Fermat'n suuri lause ja Pythagoraan kolmikot

(1)

VILJAMI MÄNNIKKÖ

FERMAT’N SUURI LAUSE JA PYTHAGORAAN KOLMIKOT

Kandidaatintyö

Tarkastaja: Mika Mattila 24.02.2018

(2)

i

TIIVISTELMÄ

VILJAMI MÄNNIKKÖ: Fermat’n suuri lause ja pythagoraan kolmikot Tampereen teknillinen yliopisto

Kandidaatintyö, 26 sivua, 0 liitesivua Joulukuu 2017

TLU koulutusohjelma Pääaine: Matematiikka

Tarkastajat: Yliopisto-opettaja Mika Mattila

Avainsanat: Fermat’n suuri lause, Pythagoraan kolmikot

(3)

ii

ALKUSANAT

Tämä tekniikan kandidaatintyö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matema- tiikan laitokselle. Kiitän kandidaatintyön ohjaajaa ja tarkastajaa yliopisto-opettajaa Mika Mattilaa, työn ohjaamisesta ja tarkastamisesta.

Tampere, 24.2.2018

Viljami Männikkö

(4)

iii

SISÄLLYS

1. Johdanto . . . 1

2. Fermat’n suuri lause . . . 2

2.1 Kokonaislukuratkaisujen löytyminen . . . 2

2.1.1 Tapaus n=1 . . . 2

2.1.2 Tapaus n=2 . . . 4

3. Pythagoraan kolmikot . . . 6

3.1 Kolmikoiden generointi . . . 6

3.1.1 Pythagoran menetelmä . . . 6

3.1.2 Yleinen ratkaisu . . . 8

3.2 Kolmikoiden määrä . . . 18

3.3 Kolmikoiden graafiset ominaisuudet . . . 19

4. Tapaus n=4 . . . 33

5. Yhteenveto . . . 39

Lähteet . . . 40

(5)

iv

KUVALUETTELO

3.1 Pythagoraan kolmion sisälle piirrettyjen kolmen kolmion korkeus on sama kuin ympyrän säteen mitta r. . . 19 3.2 Kolmion sisälle piirretty suurin mahdollinen ympyrä. . . 21 3.3 xy-tasoon piirrettynä pisteinä primitiivisisten Pythagoraan kolmikoi-

den x ja y arvoja, kun tutkitaan kolmikoita, joissa s = 1, ...,9 ja t = 2, ...,9. . . 21 3.4 xy-tasoon piirrettynä pisteinä primitiivisisten Pythagoraan kolmikoi-

den x ja y arvoja, kun tutkitaan kolmikoita, joissa s = 1, ...,29 ja t = 2, ...,19. . . 22 3.5 xy-tasoon piirrettynä pisteinä primitiivisisten Pythagoraan kolmikoi-

den x ja y arvoja, kun tutkitaan kolmikoita, joissa s = 1, ...,49 ja t = 2, ...,49. . . 23 3.6 Primitiivisiä pythagoraan kolmikoita kerrottuna kokonaisluvulla k =

1, ...,9 . . . 23 3.7 Pistejoukkoon piirretty symmetriasuora, kunxjayarvot sadaan Pyt-

hagoraan kolmikoista, joissa s = 1, ...,9 jat= 2, ...,9. . . 24 3.8 Pistejoukkoon piirretty symmetriasuora, kunxjayarvot sadaan Pyt-

hagoraan kolmikoista, joissa s= 1, ...,49 ja t= 2, ...,49 ja kolmikoita skaalataan kokonaisluvuilla k = 1, ...,9. . . 27 3.11 Pistejoukkoon piirretty viiva kuvaamaan pistejoukon muotoa, kun lu-

kujenx jayarvot sadaan Pythagoraan kolmikoista, joissa s= 1, ...,9 ja t = 2, ...,9. . . 28

(6)

v 3.12 Pistejoukkoon piirretty viiva kuvaamaan pistejoukon muotoa, kun

lukujen x ja y arvot saadaan Pythagoraan kolmikoista, joissa s = 1, ...,49 ja t= 2, ...,49 ja kolmikoita skaalataan kokonaisluvuilla k = 1...10. . . 29 3.13 Pythagoraan menetelmällä generoituja Pythagoraan kolmikoita xy-

tasossa, kun n= 1, ...,9. . . 30 3.14 Pythagoraan menetelmällä generoituja Pythagoraan kolmikoita xy-

tasossa, kun n= 1, ...,49. . . 31

(7)

vi

LYHENTEET JA MERKINNÄT

CC license Creative Commons license

SI system Système international d’unités, Kansainvälinen yksikköjärjestelmä TUT Tampere University of Technology

URL Uniform Resource Locator

syt(a, b) lukujen (a, b) suurin yhteinen tekijä

Z⁺ positiivisten kokonaislukujen joukko (1,2,3,4, ...) N luonnollisten lukujen joukko (1,2,3,4, ...)

(x, y, z) kolmen luvun x, y ja z muodostama lukukolmikko

|x| luvun x itseisarvo

a|b luku b on jaollinen luvulla a a∤b luku b ei ole jaollinen luvulla a

x mod y jakojäännös jaettaessa luku xluvulla y. Operatiota mod kutsutaan moduloksi.

(8)

1

1. JOHDANTO

1600-luvulla matemaatikko Pierre De Fermat tutki lukuteoriaa ja teki päätelmän, että yhtälölle xⁿ +yⁿ = zⁿ ei löydetä sellaisia positiivisia kokonaislukuja x, y ja z, mitkä toteuttaisivat yhtälön, kun n > 2. Fermat’n kuoleman jälkeen hänen poi- kansa löysi Diofantoksen kirjan Arithmetica marginaalista merkinnän. Merkinnässä Fermat väitti löytäneensä ”mahtavan” todistuksen päätelmälleen, mutta todistus ei mahtunut hänen mukaansa kyseiseen marginaaliin. Todistusta ei ikinä löydetty mistään Fermat’n papereista, joten on edelleen mysteeri, löysikö Fermat todella todistuksen omalle päätelmälleen, jota alettiin myöhemmin kutsua Fermat’n suureksi lauseeksi. Vuonna 1993 Andrew Wiles väitti löytäneensä todistuksen lauseelle, mutta todistuksessa ilmeni muutamia virheitä, jotka Wiles kuitenkin sai korjattua seuraa- vien vuosien aikana. Vuonna 1995 Fermat’n suuri lause saatiin vihdoin todistettua ja sen todistamisen viimeisiin vaiheisiin tarvittiin monien eri matemaatikkojen apua.[1, s. 382–383]

Tässä työssä perehdytään tarkemmin Fermat’n suureen lauseeseen ja tämän lauseen erityistapaukseenn = 2. Työssä käydään läpi myös todistus tapauksellen = 4, joka todistetaan hyödyntämällä Diofantoksen 20. ongelmaa. Työ etenee Fermat’n suuren lauseen esittelystä tapaukseen, jossa tutkitaan kokonaislukuratkaisujen löytymistä, kun Fermat’n suuren lauseen kokonaislukueksponenttinon pienempi tai yhtä suurta kuin kaksi. Tämän jälkeen siirrytään tutkimaan tarkemmin tapausta n = 2 ja sen yhteyttä pythagoraan lauseeseen, jonka jälkeen siirrytään todistamaan tapaustan = 4.

(9)

2

2. FERMAT’N SUURI LAUSE

Fermat’n suuri lause on erittäin tunnettu ja keskeinen lukuteorian lause. Se esiintyy monessa lukuteorian teoksessa ja se löytyy esimerkiksi lähteestä [2, s. 242].

Lause 2.0.1 (Fermat’n suuri lause). Yhtälölle

xⁿ+yⁿ =zⁿ (2.1)

ei löydy sellaisia positiivisia kokonaislukuja x, y ja z, jotka toteuttaisivat yhtälön, kun n >2 ja n∈N.

Lauseen todistaminen yleisessä tapauksessa on erittäin haasteellista ja se vaatii monien eri matematiikan alojen tuntemusta. Tässä työssä käymme läpi todistuksen tapaukselle n = 4, jonka myös Fermat sai todistettua. Kuitenkin ennen tapauksen n = 4 todistamista työssä tutkitaan tapausta, jossa yhtälön (2.1) kokonaislukueks- ponentti n≤2.

2.1 Kokonaislukuratkaisujen löytyminen

Tässä luvussa käydään läpi Lauseen 2.0.1 tapausta n ≤ 2. Lauseen 2.0.1 mukaan ei löydetä positiivisia kokonaislukuja x, y ja z, jotka toteuttaisivat yhtälön (2.1).

Lause ei kuitenkaan ota kantaa, löydetäänkö positiiviset kokonaisluvut x, y ja z, mitkä toteuttaisivat yhtälön, kun n≤2.

2.1.1 Tapaus n=1

Tutkitaan tapaustan= 1. Kun yhtälöön (2.1) sijoitetaan muuttujan n arvo, yhtälö saadaan muotoon

x¹+y¹ =z¹

x+y=z. (2.2)

(10)

2.1. Kokonaislukuratkaisujen löytyminen 3 Yhtälöstä (2.2) huomataan, että yhtälölle löydetään positiiviset kokonaisluvut x, y ja z, mitkä toteuttavat yhtälön. Valitsemalla x = 1, y = 2 ja z = 3 saadaan yhtälö (2.2) muotoon

1 + 2 = 3, (2.3)

josta nähdään, että luku kolmikko (1,2,3) toteuttaa yhtälön (2.2).

Lause 2.1.1. Olkoon x, y, z ∈N. Yhtälölle

x+y =z

löydetään sellaiset x, y ja z, mitkä toteuttavat yhtälön.

Tutkitaan vielä montako paria (x, y) löydetään, jotka toteuttavat yhtälön, kun kiin- nitämme kokonaisluvun z. Tutkitaan ensin tapausta, missä luku z on parillinen.

Valitaan lukuz ∈N siten, että z=2a, missäa∈N. Nyt voidaan kirjoittaa z = 2a= 2a

2 + 2a

2 =a+a+ (k−k) = (a+k) + (a−k),

missä luku k ∈ Z. Määritelmän mukaisesti tutkittiin positiivisia kokonaisluku kolmikoita, missäx, y, z >0. Nyt voidaan merkitä lukuax=a+k ja lukua y=a−k, kun k < a. Jos k ≥ a, niin y ≤ 0, joka ei toteuta määritelmän ehtoa. Tästä seuraa, että luku k on välillä [0, a). Nyt luku k voidaan valita a eri tavalla, sillä välin [0, a) pituus on a, jolloin erilaisia pareja on a kappaletta. Koska yhteenlasku on vaihdannainen voidaan yhtä hyvin määritellä x = a−k, kun k < a ja y = a+k.

Määrittelemällä luvut x ja y tällä tavalla, päädytään samaan tulokseen kuin mää- rittelemällä x = a+k ja y = a−k. Mutta koska pari (a, a), kun k = 0, on sama molemmissa tapauksissa, niin 2a kappaletta tuottaisi väärän tuloksen, koska pari (a, a) olisi laskettu kahteen kertaan. Tästä johtuen erilaisia pareja on 2a−1 eliz−1 kappaletta, kunz on parillinen.

Tutkitaan vielä tapaus, jossa luku z on pariton. Valitaan nyt z = 2a + 1, missä a∈N. Nyt voidaan kirjoittaa

z = 2a+ 1 =a+a+ 1 =a+a+ 1 +k−k = (a+k) + (a+ 1−k),

missä k ∈ Z. Nyt voidaan valita x = a +k ja y = a+ 1−k. Koska x ja y ovat positiivisia kokonaislukuja, niin

y >0

⇔a+ 1−k >0

⇔k < a+ 1.

(2.4)

(11)

2.1. Kokonaislukuratkaisujen löytyminen 4 Nyt kokonaisluku k on välillä 0≤k < a+ 1. Nyt k voidaan valita a+ 1 eri tavalla.

Mutta koska yhteenlasku on vaihdannainen, niin voidaan yhtä hyvin valitax=a−k jay=a+ 1 +k. Tällöin kokonaisluku k on välillä 0≤k < a, jolloin kokonaisluku k voidaan valita a eri tavalla. Huomataan kuitenkin, että kun k = 0, niin se tuottaa saman parin, kuin ensimmäisen kohdan tapaus, jossak = 0. Molemmissa tapauksissa syntyy pari (a, a + 1), joten erilaisia pareja tähän mennessä on a+ 1 +a −1 = 2a = z −1. Koska yhteenlasku on vaihdannainen voidaan yhtä hyvin valita x = a + 1 +k ja y = a − k ja x = a + 1 − k ja y = a +k. Tutkitaan tuottaako nämä valinnat samoja tuloksia, kuin aikaisemmat valinnat. Tutkitaan seuraavaksi parien muodostamia joukkoja, erilaisilla lukujenx ja y määrittelyillä. Määritellään ensimmäisessä tapauksessax=a+k ja y=a+ 1−k, jolloin saadaan joukko, kun k= 0,1, ..., a:

[(a, a+ 1),(a+ 1, a),(a+ 2, a−1), ...,(2a,1)].

Valitaan seuraavaksi x = a − k ja y = a + 1 + k, jolloin saadaan joukko, kun k= 0,1, ..., a−1:

[(a, a+ 1),(a−1, a+ 2),(a−2, a+ 3), ...,(1,2a)].

Määritellään seuraavaksi luvut seuraavastix=a+ 1−k jay =a+k, jolloin saadaan joukko, kun k= 0,1, ..., a:

[(a+ 1, a),(a, a+ 1),(a−1, a+ 2), ...,(1,2a)].

Viimeisessä tapauksessa x = a+ 1 +k ja y = a−k, jolloin saadaan joukko, kun k= 0,1, ..., a−1:

[(a+ 1, a),(a+ 2, a−1),(a+ 3, a−2), ...,(2a,1)].

Huomataan, että tapauksienx=a+ 1 +k jay=a−k jax=a+ 1−k jay =a+k parit on jo käsitelty, jolloin erilaisia pareja on yhteensä a+ 1 +a−1 = 2a=z−1, kunz on pariton.

Lause 2.1.2. Olkoonz ∈Z⁺. Kun kiinnitetään lukuz, niin löydetäänz−1erilaista (x, y) paria, jossa x, y ∈Z⁺ ja jotka toteuttavat yhtälön z=x+y.

2.1.2 Tapaus n=2

Tutkitaan seuraavaksi tapausta n = 2. Sijoittamalla yhtälöön (2.1) muuttujan n arvo saadaan yhtälö muotoon

x²+y² =z². (2.5)

(12)

2.1. Kokonaislukuratkaisujen löytyminen 5 Yhtälöstä huomataan, että se on samaa muotoa kuin Pythagoraan lauseessa esiin- tyvä yhtälö. Eli tapaus n= 2 on erikoistapaus Pythagoraan lauseesta, koska kaikki Pythagoraan lauseen ratkaisut eivät kelpaa yhtälön (2.5) ratkaisuiksi. Esimerkik- si arvot x = 1, y = √

2 ja z = √

3 toteuttavat Pythagoraan lauseen, mutta eivät yhtälöä (2.5), koska yhtälön ratkaisuiksi kelpaavat vain positiiviset kokonaisluvut.

Yhtälölle (2.5) voidaan kuitenkin löytää positiiviset kokonaisluvut, jotka toteuttavat sen. Valitaan positiiviset kokonaisluvut sillä tavalla, että x = 3, y = 4 ja z = 5, ja sijoittamalla arvot yhtälöön saadaan

3²+ 4² = 9 + 16 = 25 = 5². (2.6) Koska valitut arvot toteuttavat yhtälön ja arvot ovat positiivisia kokonaislukuja, niin yhtälölle (2.1) löytyy ratkaisu positiivisten kokonaislukujen joukosta. Kolmik- koa, joka toteuttaa yhtälön (2.1) kun n = 2, kutsutaan Pythagoraan kolmikoksi.

Pythagoraan kolmikoita käsitellään tarkemmin tämän työn luvussa 3.

(13)

6

3. PYTHAGORAAN KOLMIKOT

Luvussa 2.1 todettiin, että Fermat’n suurelle lauseelle löytyy positiivinen kokonais- lukukolmikko, kun n = 2 ja tällaisia kolmikoita kutsutaan Pythagoraan kolmikoksi. Tässä luvussa tutustumme Pythagoraan kolmikoiden ominaisuuksiin ja tapoihin generoida näitä kolmikoita. Tämän luvun lauseet, määritelmät ja todistukset pe- rustuvat suurimmaksi osaksi lähteeseen [2, s. 242–248]. Mikäli todistus pohjautuu johonkin toiseen lähteeseen, siitä mainitaan todistuksen kohdalla erikseen.

3.1 Kolmikoiden generointi

Pythagoraan kolmikoiden generointiin on monia eri menetelmiä. Seuraavaksi käsit- telemme kaksi erilaista tapaa löytää näitä kolmikoita. Ensimmäiseksi käsitellään Pythagoraan määrittelemä tapa. Tämän jälkeen johdetaan generointitapa, jolla voidaan muodostaa kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot.

3.1.1 Pythagoran menetelmä

Pythagoras määritteli kokonaislukujenx, y ja z generointiin yhtälöt

⎧

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

x= 2n+ 1, y= 2n²+ 2n, z = 2n²+ 2n+ 1,

missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Sijoittamalla kokonaisluku- muuttujat x, y ja z yhtälöön (2.5) voidaan osoittaa, että muuttujat toteuttavat

(14)

3.1. Kolmikoiden generointi 7 yhtälön

x²+y² =z²

⇔(2n+ 1)²+ (2n²+ 2n)² = (2n²+ 2n+ 1)²

⇔4n²+ 2n+ 1 + 4n⁴+ 8n³+ 4n² = 4n⁴+ 4n³+ 2n²+ 4n³+ 4n²+ 2n+ 2n²+ 2n+ 1

⇔4n⁴+ 8n³+ 8n²+ 2n+ 1 = 4n⁴+ 8n³+ 8n²+ 4n+ 1

⇔0 = 0.

(3.1) Koska yhtälön molemmat puolet ovat yhtäsuuret, muuttujat x, y ja z toteuttavat yhtälön. Koska muuttujat x, y ja z toteuttavat yhtälön (2.5), niin kolmikko (2n+ 1,2n² + 2n,2n²+ 2n+ 1) on Pythagoraan kolmikko.

Lause 3.1.1. Olkoon n mielivaltainen positiivinen nollasta poikkeava kokonaisluku.

Jos

⎧

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

x= 2n+ 1, y= 2n²+ 2n, z = 2n²+ 2n+ 1, niin (x, y, z) on Pythagoraan kolmikko.

Esimerkki 3.1.1. Generoidaan Pythagoraan kolmikko valitsemalla n = 2. Laske- taan muuttujienx, y ja z arvot

⎧

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

x= 2·2 + 1 = 5,

y= 2·(2)²+ 2·2 = 12, z = 2·(2)²+ 2·2 + 1 = 13.

Tutkitaan vielä, että saadut arvot toteuttavat yhtälön (2.5) 5²+ 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

Koska saadut kokonaisluvut toteuttavat yhtälön, kolmikko (5,12,13) on Pythago- raan kolmikko.

Koska Lauseen 3.1.1 generointitapa tuottaa Pythagoraan kolmikon mielivaltaisella positiivisella kokonaisluvullan, niin Pythagoraan kolmikoita on ääretön määrä Kol- mikoita on ääretön määrä, koska positiivisten kokonaislukujen joukko on ylhäältä rajoittamaton, joka tarkoittaa sitä, että luku n voidaan valita äärettömän monella eri tavalla.

(15)

3.1. Kolmikoiden generointi 8

3.1.2 Yleinen ratkaisu

Yleisen ratkaisun todistamisessa tarvitaan lukuteoriaan liittyviä lauseita, jotka käy- dään läpi seuraavaksi. Määritellään aluksijaollisuus.

Määritelmä 3.1.1. Kokonaisluku b on jaollinen kokonaisluvulla a ̸= 0, jos on olemassa sellainen kokonaisluku c, joka toteuttaa yhtälön b = ac. Kokonaisluvun b jaollisuutta kokonaisluvulla a merkitään a|b. Jos kokonaisluku b ei ole jaollinen kokonaisluvullaa, niin tällöin merkitään a∤b.

Lause 3.1.2. Kokonaisluvuille a, b ja c on voimassa:

(1) Jos a|b ja b̸= 0, niin |a| ≤ |b|.

(2) Jos a|b ja a|cja x ja y ovat mielivaltaisia kokonaislukuja, niin a|(bx+cy). [2, s. 24]

Todistus. Olkoot a, b ja c kokonaislukuja ja b ̸= 0. Jos a|b, niin on olemassa koko- naislukuc, jolle on voimassab=ac, missäac̸= 0. Tästä edelleen seuraa, ettäc̸= 0.

Otetaan yhtälöstäb=ac itseisarvot, ja saadaan yhtälö muotoon:

b =ac⇒ |b|=|ac| ⇔ |b|=|a||c|.

Koska c ̸= 0, niin |c| > 0. Koska |c| ≥ 1, niin |b| = |a||c| ≥ |a|. Tämä todistaa kohdan (1).

Olkoona, bjackokonaislukuja, joille pätee a|b jaa|c. Koska a|b jaa|c, niin voidaan löytää kokonaisluvut r ja s, joille on voimassa b = ar ja c = as. Nyt sijoittamalla edellämainitut arvot termiinbx+cy, saadaan

bx+cy =arx+asy =a(rx+sy).

Koska bx+cy =a(rx+sy), niin a|(bx+cy) kaikilla kokonaisluvuilla x ja y, mikä todistaa kohdan (2).

Käydään seuraavaksi läpi keskeinen lause lukuteoriassa. Lausetta hyödynnetään tut- kittaessa luvun jaollisuutta toisella luvulla. Jakoyhtälön todistus mukailee lähteen [2][s.20] todistusta.

Lause 3.1.3 (Jakoyhtälö). Kokonaisluvuille a ja b, b > 0, on olemassa yksikäsittei- set kokonaisluvut q ja r, jotka toteuttavat yhtälön

a=qb+r.

(16)

3.1. Kolmikoiden generointi 9 Kokonaislukua q kutsutaan osamääräksi ja kokonaislukua r kutsutaan jakojäännök- seksi.

Todistus. Aloitetaan todistus todistamalla, että joukko S ={a−xb|x∈Z;a−xb ≥0}

ei ole tyhjä joukko. Tämä saadaan todistettua näyttämällä, että sopivan muuttujan x arvon sijoittaminen termiin a −xb tuottaa ei-negatiivisen tuloksen. Koska kokonaislukub ≥1, niin|a|b≥ |a|. Nyt valitsemalla x=−|a| saadaan

a−(−|a|)b =a+|a|b ≥a+|a| ≥0.

Nyt koska a −xb = a−(−|a|)b ≥ 0 kun x = −a, niin tällöin a− xb ∈ S. Nyt hyvinjärjestysperiaatteen mukaisesti joukostaS löydetään pienin alkio, koska joukko S ei ole tyhjä joukko. Merkitään pienintä alkiota kirjaimella r. Nyt joukon S määritelmän perusteella, löydetään sellainen kokonaislukuq, joka toteuttaa yhtälön

r =a−qb, 0≤r.

Oletetaan, ettär < b. Jos r ≥b, niin

r≥b r−b≥0 (a−qb)−b≥0 a−(q+ 1)b≥0.

(3.2)

Kokonaislukua−(q+ 1)b ≥0 on oikeaa muotoa, mistä syystä se kuuluu joukkoon S. Mutta a−(q+ 1)b=r−b < r, josta seuraa ristiriita, sillä joukossa S ei voi olla lukua r pienempiä alkioita. Tästä syystä r < b.

Seuraavaksi todistetaan, että kokonaisluvut q ja r ovat yksikäsitteisiä. Oletetaan, että luvulle a on kaksi eri esitysmuotoa

a=qb+r=q^′b+r^′,

missä 0≤r < b ja 0≤r^′ < b.Nyt r^′−r =b(q−q^′). Ottamalla yhtälöstä puolittain itseisarvot saadaan

|r^′−r|=|b(q−q^′)|=|b||q−q^′|=b|q−q^′| (3.3)

(17)

3.1. Kolmikoiden generointi 10 Koska 0≤r < b, niin myös−b <−r ≤0. Nyt koska−b <−r ≤0 ja 0≤r^′ < b, niin

−b < r−r^′ < btai itseisarvojen kanssa |r−r^′|< b. Nyt|r−r^′|< b ⇔b|q−q^′|< b, mistä seuraa, että

0≤ |q−q^′|<1.

Koska|q−q^′|on ei-negatiivinen kokonaisluku, niin ainut vaihtoehto on, että|q−q^′|= 0, josta seuraa, että q=q^′. Tästä seuraa taas, ettär =r^′, joten kokonaisluvut q ja r ovat yksikäsitteisiä.

Määritellään seuraavaksisuurin yhteinen tekijäja muutamia siihen liittyviä keskeisiä lauseita.

Määritelmä 3.1.2. Olkoon a₁, a₂, ..., a_n kokonaislukuja, joista vähintää yksi luku eroaa nollasta. Lukujena₁, a₂, ..., a_nsuurin yhteinen tekijä on positiivinen kokonais- lukud, joka toteuttaa seuraavat ehdot:

(1) d|a₁, d|a₂, ..., d|a_n

(2) Jos c|a₁, c|a₂, ..., c|a_n, niin c≤d.[2, s. 25]

Lause 3.1.4. Mille tahansa joukollea₁, a₂, ..., a_n ∈N, missä jokina_i ̸= 0, löydetään aina suurin yhteinen tekijä syt(a₁, a₂, ..., a_n) = d.

Todistus. Olkoon a₁, a₂, ..., a_n ∈ N, missä jokin a_i ̸= 0. Määritelmän 3.1.2 mukaan lukujena₁, a₂, ..., a_n suurin yhteinen tekijä on positiivinen kokonaisluku d, joka to- teuttaa kaksi määritelmässä kerrottua ehtoa, mikäli sellainen löydetään joukolle.

Todistetaan ensin Määritelmän 3.1.2 kohta (1). Koska jokin a_i ̸= 0, niin tällöin luvun d pitää olla jokin luvun a_i tekijöistä, joita on äärellinen määrä. Mikäli luku a_j = 0, niin ^a_d^j = _d⁰ = 0, jolloin luku on jaollinen luvulla d. Valitaan toinen luku a_k ̸= 0. Koska a_k = a_k · 1 ja a_i = a_i ·1, niin valitsemalla d = 1 saadaan d|a₁, d|a₂, ...d|a_i, ..., d|a_k, .., d|a_n. Aina on siis olemassa ainakin yksi luku d, jolla d|a₁, d|a₂, ..., d|a_n, joka toteuttaa ehdon (1).

Valitaan nyt kaikki luvut c₁, c₂, ..., c_n, joille kaikille pätee c_i|a₁, c_i|a₂, ..., c_i|a_n. Kos- ka jokaisella luvulla a₁, a₂, ..., a_n on äärellinen määrä tekijöitä, niin myös lukuja c₁, c₂, ..., c_n on äärellinen määrä. Koska lukuja c₁, c₂, ..., c_n on äärellinen määrä, niin luvuistac₁, c₂, ..., c_n pystytään valitsemaan suurin lukuc_j, jota voidaan merkitä kirjaimella d. Nyt jokainen luku c_k ≤ d, jolloin luku d on lukujen a₁, a₂, ..., a_n suurin yhteinen tekijä Määritelmän 3.1.2 mukaan.

Määritelmä 3.1.3. Olkoon (a, b, c) Pythagoraan kolmikko. Jos syt(a, b, c) = 1, niin kolmikkoa kutsutaanprimitiiviseksi

(18)

3.1. Kolmikoiden generointi 11 Esimerkki 3.1.2. Tutkitaan Esimerkissä 3.1.1 löydettyä Pythagoraan kolmikkoa (5,12,13). Etsitään kolmikon jokaisen luvun tekijät:

5 = 5·1 = 5¹·1¹,

12 = 3·2·2·1 = 3¹·2²·1¹, 13 = 13·1 = 13¹ ·1¹.

(3.4)

Lukujen tekijöistä nähdään, että syt(5,12,13) = 1, joten kolmikko (5,12,13) on primitiivinen Pythagoraan kolmikko.

Lause 3.1.5. Olkoot a₁, a₂, ..., a_n mielivaltaisia kokonaislukuja, joista ainakin yk- si on eri suuri kuin nolla. Tällöin on olemassa kokonaisluvut x₁, x₂, ..., x_n, jotka toteuttavat yhtälön

syt(a₁, a₂, ..., a_n) = a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_nx_n. (3.5) Todistus. [2, s. 25] Olkoon S joukko, joka koostuu kaikista muuttujien a₁, a₂, ..., a_n positiivisista lineaarikombinaatioista, tällöin

S ={a₁u₁+a₂u₂+· · ·+a_nu_n|a₁u₁+a₂u₂+· · ·+a_nu_n>0;u₁, u₂, ..., u_n ∈Z}. (3.6) Joukko S ei ole tyhjä joukko, sillä esimerkiksi, jos a₁ ̸= 0, niin kokonaisluku |a₁| = a₁u₁ +a₂ ·0 + · · ·+a_n ·0 ∈ S, missä u₁ = 1 tai u₁ = −1 riippuen siitä, onko a₁ positiivinen vai negatiivinen. Koska kaikista epätyhjistä positiivisista kokonais- lukujoukoista voidaan hyvinjärjestysperiaatteen nojalla löytää pienin mahdollinen luku, niin myös joukolle S voidaan löytää pienin mahdollinen positiivinen alkio d. Joukon S määritelmän mukaan on olemassa kokonaisluvut x₁, x₂, ..., x_n, joille d=a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_nx_n. Osoitetaan, että d= syt(a₁, a₂, ..., a_n).

Koska luku a₁ on kokonaisluku, se voidaan jakoyhtälöä 3.1.3 käyttäen kirjoittaa muodossaa₁ =qd+r, missä 0≤r < djaq≥1. Ratkaistaan yhtälöstä muuttujarja sijoitetaan muuttujandpaikalle aikaisemmin määriteltyd =a₁u₁+a₂u₂+· · ·+a_nu_n

a₁ =r+qd

⇔r=a1−qd=a1−q(a₁u1+a2u2+· · ·+anun)

⇔r=a₁−qa₁u₁−qa₂u₂− · · · −qa_nu_n=a₁(1−qu₁)−qa₂u₂ − · · · −qa_nu_n

⇔r=a1(1−qu1) +a2(−qu2) +· · ·+an(−qun).

(3.7) Yhtälössä oletuksen mukaan r ≥ 0. Koska r on muotoa a₁(1−qu₁) +a₂(−qu₂) +

· · ·+a_n(−qu_n), niin r ∈ S. Nyt on oltava r = 0, sillä muuten d ei olisi joukon S

(19)

3.1. Kolmikoiden generointi 12 pienin positiivinen luku.

Tästä johtuen a₁ = qd tai ekvivalentisti d|a₁. Samaan tapaan voidaan osoittaa et- tä d|a_i jokaisella 2 ≤ i ≤ n. Koska d|a_i jokaisella i ∈ 1, ..., n, niin d on lukujen a₁.a₂, ..., a_n yhteinen tekijä.

Olkoon c mielivaltainen positiivinen kokonaislukujen a₁, a₂, ...an yhteinen tekijä.

Lauseen 3.1.2 kohdan (2) mukaanc|a₁u₁+a₂u₂+· · ·+anun, jokaisellau₁, u₂, ..., un∈ Z ja erityisesti c|d. Lauseen 3.1.2 kohdan (1) mukaan c = |c| ≤ |d| = d, joten d on suurempi kuin mikä tahansa kokonaislukujena₁, a₂, ..., an yhteinentekijä. Täten syt(a₁, a₂, ..., an) =d=a₁u₁+a₂u₂ +· · ·+anun.

Lause 3.1.6. Jos syt(a₁, a2, ..., an) = d, niin syt(a₁/d, a2/d, ..., an/d) = 1.

Todistus. [2, s. 27] Olkoon a₁, a₂, ..., a_n ∈N ja syt(a₁, a₂, ..., a_n) = d. Lauseen 3.1.5 mukaan löydetään sellaiset kokonaisluvutx₁, x₂, ..., x_n, jotka toteuttavat yhtälön

syt(a₁, a₂, ..., a_n) = d=a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_nx_n.

Jakamalla yhtälö puolittain suurimmalla yhteisellä tekijällä d saadaan yhtälö muotoon

1 = (a₁/d)x₁+ (a₂/d)x₂+· · ·+ (a_n/d)x_n. Lauseen 3.1.5 perusteella yhtälö saadaan muotoon

1 = (a₁/d)x₁+ (a₂/d)x₂+· · ·+ (a_n/d)x_n = syt(a₁/d, a₂/d, ..., a_n/d).

Tällöin luvun 1 on oltava pienin positiivinen alkio lukujen â_d¹,â_d², ...,â_dⁿ lineaari- kombinaatioiden joukossa. Koska d on lukujen a₁, a₂, ..., a_n yhteinen tekijä, niin a₁/d, a₂/d, ..., a_n/d∈N.

Lause 3.1.7. Jos ab =cⁿ, missä syt(a, b) = 1, niin on olemassa positiiviset koko- naisluvuta₁ ja b₁, joiden avulla voidaan kirjoittaa a=aⁿ₁ ja b=bⁿ₁.

Todistus. Olkoon a >1,b >1 ja syt(a, b) = 1. Jos

a =p^k₁¹p^k₂²...p^k_r^r ja b =q₁^j¹q^j₂²...q_s^j^s

ovat muuttujien a ja b alkutekijähajotelmat, niin yksikään muuttujan a tekijä ei esiinny muuttujan b tekijöiden joukossa, koska syt(a, b) = 1. Muuttujien a ja b

(20)

3.1. Kolmikoiden generointi 13 tekijöihin jaon seurauksena voidaan kirjoittaa

ab=p^k₁¹p^k₂²...p^k_r^rq^j₁¹q₂^j²...q^j_s^s. Oletetaan, että lukucvoidaan jakaa tekijöihin seuraavasti:

c=u^l₁¹u^l₂²...u^l_t^t.

Näin ollen yhtälö ab=cⁿ voidaan kirjoittaa lukujen a, b, c tekijöiden avulla, jolloin yhtälö tulee muotoon

p^k₁¹p^k₂²...p^k_r^rq^j₁¹q₂^j²...q_s^j^s = (u^l₁¹u^l₂²...u^l_t^t)ⁿ=u^nl₁ ¹u^nl₂ ²...u^nl_t ^t. (3.8) Tästä nähdään, että tekijät u₁, u₂, ..., u_t ovat samat kuin p₁, p₂, ..., p_r, q₁, q₂, ..., q_s satunnaisessa järjestyksessä. Nähdään myös, että eksponentit nl₁, ..., nl_t vastaavat eksponentteja k₁, ..., k_r, j₁, ..., j_s. Koska eksponentit vastaavat toisiaan, niin kaikki muuttujatk_i ja j_i ovat jaollisia kokonaisluvullan. Jos nyt kirjoitetaan

a₁ =p^k₁¹^/np^k₂²^/n...p^k_r^r^/n, (3.9) niin saadaan

aⁿ₁ =p^k₁¹^·n/np^k₂²^·n/n...p^k_r^r^·n/n =p^k₁¹p^k₂²...p^k_r^r =a (3.10) samaan tapaan, jos

b₁ =q^j₁¹^/nq₂^j²^/n...q^j_s^s^/n, (3.11) niin

bⁿ₁ =q₁^j¹^·n/nq₂^j²^·n/n...q^j_s^s^·n/n=q^j₁¹q₂^j²...q_r^j^s =b. (3.12) Väite on siis todistettu.

Oletetaan, että (x, y, z) on mielivaltainen Pythagoraan kolmikko jad= syt(x, y, z).

Tutkitaan tapausta, jossa jaetaan kolmikon kokonaisluvut kolmikon suurimmalla yhteisellä tekijällä. Nyt voidaan kirjoittaa kokonaisluvut (x₁, y₁, z₁) kokonaislukujen (x, y, z) avulla. Kokonaisluvut saadaan muotoon x = dx₁, y = dy₁ ja z = dz₁.

(21)

3.1. Kolmikoiden generointi 14 Sijoittamalla nyt saadut arvot yhtälöön (2.5) saadaan

x²+y² =z² (dx₁)²+ (dy₁)² = (dz₁)²

d²x²₁+d²y₁² =d²z₁² d²(x²₁+y²₁) = d²z₁² x²₁+y₁² =z₁².

(3.13)

Yhtälöstä nähdään, että myös kolmikko (x₁, y₁, z₁) on Pythagoraan kolmikko. Tutki- taan seuraavaksi kolmikon (x₁, y₁, z₁) suurinta yhteistä tekijää. Muokataan kolmikon (x, y, z) kokonaislukujen määrittelyä seuraavasti: x₁ = x/d, y₁ = y/d ja z₁ = z/d.

Sijoittamalla yhtälöön (3.13) kokonaislukujen (x₁, y₁, z₁) arvot saadaan

(x d

)2

+

(y d

)2

=

(z d

)2

. (3.14)

Lauseen 3.1.6 mukaan

syt(x/d, y/d, z/d) = syt(x₁, y₁, z₁) = 1.

Koska syt(x/d, y/d, z/d) = 1, niin kolmikko (x/d, y/d, z/d) on primitiivinen. Koska kertomalla primitiivisen Pythagoraan kolmikon kokonaislukuratkaisuja (x₁, y₁, z₁) mielivaltaisella nollasta poikkeavalla positiivisella kokonaisluvulla saadaan muodos- tettua uusia Pythagoraan kolmikoita, niin riittää löytää kaikki primitiiviset Pytha- goraan kolmikot. Primitiivisten Pythagoraan kolmikoiden avulla saadaan löydettyä kaikki muutkin mahdolliset Pythagoraan kolmikot.

Ennen yleisen ratkaisun määrittämistä tarvitsee vielä käydä läpi muutama lause liittyen primitiivisiin Pythagoraan kolmikoihin.

Lause 3.1.8. Jos kolmikko (x, y, z) on primitiivinen Pythagoraan kolmikko, niin toinen kokonaisluvuista x ja y on parillinen ja toinen on pariton.

Todistus. Olkoon (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmikko, missäxjayovat parillisia kokonaislukuja. Koska xja y ovat parillisia, niin 2|x, 2|y ja 2|(x²+y²) =z², joten myös 2|z. Koska 2|x, 2|y ja 2|z, niin syt(x, y, z) = d ≥ 2, joka on ristiriidassa primitiivisen Pythagoraan kolmikon määritelmän kanssa. Jos taas x ja y ovat molemmat parittomia, niinx² ≡1(mod 4) ja y² ≡1(mod 4), josta seuraa

z² =x² +y² ≡1 + 1 ≡2 (mod 4).

(22)

3.1. Kolmikoiden generointi 15 Tämä on myös mahdoton tilanne, sillä kun otetaan neliö mistä tahansa kokonaislu- vusta, niin jaettaessa neliö luvulla 4 jakojäännös on aina 0 tai 1. Koskaxja y eivät voi olla molemmat parillisia eikä parittomia, niin toisen muuttujista x ja y täytyy olla pariton ja toisen parillinen.

Koska primitiivisen kolmikon kokonaisluvuistaxjaytoinen on pariton ja toinen parillinen, niin voidaan tutkia kokonaisluvunz parillisuutta tai parittomuutta. Olkoon kolmikko (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmikko, missäxon parillinen ja yon pariton. Jos x = 2a, missä a ∈ N, niin x² = (2a)² = 4a², joka on aina parillinen.

Tästä syystä myös x² parillinen. Koska y on pariton, niin y = 2b+ 1, missä b ∈N. Nyty² = (2b+ 1)² = 4b²+ 2b+ 1 on pariton. Koskaz² =x²+y² ja x² on parillinen ja y² on pariton, niin tästä seuraa, että myös z² on pariton. Koska z² on pariton, niin myösz on pariton.

Seurauslause 3.1.1. Jos kolmikkox, y, z on primitiivinen, niin kokonaisluvuistax ja y toinen on parillinen ja toinen pariton ja kokonaisluku z on pariton.

Näiden lauseiden avulla pystytään kehittämään yleinen menetelmä Pythagoraan kolmikoiden generoinnille, joka mahdollistaa kaikkien mahdollisten Pythagoraan kolmikoiden generoinnin.

Lause 3.1.9. Kaikki mahdolliset primitiiviset Pythagoraan kolmikot saadaan gene- roitua yhtälöiden

x= 2st, y=s²−t², z =s²+t²

avulla, missä muuttujat s ja t toteuttavat ehdot s > t > 0, syt(s, t) = 1 ja s ̸≡

t (mod 2).

Todistus. Olkoon (x, y, z) primitiivinen Pythagoraan kolmikko. Lauseen 3.1.1 mukaan muuttujista x ja y toinen on parillinen ja toinen pariton ja muuttuja z on pariton. Olkoon nyt muuttuja x parillinen ja muuttujay pariton. Koska muuttujat yja z ovat parittomia, niin z+y jaz−yovat parillisia. Tästä syystäz+y ja z−y voidaan kirjoittaa positiivisten kokonaislukumuuttujien u ja v avulla seuraavasti:

z−y = 2u ja z +y = 2v. Yhtälöstä z −y = 2u voidaan ratkaista luku u, jolloin saadaan u = ^z−y₂ . Samaan tapaan yhtälöstä z +y = 2v voidaan ratkaista luku v,

(23)

3.1. Kolmikoiden generointi 16 jolloin saadaanv = ^z+y₂ . Pythagoraan lause voidaan kirjoittaa nyt muotoon

x²+y² =z²

x² =z²−y² = (z+y)(z−y) = (2v)(2u) = 4uv x²

4 =uv x² 2² =uv

(x 2

)2

=uv.

(3.15)

Oletetaan nyt, että syt(u, v) = d > 1. Selvästi d|(u−v) ja d|(u+v). Kirjoitetaan nyt muuttujat uja v muuttujien y ja z avulla, jolloin u−v saadaan muotoon

u−v = z+y

2 − z−y

2 = z+y−z+y

2 = 2y

2 =y ja vastaavastiu+v muotoon

u+v = z+y

2 + z+ (−y)

2 = z+y+z−y

2 = 2z

2 =z.

Koskad|(u−v) jad|(u+v), niind|yjad|z. Koskad >1, niin syt(y, z)̸= 1. Tämä on ristiriidassa primitiivisen Pythagoraan kolmikon määritelmän kanssa, jonka mukaan syt(y, z) = 1. Tästä seuraa, että syt(u, v) = 1.

Koska uv = (^x₂)², niin Lauseen 3.1.7 perusteella muuttujat u ja v ovat tekijöiden s ja t toiset potenssit. Täten luvut u ja v saadaan muotoon

u=s² ja v =t²,

missä tekijätsjatovat positiivisia kokonaislukuja. Nyt voidaan kirjoittaa kokonaisluvut x, y ja z tekijöiden s ja t avulla seuraavasti:

z =u+v =s² +t²,

y=u−v =s²−t² = (s+t)(s−t), x² = 4uv = 4s²t² = (2st)².

(3.16)

Yhtälöstä x² = (2st)² nähdään, että x= 2st toteuttaa sen. Koska tekijöiden s ja t yleinen tekijä jakaa molemmat muuttujaty jaz, niin Pythagoraan kolmikon määri- telmän mukaan syt(y, z) = 1, josta seuraa, että syt(s, t) = 1. Tutkitaan seuraavaksi tekijöiden s ja t parillisuutta. Jos molemmat tekijät ovat parillisia tai parittomia, niin molemmat luvutz jayovat parillisia. Tämä on ristiriidassa alkuoletuksen kans-

(24)

3.1. Kolmikoiden generointi 17 sa, joten toinen muuttujistazjayon parillinen ja toinen pariton, toisin sanoens̸≡(t mod 2).

Olkoot s ja t mielivaltaiset kokonaisluvut, jotka toteuttavat edellä mainitut ehdot.

Tällöinx= 2st, y=s²−t² ja z =s²+t². Sijoitetaan nyt muuttujienx, y ja z arvot Pythagoraan lauseen yhtälöön, jolloin saadaan

(s²+t²)² =z² =x²+y² = (2st)²+ (s²−t²)² = 4s²t²+s⁴−2s²t²+t⁴

=s⁴ + 2s²t²+t⁴ = (s²+t²)² (3.17) Koska yhtälön molemmat puolet ovat identtiset, niin kolmikko (2st, s²−t², s²+t²) toteuttaa Pythagoraan kolmikon määritelmän.

Tutkitaan seuraavaksi kolmikon primitiivisyyttä. Alussa oletettiin, että syt(x, y, z) = d >1. Olkoonpmikä tahansa suurimman yhteisen tekijändyleinen tekijä. Todetaan myös, että p ̸= 2, sillä p jakaa parittoman kokonaisluvun z. Kokonaisluku z on pariton, koska tekijöistä s ja t toinen on parillinen ja toinen on pariton, tällöin s²+t² =z² on pariton. Koska syt(x, y, z) =d, niinp|y ja p|z, ja toisaaltap|(z+y) ja p|(z − y). Toisaalta, jos sijoitetaan muuttujien y ja z paikalle tekijät s ja t, niin saadaan p|s² ja p|t². Mutta toisaalta p|s ja p|t, joka on ristiriidassa oletuksen syt(s, t) = 1 kanssa, mikäli p > 1. Jos p = 1, niin tällöin d = p = 1. Tästä syystä oletus syt(x, y, z) =d >1 ei pidä paikkaansa, vaand = 1, joten kolmikkox, y, z on primitiivinen.

Esimerkki 3.1.3. Generoidaan Pythagoraan kolmikko Lauseen 3.1.9 mukaisella tavalla. Valitaan kokonaisluvutsjat siten, ettäs= 11 ja t= 4, jolloin syt(s, t) = 1.

Nyt lasketaan kokonaislukujen x, y ja z arvot:

x= 2st= 2·11·4 = 88

y=s²−t² = 11²−4² = 121−16 = 105 z =s²+t² = 11²−4² = 121 + 16 = 137.

(3.18)

Tällöin syt(88,105,137) = 1. Tutkitaan vielä, että kolmikko (88,105,137) toteuttaa yhtälön (2.5). Saadaan

x²+y² = 88²+ 105² = 7744 + 11025 = 18769 = 137², (3.19) joten kolmikko (88,105,137) toteuttaa yhtälön, joten Lauseen 3.1.9 mukaisesti kolmikko on primitiivinen Pythagoraan kolmikko.

Lauseesta 3.1.9 seuraa, että primitiivisiä Pythagoraan kolmikoita on ääretön määrä.

(25)

3.2. Kolmikoiden määrä 18 Primitiivisiä Pythagoraan kolmikoita on ääretön määrä, sillä luvut s ja t voidaan valita äärettömän monella eri tavalla.

3.2 Kolmikoiden määrä

Tutkimalla yhtä mielivaltaista Pythagoraan kolmikkoa nähdään, että kolmikon avulla saadaan generoitua ääretön määrä uusia Pythagoraan kolmikoita.

Lause 3.2.1. Olkoon kolmikko (x, y, z)mielivaltainen Pythagoraan kolmikko ja k∈ N. Jos (x, y, z) on Pythagoraan kolmikko, niin myös (kx, ky, kz) on Pythagoraan kolmikko.

Todistus. Olkoon (x, y, z) Pythagoraan kolmikko. Valitaan mielivaltainen positiivinen kokonaisluku k. Tutkitaan toteuttaako kolmikko (kx, ky, kz) yhtälön (2.5).

(kx)²+ (ky)² = (kz)²

⇔k²x²+k²y² =k²z²

⇔k²(x²+y²) =k²z²

⇔x²+y² =z².

(3.20)

Koska yhtälö saadaan muotoon x²+y² =z², joka oletuksen nojalla toteuttaa Pyt- hagoraan kolmikon ehdot, niin myös (kx, ky, kz) on Pythagoraan kolmikko.

Koska Lauseen 3.2.1 perusteella myös kolmikko (kx, ky, kz) on Pythagoraan kolmikko, niin kolmikoita on ääretön määrä, koska k ∈ N voidaan valita äärettömän monella eri tavalla. Yhdestä Pythagoraan kolmikosta ei saada kuitenkaan generoitua kaikkia mahdollisia kolmikoita, vaikka kolmikoita saadaankin generoitua ääretön määrä.

Lause 3.2.2. Kaikki mahdolliset Pythagoraan kolmikot saadaan generoitua seuraa- vien yhtälöiden avulla

x= 2kst, y =k(s²−t²), z=k(s²+t²),

missä k ∈ N ja muuttujat s ja t toteuttavat ehdot s > t > 0, syt(s, t) = 1 ja s ̸≡t(

mod 2).

Todistus. Seuraa suoraan edellisistä lauseista.

(26)

3.3. Kolmikoiden graafiset ominaisuudet 19

3.3 Kolmikoiden graafiset ominaisuudet

Määritelmä 3.3.1. Pythagoraan kolmio on suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on z ja muiden sivujen pituudet ovat x ja y. Lisäksi Pythagoraan kolmion sivujen pituudet toteuttavat yhtälön

x²+y² =z²,

missä x >0, y >0 jaz >0 jax, y ja z ovat kokonaislukuja.

Lause 3.3.1. Pythagoraan kolmion sisälle piirretyn suurimman mahdollisen ympy- rän säde on aina kokonaisluku, jos kolmion sivut toteuttavat Pythagoraan kolmikon määritelmän.

Todistus. Tarkastellaan Pythagoraan kolmikkoa (x, y, z) vastaavaa Pythagoraan kol- miota. Muodostetaan kolmio niin, että hypotenuusan pituus onz ja muiden sivujen pituudet ovat x ja y. Kolmion pinta-ala voidaan kirjoittaa kolmen kolmion pinta- alan summana. Kaikkien kolmen kolmion korkeudet ovat samat, ja niiden korkeus on yhtä suuri kuin Pythagoraan kolmion sisään piirretyn ympyrän säde. Kuvassa 3.1 on havainnollistettu tilannetta.

r r r

Kuva 3.1 Pythagoraan kolmion sisälle piirrettyjen kolmen kolmion korkeus on sama kuin ympyrän säteen mittar.

Pythagoraan kolmion pinta-alaksi saadaan 1

2xy= 1

2rx+ 1

2ry+1

2rz= 1

2r(x+y+z)

⇔xy=r(x+y+z).

(3.21)

Lauseen 3.2 mukaan luvut

x= 2kst, y=k(s²−t²), z =k(s²+t²)

toteuttavat yhtälön x²+y² =z², kun kokonaisluvut k, s ja t valitaan lauseen mukaisesti. Sijoitetaan nyt lauseen mukainen ratkaisu yhtälöön xy = r(x+y+z) ja

(27)

3.3. Kolmikoiden graafiset ominaisuudet 20 ratkaistaan saatavasta yhtälöstär:

xy=r(x+y+z)

(2kst)(k(s²−t²)) = r(2kst+k(s²−t²) +k(s²+t²))

⇔r= 2k²st(s²−t²)

2kst+k(s²−t²) +k(s²+t²) = 2k²st(s²−t²)

2kst+ks²−kt²+ks²+kt²

= 2k²st(s²−t²)

2kst+ 2ks² = 2k²st(s²−t²)

2ks(t+s) = kt(s²−t²) (t+s)

= kt(s−t)(s+t)

(t+s) =kt(s−t).

(3.22) Tästä huomataan, että säder on kokonaisluku, koskakt(s−t) on kokonaisluku, kun k, tja s ovat kokonaislukuja.

Lauseen 3.3.1 todistuksessa saatiin Pythagoraan kolmion pinta-ala lausuttua kolmion sisään piirrettyjen kolmen kolmion avulla seuraavasti:

1

2xy= 1

2rx+ 1

2ry+1 2rz.

Ratkaisemalla yhtälöstä ympyrän säder saadaan 1

2xy= 1

2rx+ 1

2ry+1

2rz= 1

2r(x+y+z)

⇔xy=r(x+y+z)

⇔r = xy x+y+z

(3.23)

Jos kolmikko (x, y, z) on Pythagoraan kolmikko, niinx+y+z >0 ja Lauseen 3.3.1 mukaisesti r on kokonaisluku.

Lause 3.3.2. Pythagoraan kolmikon muodostaman kolmion sisään piirretyn suu- rimman mahdollisen ympyrän säde

r = xy

x+y+z.

Esimerkki 3.3.1. Esimerkissä 3.1.1 generoitiin Pythagoraan kolmikko ja kolmikoksi saatiin (5,12,13), ja se todettiin myös myöhemmässä esimerkissä primitiiviseksi.

Muodostetaan kolmikkoa vastaava kolmio, jonka sivujen pituudet ovatx= 5, y = 12 ja z = 13. Piirretään kolmion sisälle suurin mahdollinen ympyrä niin, että ympyrä on kokonaan kolmion sisällä. Kuvassa 3.2 selvennetään tilannetta.

(28)

r

z x

y

Kuva 3.2 Kolmion sisälle piirretty suurin mahdollinen ympyrä.

Lasketaan nyt kolmion sisään piirretyn suurimman mahdollisen ympyrän säde käyt- tämällä apuna Lauseen 3.3.2 mukaista kaavaa:

r= xy

x+y+z = 5·12

5 + 12 + 13 = 60 30 = 2.

Kuvissa 3.3–3.6 on esitettynä Pythagoraan kolmikoiden x ja y arvoja piirrettynä xy-tasoon. Koskax²+y² =y²+x², niin voidaan päätellä, että jos kolmikko (x, y, z) on Pythagoraan kolmikko, niin myös (y, x, z) on Pythagoraan kolmikko. Koska kolmikko (y, x, z) on myös Pythagoraan kolmikko, niin kuvaajissa on piirrettynä myös nämä Pythagoraan kolmikoiden muodostamat pisteet kuviin.

Kuva 3.3 xy-tasoon piirrettynä pisteinä primitiivisisten Pythagoraan kolmikoiden x ja y arvoja, kun tutkitaan kolmikoita, joissa s= 1, ...,9 ja t= 2, ...,9.

(29)

(30)

Kuva 3.6 Primitiivisiä pythagoraan kolmikoita kerrottuna kokonaisluvulla k= 1, ...,9

(31)

3.3. Kolmikoiden graafiset ominaisuudet 24 Koska kolmikko (y, x, z) on myös Pythagoraan kolmikko, niin pistejoukosta syntyy symmetrinen suoransuhteen. Kaikista kuvista 3.3–3.6 huomataan, että ne ovat symmetrisiä suoran y =x suhteen. Kuvissa 3.7–3.10 on havainnollistettu peilisym- metrisyyttä.

Kuva 3.7 Pistejoukkoon piirretty symmetriasuora, kun x ja y arvot sadaan Pythagoraan kolmikoista, joissas= 1, ...,9 ja t= 2, ...,9.

(32)

(33)

(34)

Kuva 3.10Pistejoukkoon piirretty symmetriasuora, kunxjay arvot sadaan Pythagoraan kolmikoista, joissa s = 1, ...,49 ja t = 2, ...,49 ja kolmikoita skaalataan kokonaisluvuilla k= 1, ...,9.

Piirretyistä kuvista huomataan, että pistejoukkojen muoto on jokaisessa kuvassa samanlainen. Pistejoukon muoto näkyy kaikkein selkeimmin kuvassa 3.6, johon on piirrettynä kaikki Pythagoraan kolmikot, jotka löytyvät, kun tutkitaan kolmikoita, joissas = 1, ...,49 ja t = 2, ...,49 ja näitä jokaista kolmikkoa kerrotaan kokonaislu- vuillak = 1, ...,9. Sama pistejoukon muoto on myös havaittavissa kuvassa 3.3, mutta ei niin selkeästi, koska pisteitä, jotka toteuttavat Pythagoraan kolmikon määritel- män, ei ole montaa, kun s <10 ja t <10. Kuvissa 3.11 ja 3.12 on havainnollistettu pistejoukkojen muotoja.

(35)

Kuva 3.11 Pistejoukkoon piirretty viiva kuvaamaan pistejoukon muotoa, kun lukujen x ja y arvot sadaan Pythagoraan kolmikoista, joissa s= 1, ...,9 ja t= 2, ...,9.