e^−x)(e^y+e^−y) + (e^y−e^−y)(e^x+e^−x)´

= 1 4

³

e^x+y+e^x−y−e^−x+y−e^−(x+y) +e^x+y+e^−x+y−e^x−y−e^−(x+y)

´

= 1 2

³

e^x+y−e^−(x+y)´ .

Siis sinh(x+y) = sinhxcoshy+ coshxsinhy. Vastaa- vasti coshxcoshy+ sinhxsinhy= 1

4

³

(e^x+e^−x)(e^y+ e^−y) + (e^x−e^−x)(e^y−e^−y

´

= 1 2

³

e^x+y+e^−(x+y)

´

= cosh(x+y). Tarkkaan katsoen huomaamme, ett¨a sinh- funktion ja sin-funktion yhteenlaskukaavat ovat aivan samanlaiset, mutta cosh-funktion yhteenlaskukaavassa on pieni ero cos-funktion vastaavaan. T¨am¨a on tyypil- list¨a. Hyperbolisten funktioiden kesken vallitsevat re- laatiot ovat yleens¨a merkkieroja vaille samoja kuin vas- taavat trigonometristen funktioiden v¨aliset relaatiot.

Kysymyksiemme kannalta keskeinen ”melkein trigono- metrinen” relaatio on Pythagoraan lauseen cos²t + sin²t= 1 vastine. Koska

cosh²t= 1 4

³

e^2t+e^−2t+2´

ja sinh²t=1 4

³

e^2t+e^−2t−2´ ,

”hyperbolinen Pythagoraan kaava” on cosh²t−sinh²t= 1.

Kun sovellamme hyperbolisen kosinin yhteenlaskukaa- vaa, saamme

cosh(2x) = cosh²x+ sinh²x.

Kun t¨ah¨an liitet¨a¨an hyperbolinen Pythagoraan lause, saadaan cosh(2x) = 1 + 2 sinh²x ja jatkon kannalta tarpeellinen kaava

sinh²x= 1 2

³

cosh(2x)−1

´ .

Viel¨a yksinkertaisempi hyperbolisen sinin yhteenlasku- kaavan sovellus antaa sinh(2x) = 2 sinhxcoshx.

Trigonometrinen Pythagoraan lause on yhtey- dess¨a trigonometristen funktioiden m¨a¨arittelyyn yk- sikk¨oympyr¨an avulla: jos x = cost ja y = sint, niin x²+y² = 1. N¨ainh¨an voidaan m¨a¨aritell¨a sint ja cost sen yksikk¨oympyr¨an pisteen koordinaatteina, joka syn- tyy, kun origosta l¨ahtev¨a jax-akselin suhteen kulman t muodostava puolis¨ade leikkaa yksikk¨oympyr¨an. Yk- sikk¨oympyr¨a on erikoistapaus muotoa

x² a² +y²

b² = 1

olevasta ellipsik¨ayr¨ast¨a. Mutta tunnetusti x²

a² −y² b² = 1

on hyperbelik¨ayr¨an yht¨al¨o. Kun t¨ass¨a valitaana=b= 1, saadaantasasivuinen hyperbeli, jonka yht¨al¨o on siis

x²−y²= 1.

Mutta kun merkit¨a¨an x = cosht, y = sinht, huo- mataan hyperbolisesta Pythagoraan kaavasta, ett¨a (cosht,sinht) on samalla tavoin tasasivuisen hyperbe- lin piste kuin (cost,sint) on yksikk¨oympyr¨an piste!

Miksi area?

Selitys hyperbolisen funktion nimelle on viel¨a puolinai- nen. Sinin ja kosinin tapauksessa parametrin t merki- tys on ilmeinen: se on edell¨a mainittu kulma tai kaari x-akselista pisteeseen (x, y). Arcus-sanahan tarkoittaa kaarta.t= arccosx= arcsiny on se kaari, jota vastaa- van keskuskulman kosini onxja sini ony. Mutta mik¨a onttasasivuisen hyperbelin ja funktioiden sinh ja cosh tapauksessa? T¨am¨an selvitt¨a¨aksemme joudumme hiu- kan integroimaan. Ja integroidaksemme tarvitsemme hiukan tietoa hyperbolisten funktioiden derivaatoista.

Hyperbolisen sinin ja kosinin derivaatat ovat

¨a¨arimm¨aisen helposti laskettavissa suoraan funktioi- den m¨a¨aritelmist¨a. Saamme

Dsinht= cosht, Dcosht= sinht.

Tarkastelemme tasasivuisen hyperbelin pistett¨a (x, y), miss¨a x > 1 ja y > 0. Origosta pisteisiin (x, y) ja (x,−y) piirretyt janat ja pisteiden (x, y), (x,−y) v¨alinen hyperbelin kaari rajoittavat kolmik¨arkisen alu- een. Laskemme sen pinta-alan. Koska y = √

x²−1, ala saadaan, kun sen kolmion alasta, jonka k¨arjet ovat (0,0), (x, y) ja (x,−y) poistetaan osa, jota rajaavat hyperbelin kaari ja pisteiden (x, y) ja (x,−y) kautta kulkeva x-akselia vastaan kohtisuora suora. Kolmion ala onx√

x²−1. Poistettava ala on 2

Zx

1

px²−1dx.

Laskemme viimeisess¨a kaavassa olevan integraalin.

Sen laskemiseksi kannattaa tehd¨a muuttujanvaihto

x = coshu. Nyt x⁰(u) = sinhu ja √

x²−1 = pcosh²u−1 = sinhu. Kunx= 1, niin u= 0 ja kun x=x, niin u= arcoshx. Integraali saa siis sijoituksen j¨alkeen muodon

arcoshZ x

0

sinh²u du.

Edell¨a johdetun sinh²x:n lausekkeen avulla integraa- limme muuttuu muotoon

1 2

arcoshZ x

0

(cosh(2u)−1)du ja tavallisella tempulla edelleen muotoon

−1

2arcoshx+1 4

2 arcoshZ x

0

coshv dv.

Saamme integraalin arvoksi lopulta

−1

2arcoshx+1 4

2 arcosh. x

0

sinhv

=−1

2arcoshx+1

4sinh(2 arcoshx).

Nyt

sinh(2 arcoshx) = 2 sinh(arcoshx) cosh(arcoshx)

= 2x q

cosh²(arcoshx)−1 = 2xp x²−1.

Integraalin arvo on siis 1 2x√

x²−1−1

2arcoshx. Inte- graali on puolet siit¨a alasta, jonka aioimme v¨ahent¨a¨a kolmiosta, jonka ala on x√

x²−1. T¨am¨a merkitsee, ett¨a kolmik¨arkisen janojen ja hyperbelin kaaren ra- joittaman alueen ala on tasan arcoshx. Jos merkit- semme alaa t:ll¨a, saamme k¨arkipisteen (x, y) koor- dinaateiksi (cosht,sinht). Hyperbolisten funktioiden k¨a¨anteisfunktio mittaa todella alaa, ja ala on esityk- sen (x, y) = (cosht,sinht) parametrin t geometrinen merkitys.

Ympyr¨a sulkeutuu, kun muistamme ympyr¨ansektorin alan kaavan. Kun sektorin keskuskulma on φ(radiaa- nia), niin sektorin ala on 1

2φr², miss¨a r on ympyr¨an s¨ade. Mutta t¨am¨ah¨an merkitsee, ett¨a yksikk¨oympyr¨an pisteiden (cost,sint) ja (cost,−sint) m¨a¨aritt¨am¨an sektorin ala on t; alaa voidaan yht¨a hyvin pit¨a¨a pa- rametrina kuin kiertokulmaakin. Pit¨aisik¨o merkinn¨at arcsinyja arccosxmuuttaakin merkinn¨oiksi arcosxja arsiny?

Hyperbolisten funktioiden, eksponenttifunktion ja ta- vallisten trigonometristen funktioiden yhteys ei ole yll¨att¨av¨a, kun sit¨a l¨ahestyy potenssisarjojen, komplek- silukujen ja differentiaaliyht¨al¨oiden suunnista. Mutta se on toinen juttu.

Mallinnusta ja tulvien ennustamista

Ari Koistinen

Tutkija, Suomen ymp¨arist¨okeskus

Matematiikan tuntiopettaja, Helsingin ammattikorkeakoulu Stadia

Mit¨ a on mallinnus?

Mallinnusta on jo vuosikymmenien ajan k¨aytetty eri- laisten luonnossa, tekniikassa, talousel¨am¨ass¨a ja yhteis- kunnassa esiintyvien asioiden ja ilmi¨oiden tutkimiseen.

Tietokoneiden suorituskyvyn kasvun my¨ot¨a mallinnuk- sen sovellusmahdollisuudet ovat lis¨a¨antyneet valtavas- ti.

Mit¨a t¨am¨a mallinnus on? Hyvin laajasti ymm¨arrettyn¨a asian kuvaaminen mill¨a tahansa toisella asialla – siis toisen asian k¨aytt¨aminen mallina – on mallinnusta.

Esimerkiksi kartta on karttaa vastaavan alueen mal- li. My¨os historian kokeeseen valmistautuvan lukiolai- sen muodostama k¨asitys toisen maailmansodan tapah- tumista on malli. N¨am¨a molemmat mallit, kuten mal- lit useimmiten, ovat ep¨at¨aydellisi¨a kuvauksia: kartas- sa ei voi olla kaikkia maaston todellisia yksityiskoh- tia ja lukiolaisen p¨a¨ah¨ans¨a rakentamasta mallista to- denn¨ak¨oisesti puuttuu ainakin muutama maailmanso- dan tapahtumien sivujuonne.

Jos ilmi¨on tai muun asian kuvaamiseen k¨aytet¨a¨an matemaattisia yht¨al¨oit¨a, on kysymys matemaattisesta mallinnuksesta. Yksinkertaisimmillaan matemaattinen malli on yksi ainoa yht¨al¨o: esimerkiksi yht¨al¨o h=km kertoo, kuinka kokonaishinta hriippuu kilohinnasta k ja massasta m. Jos malli ohjelmoidaan tietokoneelle, saadaantietokonemalli.

Edell¨a sanoja malli ja mallinnus k¨aytettiin hyvin v¨alj¨asti. Jokap¨aiv¨aisess¨a tieteen, tutkimuksen ja tuote- kehityksen kielenk¨ayt¨oss¨a mallinnuksella tarkoitetaan useimmiten ilmi¨on j¨aljittelemist¨a matemaattisella ku- vauksella, joka on hieman monimutkaisempi kuin yksi ainoa yht¨al¨o, ja usein kuvaukseen kuuluu peruslasku- toimitusten lis¨aksi monimutkaisempaa matematiikkaa.

Kuvaus tai ainakin osia siit¨a on my¨os useimmiten oh- jelmoitu tietokoneelle niin, ett¨a ilmi¨on kulkua eri ti- lanteissa voidaan tarkastella tietokoneen avulla. Tieto- kone kuuluu mallinnukseen usein niin olennaisena osa- na, ett¨a itse matemaattinen malli ja mallin kuvauksen sis¨alt¨am¨a tietokoneohjelma miellet¨a¨an samaksi asiaksi.

Mallin kehitt¨ aminen, esimerkkin¨ a ve- sist¨ omalli

Yritysten, tutkimuslaitosten ja korkeakoulujen tutkimus- ja tuotekehitystoiminnassa k¨aytet¨a¨an pal- jon valmiita eri tarkoituksiin tehtyj¨a mallinnusohjel- mistoja. Valmiita ty¨okaluja on tarjolla virtausmal- linnukseen, rakenteiden ja koneen osien mallinnuk- seen, logistiikan simulointiin (esim. tehtaan tuottei- den ja raaka-aineiden kuljetus ja varastointi), elekt- ronisten j¨arjestelmien mallinnukseen – ja oikeastaan l¨ahes jokaiselle insin¨o¨oritieteen osa-alueelle. T¨allaisen mallin etuna on usein helppok¨aytt¨oisyys: kuvitellaan

esimerkiksi elektronista piiri¨a kuvaava malli, johon sy¨otet¨a¨an tiedot toisiinsa kytketyist¨a komponenteista, mink¨a j¨alkeen malli kertoo, kuinka piiri todellisuudessa toimisi, n¨aytt¨aen esimerkiksi piirin eri osissa kulkevat virrat sek¨a komponenttien j¨annitteet ja varaukset eri ajanhetkill¨a.

Toisaalta valmiit ty¨okalut ovat usein pitk¨alle erikois- tuneita ja samalla rajoittuneita: jotakin mallinnet- tavaan ilmi¨o¨on vaikuttavaa seikkaa ei ehk¨a olekaan mahdollista ottaa huomioon mallinnusohjelmassa. Esi- merkiksi elektronisten piirien mallinnusty¨okalussa ei v¨altt¨am¨att¨a voida huomioida ymp¨arist¨on l¨amp¨otilan

¨akillisi¨a muutoksia ja niiden vaikutusta piirin kom- ponentteihin. T¨all¨oin koko ohjelmaa olisi muutetta- va, mutta l¨ahdekoodi tuskin on vapaasti muokattavis- sa. Ohjelmistojen tarkkoja toimintaperiaatteitakaan ei v¨altt¨am¨att¨a liikesalaisuuden s¨ailytt¨amiseksi paljasteta, mik¨a saattaa h¨airit¨a mallia k¨aytt¨av¨a¨a asiantuntijaa.

Edell¨a mainittujen syiden lis¨aksi my¨os valmiiden mal- linnusohjelmistojen korkeat hinnat saattavat vaikut- taa siihen, ett¨a ilmi¨on mallintamiseksi p¨a¨atet¨a¨ankin tehd¨a kokonaan uusi malli: laaditaan matemaattinen kuvaus ja sen pohjalta tietokonemalli jollain ohjelmoin- tikielell¨a. Seuraavassa tarkastellaan pintapuolisesti joi- takin t¨allaisen mallin kehitt¨amisen vaiheita, k¨aytt¨aen esimerkkin¨a vesist¨ojen virtaamien ja vedenkorkeuksien ennustamiseksi laadittua mallia.

Suomen ymp¨arist¨okeskuksessa (SYKE) on noin kah- denkymmenen vuoden ajan kehitetty ja k¨aytetty ve- sist¨omallij¨arjestelm¨a¨a, jolla simuloidaan ja ennustetaan vedenkorkeuksia ja virtaamia. Satojen ennustepistei- den laskentatulokset ovat p¨aivitt¨ain n¨aht¨avill¨a interne- tiss¨a. J¨arjestelm¨an ytimen¨a olevan mallin sy¨otteen¨a on s¨a¨a (l¨amp¨otila, sadanta ja haihdunta), joka perustuu havaintoihin, s¨a¨aennusteeseen tai tilastolliseen dataan.

Malliin on ohjelmoitu karkea kuvaus veden kiertokulus- ta ilmakeh¨ass¨a, pinta- ja pohjavesiss¨a sek¨a maaper¨ass¨a.

Pintavesien kuvaus on n¨aist¨a yksityiskohtaisin ja mal- lin p¨a¨atarkoituksena onkin simuloida j¨arvien ja jokien vedenkorkeuksia ja virtaamia sek¨a eri vesist¨oaluilta va- luvia vesim¨a¨ari¨a.

Vesist¨omallin toimintaperiaate on perusidealtaan yk- sinkertainen. Tilat, joissa vesi luonnossa esiintyy, on kuvattu varastoina, joita ovat mm. j¨arvialtaat, maa- per¨an vesivarastot (maan pintakerros ja pohjavesi) ja talvella lumipeite. Jokaista varastoa vastaa mal- lin jokaisella osa-alueella muuttuja, jonka arvo muut- tuu laskennan edetess¨a. Mallin laskenta alkaa tietyst¨a p¨aiv¨ast¨a, jolloin kullekin muuttujalle annetaan alkuar- vo. Alkuarvojen m¨a¨aritt¨amisess¨a k¨aytet¨a¨an hy¨odyksi my¨os mahdolliset havainnot. T¨am¨an j¨alkeen edet¨a¨an yleens¨a vuorokauden mittaisissa laskenta-askelissa ja siirret¨a¨an vett¨a ohjelmakoodissa olevien hydrologian lainalaisuuksiin perustuvien yht¨al¨oiden avulla varastos- ta (eli muuttujasta) toiseen.

Laskennan tulokset esitet¨a¨an vedenkorkeutta, virtaa- maa ja muita t¨arkeit¨a suureita ajan funktiona kuvaa- vina k¨ayrin¨a. My¨os mahdolliset havainnot n¨akyv¨at ku- vissa. Ennuste esitetet¨a¨an todenn¨ak¨oisyysjakaumana, jonka hajonta syntyy p¨a¨aasiassa s¨a¨an ep¨avarmuuden perusteella.

Vesist¨omallij¨arjestelm¨a¨a k¨aytet¨a¨an mm. tulvien ennus- tamiseen, vesist¨ojen s¨a¨ann¨ostelyn suunnitteluun sek¨a vaikeasti suoraan mitattavissa olevien hydrologisten suureiden kuten valunnan (alueelta valuva vesim¨a¨ar¨a millimetrein¨a vuorokaudessa) ja maankosteuden vaih- telun laskemiseen.

Ennen tietokonemallin laatimista on oltava siis ainakin jonkinlainen k¨asitys lainalaisuuksista, joita ilmi¨o nou- dattaa. Jos n¨am¨a lainalaisuudet tunnetaan hyvin tar- kasti, niin riitt¨a¨a ohjelmoida niit¨a kuvaavat matemaat- tiset yht¨al¨ot tietokoneelle sek¨a laatia k¨aytt¨oliittym¨a mallin ohjaamista ja laskentatulosten esitt¨amist¨a var- ten. T¨am¨an j¨alkeen malli on valmis testattavaksi ja kun ohjelmointi- ja muut virheet – joita luultavasti on mel- koinen joukko – on saatu korjattua ja malli todettu toimivaksi, se voidaan ottaa k¨aytt¨o¨on.

Usein tieto mallinnettavaan ilmi¨o¨on liittyvist¨a lainalai- suuksista on kuitenkin enemm¨an tai v¨ahemm¨an puut- teellisia: vaikuttavia tekij¨oit¨a on niin paljon, ett¨a tar- kan matemaattisen kuvauksen laatiminen on mahdo- tonta. Puutteellinen tieto n¨aist¨a lainalaisuuksista voi- daan monissa tilanteissa korvata k¨aytt¨am¨all¨a tunte- mattomia parametreja, joille pyrit¨a¨an etsim¨a¨an sopivat arvot.

Malleja on tapana jaotella moniin kategorioihin, kuten dynaamisiin ja staattisiin malleihin (dynaamisessa mal- lissa tapahtuu muutoksia ajan suhteen, staattisessa ei) sek¨a stokastisiin ja deterministisiin malleihin (stokas- tinen malli sis¨alt¨a¨a satunnaisuutta, mutta determinis- tisen mallin tulokset m¨a¨ar¨aytyv¨at t¨aysin sy¨otetietojen perusteella). Er¨as jaottelu perustuu siihen, kuinka tar- kasti ilmi¨ot on mallissa kuvattu.Fysikaalisessa mallis- sa kuvaus perustuu tiukasti fysiikan lakeihin ja mah- dollisten tuntemattomien parametrien arvot on voitu rajata suhteellisen pienelle alueelle: esimerkiksi mallin- nettaessa nesteen virtausta paperikoneen sis¨all¨a tunne- taan ehk¨a ilmi¨ot¨a kuvaavat osittaisdifferentiaaliyht¨al¨ot ja paperikoneen rakenteiden geometriasta johtuvat reu- naehdot, mutta ei v¨altt¨am¨att¨a aivan tarkasti nesteen koostumusta ja sen fysikaalisia ominaisuuksia.

Tilastollisessa mallissa ei pyrit¨a fysikaaliseen kuvauk- seen, vaan tilastollista dataa analysoimalla yritet¨a¨an selvitt¨a¨a, kuinka paljon jokin tarkasteltava asia riippuu eri tekij¨oist¨a – vai riippuuko lainkaan. Esimeriksi talou- den suhdanteiden kehittymist¨a voidaan pyrki¨a ennus- tamaan tilastollisilla menetelmill¨a ty¨ollisyyden, vaihto- taseen, inflaation, yritysten investointien sek¨a kulutta- jien taloudellisen luottamuksen perusteella, ilman, ett¨a

tarvitsee kuvata tarkasti prosessia, jonka kautta esi- merkiksi kuluttajien luottamusindeksi vaikuttaa suh- danteisiin (toki on eduksi, jos mallintajalla on t¨ast¨akin asiasta jonkinlainen aavistus).

Konseptuaalinen malli tarkoittaa er¨a¨anlaista fysikaa- lisen ja tilastollisen mallin v¨alimuotoa. Siin¨a prosessit on pyritty kuvaamaan todellisuutta vastaavalla tavalla, mutta kuvaus on karkea, ennemmin k¨asitteellinen kuin fysikaalinen. Tuntemattomilla parametreilla, joita voi olla paljon, on melko suuri sallittu arvoalue.

SYKEn vesist¨omalli on konseptuaalinen malli. Esimer- kiksi vesist¨oalueelta toiselle valuva vesim¨a¨ar¨a riippuu veden m¨a¨ar¨ast¨a alueella sek¨a kyseisen alueen viivett¨a kuvaavista parametrista. Ei ole pyrittyk¨a¨an rakenta- maan tarkkaa fysikaalista kuvausta veden virtaamises- ta, sill¨a se edellytt¨aisi yksityiskohtaisia tietoja pinnan- muodoista, maaper¨an koostumuksesta ja kasvillisuu- desta.

Veden virtauksen pois luonnontilaisista j¨arvialtaista m¨a¨ar¨a¨a havaintoihin perustuva purkausk¨ayr¨a (tai pur- kaustaulukko – j¨arvest¨a purkautuva vesim¨a¨ar¨a kuutio- metrein¨a sekunnissa eri vedenkorkeuksille), ja jos vir- taamamittauksia ei ole tai niit¨a on liian v¨ah¨an katta- van purkaustaulukon muodostamiseksi, perustuu pur- kausk¨ayr¨akin parametreihin. Yleens¨a k¨aytet¨a¨an muo- toa

q(w) = (

a·(w−w0)^b, kunw > w0,

0, muuten.

olevaa funktiota, miss¨awon j¨arven vedenkorkeus (met- rein¨a merenpinnan tasosta luettuna) ja qon virtaama kuutiometrein¨a sekunnissa. Luvuta, b ja w0 ovat pa- rametreja, joiden arvot on pyritty m¨a¨aritt¨am¨a¨an niin, ett¨a laskenta toimii havaintoihin n¨ahden mahdollisim- man hyvin. Parametrillew0on my¨os yksinkertainen fy- sikaalinen tulkinta: se on raja, jonka alapuolisilla ve- denkorkeuksilla virtaama on nolla.

S¨a¨ann¨osteltyjen j¨arvien l¨aht¨ovirtaama m¨a¨aritet¨a¨an mallissa s¨a¨ann¨ostelyyn liittyvien m¨a¨ar¨aysten ja tiedos- sa olevien juoksutussuunnitelmien perusteella. Lumi- peitteen kertyminen riippuu sadannasta, l¨amp¨otilasta ja muutamasta parametrista. Parametrit vaikuttavat my¨os siihen, kuinka nopeasti vesi valuu maan pinta- kerroksesta pohjaveteen ja kuinka nopeasti pohjavesi- varaston vesi siirtyy eteenp¨ain vesist¨oalueelta toiselle ja j¨arviin.

Mallin kalibrointi

Mallin parametrien arvojen tulisi siis olla sellaiset, ett¨a mallin laskentatulokset ovat mahdollisimman l¨ahell¨a havaintoja. Optimaalisten parametrien arvojen etsi- mist¨a kutsutaan mallinkalibroinniksi. Hyvin yksinker- taisissa tapauksissa kalibrointi voidaan tehd¨a k¨asin: an- netaan parametreille arvot ja testataan ne ajamalla

malli. T¨am¨an j¨alkeen p¨a¨atell¨a¨an laskentatuloksia ja ha- vaintoja vertaamalla, mihin suuntaan parametreja tu- lee muuttaa. T¨at¨a jatketaan, kunnes saadaan riitt¨av¨an hyvi¨a tuloksia – tai kunnes tulokset eiv¨at en¨a¨a mer- kitt¨av¨asti parane.

Usein malli on niin monimutkainen, ett¨a kalibroin- ti on parempi antaa tietokoneen teht¨av¨aksi. Kali- brointi on monesti laskennallisesti raskas teht¨av¨a.

Mallinnuksessa, kuten monilla muillakin tietoteknii- kan k¨aytt¨oalueilla, laskentaresurssit ovat tietoteknii- kan huimasta kehityksest¨a huolimatta aina niukat: tie- tokoneiden nopeuden ja muistikapasiteetin kasvaes- sa keksit¨a¨an yh¨a monimutkaisempia mallinnettavia asioita tai kasvatetaan vanhojen mallien laskentatark- kuutta (esimerkiksi aika- tai paikkaresoluutiota). Ny- kyisin er¨as laskennallisesti vaativimpia tietokoneiden ty¨osarkoja lienee s¨a¨ailmi¨oiden mallintaminen.

Mahdollisimman hyv¨a¨an tulokseen p¨a¨asemiseksi sek¨a prosessoriajan (ja ty¨oajan) s¨a¨ast¨amiseksi mallin pa- rametrien kalibrointiin tulisi k¨aytt¨a¨a teht¨av¨a¨an hy- vin sopivaa menetelm¨a¨a. N¨ait¨a optimointimenetelmi¨a matemaatikot ovat kehitt¨aneet lukemattomia. Opti- mointi tarkoittaa funktion maksimi- tai minimikoh- dan etsimist¨a – etsit¨a¨an siis sellaiset muuttujien ar- vot, ett¨a funktion arvo on mahdollisimman suuri tai mahdollisimman pieni. Mallin kalibroinnissa muuttu- jia ovat parametrit ja funktiona on mallin virhe, jo- ka pyrit¨a¨an minimoimaan. Yksinkertainen ja yleisesti k¨aytetty tapa muodostaa virhefunktio on pienimm¨an neli¨osumman periaate: lasketaan summa jokaisen ha- vaintoarvon ja sit¨a vastaavan lasketun arvon erotuksen neli¨oist¨a, t¨asm¨allisesti ilmaistuna virhefunktio on

f(x) = Xn k=1

(zk(x)−yk)²,

miss¨axon mallin parametreista koostuva vektori, jos- ta funktion arvo riippuu, luvut z1(x), z2(x), . . . , zn(x) ovat mallin laskemia (ja parametreista riippuvia) arvo- ja ja luvuty1, y2, . . . , ynn¨ait¨a vastaavat havaitut arvot.

Lasketut ja havaitut arvot voivat olla esimerkiksi vir- taamia vesist¨on eri kohdissa kuutiometrein¨a tietyn ai- kajakson, vaikkapa vuorokauden aikana. Jos funktionf arvo saadaan pieneksi, ovat lasketut ja havaitut arvot l¨ahell¨a toisiaan.

Optimointimenetelm¨an on oltava sellainen, ett¨a vir- hefunktion minimi l¨oydet¨a¨an suhteellisen nopeasti ja riitt¨av¨an suurella varmuudella. Tyypillinen optimoin- nin ongelmatilanne on juuttuminen ns. paikalliseen minimiin: l¨oydet¨a¨an kohta, jossa funktion arvo on l¨ahist¨oll¨a olevissa pisteiss¨a saavutettuihin arvoihin n¨ahden pieni. Mik¨ali kyseess¨a on yhden tai kahden muuttujan funktio (elixon reaalimuuttuja tai kaksiu- lotteinen vektori), voidaan asia ilmaista havainnollises- ti sanomalla, ett¨a funktion kuvaajassa on t¨ass¨a koh- dassa ”kuoppa”. Kauempana voi kuitenkin olla syvem-

pi¨a kuoppia ja hyv¨an optimointimenetelm¨an tulisi mel- ko erehtym¨att¨om¨asti l¨oyt¨a¨a se syvin ja mielell¨a¨an koh- tuullisella prosessoriajalla.

Optimointiongelman ratkaisemistakin vaikeampaa on usein itse ongelman asettaminen, tarkemmin sanottuna virhefunktion muodostaminen. Jos pyrit¨a¨an laskemaan arvoja useille eri suureille, voi k¨ayd¨a niin, ett¨a para- metrien arvojen muuttaminen saattaa parantaa yht¨a, mutta huonontaa toista laskennan osa-aluetta. Muo- dostettaessa virhefunktiota n¨aille osatekij¨oille tulee va- lita tarkoituksenmukaiset painokertoimet. Esimerkiksi mallinnettaessa vesist¨oj¨a pit¨aisi lumen vesiarvon talven aikana vastata alueella tehtyj¨a lumimittauksia, mut- ta lis¨aksi kev¨a¨an virtaamasumman tulisi olla l¨ahell¨a havaittua virtaamasummaa, eik¨a olisi pahitteeksi, jos kev¨atvirtaaman huipun suuruus ja ajankohta osattai- siin ennustaa kohtuullisella tarkkuudella oikein.

Kun parametrit on optimoitu, ei viel¨a voida ottaa mallia operatiiviseen k¨aytt¨o¨on tai laittaa sit¨a myyn- tiin. Edess¨a on mallin testaus, jonka j¨alkeen mallin rakennetta t¨aytyy mahdollisesti – tai todenn¨ak¨oisesti – viel¨a muuttaa ja optimoida parametrit uudelleen.

T¨am¨a ei v¨altt¨am¨att¨a p¨a¨aty edes mallin varsinaiseen k¨aytt¨o¨onottoon. SYKEn vesist¨omallin kehitysty¨o jat- kuu edelleen, sill¨a vedenkorkeuksia ja virtaamia ei viel¨a pystyt¨a ennustamaan riitt¨av¨an tarkasti pitk¨all¨a eik¨a aina lyhyell¨ak¨a¨an aikav¨alill¨a. L¨ahemm¨aksi t¨at¨a tavoi- tetta p¨a¨ast¨a¨an my¨os s¨a¨aennustemallien kehittyess¨a:

s¨a¨ailmi¨ot kun vaikuttavat vesist¨ojen k¨aytt¨aytymiseen melko voimakkaasti.

Kuinka mallintajaksi tullaan?

Teknisen tai luonnontieteellisen – ja mahdollises- ti my¨os taloustieteellisen, l¨a¨aketieteellisen tai yhteis-

kuntatieteellisen – koulutuksen valinnut joutuu (tai pit¨aisi ehk¨a sanoa ”p¨a¨asee”) yh¨a suuremmalla to- denn¨ak¨oisyydell¨a tekemisiin mallinnuksen kanssa, joko mallien kehitt¨aj¨an¨a tai niiden k¨aytt¨aj¨an¨a. Edellytyk- set suunnitella ja kehitt¨a¨a malleja ovat hyv¨at, jos mal- linnettavien ilmi¨oiden tuntemisen lis¨aksi tuntee ma- tematiikkaa ja osaa ohjelmoida – eiv¨atk¨a n¨am¨a tai- dot ole pahitteeksi my¨osk¨a¨an valmiita mallinnusohjel- mistoja k¨aytett¨aess¨a, sill¨a monet niist¨a edellytt¨av¨at k¨aytt¨aj¨alt¨a¨an hyvi¨a matemaattisia ja tietoteknisi¨a val- miuksia. Tarvitaan ”malliajattelua”, kyky¨a hahmottaa ilmi¨oit¨a niin, ett¨a ymm¨art¨a¨a syy- ja seuraussuhteet ja osaa pukea ne t¨asm¨alliseen ja tarvittaessa matemaat- tiseen muotoon.

Mallintajaksi voi p¨a¨aty¨a opiskelemalla ensisijaisesti jo- takin sovellusaluetta, jolla mallinnusta voi hy¨odynt¨a¨a, ja hankkia sen ohella hyv¨at tiedot matematiikasta ja tietojenk¨asittelyst¨a. Toinen vaihtoehto on opiskel- la p¨a¨aaineena matematiikkaa ja perehty¨a lis¨aksi so- vellusalueisiin, kuten tekniikan eri osa-alueisiin, fysiik- kaan, kansantaloustieteeseen tai geofysiikkaan – tai melkein mihin hyv¨ans¨a, sill¨a on mahdotonta sanoa, mi- hin kaikkeen matemaattista mallinnusta tulevaisuudes- sa sovelletaan.

Lopuksi pari aiheeseen liittyv¨a¨a linkki¨a:

Matemaattisen mallinnuksen verkostohanke (t¨a¨alt¨a l¨oytyv¨ast¨a linkkikokoelmasta voi aloittaa lis¨atietojen etsimisen mallinnuksesta):

http://alpha.cc.tut.fi/mallinnus/

SYKEn vesist¨oennusteet:

http://www.ymparisto.fi/vesistoennusteet