Matematiikan olympiavalmennus: valmennustehtävät, joulukuu 2020
Uutta: mukana on monivalintatehtäviä, joihin ei pyydetä perusteluja, vaan niihin vastaamiseen riittää kirjainrivi.
Helpommatkin tehtävät ovat vaikeampia kuin koulutehtävät, eikä ole oletettavaa että niitä pys- tyisi ratkomaan ilman vaivannäköä.Sinnikäs yrit- täminen kannattaa. Vaikka tehtävää ei saisi val- miiksi asti tehtyä, sitä pitkään miettinyt oppii malliratkaisuista enemmän. Helpommissakin teh- tävissä olennaista on kirjoittaa perustelut eikä vain laskea lopputulosta esim. laskimella – poik- keuksena uudet monivalintatehtävät.
Olemme hyvin tietoisia siitä, että netissä on mo- nenlaisia lähteitä, joista ratkaisuja voi löytää –
https://aops.com ja https://math.stackexchange.com
lienevät tunnetuimpia. Näiden käyttäminen ei ole haitaksi ja niistä voi oppia paljonkin, mutta suo-
sittelemme yrittämään ensin itse. Myös tehtä- vien pohtiminen muiden valmennettavien kanssa, jos siihen tarjoutuu tilaisuus, lienee opettavaista.
Kuuleman mukaan ainakin Maunulassa on järjes- tetty ryhmäratkomistilaisuuksia.
Tehtäviin pujahtaa joskus virheitä. Havaituista virheistä kerrotaan valmennuksen sivulla
https://matematiikkakilpailut.fi/valmennus/. Ratkaisuja toivotaan 15.1.2021 mennessä henkilö- kohtaisesti ojennettuna tai sähköpostitse. Vas- tausosoitteet kussakin osiossa.
Joukkuevalinnat perustuvat kokonaisharkintaan, jossa otetaan huomioon palautetut tehtävät ja menestyminen kilpailuissa ja valintakokeissa.
Huomioi tietosuojalauseke:
https://matematiikkakilpailut.fi/tietosuoja/
Monivalintatehtäviä
Lähetä pelkkä vastausrivi ja nimesi osoitteeseenjks@iki.fi.
1. Janan AB pituus on 3 cm. Pisteestä C tiedetään, että∠ACB = 60◦. Millainen kuvio muodostuu pisteenC kaikista mahdollisista sijainneista?
(A) suora (B) kolmio
(C) kaksi ympyränkaarta (D) ellipsi
2. Ympyrän jänteet AB jaCD leikkaavat ympyrän ulkopuolella pisteessä X. Olkoon O ympyrän kes- kipiste. Kuinka suuri on∠AXC?
(A) ∠AXC =∠AOC+∠BOD.
(B) ∠AXC on puolet kulmienAOC jaBODerotuksesta.
(C) ∠AXC =∠AOC
(D) ∠AXC =∠BOD−12∠AXC.
3. Kolmiossa ABC on AC = BC ja ∠BCA = 40◦. Olkoon ω ympyrä, joka kulkee kolmion ABC kaikkien kärkien kautta. Lisäksi olkoonD sellainen piste ympyränωulkopuolella, että se on samalla puolella sivua AC kuin pisteB sekä pätee∠DCB= 90◦ jaBC=CD. SuoraDAleikkaa ympyrän ω pisteenAlisäksi pisteessäE. Kuinka suuri on∠ECB?
(A) ∠ECB= 45◦ (B) ∠ECB= 60◦ (C) ∠ECB= 40◦
(D) Tehtävässä annetut tiedot eivät riitä kulman määrittämiseen.
4. Ympyrän säde on 7 cm ja pisteen P etäisyys ympyrän keskipisteestä 5 cm. Olkoon AB ympyrän jänne, joka kulkee pisteenP kautta. Tiedetään, että|P A|= 3 cm. MääritäAB.
(A) 6 cm (B) 7 cm (C) 9 cm (D) 11cm
5. Pisteestä Aympyrälle piirretty tangentti sivuaa ympyrää pisteessäE. Tiedetään, että|AE|= 3√ 2. Toinen pisteen A kautta piirretty suora leikkaa ympyrän pisteissä B ja C. Tiedetään, että|AB|=
|BC|. Määritä|AC|. (A) 6
(B) 9 (C) 3√
3 (D) 3√
2.
6. Ympyrän säde on 6 cm ja pisteenP etäisyys ympyrän keskipisteestä 9 cm. Pisteestä P piirretään suora, joka leikkaa ympyrän pisteissä AjaB. Tiedetään, että|AB|=|P A|. Määritä|P B|.
(A) 9 cm (B) √
51cm (C) 3√
10cm (D) 8√
7 cm
7. Piparkakkutalon sabluuna piirretään käyttäen harppia, kulmaviivotinta sekä laskinta. Taloon halu- taan tehdä ympyräsegmentin mallinen ikkuna, jonka leveys on 6cm ja korkeus 2cm. Kuinka pitkä säde sinun pitää ottaa harpista?
(A) 4 cm (B) 13
4 cm (C) 5 cm (D) 11
2 cm
8. Kaksi ympyrää on osittain päällekkäin. Ne leikkaavat pisteissä A ja B. Toisen ympyrän säde on 5 ja toisen 10. Ympyröiden keskipisteiden etäisyys on 12. Laske |AB|. (Ohje: yhdistä pisteet A ja B, sekä ympyröiden keskipisteet, laske näiden janojen leikkauspisteiden suhteen pisteen potensseja, muodosta yhtälöryhmä ja ratkaise.)
(A) 7 cm (B) √
87 (C)
√1071 4 (D)
√974 5
Helpompia tehtäviä
Lähetä perustellut ratkaisut osoitteeseen n.palojarvi@gmail.com. Muista mainita viestissä nimesi.
9. Kilpamatematiikassa on tyypillistä esimerkiksi todistaa, että pisteet ovat samalla suoralla tai ympy- rällä tai että suorat leikkaavat samassa pisteessä. Tässä tehtävässä on tavoitteena harjoitella tällaisten tilanteiden tunnistamista.
Tarkastellaan seuraavaa tilannetta: Olkoot ABC kolmio, P, Q jaR sivujenAB, BC ja AC keski- pisteet sekä O kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Esitä todistuksineen annettujen pisteiden avulla
(a) kolme pistettä, jotka ovat samalla suoralla, mutta eivät muodosta kolmion ABC sivua;
(b) kolme suoraa, jotka leikkaavat samassa pisteessä;
(c) neljä pistettä, jotka ovat samalla ympyrällä.
10. Tasossa on kaksi ympyrää,Γ1jaΓ2, joista keskipisteet ovatO1jaO2tässä järjestyksessä. PisteO1on ympyränΓ2ulkopuolella ja pisteO2ympyränΓ1ulkopuolella. Ympyrät leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä ja toinen näistä pisteistä onP. Lisäksi suoraO1P leikkaa ympyränΓ2pisteessäRja suora O2P ympyränΓ1 pisteessäS.
Osoita, että pisteetR, S, O1 jaO2 ovat samalla ympyrällä.
11. Olkoon kolmiossa ABC kulma ∠CAB suora. Lisäksi olkoon piste L sivulla BC pisteiden B ja C välissä. Merkitään pisteiden A, B jaLsekäA, C jaLkautta kulkevia ympyröitä merkinnöilläω1ja ω2vastaavasti. Ympyrätω1jaω2leikkaavat suorat AC jaABpisteissäM jaN vastaavasti.
Osoita, että L, M jaN ovat samalla suoralla.
12. Olkoon ABC kolmio ja X piste kolmion sisältä. Suorat AX, BX ja CX kolmion ABC ympäri piirretyn ympyrän kärkien lisäksi pisteissä P, Qja R tässä järjestyksessä. Valitaan jokin sellainen piste U janaltaXP, että se on aidosti pisteiden X jaP välissä. Oletetaan, että sellainen pisteenU kautta kulkeva suora, joka on yhdensuuntainen suoran AB kanssa, leikkaa janan XQ pisteessäV. Vastaavasti oletetaan, että sellainen pisteenU kautta kulkeva suora, joka on yhdensuuntainen suoran CAkanssa, leikkaa jananXRpisteessäW.
Osoita, että pisteetV, W, QjaR ovat samalla ympyrällä.
13. Olkoonnpositiivinen kokonaisluku. Osoita, että kunx+1
x on kokonaisluku, niin myösxn+ 1 xn on kokonaisluku.
14. Ratkaise positiivisilla reaaliluvuilla yhtälöxx√x= (x√ x)x. 15. Sievennä siten, että nimittäjäksi tulee rationaaliluku: 1
√2 +√ 3 +√
6.
16. PisteetAjaBovat paraabelillay= 2x2+ 4x−2. JananABkeskipiste on origo. Selvitä janan pituus.
17. Olkoona=log1252 jab=log925. Kirjoita log89lukujen ajab lausekkeena.
18. Mikä on pienin luvun 15 monikerta, jonka kymmenjärjestelmäesitys koostuu vain numeroista 0, 4 ja 7, joista kukin esiintyy yhtä monta kertaa?
19. Olkoon√ x=a+b−c, y=a+c−b ja z=b+c−a, missä a,b jac ovat alkulukuja. Josx2=y ja z−√
y on alkuluvun neliö, mitkä ovat mahdollisia tulonabcarvoja?
Vaativampia tehtäviä
Lähetä perustellut ratkaisut osoitteeseenanne-maria.ernvall-hytonen@helsinki.fi. Muista mainita vies- tissä nimesi.
20. Olkoot pisteet L, M ja N kolmion ABC kärkiä A, B ja C vastaavien korkeusjanojen kantapisteet tässä järjestyksessä. Osoita, että pisteidenA,BjaCkautta kulkevat suorat, jotka ovat kohtisuorassa suoria M N,LN jaLM vastaan tässä järjestyksessä, leikkaavat toisensa samassa pisteessä.
21. Olkoon f(x)polynomi, jonka aste on vähintään 2. Määritellään polynomien jono gi(x)seuraavasti:
g1(x) = f(x), gn+1(x) = f(gn(x)) kaikilla n = 1,2, . . .. Olkoon rn polynomin gn(x) nollakohtien keskiarvo. Tiedetään, ettär19= 99. Selvitär99.
22. Etsi kaikki funktiotf rationaaliluvuilta reaaliluvuille, joille pätee f(x+y) =f(x)f(y)−f(xy) + 1
kaikilla rationaaliluvuilla x, y.
23. Olkoot R jarkolmion ABC ympärys- ja sisäsäde jaR0 ja r0 kolmion A0B0C0 ympärys- ja sisäsäde.
Todista, että jos∠C=∠C0 jaRr0=R0r, kolmiot ovat yhdenmuotoiset.
24. Olkoonf(x)funktio, jolle pätee|f(m+n)−f(m)| ≤ n
m kaikilla rationaaliluvuilla njam. Todista, että kaikille luonnollisille luvuille kpätee
k
X
i=1
f(2k)−f(2i)
≤ k(k−1) 2 .
25. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvutn, joille2n−1on kolmella jaollinen ja 2n−1
3 on luvun4m2+ 1 tekijä jollakin kokonaisluvullam.
¦ ¦ ¦
Valmennusviikonloppuna tarkasteltiin verkkoihin liittyviä Tutten polynomeja. Kertauksena: Verkon silta (engl.bridge) on kaari, jonka poistaminen lisää verkon yhtenäisten komponenttien lukumäärää.
Verkonsilmukka(engl.loop) on kaari, joka yhdistää solmun itseensä. KunGon suuntaamaton verkko, jonka jokainen kaari on joko silta tai silmukka ja jossa onasiltaa jabsilmukkaa, Tutten polynomi on TG(x, y) =xayb. Jos verkonGkaarieei ole silta eikä silmukka, tarkastellaan verkkojaG−e(kaari e poistetaan) ja G/e(kaari ekutistetaan, ts. se poistetaan ja sen päätepisteet yhdistetään yhdeksi solmuksi) ja asetetaan TG(x, y) =TG−e(x, y) +TG/e(x, y).
26. Verkon G suuntaus (jokaiselle kaarelle valitaan suunta) on syklitön, jos siinä ei ole suunnattuja syklejä. Todista, ettäG:n syklittömien suuntausten lukumäärä onTG(2,0).
Vihje: Todista, että väite pätee verkoille, joiden kaaret ovat siltoja tai silmukoita, ja että syklittömien suuntausten lukumäärä noudattaa samaa rekursiokaavaa kuin Tutten polynomi.
27. Todista TG(x, y):n määritelmän perusteella, että TG(2,0) = (−1)nχG(−1), missä n on verkon G solmujen lukumäärä jaχG onG:n kromaattinen polynomi. Johda tämän avulla ratkaisu valmennus- viikonloppuna käsiteltyyn tehtävään: kaksijakoisen verkon syklittömien suuntausten lukumäärä ei ole kolmella jaollinen.
28. Todista, että verkon G metsien lukumäärä onTG(2,1). VerkonG metsä on verkko, jolla on samat solmut kuin G:llä, osajoukkoG:n kaarista eikä yhtään sykliä tai silmukkaa.
