TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma
Teemu Lempiäinen
Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka
Toukokuu 2008
Tampereen yliopisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LEMPIÄINEN, TEEMU: Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua Pro gradu -tutkielma, 42 s.
Matematiikka Toukokuu 2008
Tiivistelmä
Tutkielma tarkastelee saksalaisen matemaatikon David Hilbertin aksiooma- järjestelmää Eukleideen geometrialle. Hilbert julkaisi vuonna 1899 kuuluisan teoksensaThe Foundations of Geometry, jossa hän esitti nykyaikaisessa muo- dossa Eukleideen jo yli 2000 vuotta vanhan geometrian.
Tarkastelun alussa kerrotaan lyhyesti aksioomajärjestelmän vaatimuksis- ta ja tämän jälkeen esitetään tarkasteltavalle aksioomajärjestelmälle yleiset käsitteet. Tarkastelussa aksioomat jaetaan viiteen eri ryhmään, jotka kuvaa- vat niiden antamia ominaisuuksia rakennettavalle geometriselle järjestelmäl- le. Lisäksi esitetään aksioomajärjestelmälle tarpeelliset määritelmät, aksioo- mat ja aksioomajärjestelmään keskeisesti liittyviä lauseita.
Tarkastelun lopuksi osoitetaan aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen riippumattomuus. Ensimmäiseksi konstruoidaan malli, jonka avul- la osoitetaan, että aksioomat eivät ole ristiriidassa keskenään. Tämän jälkeen osoitetaan aksioomien keskinäinen riippumattomuus.
Tutkielman päälähteinä on käytetty Hilbertin The Foundations of Geo- metry teoksen ensimmäistä ja 10. laitosta sekä esitetty näiden kahden laitok- sen välisiä eroavaisuuksia tavassa, jolla Hilbert esitti aksioomajärjestelmänsä.
Asiasanat: Geometria, Eukleideen geometria, Hilbertin aksioomajärjes- telmä
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Hilbertin aksioomajärjestelmä 2
2.1 Taustaa . . . 2
2.2 Yleiset käsitteet . . . 2
2.3 Liitännäisaksioomat . . . 3
2.4 Järjestysaksioomat . . . 5
2.5 Yhtenevyysaksioomat . . . 15
2.6 Yhdensuuntaisuusaksiooma (paralleeliaksiooma) . . . 32
2.7 Jatkuvuusaksioomat . . . 35
3 Aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen riip- pumattomuus 36 3.1 Aksioomien ristiriidattomuus . . . 36
3.2 Aksioomien riippumattomuus . . . 37
3.2.1 Yhdensuuntaisuusaksiooman riippumattomuus . . . 38
3.2.2 Yhtenevyysaksioomien riippumattomuus . . . 38
3.2.3 Jatkuvuusaksioomien riippumattomuus . . . 40
Viitteet 42
1 Johdanto
Antiikin Kreikan matemaatikko Eukleides kirjoitti noin 300 eKr. teoksen Al- keet, jossa hän esitteli nykymuotoisen geometrian. Eukleideen lähtökohtana olivat määritelmät, postulaatit ja yleiset merkinnät (eng. common notions).
Näiden perusteella hän todisti, deduktiivisen päättelyn avulla, lauseita, joita ei enää voitu pitää itsestään selvyyksinä. Alkeet-teos otettiin käyttöön hy- vin laajalti ja parin tuhannen vuoden ajan se olikin geometrian opetuksen yksi pääteos. Tutkijat kautta linjan kuitenkin kyseenalaistivat Eukleideen tapaa esittää geometrinen järjestelmä määritelmien, postulaattien, yleisten merkintöjen ja lauseiden avulla.
Eukleideen geometriassa esitettiin viisi postulaattia, joista viimeistä ylei- sesti ottaen kutsutaan paralleelipostulaatiksi. Vuosisatojen ajan lukuisat eri tutkijat kiistelivät siitä, oliko tämä paralleelipostulaatti todellakin postulaat- ti vai lause. Heidän mielestään paralleelipostulaatilla ei ollut sellaista puhdas- ta luonnetta, joka löytyi muilta postulaateilta. Nykyään ajattelemme näiden postulaattien olevan aksioomia. Tästä johtuen paralleeliaksioomaa on yritet- ty todistaa jo aiemmin esitettyjen lauseiden ja aksioomien avulla. Tutkijat ovat kuitenkin epäonnistuneet näissä todistuksissaan. Yhteistä näille todis- tuksille on ollut se, että tekijät ovat vaihtaneet tai korvanneet paralleeliak- siooman toisella aksioomalla, joka on ollut yhtäpitävä Eukleideen postulaa- tin kanssa. Vasta 1800 -luvulla onnistuttiin löytämään uusi geometrinen mal- li, jossa Eukleideen kaikki muut aksioomat, paitsi paralleeliaksiooma, olivat voimassa sellaisenaan. Tätä alettiin loogisesti kutsua epäeuklidiseksi geomet- riaksi. Sen kehittivät koko komeudessaan toisistaan riippumatta unkarilainen Bolyai ja venäläinen Lobatševski. Aikanaan myös Gauss näki tämän, mutta ei esittänyt sitä painetussa muodossa. Epäeuklidisen geometrian syntyminen saatti päätökseen yritykset todistaa paralleeliaksiooman riippuminen muista aksioomista.
Tutkielmassa esittelemme Eukleideen geometrian esitystä saksalaisen ma- temaatikon David Hilbertin teoksen Foundations of Geometry (10. laitos) esittämien aksioomien pohjalta. Hilbert, kuten muutkin matemaatikot, ovat halunneet esittää Eukleideen geometrian aiempaa täsmällisemmin. Tutkiel- man muina lähteinä ovat olleet NevanlinnanGeometrian perusteet, Lehtisen, Merikosken ja Tossavaisen Johdatus tasogeometriaan sekä Priestleyn Intro- duction to Complex Analysis.
Tutkielman luvussa 2 esitämme Hilbertin aksioomajärjestelmän ja esitte- lemme eroavaisuuksia Hilbertin teoksen ensimmäisen ja 10. laitoksen välillä.
Luvussa 3 käymme läpi muodostamamme aksioomajärjestelmän ristiriidat- tomuus- ja riippumattomuustarkastelut.
2 Hilbertin aksioomajärjestelmä
2.1 Taustaa
Rakentaessamme aksiomaattisella menetelmällä geometriaa meidän tulee en- sin esittää joitakin intuitioon perustuvia yleisiä käsitteitä. Tämän jälkeen voimme kuvata erilaisten aksioomien ja määritelmien avulla näitä käsitteitä ja niiden ominaisuuksia. Lisäksi esitämme lauseita, jotka voimme todistaa joko oikeiksi tai vääriksi määritelmien ja aksioomien avulla. Myöhemmässä vaiheessa voimme lisäksi todistaa uusia lauseita jo todistettujen lauseiden avulla. Emme voi kuitenkaan valita aksioomia täysin mielivaltaisesti, vaan niiden tulee olla järkeviä, ja niiden muodostamalla aksioomajärjestelmällä tulee olla seuraavat ominaisuudet:
1. Ristiriidattomuus. Aksioomat eivät saa olla keskenään ristiriidassa.
2. Riippumattomuus. Mikään aksiooma ei saa olla johdettavissa muista aksioomista.
3. Täydellisyys. Kaikki aksioomajärjestelmää koskevat lauseet tulee voida todistaa joko oikeiksi tai vääriksi.
Luvussa 3 käymme läpi muodostamamme aksioomajärjestelmän ristirii- dattomuus- ja riippumattomuustarkastelut.
2.2 Yleiset käsitteet
Teoksessaan Foundations of Geometry David Hilbert jätti määrittelemättä mitä ovat pisteet, suorat ja tasot. Lähdemme liikkeelle ajatuksesta, että meil- lä on epätyhjä ja struktuuriton perusjoukko τ, jota kutsumme avaruudeksi.
Kutsumme avaruuden τ alkioita pisteiksi ja merkitsemme niitä isoilla kir- jaimilla A, B, C, . . .. Avaruuden τ tiettyjä osajoukkoja kutsumme suoriksi, joita merkitsemme vastaavasti pienillä kirjaimilla a, b, c, . . ., sekä tiettyjä osajoukkoja tasoiksi, joita merkitsemme pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla α, β,γ,. . .. Ajattelemme suorien olevan pistejoukkoja ja tasojen muodostuvan sekä pisteistä että suorista.
Pisteet ovat lineaarisen geometrian perusta, kun taas pisteet ja suorat muodostavat tasogeometrian perustan. Pisteet, suorat ja tasot muodostavat puolestaan avaruusgeometrian perustan. Keskitymme tutkielmassa pääsään- töisesti Hilbertin tasogeometriaan ja jätämme avaruusgeometriaan tutustu- misen lukijalle, vaikkakin esittelemme siihen liittyvät aksioomat.
Yleisesti pisteillä, suorilla ja tasoilla ajatellaan olevan muutamia relaa- tioita, joista mainittakoon ”sijaitsee”, ”välissä”, ”yhdensuuntainen”, ”yhtene- vä” sekä ”jatkuva”. Relaatioiden täydellinen ja täsmällinen määrittely tulee aksioomajärjestelmästä. Hilbert järjesti aksioomansa viiteen eri ryhmään,
jotka kuvaavat niiden antamia ominaisuuksia geometriselle järjestelmälle, jo- ta olemme rakentamassa. Merkitsemme näitä ryhmiä seuraavasti:
I: Liitännäisaksioomat II: Järjestysaksioomat III: Yhtenevyysaksioomat
IV: Yhdensuuntaisuusaksiooma (paralleeliaksiooma) V: Jatkuvuusaksioomat
Seuraavissa luvun 2 kappaleissa esitämme tarpeellisia määritelmiä ja ak- sioomaryhmien I - V aksioomat. Lisäksi esitämme niihin keskeisesti liittyviä lauseita.
2.3 Liitännäisaksioomat
Liitännäisaksioomien avulla muodostamme yhteyden pisteiden ja suorien vä- lille. Kun puhumme esimerkiksi kahdesta pisteestä, niin tarkoitamme niiden olevan kaksi eri pistettä. Hilbert ilmaisi ensimmäisen aksioomansa avulla, et- tä kahta pistettä kohti on ainakin yksi suora. Toisen aksiooman avulla hän kertoi näitä suoria olevan korkeintaan yksi. Sanomme ensimmäisen aksioo- mamme avulla näitä suoria olevan täsmälleen yksi.
I 1. Jokaista kahta pistettä A ja B kohti on täsmälleen yksi suora a, joka sisältää molemmat pisteet A ja B. Merkitsemme nyt joko suora AB =a tai suora BA =a.
Voisimme sanoa myöskin, että ”piste A on suoralla a”, ”piste A kuuluu suoralle a”, ”piste A kuuluu suoraan a”, ”piste A sijaitsee suoralla a”, ”A on suoran a piste”, ”suora a kulkee pisteiden A ja B kautta”, ”suora a liittyy pisteisiin A ja B” ja niin edelleen.
I 2. Jokaisella suoralla on vähintään kaksi pistettä. On vähintään kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
Jos piste A kuuluu suoralle a ja samaan aikaan myöskin suoralleb (a 6= b) niin sanomme, että ”suorilla a ja b on yhteisenä pisteenä piste A”, mitä merkitsemme a∩b = {A} eli A ∈ a ja A ∈ b. Yleisesti ottaen sanomme suorien a ja b leikkaavan toisensa pisteessä A.
Lause 2.1. Olkoot a ja b suoria tasossa ja a6=b. Tällöin niillä on joko yksi tai ei yhtään yhteistä pistettä.
Todistus. Teemme vastaoletuksen, että suorilla a ja b on kaksi yhteistä pis- tettä ja olkoot ne pisteetA ja B. Tällöin pisteA kuuluu sekä suorallea että suoralle b ja vastaavasti piste B kuuluu sekä suoralle a että suoralle b. Nyt aksiooman I 1 mukaan sekä suora AB=aettä suoraAB =b, elia=b, mikä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein.
I 3. Kolme pistettäA, B jaC, jotka eivät ole samalla suoralla, määrittelevät yksikäsitteisesti tason α, johon pisteet A, B ja C kuuluvat. Merkitsemme nyt taso ABC =α.
On yhtäpitävää sanoa myöskin, että ”pisteet A, B ja C ovat tason α pisteitä”, ”pisteet A, B ja C ovat tasolla α”, ”pisteet A, B, ja C kuuluvat tasoon α ” ja niin edelleen.
Seuraavien kahden lauseen avulla voimme määritellä tason myös suorien avulla.
Lause 2.2. Suora ja siihen kuulumaton piste määräävät yksikäsitteisesti ta- son.
Todistus. Olkoot sellaiset suora a ja piste C, että C /∈ a. Suoralla a on aksiooman I 2 mukaan vähintään kaksi pistettä. Olkoot ne pisteet A ja B.
Tällöin aksiooman I 1 mukaan suora a = AB, joten meillä on nyt kolme pistettä A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Aksiooman I 3 mukaan pisteet A, B ja C määräävät yksikäsitteisesti tason ABC.
Lause 2.3. Olkoot a ja b suoria, jotka leikkaavat toisensa pisteessä C. Täl- löin ne määräävät yksikäsitteisesti tason.
Todistus. Aksiooman I 2 mukaan suoralla a on piste A ja suorallab on piste B. Koska suorilla a ja b ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste C, niin A 6= B 6= C, joten aksiooman I 3 mukaan pisteet A, B ja C määräävät yksikäsitteisesti tason ABC.
Hilbert sisällytti liitännäisaksioomaryhmään vielä muutamia aksioomia, jotka käsittelevät tasoa ja avaruutta. Esitämme ne tämän kappaleen lopuksi, vaikka tutkielmassa keskitymme pääosin aksioomaryhmän I aksioomiin 1 - 3, jotka käsittelevät pisteitä ja suoria sekä niiden ominaisuuksia tasolla.
I 4. Jos suoran a mitkä tahansa kaksi pistettä A ja B kuuluvat tasoon α, niin tasoon α kuuluvat myös kaikki muutkin suoran a pisteet.
Voimme nyt sanoa, että ”a on tasonα suora”, ”suoraa kuuluu tasoonα”,
”suoraasisältyy tasoonα” ja niin edelleen. Jos pisteAkuuluu sekä suorallea (a /∈α) että tasolleαniin sanomme, että ”suorallaaja tasollaαon yhteisenä pisteenä piste A” ja merkitsemme a∩α ={A} eli A ∈ a ja A ∈ α. Tällöin sanomme, että suora a ja taso α leikkaavat toisensa pisteessä A.
Lause 2.4. Tasollaα ja suorallaa(a /∈α) on joko yksi tai ei yhtään yhteistä pistettä.
Todistus. Teemme vastaoletuksen, että suoralla a ja tasolla α on vähintään kaksi yhteistä pistettä. Olkoot ne pisteet AjaB. Nyt aksiooman I 1 mukaan pisteet A ja B määrittelevät suoran a, joka aksiooman I 4 mukaan kuuluu tasoon α, mikä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein.
I 5. Jos kahdella tasolla α ja β on yksi yhteinen piste A, niin tasoilla α ja β on vähintään kaksi yhteistä pistettä A ja B.
Lause 2.5. Olkoot α ja β kaksi tasoa. Tällöin niillä on joko yhteinen suora tai ei ollenkaan yhteisiä pisteitä.
Todistus. Koska tasot ovat toisistaan eriäviä, niillä ei välttämättä tarvitse olla yhteisiä pisteitä. Mikäli niillä on yhteinen piste A, niin aksiooman I 5 mukaan niillä täytyy olla myös toinenkin yhteinen pisteB. Tällöin aksiooman I 4 mukaan niillä on yhteinen suoraAB. Valitsemme vielä mielivaltaisen tason α pisteen C, joka ei kuulu suoralle AB. Tällöin aksiooman I 3 mukaan, jos pisteCkuuluu tasoonβ, niin tasot ovat samat eliα=ABC =β. Siis tasoilla α ja β on joko yhteinen suora tai ei ollenkaan yhteisiä pisteitä.
I 6. Avaruudessa on vähintään neljä eri pistettä, jotka eivät ole samalla tasolla.
2.4 Järjestysaksioomat
Järjestysaksioomien avulla tulemme määrittelemään pisteen välissäolon suo- ralla täsmällisesti. Samoin niiden avulla pystymme todistamaan intuitiivisen näkemyksemme suorasta, minkä mukaan suora jatkuu molemmista päistään äärettömästi eli suoralla on äärettömästi pisteitä. Suoran jatkuvuuden ta- kaavat kuitenkin vasta jatkuvuusaksioomat, joihin palaamme myöhemmin kappaleessa 2.7.
Olkoot suorallaa kolme pistettäA, B ja C. Mikäli pisteB on pisteidenA ja C välissä, merkitsemme A−B−C. Seuraavien kolmen aksiooman avulla voimme sanoa tarkasti, milloin jokin piste on kahden muun pisteen välissä.
II 1. Jos pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla ja A−B−C, niin myös C−B−A.
II 2. Jos pisteet A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla AB on ainakin yksi sellainen piste C, että A−B−C.
b
A
b
B
b
C
Kuva 1: Aksiooman II 2 graafinen tulkinta.
Aksioomassa II 3 Hilbert [1, s. 4] ja Nevanlinna [4, s. 12] ovat asetta- neet, että kolmesta saman suoran pisteestä täsmälleen yksi on kahden muun välissä. Voimme kuitenkin korvata täsmälleen-sanan enintään-sanalla, kuten Hilbert teki myöhemmin julkaistussa laitoksessaan [2, s. 5] ja todistaa tämän jälkeen lauseena, että on aina yksi piste kahden muun pisteen välissä ([2, theorem 4, s. 6]) ja [3, lause 2, s. 16]).
II 3. Jos suoralla on kolme pistettä, niin niistä enintään yksi piste on kahden muun pisteen välissä.
Seuraavaksi määrittelemme suoralla olevan janan ja sen päätepisteet.
Määritelmä 2.1. Olkoot suorallaa kaksi pistettäA jaB. Tällöin pisteet A ja B sekä kaikki niiden välissä olevat pisteet muodostavat janan AB. Janan AB päätepisteinä ovat pisteetAjaB. PisteidenAja B välissä olevat pisteet ovat jananAB sisäpisteitä. Kaikki suoranapisteet, jotka eivät kuulu janalle AB, ovat janan AB ulkopisteitä.
Näemme helposti aksiooman II 1 perusteella, että janaAB on sama kuin janaBA. Määrittelimme jo aikaisemmin kahden suoran leikkaamisen. Teem- me saman seuraavaksi myös janoille. Määritelmä 2.2 pätee myös myöhemmin esitettävän puolisuoran ja suoran leikkauksessa.
Määritelmä 2.2. Jos kaksi janaa ovat eri suorilla ja niillä on yhteinen sisä- piste, niin sanomme niiden leikkaavan toisensa.
II 4 (Paschin aksiooma). Olkoot tasolla suora a ja siihen kuulumattomat pisteet A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos suora a leikkaa janan AB, niin sen täytyy leikata myös jana BC tai jana AC.
b
A
b
B
bC
a
Kuva 2: Paschin aksiooman graafinen tulkinta.
Vaikkakaan emme ole määritelleet vielä tässä vaiheessa kolmiota, niin intuitiivisesti aksiooman II 4 sanoma on, että jos suora menee kolmion sisään niin sen täytyy tulla sieltä myöskin ulos. Paschin aksioomassa tai-sana täytyy käsitellä logiikan inklusiivi-käsitteen mukaisesti. Tällöin meillä on voimassa, että suora a voi leikata molemmat janat BC ja AC. Pystymme kuitenkin
näyttämään lauseen 2.8 avulla, että molemmat vaihtoehdot eivät voi toteutua yhtäaikaa.
Esitämme nyt aksioomaryhmän II aksioomien avulla saamiamme mielen- kiintoisia lauseita. Hilbert [1, s. 4] otti ensimmäisessä laitoksessaan lauseen 2.6 mukaan toiseen järjestysaksioomaansa, mutta kuten näemme, niin pys- tymme todistamaan sen lauseena.
Lause 2.6. Kahden pisteen A ja C välissä on ainakin yksi sellainen suoralle AC kuuluva piste B, että A−B−C.
bA b C
bE
b
F
b
G
b
B
Kuva 3: Lauseen 2.6 todistus.
Todistus (vrt. [2, theorem 3, s. 6]). Aksiooman I 2 mukaan on sellainen piste E, joka ei ole suoralla AC ja toisaalta aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F, että A−E−F. Nyt aksioomista II 2 ja II 3 seuraa, että suoralla F C on sellainen pisteG, että F −C−G. Aksiooman II 4 mukaan suora EG leikkaa janan AF, joten sen täytyy leikata myös jana AC tai jana F C. Jos suora EG leikkaisi janan F C, niin se olisi sama suora kuin F C, joten sen täytyy leikata jana AC. Olkoon leikkauskohta piste B, koska se on suoran EGja janan AC ainoa yhteinen piste. Siis suoralla AC on sellainen piste B, että A−B−C.
Todistamme lauseessa 2.7, että suoran kolmesta pisteestä yksi on aina kahden muun pisteen välissä, mikä on hyvin yleisesti otettu geometrian kir- joissa aksioomaksi. Tämä johtunee ilmeisesti siitä, että Hilbert otti kyseisen lauseen aksioomakseen [1, s. 4] ensimmäisessä laitoksessaan ja useat geomet- rian tutkijat ovat käyttäneet näitä ensimmäisen laitoksen aksioomia teoksis- saan.
Lause 2.7. Olkoot kolme pistettä A, B ja C samalla suoralla. Tällöin niistä aina yksi on kahden muun pisteen välissä.
b
A
b
B
b
C
b
D
bG
b E
bF
Kuva 4: Lauseen 2.7 todistus.
Todistus (vrt. [2, theorem 4, s. 6]). Oletamme, että ei oleB−A−CeikäA− C−B. Osoitamme, että piste B on pisteiden A jaC välissä. Nyt aksiooman I 2 mukaan on piste D, joka ei ole suoralla AC. Edelleen aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste G, että B −D−G. Sovellamme nyt aksioomaa II 4 pisteisiin B, C ja G ja suoraan AD. Tällöin suoralla AD ja janalla CG on sellainen yhteinen piste E, että C−E−G. Seuraavaksi sovellamme aksioomaa II 4 pisteisiinA,B jaGja suoraanCD. Tällöin on sellainen piste F, ettäA−F −G. Havaitsemme nyt, että suoraCF leikkaa sekä janan AG että janan AE, joten A−D−E. Lisäksi tarkastellessamme pisteitä A,C ja E ja suoraaGD, joka on sama kuin suora BD, huomaamme, että suora GD leikkaa jananAE ja aksiooman II 4 mukaan myös janan AC. Koska suoralla GD ja janalla AC on ainoana yhteisenä pisteenä piste B, niin pisteen B täytyy on pisteiden A ja C välissä, eli A−B−C.
Nyt voimme osoittaa, että aksioomassa II 4 suoraavoi leikata joko janan BC tai janan AC.
Lause 2.8. Olkoot tasolla suora a ja siihen kuulumattomat pisteet A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos suora a leikkaa janan AB, niin se leikkaa joko janan BC tai janan AC.
Todistus (vrt. [4, s. 14-15]). Teemme vastaoletuksen, että suoraaleikkaa mo- lemmat janoista AC ja BC. Oletamme nyt, että suora a leikkaa janan BC pisteessä D, janan AC pisteessä E ja janan AB pisteessä F. Aksiooman I 1 mukaan pisteet D, E ja F ovat toisistaan eriäviä. Voimme olettaa lauseen 2.7 mukaan, ettäE−D−F. Tarkastelemme nyt suoraa BC ja pisteitä A, E ja F. Nyt suora BC leikkaa janan EF, joten aksiooman II 4 mukaan sen on leikattava myös jana AE tai jana AF. Jos suora BC leikkaa janan AE, niin tämä leikkauspiste on yhteisenä pisteenä myös suorilla BC ja AB. Nyt suorat BC ja AB ovat sama suora, jolloin pisteet A, B ja C ovat samalla
bA
b
B
b
C
bF
bD
bE
a Kuva 5: Lauseen 2.8 todistus.
suoralla. Tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Jos taas suora BC leik- kaa janan AF, niin tämä leikkauspiste on yhteisenä pisteenä myös suorilla BC ja AC. Nyt suorat BC ja AC ovat sama suora, jolloin pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla. Myöskin tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa.
Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein.
Myöskin lauseen 2.9 Hilbert [1, s. 4] esitti ensin tarpeettomasti aksioo- mana. Hän kuitenkin muutti sen myöhemmässä laitoksessaan [2, theorem 5, s. 6] lauseeksi, koska se voitiin esittää aiemmin esitettyjen aksioomien ja lauseiden avulla.
Lause 2.9. Suoran neljä pistettä A, B, C ja D voidaan järjestää niin, että A−B−C, A−B−D, A−C−D ja B−C−D.
Todistus (vrt. [3, lause 3, s. 17]). Olkoot suorallaa neljä pistettäA,B,C ja D.
a b
A
b
B
b
C
b
D
b E
bF
bG
bH
Kuva 6: Lauseen 2.9 todistuksen 1. kohdan tapaus.
1. Osoitamme ensimmäiseksi, että jos A−B −C ja B −C −D, niin A−B −D ja A−C −D. Aksiooman I 2 mukaan on piste E, joka ei ole suoralla a, ja aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F, että C−E−F. Nyt aksioomien II 3 ja II 4 avulla huomaamme, että janoilla AE ja BF on yhteisenä pisteenä piste G, eli A−G−E. Lisäksi suora CF leikkaa janan GD pisteessä H, joten G−H−D. Aksiooman II 3 mukaan piste E ei ole janalla AG. Koska suora EH leikkaa janat GD ja AD, niin aksiooman II 4 mukaan A−C−D. Vastaavasti pystymme osoittamaan, että A−B −D.
a b A
b
B
b
C
b
D
bF
bG
bH
Kuva 7: Lauseen 2.9 todistuksen 2. kohdan tapaus.
2. Osoitamme, että jos A−B −C ja A−C −D, niin B −C −D ja A−B−D. Aksiooman I 2 mukaan on sellainen piste G, joka ei ole suoralla a, ja aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F, että B −G−F. Koska suora CF ei leikkaa janoja AB ja BG, niin se ei aksiooman II 4 mukaan myöskään leikkaa janaa AG. Kuitenkin oletuksemme mukaan A−C −D, jolloin suoran CF täytyy leikata jana GD pisteessä H. Lisäksi aksioomien II 3 ja II 4 mukaan suora F H leikkaa janat GD ja BD, joten piste C on janallaBD, eliB−C−D. Lisäksi todistuksen ensimmäisen kohdan mukaan A−B−D.
3. Olkoot nyt suoralla a neljä pistettä. Valitsemme niistä kolme, pisteet P, Q ja R. Lauseen 2.7 mukaan täsmälleen yksi näistä pisteistä on kahden muun pisteen välissä. Olkoon tämä pisteQ. Nimeämme neljänneksi pisteeksi pisteen S. Tällöin aksiooman II 3 ja lauseen 2.7 mukaan piste S voidaan sijoittaa suoralle a viidellä eri tavalla:
(i) jos P −R−S, niin valitsemme A=P, B =Q, C =R ja D=S, (ii) jos R−P −S, niin valitsemme A=R, B =Q,C =P ja D=S, (iii) jos P −S − R ja samalla on voimassa P −Q −S, niin valitsemme
A=P, B =Q, C =S ja D=R,
(iv) jos P −S−Q, niin valitsemme A=P, B =S, C =Qja D=R, (v) jos Q−P −S, niin valitsemme A=P, B =Q, C =R ja D=S.
Nyt tapaukset (i)-(iv) toteuttavat todistuksen toisen kohdan ja tapaus (v) todistuksen ensimmäisen kohdan. Täten voimme sanoa todistuksen kohtien 1. - 3. perusteella, että väite on oikein.
Voimme yleistää lauseen 2.9 tuloksen koskemaan tapausta, jossa suoralla on äärellinen määrä pisteitä.
Lause 2.10. Jos suoralla on äärellinen määrä pisteitä, niin voimme aina järjestää ne seuraavalla tavalla: A, B, C, D, E, . . . , K, missä B on pisteiden A ja C, D, E, . . . , K välissä, C on pisteiden A, B ja D, E, . . . , K välissä ja niin edelleen.
Todistus. Ks. [4, s. 17].
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b
K
Kuva 8: Lauseen 2.10 graafinen tulkinta.
Voisimme muotoilla lauseen 2.11 myös siten, että suoralla on ääretön määrä pisteitä. Riittää kuitenkin tarkastella tapausta, jossa olemme valinneet suoralta kaksi mielivaltaista pistettä, minkä jälkeen osoitamme, että niiden välissä on ääretön määrä pisteitä.
Lause 2.11. Minkä tahansa kahden suoralla sijaitsevan pisteen välissä on aina ääretön määrä pisteitä.
Todistus (vrt. [4, lause 2.9, s. 18]). OlkoonACsuora. Tarkastelemme siis ja- naa AC ja sen sisäpisteitä. Tällöin lauseen 2.6 mukaan on sellainen piste B1, että A−B1−C. Huomaamme määritelmän 2.1 mukaan, että janoilla AB1
ja B1C ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste B1. Nyt janalla B1C on sellainen piste B2, että B1 −B2 −C ja A−B1 −B2. Siis piste B1 on ja- nan AB2 sisäpiste, ja janoilla AB2 ja B2C ei ole lauseen 2.9 mukaan muita yhteisiä pisteitä kuin piste B2. Voisimme jatkaa näin loputtomiin. Todis- tamme lauseen loppuosan induktiolla. Oletamme siis, että janan AC pisteet B1, . . . , Bn ovat sellaisia, että pisteet B1, . . . , Bn−1 ovat janan ABn sisäpis- teitä ja A−B1 −. . .−Bn−1 −Bn. Olkoon nyt Bn+1 sellainen piste, että Bn−Bn+1−C. Tällöin piste Bn+1 ei ole janan ABn sisäpiste, eikä janoilla
ABn+1 ja Bn+1C ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste Bn+1. Tällöin pisteet B1, B2, . . . , Bnovat jananABn+1 sisäpisteitä jaA−B1−B2−. . .−Bn−Bn+1. Olemme osoittaneet, että suoralla olevien kahden pisteen välissä on ääretön
määrä pisteitä.
Lause 2.12. Tason jokainen suora a jakaa tason muut pisteet täsmälleen kahteen joukkoon, joilla on seuraavat ominaisuudet:
(i) Jos pisteet Aja B, jotka eivät kuulu suoraana, kuuluvat eri joukkoihin, niin on sellainen piste C, joka on sekä janalla AB että suoralla a.
(ii) Jos pisteet A ja A′ kuuluvat samaan joukkoon, niin janallaAA′ ja suo- ralla a ei ole yhteisiä pisteitä.
a
bA
bA′
b
B
b
C
Kuva 9: Lauseen 2.12 graafinen tulkinta.
Todistus (vrt. [3, lause 5, s. 19]). Määritellään aluksi relaatio∼sellaisten ta- soon kuuluvien pisteiden joukossa, jotka eivät kuulu suoraan a, asettamalla A ∼ B, jos ja vain jos jana AB ei leikkaa suoraa a. Osoitamme seuraavak- si, että relaatio ∼ on ekvivalenssi, eli se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.
Refleksiivisyys seuraa suoraan relaation ∼ määrittelystä. Aksiooman II 1 mukaan jana AB =BA, joten ∼ on symmetrinen. Näytämme vielä tran- sitiivisuuden. Olkoot A ∼ B ja B ∼ C ja osoitamme, että A ∼ C. Mikäli olisi voimassa A=B tai B =C, niin∼ olisi selvästi transitiivinen. Teemme vastaoletuksen, että eräillä pisteilläA,B ja Con voimassaA ∼B,B ∼C ja A≁C. Jos pisteetA,B jaC eivät sijaitse samalla suoralla, niin vastaoletuk- sen mukaan suoraaleikkaa jananAC, mikä on ristiriidassa aksiooman II 4 ja vastaoletuksen kanssa. Olkoot nyt pisteet A,B jaC samalla suoralla. Koska vastaoletuksen mukaan on voimassa A≁C, niin suorallaa ja janallaAC on yhteinen piste P. Koska piste P on janan AC sisäpiste, niin A−P −C ja jokoA−P−B taiB−P−C, mikä on ristiriidassa sen kanssa, mitä oletimme pisteiltä A, B ja C. Siis relaatio∼ on ekvivalenssi, joten se jakaa suoraan a kuulumattomat pisteet ekvivalenssiluokkiin.
Seuraavaksi osoitamme, että näitä ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kak- si. Aksiooman I 3 mukaan on sellainen tason piste A, että se ei ole suoralla a. Jos taas piste B on suoralla a, niin aksiooman II 2 mukaan on sellainen pisteC, ettäA−B−C. Tällöin ei ole voimassa relaatioA∼C, joten pisteet A ja C kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin. Siis ekvivalenssiluokkia on vähin- tään kaksi. Olkoot pisteet A, B ja C sekä suora a kuten äsken. Valitsemme mielivaltaisen pisteenD, joka ei ole suorallaa. Koska pisteetA,C jaDeivät kuulu suoraan a ja suora a leikkaa janan AC pisteessä B, niin lauseen 2.8 mukaan suoraa leikkaa joko jananADtai janan CD, eli tällöin on voimassa jokoA ∼Dtai B ∼D. Ekvivalenssiluokkia on siis enintään kaksi. Edellisen perusteella ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi.
Määritelmä 2.3. Lauseen 2.12 kahta ekvivalenssiluokkaa kutsumme suo- ran a määräämiksi puolitasoiksi. Sanomme, että samaan luokkaan kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a samalla puolella, kun taas eri luokkiin kuuluvat pisteet sijaitsevat suorana eri puolilla.
Lause 2.13. Suoranajokainen pisteOjakaa suoran muut pisteet täsmälleen kahteen joukkoon, joilla on seuraavat ominaisuudet:
(i) Jos pisteet A ja B kuuluvat eri joukkoihin, niin A−O−B.
(ii) Jos pisteet A ja A′ kuuluvat samaan joukkoon, niin piste O ei kuulu janaan AA′.
b
A
b
A′
b
O
b
B
Kuva 10: Lauseen 2.13 graafinen tulkinta.
Todistus. Määritellään aluksi relaatio ∼sellaisten suoranapisteiden joukos- sa, jotka eriävät pisteestä O, asettamalla A ∼ B, jos ja vain jos piste O ei ole pisteiden A ja B välissä. Osoitamme, että relaatio ∼ on ekvivalenssi.
Refleksiivisyys seuraa suoraan relaation ∼ määrittelystä. Symmetrisyys seuraa aksioomasta II 1. Näytämme vielä transitiivisuuden. Olkoot A ∼ B ja B ∼ C ja osoitamme, että A ∼ C. Koska piste O ei ole pisteiden A ja B välissä, eikä myöskään pisteiden B ja C välissä, niin piste O ei voi olla pisteiden A ja C välissä. Siis A ∼ C, joten ∼ on transitiivinen. Olemme osoittaneet, että relaatio ∼ on ekvivalenssi, joka jakaa suoran a pisteestä O eriävät pisteet ekvivalenssiluokkiin.
Osoitamme nyt, että ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi. Aksiooman I 2 mukaan jokaisella suoralla aon ainakin pisteetAjaO. Lisäksi aksiooman II 2 mukaan on sellainen pisteB, ettäA−O−B, joten pisteetAjaB kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin. Siis ekvivalenssiluokkia on vähintään kaksi. Olkoot pisteetA, O jaBsekä suoraakuten äsken. Valitsemme mielivaltaisen pisteen C, joka kuuluu suoralle a. Lauseen 2.7 mukaan joko C−A−O, A−C−O taiC−O−A. Jos C−A−O, niin ei voi ollaA−O−C, joten pisteC kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste A. Jos A−C−O, niin ei myöskään voi olla A−O−C, joten piste C kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste A. Jos C − O −A, eli piste C kuuluu eri ekvivalenssiluokkaan kuin piste A, niin ei voi olla C −O − B, joten lauseen 2.9 perusteella piste C kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste B. Ekvivalenssiluokkia on siis enintään kaksi. Edellisen perusteella ekvivalenssiluokkia on täsmälleen
kaksi.
Määritelmä 2.4. Lauseen 2.13 kahta ekvivalenssiluokkaa kutsumme suoran a pisteen O määräämiksi puolisuoriksi. Lisäksi piste O kuuluu kumpaankin puolisuoraan. Sanomme, että samaan luokkaan kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a pisteen O samalla puolella, kun taas eri luokkiin kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a pisteenO eri puolilla.
Nyt siis jokainen suoran piste jakaa sen kahteen puolisuoraan. Olkoot pis- teet A, O ja B suorallaaja jakakoon piste O suoran akahteen eri joukkoon.
Jos pisteet A ja B kuuluvat eri joukkoihin, niin ne muodostavat puolisuorat OA ja OB. Tällöin puolisuora OB on puolisuoran OA vastakkainen puo- lisuora. Käytämme merkintää OA koskemaan niin janaa, puolisuoraa kuin suoraakin, mutta asiayhteydestä käy ilmi, mitä tarkoitamme kullakin kerral- la.
Määritelmä 2.5. Olkoon AB, BC, CD, . . ., KL jono janoja. Tällöin ne muodostavatmurtoviivan pisteestäA pisteeseenL. Voimme sanoa sitä myös murtoviivaksi ABCDE· · ·KL. Janojen AB, BC, CD, . . ., KL sisäpisteet, kuten myös pisteetA,B,C, D, E,. . ., K, L ovat murtoviivan pisteitä.
Määritelmä 2.6. Olkoon ABCDE· · ·KL murtoviiva. Mikäli piste A yh- tyy pisteeseen L, eli A = L, niin sanomme murtoviivaa monikulmioksi ja merkitsemme sitä ABCD· · ·K. Janoja AB, BC, CD, . . ., KA kutsumme monikulmion sivuiksi ja pisteitä A,B, C,D,E, . . .,K sen kärjiksi. Jos mo- nikulmion kärjet ovat eri pisteitä, eikä sen sivuja yhdistä muut pisteet kuin kärjet, niin sanomme monikulmiota yksinkertaiseksi.
Yksinkertaisia monikulmioita, joissa on 3, 4, 5, . . ., n kärkeä, kutsum- me vastaavasti kolmioiksi, nelikulmioiksi, viisikulmioksi ja niin edelleen. Jos meillä on kolme pistettä A,B ja C, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, niin sanomme tällöin monikulmiota, jonka kärjet ovat A,B ja C sekä sivut AB, AC ja BC, kolmioksi ABC ja merkitsemme sitä △ABC.
Määritelmä 2.7. Olkoothjaksellaisia suoria, jotka leikkaavat toisensa pis- teessä O, sekä olkoot vastaavassa järjestyksessä suorilla sellaiset puolisuorat h jak, jotka kumpikin alkavat pisteestä O. Kutsumme näiden kahden puoli- suoranhjak yhdistettäkulmaksi, jota merkitsemme joko∠(h, k)tai ∠(k, h).
Sanomme, että kulman kärki on piste O ja sen kyljet ovat puolisuorat h ja k. Kaikki ne pisteet, jotka ovat samalla puolella suoraa k kuin suora h ja samalla puolella suoraa h kuin suorak, ovat kulman∠(h, k) aukeamassa.
Määritelmä 2.8. Olkoon kolmio △ABC, jossa kaksi puolisuoraa h ja k alkavat pisteestä A ja kulkevat pisteiden B ja C kautta. Tällöin sanomme kulman∠(h, k)olevan sivujenAB jaAC välinen kulma tai sivunBC vastai- nen kulma ja merkitsemme sitä myös joko ∠BAC tai ∠A, jos sekaannuksen vaaraa ei ole.
Hyvin usein kulmia merkitään myös pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla, ku- ten α, β, γ ja niin edelleen. Olemme käyttäneet tätä merkintää myös tasoille, mutta asiayhteydestä selviää kumpaa tarkoitamme.
Lause 2.14. Olkoon pisteD kulman∠BAC aukeamassa. Tällöin puolisuora AD leikkaa janan BC.
b
A
b
B
bC
b
D
bE
b
F
Kuva 11: Lauseen 2.14 todistus.
Todistus (vrt. [3, lause 7, s.20]). Jos pisteD on janalla BC, niin puolisuora AD selvästi leikkaa janan BC. Oletamme lisäksi, että piste D ei ole janalla BC. Nyt aksiooman II 2 mukaan suoralla BA on sellainen piste E, että B−A−E. Koska pisteetE,B jaCovat eri pisteitä ja ne eivät kuulu suoralle AD, niin voimme soveltaa aksioomaa II 4 kolmioon △EBC ja suoraan AD.
Tällöin suora AD leikkaa sivun BC eräässä pisteessä F. Koska piste D on kulman ∠BAC aukeamassa, niin suora AD ei leikkaa sivuaEC.
2.5 Yhtenevyysaksioomat
Seuraavien kolmen aksiooman avulla määrittelemme yhtenevyyden, joka on relaatio, janojen välillä.
III 1 (Janojen ensimmäinen yhtenevyysaksiooma). Jos suoralla a on kaksi pistettä A ja B ja jos lisäksi piste A′ on suoralla a′, joka voi olla sama kuin suoraa, niin annetulla puolella pistettäA′ on ainakin yksi sellainen pisteB′, että jana AB on yhtenevä jananA′B′ kanssa. Merkitsemme nytAB ∼=A′B′. Jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa eli AB ∼=AB.
Emme ottaneet aksioomassa III 1 kantaa pisteiden A ja B keskinäiseen järjestykseen, joten seuraavat muotoilut ovat yhtäpitäviä:AB∼=A′B′,AB∼= B′A′, BA∼=A′B′ ja BA∼=B′A′.
Esittäessään janojen ensimmäistä yhtenevyysaksioomaa Hilbert totesi en- simmäisessä laitoksessaan [1, IV 1, s. 8], että tällaisia pisteitä B′ on täsmäl- leen yksi. Myöhemmässä laitoksessaan [2, III 1, s. 10] hän kuitenkin totesi, että on ainakin yksi tällainen piste B′. Tämä siis jätti vielä mahdollisuuden siihen, että näitä mahdollisia pisteitä olisikin useampi kuin yksi. Lauseen 2.18 avulla osoitamme, että tällaisia pisteitä on täsmälleen yksi. Aksiooman III 1 mukaan jokainen jana voidaan esittää annettujen suoran, pisteen ja puolen avulla.
III 2 (Janojen toinen yhtenevyysaksiooma). Jos jana AB on yhtenevä ja- nojen A′B′ ja A′′B′′ kanssa, niin myös jana A′B′ on yhtenevä janan A′′B′′
kanssa.
Toisin sanoen, jos kaksi eri janaa ovat yhteneviä kolmannen janan kanssa, niin ne ovat myöskin keskenään yhteneviä.
Lause 2.15. Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio.
Todistus. Osoitamme janojen yhtenevyyden olevan ekvivalenssirelaatio, jol- loin janojen yhtenevyyden tulee olla refleksiivinen, symmetrinen ja transi- tiivinen. Osoitamme ensimmäiseksi refleksiivisyyden. Aksiooman III 1 mu- kaan jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa. Siis janojen yhtenevyys on refleksiivinen. Seuraavaksi osoitamme symmetrisyyden. Olkoon AB ∼=A′B′, jolloin refleksiivisyyden perusteella A′B′ ∼= A′B′. Nyt aksiooman III 2 mu- kaanA′B′ ∼=AB. Siis janojen yhtenevyys on symmetrinen. Viimeiseksi osoi- tamme janojen yhtenevyyden olevan transitiivinen. Olkoot AB ∼= A′B′ ja A′B′ ∼=A′′B′′. Tällöin symmetrisyyden perusteella A′′B′′∼=A′B′, jolloin ak- siooman III 2 mukaanAB∼=A′′B′′. Siis janojen yhtenevyys on transitiivinen.
Näiden kolmen kohdan perusteella janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaa-
tio.
III 3 (Janojen kolmas yhtenevyysaksiooma). Olkoon suoralla a kaksi janaa AB ja BC, joilla on yhteisenä pisteenään ainoastaan piste B. Olkoon lisäksi suoralla a′, joka voi olla myös suora a, kaksi janaa A′B′ ja B′C′, joilla on yhteisenä pisteenään ainoastaan piste B′. Tällöin, jos AB ∼=A′B′ ja BC ∼= B′C′, niin täytyy ollaAC ∼=A′C′.
b
A′
b
B′
b
C′
a′
b
A
b
B
b
C a
Kuva 12: Aksiooman III 3 graafinen tulkinta.
Tämän jälkeen olemme valmiit määrittelemään janojen summan ja ero- tuksen sekä sen, milloin jokin jana on lyhyempi tai pitempi kuin toinen.
Meidän on mielekästä puhua tässä yhteydessä janojen ekvivalenssiluokkien summasta ja erotuksesta, koska tällöin janoille määrittelemämme laskutoi- mitukset ovat hyvin määriteltyjä.
Määritelmä 2.9. Olkoot AB ja CD janoja. Olkoon suoralla AB sellainen puolisuora l, joka alkaa pisteestä B ja johon kuuluvat kaikki ne suoran AB pisteet, jotka eivät ole samalla puolella pisteen Akanssa. Tällöin aksiooman III 1 mukaan puolisuoralla l on sellainen piste E, että BE ∼=CD. Nyt jana AE on janojen AB ja CD summa. Merkitsemme AB+CD ∼=AE.
Lause 2.16. Jos AB∼=A′B′ ja CD ∼=C′D′, niinAB+CD∼=A′B′+C′D′. Todistus. Olkoot AB, A′B′, CD ja C′D′ sellaisia janoja, että AB ∼= A′B′ ja CD ∼=C′D′. Nyt määritelmän 2.9 mukaan AB+CD on sellainen jana AE, että A−B −E ja BE ∼= CD. Toisaalta samoin A′B′ +C′D′ on sellainen janaA′E′, että A′−B′−E′ jaB′E′ ∼=C′D′. Tällöin lauseen 2.15 perusteella BE ∼=CD ∼=C′D′ ∼=B′E′. Koska AB∼=A′B′, niin aksiooman III 3 mukaan
AE ∼=A′E′.
Määritelmä 2.10. Olkoot AC jana ja B piste, joka kuuluu janalle AC.
Tällöin janaABon janojenAC jaBC erotus. Merkitsemme nytAC−BC ∼= AB.
Määritelmä 2.11. Olkoot AB jaCD janoja. Jos on sellainen pisteE, joka kuuluu janalleCD, ettäAB∼=CE, niin sanomme, että janaABon lyhyempi kuin janaCDja vastaavasti janaCDon pitempi kuin janaAB. Merkitsemme nyt joko AB < CD tai CD > AB.
Lause 2.17. Olkoot AB ja CD janoja. Tällöin yksi vaihtoehdoista AB <
CD, AB ∼=CD ja AB > CD on voimassa.
Todistus. Olkoon puolisuoralla CD sellainen piste E, että AB ∼= CE. Jos C−E −D, niin määritelmän 2.11 mukaan CE < CD, eli AB < CD. Jos E =D, niin selvästiAB ∼=CD. Jos taas C−D−E, niin määritelmän 2.11
mukaan CE > CD ja edelleen AB > CD.
Seuraavan aksiooman avulla määrittelemme yhtenevyyden kulmien välil- lä.
III 4. Olkoot ∠(h, k) kulma ja a′ eräs suora. Olkoon myös annettuna toinen suoran a′ määräämistä puolista. Olkoon suoralla a′ puolisuora h′, joka alkaa pisteestä O′. Tällöin annetulla puolella suoraa a′ on täsmälleen yksi sellai- nen puolisuora k′, että kulma ∠(h, k) on yhtenevä kulman ∠(h′, k′) kanssa.
Samalla kaikki kulman ∠(h′, k′)pisteet sijaitsevat samalla puolella suoraaa′. Merkitsemme nyt ∠(h, k) ∼= ∠(h′, k′). Jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa, eli ∠(h, k)∼=∠(h, k) tai ∠(h, k)∼=∠(k, h).
Tämä tarkoittaa lyhyesti sanottuna, että tason jokainen kulma voidaan esittää annetun puolisuoran annetulla puolella vain yhdellä tavalla. Lisäksi kulmien yhtenevyys on myös ekvivalenssirelaatio, aivan kuten janojen ta- pauksessa janojen yhtenevyys oli ekvivalenssirelaatio. Refleksiivisyys seuraa suoraan aksioomasta III 4, mutta emme pysty todistamaan symmetrisyyttä ja transitiivisuutta vielä tässä vaiheessa.
III 5. Jos kolmioissa △ABC ja △A′B′C′ ovat voimassa yhtenevyydetAB∼= A′B′,AC ∼=A′C′ ja∠BAC ∼=∠B′A′C′, niin pätee myös∠ABC ∼=∠A′B′C′. Vaihtamalla aksioomassa III 5 kolmion kärkipisteiden rooleja saamme, että ∠ABC ∼=∠A′B′C′ ja ∠ACB ∼=∠A′C′B′.
Osoitamme nyt aksiooman III 4 avulla, että aksiooman III 1 mukaisia pisteitä B′ on täsmälleen yksi.
Lause 2.18. Olkoon AB jana. Jos lisäksi piste A′ on suoralla a′, joka voi olla sama kuin suora AB, niin annetulla puolella pistettä A′ on täsmälleen yksi sellainen piste B′, että AB∼=A′B′.
b
A
b
B
b
A′
b
B′
b
B′′
bC′
Kuva 13: Lauseen 2.18 todistus.
Todistus. Aksioomasta III 1 seuraa suoraan, että tällaisia pisteitä B′ on ainakin yksi. Osoitamme, että näitä pisteitä on korkeintaan yksi. Olkoon a′ puolisuora suoralla a′, joka alkaa pisteestä A′. Teemme vastaoletuksen, että puolisuoralla a′ ovat sellaiset pisteet B′ ja B′′, että AB ∼= A′B′ ja AB ∼= A′B′′. Olkoon piste C′ sellainen, että C′ ∈/ a′. Tällöin meillä on voi- massa A′B′ ∼=A′B′′, A′C′ ∼=A′C′ ja ∠B′A′C′ ∼=∠B′′A′C′, jolloin kolmioissa
△A′C′B′ ja△A′C′B′′ on aksiooman III 5 mukaan∠A′C′B′ ∼=∠A′C′B′′. Tä- mä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. Olemme osoittaneet, että tällaisia pisteitä B′ on olemassa
täsmälleen yksi.
Määritelmä 2.12. Kaksi kulmaa ovat toistensa vieruskulmia, jos niillä on yhteinen kärki, yksi yhteinen kylki ja niiden toisistaan eroavat kyljet muo- dostavat suoran. Mikäli kahdesta kulmasta toinen on yhtenevä toisen vierus- kulman kanssa, niin sanomme kulmien olevan toistensa suplementtikulmia.
Lisäksi sanomme kulman olevan suora kulma, jos se on yhtenevä vieruskul- mansa kanssa.
Määritelmä 2.13. Jos suorat a ja b leikkaavat toisensa niin, että yksi leik- kauskulma on suora, niin sanomme näiden suorien olevan kohtisuorassa toi- siaan vastaan ja kutsumme niitä toistensa normaaleiksi. Merkitsemme nyt a⊥b.
Määritelmä 2.14. Kolmio ontasakylkinen, mikäli kaksi sen sivua ovat yh- tenevät. Olkoon kolmio △ABC tasakylkinen. Jos AC ∼=BC, niin sanomme janan AB olevan kolmionkanta, kulmien∠A ja ∠B olevan sen kantakulmia ja kulman ∠C olevan sen huippukulma. Jos vielä lisäksi AC ∼= BC ∼= AB, niin kolmio △ABC ontasasivuinen.
Lause 2.19. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtenevät.
bA
b
B
b
C
bA
b
C
b
B Kuva 14: Lauseen 2.19 todistus.
Todistus. Olkoon △ABC tasakylkinen kolmio, jonka huippukulma on kul- ma ∠BAC. Tällöin meille riittää osoittaa, että ∠ABC ∼=∠ACB. Määritel- män 2.14 mukaan AB ∼=AC ja aksiooman III 4 perusteella jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa, joten ∠BAC ∼= ∠CAB. Tutkimme seuraavak- si kolmioita △ABC ja △ACB. Tällöin huomaamme, että näissä kolmioissa AB ∼= AC, AC ∼= AB ja ∠BAC ∼= ∠CAB, joten aksiooman III 5 mukaan
∠ABC ∼=∠ACB. Siis tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtenevät.
Emme voi vielä tässä vaiheessa todistaa edellisen lauseen käänteislausetta, joka on lause 2.22.
Määritelmä 2.15. Kolmiot △ABC ja △A′B′C′ ovat yhtenevät, jos AB ∼= A′B′, AC ∼= A′C′, BC ∼= B′C′, ∠BAC ∼= ∠B′A′C′, ∠ABC ∼= ∠A′B′C′ ja
∠ACB ∼=∠A′C′B′.
b
A
b
B
bC
b
A′
b
B′
bC′
Kuva 15: Määritelmän 2.15 graafinen tulkinta.
Lause 2.20 (Kolmioiden ensimmäinen yhtenevyyslause). Olkoot △ABC ja
△A′B′C′ kolmioita. JosAB ∼=A′B′, AC ∼=A′C′ ja ∠BAC ∼=∠B′A′C′, niin nämä kolmiot ovat yhtenevät.
b
A
b
B
bC
b
A′
b
B′
bC′
bD
Kuva 16: Lauseen 2.20 todistus.
Todistus (vrt. [2, theorem 12, s. 14]). Aksiooman III 5 mukaan myös∠ABC ∼=
∠A′B′C′ ja ∠ACB ∼= ∠A′C′B′. Riittää enää osoittaa, että sivut BC ja B′C′ ovat yhtenevät. Teemme vastaoletuksen, että BC < B′C′. Tapaus BC > B′C′ menee vastaavasti. Nyt aksiooman III 1 mukaan on sellainen piste D∈B′C′, ettäBC ∼=B′D jaB′−D−C′. Koska kolmioille △ABC ja
△A′B′Dpätevät AB∼=A′B′,BC ∼=B′D ja∠ABC ∼=∠A′B′D, niin aksioo- man III 5 mukaan myös kolmioiden muut kulmat ovat yhtenevät, eli erityi- sesti ∠BAC ∼=∠B′A′D. Mutta tällöin kuitenkin kulma ∠BAC on yhtenevä sekä kulman ∠B′A′Dettä kulman∠B′A′C′ kanssa, mikä on ristiriidassa ak- siooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja sivut BC jaB′C′ ovat
yhtenevät, eli kolmiot △ABC ja △A′B′C′ ovat yhtenevät määritelmän 2.15
mukaan.
Lause 2.21(Kolmioiden toinen yhtenevyyslause). Olkoot△ABC ja△A′B′C′ kolmioita. Jos ∠BAC ∼= ∠B′A′C′, AB ∼= A′B′ ja ∠ABC ∼= ∠A′B′C′, niin kolmiot ovat yhtenevät.
Todistus. Osoitamme, että janat BC ja B′C′ ovat yhtenevät. Teemme vas- taoletuksen, että BC < B′C′. Tapaus BC > B′C′ menee vastaavasti. Ak- siooman III 1 mukaan janalla B′C′ on sellainen piste D, että B′ −D−C′ ja BC ∼= B′D. Nyt kolmioille △ABC ja △A′B′D pätevät AB ∼= A′B′,
∠ABC ∼= ∠A′B′D ja BC ∼= B′D, joten lauseen 2.20 mukaan △ABC ∼=
△A′B′D. Mutta tällöin kuitenkin kulma ∠BAC on yhtenevä sekä kulman
∠B′A′D että kulman∠B′A′C′ kanssa, mikä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja sivut BC ja B′C′ ovat yhtenevät, eli kolmiot△ABC ja △A′B′C′ ovat yhtenevät lauseen 2.20 mukaan.
Osoitamme lauseen 2.19 käänteislauseen, jonka Hilbert [2, theorem 24, s.
22] esitti 10. laitoksessaan vasta paljon myöhemmässä vaiheessa.
Lause 2.22. Jos kolmiolla on kaksi yhtenevää kulmaa, niin se on tasakylki- nen kolmio.
Todistus. Olkoon kolmio △ABC sellainen, että ∠ABC ∼= ∠ACB. Tarkas- telemme seuraavaksi kolmioita △ABC ja △ACB. Oletuksemme mukaan
∠ABC ∼= ∠ACB, BC ∼= CB ja ∠ACB ∼= ∠ABC, mutta tällöin kuiten- kin lauseen 2.21 mukaan △ABC ∼= △ACB, eli erityisesti AC ∼= AB. Siis määritelmän 2.14 perusteella kolmio△ABC on tasakylkinen.
Lause 2.23. Jos kaksi kulmaa ovat yhtenevät, niin niiden vieruskulmatkin ovat yhtenevät.
b
A
b
B
bC
b
D
b
A′
b
B′
bC′
b
D′ Kuva 17: Lauseen 2.23 todistus.
Todistus (vrt. [2, theorem 14, s. 14]). Olkoot kulmat∠ABC ja∠A′B′C′ yh- tenevät ja olkoot vieruskulmat edellisille vastaavasti ∠CBD ja ∠C′B′D′.
Tällöin aksiooman III 1 mukaan voimme valita pisteen B′ kautta kulkevil- ta suorilta sellaiset pisteet A′, C′ ja D′, että AB ∼= A′B′, CB ∼= C′B′ ja DB ∼= D′B′. Nyt lauseen 2.20 mukaan △ABC ∼= △A′B′C′, joten mää- ritelmän 2.15 mukaan sekä AC ∼= A′C′ että ∠BAC ∼= ∠B′A′C′. Lisäk- si aksiooman III 3 perusteella AD ∼= A′D′. Tällöin lauseen 2.20 mukaan
△ACD ∼= △A′C′D′, eli myöskin CD ∼= C′D′ ja ∠ADC ∼= A′D′C′. Koska
∠ADC ∼=∠BDC ja vastaavasti ∠A′D′C′ ∼=∠B′D′C′, niin lauseen 2.20 mu- kaan△BCD∼=△B′C′D′, jolloin kulmat∠CBDja∠C′B′D′ ovat yhtenevät.
Siis yhtenevien kulmien vieruskulmat ovat yhtenevät.
Lauseen 2.23 perusteella myös yhtenevien kulmien suplementtikulmat ovat yhtenevät. Näytämme suorien kulmien olemassaolon seuraavan lauseen avulla.
Lause 2.24. Suoria kulmia on olemassa.
bO
bB
b
C
bA bO A
bB
bC
bD
bB
bC
bD
b b
O
bA
Kuva 18: Lauseen 2.24 todistus.
Todistus. Osoitamme, että on sellainen kulma, joka on yhtenevä vieruskul- mansa kanssa. Olkoot sellaiset pisteetO jaAsekä puolisuoraOA, että puoli- suoraOAalkaa pisteestäO. Olkoot pisteetBjaCsellaiset, että pisteB on eri puolella suoraaOAkuin pisteC, ja ettäOB ∼=OC ja∠BOA∼=∠COA. Nyt lauseen 2.12 mukaan on sellainen piste D, joka on sekä janalla BC että suo- ralla OA. Jos piste D on sama kuin piste O, niin selvästi∠BOA ∼=∠COA.
Tällöin kulmat ∠BOA ja ∠COA ovat toistensa vieruskulmina määritelmän 2.12 mukaan suoria kulmia. Jos piste D on puolisuoralla OA, niin selvästi
∠DOB ∼= ∠DOC. Mikäli piste D on puolisuoran OA vastakkaisella puoli- suoralla, niin lauseen 2.23 mukaan yhtenevyys on edelleen voimassa. Lisäk- si aksiooman III 1 mukaan jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa, joten OD ∼=OD. Aksiooman III 5 perusteella∠ODB ∼=∠ODC riippumatta siitä, kummalla puolella pistettäO piste D on suoralla OA. Siis suoria kulmia on
olemassa.
Lause 2.25. Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suo- ran normaali.
bC
a Db
bA
bB
bE
Kuva 19: Lauseen 2.25 todistus.
Todistus. Olkoot a suora ja A sen ulkopuolella oleva piste. Valitsemme suo- ralta a kaksi mielivaltaista pistettä C ja D. Nyt aksiooman III 4 ja lauseen 2.18 perusteella on täsmälleen yksi sellainen piste E, että se sijaitsee tasolla eri puolella suoraa a kuin piste A, ja että ∠CDA ∼= ∠CDE ja DA ∼= DE.
Tällöin janaAE leikkaa suoranatäsmälleen yhdessä pisteessäB. Huomaam- me nyt tarkastellessamme kolmioita △ADB ja △EDB, että DA ∼= DE,
∠ADB ∼=∠EDB ja DB ∼=DB, joten lauseen 2.20 perusteella kolmiot ovat yhtenevät ja erityisesti∠ABD∼=∠EBD. Koska pisteet A, B jaE sijaitsevat samalla suoralla ja A−B−E, niin kulmat ∠ABD ja∠EBD ovat määritel- män 2.12 mukaan vieruskulmia ja suoria kulmia. Olemme osoittaneet, että suorienAB ja CD välinen leikkauskulma on suora, eli AB⊥CD. Siis suoran a ulkopuolisen pisteenAkautta kulkee täsmälleen yksi suoran normaali.
Määritelmä 2.16. Mikäli suorat a ja b leikkaavat toisensa pisteessä A ja lisäksi on sellaiset pisteetB, C ∈ajaD, E ∈b, ettäB−A−CjaD−A−E, niin sanomme kulmia ∠BAD ja ∠CAE ristikulmiksi.
Lause 2.26. Ristikulmat ovat yhtenevät.
Todistus. Olkoot BC ja DE sellaisia suoria, että ne leikkaavat toisensa pis- teessä A sekäB−A−C jaD−A−E. Nyt määritelmän 2.16 mukaan kul- mat ∠BAD ja ∠CAE ovat ristikulmia ja molemmilla kulmilla on yhteisenä vieruskulmanaan kulma ∠DAC. Koska kulma ∠DAC on yhtenevä itsensä kanssa, niin lauseen 2.23 mukaan ∠BAD ∼=∠CAE.
Lause 2.27. Olkoot tasolla puolisuorat h, k ja l, jotka alkavat samasta pis- teestä O, sekä puolisuorath′, k′ ja l′, jotka myöskin alkavat samasta pisteestä O′. Jos ∠(h, l)∼=∠(h′l′) ja ∠(k, l)∼=∠(k′l′), niin ∠(h, k)∼=∠(h′k′).
bA
bB
bC
bD
bE
a
b
Kuva 20: Määritelmän 2.16 graafinen tulkinta.
bA
b B
b
C
b
O
b
O′
bA′
b B′
b
C′ k
h
l
k′
h′
l′
Kuva 21: Lauseen 2.27 todistus.
Todistus (vrt. [2, theorem 15, s.16]). Oletamme, että puolisuorat h ja k si- jaitsevat samalla puolella puolisuoraa l, sekä vastaavasti, että puolisuorat h′ ja k′ sijaitsevat samalla puolella puolisuoraa l′. Jos olisi niin, että puolisuo- rat h ja k sijaitsisivat eri puolilla puolisuoraa l ja vastaavasti puolisuorat h′ ja k′ sijaitsisivat eri puolilla puolisuoraa l′, niin todistus menisi edellisen tapauksen ja lauseen 2.23 avulla.
Nyt voimme olettaa, että puolisuora h on kulman ∠(k, l) aukeamassa ja lisäksi puolisuorillak, k′, ljal′ovat sellaiset pisteetA, A′, C jaC′ vastaavassa järjestyksessä, että OA ∼= O′A′ ja OC ∼= OC′. Nyt lauseen 2.14 mukaan puolisuora hleikkaa janan AC. Olkoon tämä leikkauspiste piste B. Myöskin puolisuorah′ leikkaa jananA′C′. Olkoon tämä leikkauspiste pisteB′. Tällöin A − B −C ja A′ −B′ −C′. Voimme olettaa, että OB ∼= O′B′. Tällöin oletusten mukaan on OB ∼= O′B′, ∠COB ∼= C′O′B′ ja OC ∼= OC′, joten lauseen 2.20 mukaan△BOC ∼=△B′O′C′, eliBC ∼=B′C′. Toisaalta myöskin
OA ∼= O′A′, ∠AOC ∼= ∠A′O′C′ ja OC ∼= OC′, joten lauseen 2.20 mukaan
△AOC ∼= △A′O′C′, eli AC ∼= A′C′ ja ∠OAC ∼= ∠O′A′C′. Koska AC ∼= A′C′ ja BC ∼= B′C′, niin aksiooman III 3 mukaan AB ∼= A′B′ ja erityisesti
∠OAB ∼=∠O′A′B′, koska A−B−C ja A′−B′−C′. Nyt olemme saaneet, että OA ∼= O′A′, ∠OAB ∼= ∠O′A′B′ ja AB ∼= A′B′, joten lauseen 2.20 mukaan △AOB ∼=△A′O′B′. Tällöin määritelmän 2.15 mukaan täytyy olla, että ∠BOA∼=∠B′O′A′ eli∠(h, k)∼=∠(h′, k′).
Lause 2.28. Olkoon tason kulma ∠(h, k) yhtenevä kulman ∠(h′, k′) kanssa ja olkoon l puolisuora, joka alkaa kulman ∠(h, k) kärjestä O ja sijaitsee sen aukeamassa. Tällöin on aina täsmälleen yksi puolisuoral′, joka alkaa kulman
∠(h′, k′) kärjestä O′ ja on sen aukeamassa niin, että ∠(h, l) ∼= ∠(h′, l′) ja
∠(k, l)∼=∠(k′, l′).
Todistus (vrt. [1, theorem 13, s. 12]). Olkoot puolisuorillah, k, h′jak′ sellai- set pisteetA, B, A′ jaB′vastaavassa järjestyksessä, ettäOA ∼=O′A′jaOB ∼= O′B′. Nyt oletuksemme mukaan∠AOB ∼=∠A′O′B′, joten lauseen 2.20 mu- kaan △AOB ∼= △A′O′B′, eli erityisesti AB ∼= A′B′, ∠OAB ∼= ∠O′A′B′ ja
∠OBA ∼=∠O′B′A′. Koska puolisuoral on kulman ∠AOB aukeamassa, niin se leikkaa janan AB. Olkoon tämä leikkauspiste piste C. Tällöin aksiooman III 1 mukaan janalla A′B′ on sellainen piste C′, että AC ∼= A′C′. Lisäksi aksiooman III 3 perusteella myös BC ∼=B′C′, joten lauseen 2.20 perusteel- la △OBC ∼= △O′B′C′ ja △OAC ∼= △O′A′C′, eli ∠COB ∼= ∠C′O′B′ ja
∠COA∼=∠C′O′A′. Nyt O′C′ on kysytty puolisuora l′. Lause 2.29. Jos pisteet C ja D ovat suoran AB eri puolilla ja lisäksiAC ∼= AD ja BC ∼=BD, niin myös ∠ABC ∼=∠ABD.
b
B
bA
bC bD
Kuva 22: Lauseen 2.29 todistus.
Todistus (vrt. [2, theorem 17, s. 17]). Lauseen 2.19 mukaan∠ACD∼=∠ADC ja ∠BCD ∼= ∠BDC, sekä lauseen 2.27 mukaan ∠ACB ∼= ∠ADB. Huo- maamme soveltamalla lausetta 2.20 kolmioihin△ACBja△ADB, että△ACB ∼=
△ADB, joten erityisesti ∠ABC ∼=∠ABD.
