802656S ALGEBRALLISET LUVUT (5op Syvent¨av¨a)
Loppukoe 20.6.2011 EI LASKIMIA
1. a) M¨a¨ar¨a¨a kaikki Gaussin kokonaislukujen renkaan ℤ[𝑖] alkualkiot eli Gaussin alkuluvut 𝜋 =𝑎+𝑖𝑏∈ℤ[𝑖], joille p¨atee 𝑁(𝜋)≤5, 0≤𝑏≤𝑎.
b) N¨ayt¨a Gaussin kokonaislukujen renkaassa, ett¨a
1 +𝑖∼1−𝑖 ja 2 +𝑖∕∼1 + 2𝑖.
2. a) Olkoot𝑏(𝑥), 𝑐(𝑥)∈ℤ[𝑥] primitiivisi¨a polynomeja. Osoita, ett¨a t¨all¨oin 𝑏(𝑥)𝑐(𝑥) on primitiivinen.
b) N¨ayt¨a reduktiokuvauksen avulla, ett¨a
10𝑥3−𝑥+ 28 on jaoton polynomirenkaassa ℚ[𝑥].
3. M¨a¨ar¨a¨a luvun a)𝛼 = 21/7; b) 𝛼=√
7 + 4√ 3;
aste degℚ𝛼 ja minimipolynomi𝑀𝛼(𝑥)∈ℚ[𝑥] kunnanℚ yli. Perustelut.
4. a) M¨a¨ar¨a¨a ℚ(21/2)∩ℚ(21/3).
b) Olkoon 𝕂 lukukunta ja ℤ𝕂 sen kokonaislukujen rengas sek¨a 𝑎, 𝑏∈ ℤ𝕂. Osoita, ett¨a normille 𝑁 p¨atee
𝑎∣
ℤ𝕂
1 ⇒ 𝑁(𝑎)∣
ℤ
1.
