Episteeminen tulkinta

Episteemisen tulkinnan mukaan kaksi tapahtumaa ovat yhtä mahdollisia, jos emme tunne perustetta pitää toista uskottavampana. Tällaista indifferenssiperiaatetta sovelsi piispa Tho-mas Bayes postuumisti julkaistussa tutkielTho-massaan 1763–1764. Filosofisessa esseessään näköisyydestä 1819 Laplace jatkoi tätä “bayesiläistä” ohjelmaa determinismin pohjalta: toden-näköisyys ilmaisee tietämättömyyttämme tapahtumien todellisista syistä. Superäly tai demo-ni, joka tuntee täydellisesti maailman tilan, kykenisi laskemaan kaikki tulevat tapahtumat täy-sin varmasti, joten hänelle todennäköisyydet olisivat vain ääripään arvoja yksi ja nolla. Sen sijaan ihminen, jonka tieto maailmasta on aina epätäydellistä ja epävarmaa, joutuu tyytymään todennäköisyyksiin näiden arvojen välillä (ks. Laplace 1952).

Vaikka myöhemmät bayesiläiset eivät yleensä sitoudukaan laplacelaiseen vahvaan deter-minismiin, heidän kannattamansa episteemisen tai doksastisen tulkinnan mukaan

todennä-Todennäköisyys mahdollisuuden asteena

114

köisyydet ovat uskomuksen asteita (degrees of belief) koskien tapahtuman esiintymistä tai lau-seen totuutta evidenssin nojalla. Brittifilosofeista tätä termiä käyttivät Augustus De Morgan 1847 ja Stanley Jevons 1873. 1900-luvulla uskomuksen asteita ovat käsitelleet vedonlyöntisuh-teiden ja päätösteorian avulla mm. Bruno de Finetti, Frank Ramsey ja L. J. Savage (ks. Niini-luoto 1983; 2009).

Episteemisen tulkinnan mukaan aposteriorinen todennäköisyys P(H/E) ilmaisee, kuinka vahvasti voimme uskoa hypoteesin H totuuteen evidenssin E nojalla. Arvot ykkösen ja nollan välillä ilmaisevat vaihtelevan suuruista tiedollista epävarmuutta, kun taas ääripäinä ovat

P(H/E) = 1, jos H on varmasti tosi E:n nojalla P(H/E) = 0, jos H on varmasti epätosi E:n nojalla.

Modaalilogiikassa väite H on mahdollinen jos ja vain jos sen negaatio ¬H ei ole välttämätön.

Vastaavasti H:n episteeminen mahdollisuus ehdolla E tarkoittaa sitä, että H:n negaatiota ¬H ei tiedetä varmasti E:n perusteella, ts. evidenssi E ei sulje pois H:ta (ks. Hintikka 1962). Tämä on yhtäpitävä ehdon P(¬H/E) < 1 kanssa, mikä taas todennäköisyyden kaavan P(¬H/E) = 1–P(H/E) mukaan on sama kuin P(H/E) > 0. Siten

H on episteemisesti mahdollinen ehdolla E jos ja vain jos P(H/E) > 0.

Näin ollen bayesiläiset uskomuksen asteet ovat episteemisen mahdollisuuden asteita (ks. Niiniluoto, 1988b).

Todennäköisyyden episteeminen tulkinta sopii yhteen 1800-luvun saksalaisen koululogii-kan valtavirtauksen koululogii-kanssa, jonka pohjana oli Immanuel Kantin luentoihin perustuva teos lo-giikasta (ks. Kant 1974). Kantin episteemisen teorian mukaan modaliteetti ei lisää mitään ar-vostelman sisältöön, vaan kvalifioi tapaa, jolla arvostelma esitetään. Tältä pohjalta hän erotti toistaan apodiktiset, problemaattiset ja assertoriset arvostelmat ja jäsensi vielä erilaisia “totena pitämisen” tai uskomisen tappoja. Saksalaiset logiikan oppikirjat 1800-luvulla tyypillisesti yh-distivät klassisen todennäköisyyden ja episteemisen modaaliteorian – poikkeuksina kuitenkin G. W. F. Hegel ja F. Überweg, jotka puolustivat objektiivisten mahdollisuuksien olemassaoloa (ks. Niiniluoto 1988a).

Uuden logiikan kehittäjistä Gottlob Frege ja Bertrand Russell seurasivat Kantia, mikä myöhästytti formaalisen modaalilogiikan syntyä useilla vuosikymmenillä C. I. Lewisin vuo-den 1912 töihin saakka. Russell tosin kehitti eräänlaista statistista tulkintaa propositionaalisille funktioille, joissa esiintyy vapaa yksilövariaabeli (kuten “x on loogikko”), mutta tämä tarkaste-lu redusoi välttämättömyyden yleiseen totuuteen (tosi kaikille x:n arvoille) ja mahdollisuuden partikulaariseen totuuteen (tosi jollekin x:n arvolle), eikä se johda aitoon modaliteettien teori-aan. Myös Jan Lukasiewicz lähti Russellin tapaan siitä, että väitelauseet ovat joko tosia tai epä-tosia, mikä ei jätä tilaa objektiiviselle mahdollisuuden käsitteelle, joten hän päätyi 1913 liittä-mään propositionaalisiin funktioihin todennäköisyyksiä (kuinka monta x:n arvoa tekee sen todeksi). Kuitenkin vuonna 1922 hän tulkitsi moniarvologiikan kolmannen totuusarvon (to-tuuden ja epäto(to-tuuden ohella) mahdollisuudeksi.

Ilkka Niiniluoto

4. Frekvenssitulkinta

Klassisen todennäköisyysteorian tutkimissa satunnaispeleissä esiintyy tilastollisia säännön-mukaisuuksia, jotka ovat havaittavissa toistokokeissa. Esimerkiksi heitettäessä symmetristä kolikkoa kruuna ja klaava esiintyvät likimäärin yhtä usein pitkissä heittosarjoissa. Fysikaali-sesti epäsymmetriselle kolikolle klaava saattaa esiintyä useammin kuin kruuna. Tämä tukee näkemystä, että todennäköisyydessä ei ole kyse vain meidän uskomuksistamme, vaan toden-näköisyys on tapahtumien tai tapahtumasarjojen objektiivinen ominaisuus.

Jacques Bernoulli teoksessaan Ars Conjectandi (1713) todisti kuuluisan teoreeman, joka osoittaa todennäköisyyden ja havaittujen frekvenssien välistä yhteyttä. Oletetaan, että tapah-tuma A esiintyy todennäköisyydellä p riippumattomissa toistokokeissa, ja olkoon rfⁿ(A) ta-pahtuman A suhteellinen frekvenssi n:ssä kokeessa. Tällöin todennäköisyys, että havaittu suh-teellinen frekvenssi rfⁿ(A) poikkeaa todennäköisyydestä p, suppenee kohti nollaa kun n kas-vaa rajatta:

Kaikille ε > 0, P(|rfⁿ(A) - p| > ε) → 0, kun n → ∞.

Todennäköisyyden frekvenssitulkinnan syntyä vuonna 1843 merkitsi J. L. Ellisin, J. S. Millin ja A. Cournot’n ehdotus, jonka mukaan tapahtumien yhtäläinen todennäköisyys määritellään - episteemisen indifferenssiperiaatteen sijasta – sen kautta, että ne esiintyvät yhtä usein pitkissä koesarjoissa (ks. von Wright 1943). Tältä pohjalta Ranskassa ja Englannissa nousi 1800-luvun puolivälissä uusi ohjelma, joka pyrki palauttamaan mahdollisuuden todennäköisyyden käsit-teeseen. Keskeinen asema oli empiirisellä todennäköisyyden frekvenssiteorialla, jonka John Venn muotoili teoksessaan The Logic of Chance 1866. Venn ja häntä pian seurannut yhdysvalta-lainen Charles S. Peirce (ks. Peirce 1867) vastustivat bayesiläisten kannattamaa episteemistä näkemystä ja määrittelivät todennäköisyydet tapahtumatyyppien esiintymistiheytenä pitkissä koesarjoissa. Vennin eksplisiittisenä lähtökohtana on nominalistinen ja ekstensionaalinen yh-den maailman tulkinta, joka muistuttaa antiikin statistista modaaliteoriaa: maailma muodos-tuu pitkästä tapahtumien sarjasta, jossa todennäköisyys P(A) on tarkasteltavan tapahtuman A

“proportion in the long run”. Äärettömälle tapahtumasarjalle todennäköisyys on Vennin mu-kaan suhteellisen frekvenssin raja-arvo täsmällisessä matemaattisessa merkityksessä.

Vennin frekvenssitulkinnan avulla voidaan yrittää palauttaa modaalikäsitteet todennäköi-syyksiin ehdoilla, joiden mukaan frekvenssitodennäköisyydet ovat esiintymismahdollisuuksien astei-ta:

A on välttämätön jos ja vain jos P(A) = 1 A on mahdollinen jos ja vain jos P(A) > 0

A on mahdoton jos ja vain jos P(A) = 0.

Tämä ehdotus ei kuitenkaan ole ongelmaton. Samaan tapaan kuin klassinen statistinen mo-daaliteoria toteuttaa runsauden periaatteen PP, jonka mukaan kaikki mahdollisuudet toteutu-vat joskus, myös Vennin frekvenssitulkinta toteuttaa PP:n. Nimittäin jos P(A) > 0, niin A myös tapahtuu jollakin ajan hetkellä t. Käänteinen tulos ei kuitenkaan päde yleisesti. sillä suhteelli-sen frekvenssin raja-arvona P(A) voi olla 0 vaikka A esiintyy melko harvoin. Tiukempi

määrit-Todennäköisyys mahdollisuuden asteena

116

tely satunnaisjonoille annetaan Per Martin-Löfin (1966) artikkelissa niin, että todennäköisyys 0 takaa ettei A esiinny lainkaan.

Émile Borel todisti 1909 Bernoullin teoreemalle vahvennuksen, jonka mukaan suhteelliset frekvenssit konvergoivat kohti todennäköisyyttä “melkein varmasti” eli todennäköisyydellä 1:

P(lim_!→!!"#(!) = p / P(A) = p) = 1.

Tämä erikoistapaus “vahvasta suurten lukujen laista” ilmaisee tiukimman yhteyden todennä-köisyyden ja suhteellisen frekvenssin välillä: äärettömät havaintosarjat, joissa suhteellinen frekvenssi yhtyy todennäköisyyteen, kattavat “melkein kaikki” matemaattisesti mahdolliset vaihtoehdot (ks. von Plato 1994). Silti tämä ei riitä sulkemaan pois nollamittaista joukkoa ää-rettömiä havaintosarjoja, joissa suhteellisen frekvenssin raja-arvo ei ole p (esim. HHHHHH…

rahanheitossa). Tätä voidaan pitää ratkaisevana vastaväitteenä frekvenssitulkinnan ehdotuk-selle identifioida todennäköisyys ja suhteellisen frekvenssin raja-arvo (ks. Niiniluoto 1983).

Tämä on myös vastaesimerkki Runsauden Periaatteelle, vaikka Borelin teoreema takaakin, että PP on “melkein tosi” äärettömille sarjoille.

5. Propensiteettitulkinta

Frekvenssitulkinnan vaihtoehtona, johon viittasi jo Aristoteleen oppi mahdollisuudesta poten-tiaalisuutena (kr. dynamis), on realistinen käsitys “objektiivisista mahdollisuuksista”. Tämän ontologisen kannan mukaan maailmassa esiintyy todellisia potensseja, kausaalisia voimia tai dispositioita, jotka pyrkivät aktualisoimaan itsensä.

Peirce, joka kehitteli 1890-luvun metafyysisissä kirjoituksissaan “tykismiä” eli oppia ob-jektiivisesta sattumasta determinismiä vastaan, kääntyi modaaliseksi realistiksi 1901, mihin liittyi myös mahdollisten maailmojen semantiikan muotoilu (ks. Peirce 1901; Niiniluoto 1988a, 304). Hän päätyi 1910 realismin mukaiseen propensiteettitulkintaan, jonka mukaan todennä-köisyys on fysikaalisen järjestelmän dispositio (would-be) tai tapa (habit) tuottaa tietyn tyyppi-siä tuloksia koetilanteissa (CP 2.66). Näin propensiteetit voidaan ymmärtää fysikaalisen mahdolli-suuden asteiksi.

Propensiteettitulkinnan keksi uudelleen Karl Popper 1950-luvulla (ks. Popper 1982). Se voidaan muotoilla kahdella toisistaan poikkeavalla tavalla. Long-run propensiteetti p on jonkin järjestelmän universaalinen taipumus sarjoihin, joissa tuloksen tyypillinen suhteellinen frek-venssi on p. Single-case propensiteetti p on jonkin järjestelmän p:n vahvuinen taipumus tuottaa tietty tulos kussakin yksittäisessä kokeessa (ks. Fetzer 1981; Niiniluoto 1983). Nollasta ja ykkö-sestä poikkeavat single-case propensiteetit edellyttävät indeterminismin pätevyyttä, mistä esimerkkinä ovat kvanttimekaniikan lait radioaktiivisesta hajoamisesta. Bernoullin ja Borelin teoreemat osoittavat, miten tällaisista mahdollisuuden asteista voi saada testattavaa todennä-köistä tietoa havaitsemalla riittävän suurta kokoelmaa samanlaisia järjestelmiä – esimerkiksi saman alkuaineen atomien puoliintumisaikaa.

Ilkka Niiniluoto