TILTA1B Matemaattisen tilastotieteen perusteet Syksy 2009

TILTA1B Matemaattisen tilastotieteen perusteet Syksy 2009

Ratkaisut harjoitus 4

1. Olk. X tuotto prosentteina.

417 , 0 ) ( 1 ) 100 (

) 12 , 10 (

~

12 10 5 , 12 6000

750 2

≈ Φ

−

=

⋅

≥ ⁻

X P

N X

2.

π σ π σ

π σ σ

σ π

σ σ π

σ σ

σ σ σ

σ σ

σ µ µ

) 2 2 /(

0 2 0

) 2 2 /(

0

) 2 /(

2 1 2

) 2 /(

2 1 2 1

2 2 2

2 2 2

2

2 2

/ )

(

, 0

0 ) ,

( ' 2 ) ( ' ) (

0 , 1 ) ( 2 ) (

) (

) ( ) (

=

=

⋅

=

⋅

=



 

 ≥

= Φ

⋅

⋅

=

=

≥

− Φ

=

≤

≤

−

=

≤

−

≤

−

=

≤

=

−

=

∞ −

∞ −

∞ −

−

∫

∫

^{y y y y}

y y

Y Y

y y y Y

e dy

e dy

e y Y E

muualla y y e

G y g

y Z

P y X y P y Y P y G

X Y

3.

_X~N(−6,8²₎

a)

_{( 4 16) ( ) ( ) 0,398}

4 1 8

22 −Φ ≈

Φ

=

≤

≤

− X P

b)

_{( 10 0) ( ) ( ) 0,464}

2 1 4

3 −Φ− ≈

Φ

=

≤

≤

− X

P

c)

16 , 27

95 , 0 ) ( ) ( ) 8 (

) 8

( ₈¹⁴ ₈¹⁴

≈

⇔

= Φ

− Φ

=

≤

−

≤

−

=

≤

− ^{−+ +}

c

c X c P c X

P ^{c c}

c ratkeaa kokeilemalla, esim. R:llä:

c<-seq(25,30,by=0.01)

a<-pnorm(c/8+14/8)-pnorm(-c/8+14/8) cbind(c,a)

c a [1,] 25.00 0.9154337 [2,] 25.01 0.9156273

…

[216,] 27.15 0.9498859 [217,] 27.16 0.9500150 [218,] 27.17 0.9501437

…

[500,] 29.99 0.9771823 [501,] 30.00 0.9772498

4. Kaavan 6.5.4 (luontomonisteen s. 164) mukaan a)

) 8 , (

~

...

) ( ) ( ) (

2 1

8 / 2 / 1 8 ) 1

2 /(

) ( 2 ) 1 2 /(

) ( 2 1

2 1 2

1

2 / 1 2

2 2

2

Gamma U

e u e

e

u f u f u f

u u

u

x u x u

U

⇒

⋅

=

= +

=

− +

=

−

⋅

−

−

−

−

−

π σ

µ π σ σ µ π σ

b)

_X−7~N(0,4)

, joten a-kohdan perusteella

(

⁷

)

^{~ (}2^,8)

2 1

Gamma X−

R:llä:

> pgamma(20.096,shape=0.5,scale=8)-pgamma(15.364,shape=0.5,scale=8) [1] 0.02501533

5.

_{~ (31, )}

12

Gamma 1

W

583 , 2 31 ) (W = ⋅₁₂¹ ≈

E (tuntia)

6.

a) ^{' ( )} [ ^{( 1 )} ] ^{0 ,}

) (

2 / 2 2 / 2 2 1 / 2 2

) (

1

2 / 1 2 / 2 ) (

1

2 / 2

2 / 2

=

−

−

=

=

−

−

− Γ

−

− Γ

x r r x

x r

e x e x

f

e x x

f

r r

r r

kun x = 0 tai x = r − 2 2 , 0 ) ( '

2 , 0 ) ( '

−

>

<

−

<

>

r x x f

r x x f

Siis r-2 on maksimi.

b)

> qchisq(0.5,4) [1] 3.356694

c) > curve(dchisq(x,4),0,10) > curve(dchisq(x,10),0,30)

7.

X Y

e e x x f

Khi X

muualla y y e

G y g

e e

X P y X P y Y P y G

x x X

y Y

Y

y y

Y

~ ) (

) 2 ( 2

~

, 0

0 ) ,

( ' ) (

1 ) (

1 ) ln 2 ( ) ( ) (

2 1

2 2

2 1

2 1 2

1

2 2 1 / 1 2 / 2 2 ) (

1 2 1

⇒

=

=



 

 >

=

=

−

=

<

−

=

≤

−

=

≤

=

− −

− Γ

−

−

−

8.

a)

2 1

0 0

1 2 ...

) (

=

⇒

=

=

=

⋅ +

⋅

= ∫ ∫

∫

^{∞ −}

∞

−

∞

∞

−

k

k dx e k dx e k dx x

f

^{x x}

b) E(X)=0, sillä tiheysfunktio f on origon suhteen symmetrinen: _{f ( x ) = f ( − x )} , _{∀x ∈ ℜ} . 2

) 3 ( 2

) ( )

(

0 2 0

2 2 2 1

2

= ∫

^∞

= ⋅ ∫

^{∞ −}

= ∫

^{∞ −}

= Γ =

∞

−

dx e x dx e x dx

x f x X

E

^{x x}