802656S ALGEBRALLISET LUVUT (5op Syvent¨av¨a)
Loppukoe 28.11.2011 EI LASKIMIA
1. a) M¨a¨ar¨a¨a kaikki Gaussin kokonaislukujen renkaan ℤ[𝑖] alkualkiot eli Gaussin alkuluvut 𝜋 =𝑎+𝑖𝑏∈ℤ[𝑖], joille p¨atee 𝑁(𝜋)≤5, 0≤𝑏≤𝑎.
b) N¨ayt¨a Gaussin kokonaislukujen renkaassa, ett¨a
1 +𝑖∼1−𝑖 ja 2 +𝑖∕∼1 + 2𝑖.
2. a) Olkoon 𝑎(𝑥) = 𝑎0 +𝑎1𝑥+...+𝑎𝐴𝑥𝐴 ∈ ℤ[𝑥], deg𝑎(𝑥) = 𝐴 ≥ 2. Jos on olemassa sellainen alkuluku 𝑝∈ℙ, ett¨a
𝑝∣𝑎𝑖 ∀ 𝑖= 0,1, ..., 𝐴−1, 𝑝2 ∕ ∣𝑎0, 𝑝∕ ∣𝑎𝐴, niin todista, ett¨a 𝑎(𝑥) on jaoton polynomirenkaassa ℚ[𝑥].
b) N¨ayt¨a reduktiokuvauksen avulla, ett¨a 10𝑥3−𝑥+ 28 on jaoton polynomirenkaassa ℚ[𝑥].
3. M¨a¨ar¨a¨a luvun a)𝛼 = 21/7; b) 𝛼=√
7 + 4√ 3;
aste degℚ𝛼 ja minimipolynomi𝑀𝛼(𝑥)∈ℚ[𝑥] kunnanℚ yli. Perustelut.
4. Olkoon𝕂=ℚ(√
−2). M¨a¨ar¨a¨a yksikk¨oryhm¨aℤ∗𝕂.
