Osoita, ett¨a Mahalanobiksen et¨aisyys Dij= (xi−xj)0S−1(xi−xj) on lineaarisesta muunnoksestay=Ax(|A|6= 0) riippumaton

Monimuuttujaiset kasvuk¨ayr¨at Harjoitus 1.

30.1.2007

1. Tarkastellaan muunnosta

y_i=Ax_i+b, i= 1, . . . , n, miss¨a A∈R^q×p jab∈R^q. N¨ayt¨a, ett¨a

a) ¯y=A¯x+bja b)Sy =ASxA⁰.

2. Osoita, ett¨a Mahalanobiksen et¨aisyys

Dij= (xi−xj)⁰S⁻¹(xi−xj)

on lineaarisesta muunnoksestay=Ax(|A|6= 0) riippumaton.

3. JosE(x) =µja Var(x) =Σ, niin osoita ett¨a

a) Var(x) =E(xx⁰)−µµ⁰, b)E(x⁰Ax) = trAΣ+µ⁰Aµ.

4. Tee ominaisarvohajotelma (k¨asin ja koneella) matriiseille

A=

2 1 1 2

ja

B=





1 1 0

1 5 −2

0 −2 1



.

5. Laske ominaisarvot matriisille R = {rij}, miss¨a rij = 1, kun i = j ja r_ij=r6= 0,kuni6=j (vihje |I+AB|=|I+BA|).

6. Olkoon satunnaisvektority₁, . . . ,y_nper¨aisin multinormaalijakaumastaN_p(µ,Σ) (n > p). Osoita, ett¨a suurimman uskottavuuden estimaattorit µ:lle ja Σ:lle ovat t¨all¨oin

ˆ µ= 1

n

n

X

i=1

y_i = ¯y

ja

Σˆ = 1 n

n

X

i=1

(y_i−y)(y¯ _i−y)¯ ⁰.

1